Введение к работе
Актуальность темы. Результаты, представленные в диссертации, относятся, главншл образом, к исследованию проблемы А.Н.Колмогорова о поперечниках множеств С в банаховых пространствах
X .
Определение поперечника содержит понятия наилучшего прибли
жения индивидуального элемента к X фиксированным под
пространством LN С X е(х, Lf/, X ) = aif {|| х - j II } J ід, }
а также верхней грани наилучших приближений: Е (С La/ X) -
Величины е и Е исследовались на первых этапах развития теории приближений.
В 1936 г. под влиянием идей А.Н.Колмогорова, сформировалось новое направление в теории приближений. А.Н.Колмогоров в качестве средств аппроксимации компактов предложил рассматривать всевозможные линейные многообразия конечной размерности. Так возникло понятие поперечника:
с1*(С,Х)= Щ "uf ^ " *~ 5 ll L„cx >С $tb*
Здесь С - центральносишетричный компакт в X , Lay -произвольное подпространство в X ( Jim. L,y - /V ).
При исследовании поперечников обнаружилась тесная взакмо-связь теории приближений с теорией чисел, функциональным анализом, теорией размерности, топологией, теорией случайных процессов, теорией информации и другими математическими дисциплинами.
Величины, близкие по смыслу к поперечникам СІА/ вводились ранее и в других областях математики.
Сначала они возникли в теории размерности. В 1922 г, П.С. Урысон охарактеризовал отклонение компактов С от N . -мерности при помощи величин, определение которых основывается на понятии размерности по Лебегу-Брауэру. Другой способ измерения уклонения С .от /V -мерности был предложен в 1933г. П.С.Александровым. Так появились величины, которые позже били названы поперечниками по Урысону и Александрову соответственно.
В середине пятидесятых годов под влиянием значительно воз-
росших потребностей вычислительной математики в теорию приближений все чаще стали проникать идеи и методы из различных областей математики. Так, быстро развивающаяся теория информации инициировала введение понятия . - энтропии. Начиная с шестидесятых годов, интерес к исследованию проблемы о поперечниках не ослабевает. Появляются многочисленные работы, где вычисляются поперечники функциональных классов. Эти исследования стимулировались также внутренними потребностями теории приближений. Классическая теория приближений к этому времени накопила большой фактический материал, создала и изучила множество различных способов приближения. В связи с этим, возникла необходимость систематизировать исследованные методы приближения и сравнить их эффективность.
В настоящее время, в результате работ большого числа математиков как у нас в стране, так и за рубежом, в исследовании проблемы А.Н.Колмогорова о поперечниках достигнут значительный прогресс.
Первые результаты, связанные с вычислением поперечников, были получены А.Н.Колмогоровым (1936), Рудиным (1952) и С.Б.Стечкиным (1954).
В I960 Г. В.М.Тихомиров впервые привлек топологические мето,-ы к исследованию поперечников. Это позволило вычислить точные значения величин J/v ( W< , L, оо ) . Позже эти идеи В.М.Тихомирова оказались эффективными и при решении других задач. В дальнейшем в различных ситуациях точные значения пгперечников находили В.М.Тихомиров, Н.П.Корнейчук, Ю.Н.Субботин, Ю.И.Маковоз, А.А.Лигун, В.И.Рубан, Мичелли, Пинкус, А.П.Буслаев и В.М.Тихомиров. Для классов сверток с ядрами, не увеличивающими осцилляцию, а также для классов, определяемых дифференциальными операторами, задача вычисления поперечников рассматривалась в работах Чуй, Смита, В.Т.И^валдина, С.И.Новикова, Нгуен Тхи Тхьеу Хоа, Мичелли, Пинкуса и др.
Порядковые оценки поперечников соболевских классов d/i/(Wp , b<) ) были получены М.З.Соломяком и В.М.Тихомировым, Б.С.Митягиным, Р.С.Исмагиловым и др. Позже, в работах Р.С.Исмагилова и В.Е.Майорова применялся метод дискретизации задачи о поперечниках. В связи с этим особый интерес приобре-
ла задача об оценке поперечников конечномерных множеств. Наиболее существенные результаты в этом круге вопросов получены Б.С.Кашиньш, который заверили задачу о нахождении порядков поперечников d\t (W' >) La). Методы, развитые Б.С.Кашным, привели к бурному развитию тематики, касающейся поперечников. Исследования Б.G.Кашина продолкили Е.Д.Глускин, Е.Д.Ку-липин, Хеллинг и др. В исследование поперечников классбв функций многих переменных большоіі вклад внес К.И.Бабенко. Этими вопросами занимались также В.II.Темляков, Б.С.Шітяпш, Р.С.Ис-глагшгов, Э.М.Галеев и др.
Впервые экстремальная роль сплайнов а задачах, связанных с поперечниками, была обнаружена В.М.Тихомировым. С.М.Никольский изучал кусочно-полиномиальную аппроксішацию в связи с задачей о наилучшей квадратурной формуле. Как промежуточное приближение сплайны появились в глубоких исследованиях Н.П.Корнейчука о приближении дифференцпруешк функций и Ю.Н.Субботина по функциональной интерполяции. Полиномиальные сплайны и их разнообразные обобщения изучались С.Б.Стечкиным, Шенбергом, Албергом, кильсоном, Уолшем, Биркгофом, Лоренцем, Голомбом, Мичєлли, Де Зором, Девором и др. Точные оценки наилучших приближений сплайнами били получены Н.П.Корнейчуком и А.А.Ліну ном. Различные экстремальные и аг.ц'оксиматшшые свойства сплайнов были иссле-;ованы в цикле работ Ю.Н.Субботина. Исследованием экстремальны/ івойств сплайнов занимались телсг.е В.Т.Шевалдин, С.И.Новиков, і.А.Сазанов и др.
Методика исследований. Научная новизна. Теоретическая и тактическая, значимось, полученных результатов.
В первой главе разрабатывается аппарат сплайнов на клас
ах сверток. Пусть А ^ = \о-Хо^...<Уп. = ,Ji ] - про-
зволыюе разбиение [f, 2ї) и К (' ) - произвольная сум-
ируемая 2 х - периодическая функция. -s< - сплайном
о разбиению А п, будем называть функцию, лредставимую в
иде л п.
<*.;/, о < с' < п. , л,- С- Л п. . ? этого определения непосредственно следует, что в случае,
когда /(()- 0г(-)- ядро Бернулли ( гб/У ), К - сплайны - хорошо изученные полиномиальные сплайны дефекта / , порядка t - / , по разбиению А п_ . Получены теоремы существования и единственности для SK - сплайнов, причем, когда.разбиение -Л п, равномерное, получены наиболее полные результаты. Найдеш также некоторые экстремальные свойства
& К - сплайнов, аналогичные внутренним свойствам полиномиальных сплайнов нечетной степени, обнаруженных Холлидеем, Ллбергом, Нильсоном и Уолшем.
Найденные в главе I свойства ^к - сплайнов используются в главе II для получения точных оценок снизу четных поперечников классов сверток К* Z/Co = W< в пространстве
І, со . Развит новый метод оценки снизу поперечников классов сверток. При этом на ядро К ( )не накладываются условия типа знакорегулярности, которые играли существенную роль при применении известного метода В.М.Тихомирова оценки поперечников, основанного на применении теоремы о поперечнике шарч. Для ядер К(' ) вводится свойство Си , которое существенно шире знакорегулярности. Показано, что если КЄ G'y , то четные поперечники оцениваются снизу через норму стандартной функции. Это позволяет вычислять поперечники в уже известных ситуациях и в принципиально новых. В частности, ядро Пуассона
PP(-L) * + 2. ркaosKt
при Р = //7- знакорегулярным не является и,тем не мене? удовлетворяет свойству С ч Показано, что ядро Вейля
КЗ J
«Я R(-L)= 2. K-^cosfx-e-tx/e)
при целых ув и значениях оС , близких к f> , также удовлетворяет свойству (?<, . Построены и другие примеры функций, не являющихся знакорегулярными, но удовлетворяющими свойству С' g .
В третьей главе изучаются, в основном, поперечники классов гладких функций IV п - К* Up в пространстве L
Отметим, что классы сверток VVа , в рассматриваемых в диссертации случаях, совпадают с классами Lap предложенными ранее А.И.Степанцом.
Развит метод оценки снизу категорных поперечников, введенных В.М.Тихомировым. При помощи данного метода удается получать точные по порядку оценки снизу для поперечников в тех ситуациях, где известные методы дискретизации оказываются не эффективными.
Разработанный метод основывается на оценке снизу категории случайного множества, реализующего необходимую оценку для поперечника.
В четвертой главе исследуются аппроксимлтивные возможнос
ти &к „ сплайнов относительно классов Wf при весьма
общих ограничениях на функцию К(* ) . Полученные оценки
указывают на тот факт, что интерполяционные SK - сплайны
в роде важных частных случаев реализуют проекционные поперечни
ки классов И/ j в пространстве L у
Результаты, приведенные в диссертации, и методы их получения представляют интерес для теории приближения, функционального анализа и числешюго анализа. Они могут быть использованы для исследования других экстремальных задач теории приближения, вычисления поперечников, а также в теории оптимальных алгоритмов.
Все результаты диссертации являются новыми.
Объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, списка цитированной литературы из 224 наименований и занимает 288 страниц машинописного текста.
Апробация работы. Изложенные в диссертации результаты докладывались и обсуждались на Международных конференциях по теории приближения ( Киев,1983 г.; Варна, НРБ,1989 г_; Варшава, ПНР,1389 г.). На Всесоюзной конференции по теориі. функций, посвященной 80-летию академика С.М.Никольского (г.Днепропетровск,1985 г.), на ІУ Саратовской зимней школе по теории функций и приближений (1988 г.), на республиканских летних математических школах по теории функций и топологии (пос.Каци-вели,1985,1988 гг.), на межвузовской школе-семинаре. "Вопросы чистой и прикладной математики" (: Тула,1988 г.), на Всесоюз-
ной школе-семинаре по теории функций ( Луцк, 1989 г.).
Результаты диссертации докладывались и обсуждались на ачедующих научных семинарах: на семинаре проф. В.М.Тихомирова (МГУ, Москва), на семинаре проф. Б.С.Кашина и К.И.Осколкова (МИАН СССР им.Стеклова), на семинаре отдела теории приближений Института математики и механики Уральск.отд.АН СССР(Сверд-ловск), на заседании секции теории функций ученого совета Института математики АН УССР, на заседании секции функционального анализа ученого совета Института математики АН УССР, на городских семинарах по теории функций, а также на семинарах отдела теории функций Института математики АН УССР.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [I - 17 ] .
![О приближении функций класса Wap([0,1]2) билинейными функциями](/i/i/4377/303944.png "О приближении функций класса Wap([0,1]2) билинейными функциями Меленцов Александр Александрович")
