Введение к работе
Объект исследования - математические модели электромагнитных полей в средах с тензорными коэффициентами параметров среды и способы описания анизотропии среды. Предметом исследования являются вычислительные схемы для таких моделей, реализованные на базе векторного метода конечных элементов, а также математическая модель тензора электропроводности, соответствующего произвольно ориентированной тонкослоистой среде.
Актуальность темы.
Известно, что электропроводность тонкослоистых геологических отложений с горизонтальными или вертикальными границами описывается диагональным тензором. На сегодняшний день нет общепринятого способа построения тензора электропроводности для тонкослоистой среды с произвольной ориентацией слоев. Решение задачи моделирования трехмерного электромагнитного поля в анизотропных средах требует создания новой эффективной вычислительной схемы и ее реализации в виде комплекса программ (инструментария). Известные методы решения задач геоэлектрики, такие как преобразование Фурье, представление поля через тороидный и поло-идальный скаляры, метод на основе матриц распространения, ориентированы на решение задач только с точечным дипольным источником поля в анизотропных средах, или на сравнительно узкий класс сред (в первую очередь, трансверсально изотропных). Использование векторного метода конечных элементов, позволяет моделировать поле различных типов источников в средах с электропроводностью, описываемой плотным тензором второго ранга. Исследование способов задания коэффициента электропроводности произвольно ориентированной тонкослоистой среды и построение новой вычислительной схемы на базе векторного метода конечных элементов, учитывающей такие факторы как: электропроводность в виде тензора второго ранга, геометрически конечные размеры источника или распределенный источник поля, являются актуальными задачами не только для геофизики, но и для математической физики, вычислительной математики.
Цель работы. Построение и реализация вычислительных схем для численного моделирования трехмерного электромагнитного поля, возбуждаемого различными типами источников, учитывающих
тензорный характер электропроводности произвольно ориентированной тонкослоистой среды на базе векторного метода конечных элементов.
Основные задачи исследования.
Разработать вычислительные схемы на базе векторного метода конечных элементов для моделирования электромагнитного поля в анизотропной среде для прямых задач геоэлектрики с распределенным и индукционным источниками;
Исследовать особенности учета условий, накладываемых на компоненты поля на контактных границах анизотропных сред;
Фактический материал и методы исследования. Теоретической основой решения поставленной задачи является система уравнений Максвелла. Основной метод исследования - математическое моделирование векторным методом конечных элементов. Для теоретических исследований влияния тензорных коэффициентов и обоснования условий на контактных границах применялся аппарат дифференциальных форм, дискретным аналогом которого является векторный метод конечных элементов. При исследовании способов определения тензоров электропроводности использовались методы преобразования координат при переходе из одной координатной системы в другую, а также анализ спектральных характеристик матриц и тензоров. Верификация разработанных алгоритмов и их программной реализации проведена на задачах, имеющих аналитическое решение и выполнение серии вычислительных экспериментов на сгущающихся сетках.Для проведения численного эксперимента в анизотропной среде использовались значения электропроводности тонкослоистой среды в продольном и поперечном направлениях, а также такие характеристики источников как зависимость тока от времени, форма и интенсивность ТЕ-волны.
Защищаемые научные результаты:
Алгоритм моделирования трехмерных нестационарных электро
магнитных полей в средах с анизотропными коэффициентами
электропроводности на базе векторного метода конечных эле
ментов;
Доказано, что предложенные вычислительные схемы позволя
ют автоматически учитывать условия непрерывности танген
циальных компонент электрического поля и нормальных ком
понент тока стЕ на границе раздела двух анизотропных сред с
различными характеристиками анизотропии;
Научная новизна. Личный вклад.
На базе векторного метода конечных элементов для учета тензорного характера электропроводности разработаны новые вычислительные схемы для расчетов трехмерных нестационарных электромагнитных полей в анизотропных средах;
Доказано автоматическое выполнение условия слабой дивергенции при использовании векторного метода конечных элементов в качестве метода моделирования, что гарантирует выполнение условий на контактных границах. Доказательство выполнено с использованием аппарата дифференциальных форм для системы уравнений Максвелла и волнового уравнения второго порядка относительно электрического поля.
Значимость работы. Разработанная вычислительная схема эффективно учитывает особенности электропроводности тонкослоистой среды произвольной ориентации при моделировании электромагнитного поля от распределенных и локальных источников. Реализованный программный комплекс может быть использован при решении прямых задач моделирования в геофизике, в качестве инструмента для интерпретации геофизических данных, а также при проектировании аппаратуры для определения электрической анизотропии горных пород.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на: V международной школе молодых ученых и специалистов "Физика окружающей среды", (Томск, 2006); Third International Workshop on Reliable Methods of Mathematical Modeling, (Санкт-Петербург, 2007); конференции молодых ученых, аспирантов, студентов "Трофимуковские чтения-2007", (Новосибирск, 2007); VIII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям, (Новосибирск, 2007).
Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 6 печатных работ, из них в ведущих научных рецензируемых журна-
лах, определенных Высшей аттестационной комиссией - 2 (журнал "Вычислительные технологии", 2006, №3, 2008, №1).
Структура работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, приложения и списка использованной литературы (84 наименования). Работа изложена на 156 страницах, включая 37 рисунков и 12 таблиц.
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта "Университеты России" (проект 03.01.187), РФФИ (грант 05-05-64528), совместного международного проекта NWO-РФФИ (грант 047.016.003).
Автор выражает искреннюю благодарность научному руководителю д.т.н, профессору Элле Петровне Шуриной, а также руководству Учреждения Российской академии наук Институт нефтегазовой геологии и геофизики им. А.А. Трофимука Сибирского отделения РАН и лично д.т.н, академику РАН Михаилу Ивановичу Эпову за помощь и поддержку при работе над диссертацией.
