Внешние обратные краевые задачи в многосвязных областях и на римановых поверхностях Киндер Михаил Иванович

Содержание к диссертации

Введение

Глава I Внешняя обратная краевая задача в случае конечносвязных областей 15

1. Разрешимость внешней обратной краевой задачи . 15

2. Общее решение задачи 28

3. Оценка числа корней уравнения Гахова 36

4. Три типа решений уравнения Гахова 46

Глава II Особые случаи внешних обратных краевых задач 56

5. Обратная краевая задача по смешанным паршдетрам S и 6 56

6. Исследование разрешимости внешней задачи по сме шанным параметрам 70

7. Симметричные решения обратных краевых задач 85

8. Индексы корней уравнения Гахова в симметричных областях 96

Глава III Внешняя обратная краевая задача на римановых поверхностях 104

9. Разрешимость задачи в классе 104

10. Обратная краевая задача на компактных римановых поверхностях 124

11. Исследование уравнения Гахова на римановых поверхностях рода 133

Литература 142

• Оценка числа корней уравнения Гахова
• Исследование разрешимости внешней задачи по сме шанным параметрам
• Индексы корней уравнения Гахова в симметричных областях
• Обратная краевая задача на компактных римановых поверхностях

Введение к работе

В диссертации рассмотрены внешние обратные краевые задачи теории аналитических функций для многосвязных областей и рима-новых поверхностей.

Теория обратных краевых задач (окз), основы которой были заложены в трудах Г.Г.Тумашева и М.Т.Нужина [42], имеет многочисленные приложения во многих задачах механики сплсшных сред и математической физики. Развитие этой теории, ее современные достижения и применения отражены в монографиях [42, 36, 40], а также в обзорной статье [її].

Основные внутренняя и внешняя окз по дуговому параметру $ заключаются в отыскании аналитической функции w(l) и односвя-зной области ее определения Я_х с границей ,^ по известным граничным значениям w(fc)L = w(S) = 11(5)+1^(5),0^^ , искомой функции, где S - дуговая абсцисса кривой i_z, 8 - длина И_ъ . При постановке внешней окз предполагается, что искомая область Я₂ содержит одну бесконечно удаленную точку и значение w(cq)=w₀ не задано.

Вопросы разрешимости сформулированных окз были исследованы М.Т.Нужиным [34] и Ф.Д.Гаховым [20]. Кратко опишем этапы решения внешней окз.

Первый этап состоит в нахождении аналитической функции ЬгЯ'М с логарифмической особенностью в точке w₀ по известным граничным значениям ее вещественной части. Здесь Z'(w)- производная функции (W), обратной к искомой W(2). Если перейти от

2)_w к некоторой вспомогательной канонической области 3)$, например, к кругу |СJ <1 , то для определения неизвестной величины С₀ , соответствующей точке W₀ , служит уравнение X'ft)- 2?/(1-«), _(ол) полученное Ф.Д.Гаховым [19, 20].

Второй этап решения внешней окз заключается в доказательстве разрешимости уравнения (0.1). В работе [20] Ф.Д.Гахов преобразовал (0.1) к соотношению _ea|e*⁽_V«)|=0, из которого следует, что корень С₀ уравнения (0.1) является стационарной точкой вещественной поверхности 1 с уравнением

6 0~СС)| С помощью корня С₀ находится функция 3(C), которая отображает круг |С| <1 на искомую область )_z . В известной области X легко определяется искомая функция W(Z), поэтому под решением задачи часто понимают задачу нахождения функции 2(C), или Z(w), обратной к W(3).

Внутренняя обратная краевая задача для аналитических функций в случае многосвязных областей была исследована Ф.Д.Гаховым [їв] и М.Т.Нужиным [ЗЗ]. В своих работах сш отметили существенное отличие такой задачи от окз в односвязном случае. Основная сложность здесь заключается в том, что искомая функция 2(w) может оказаться неоднозначной. Исследование осложняется еще из-за того, что уже на первом этапе решения задачи начальные данные не могут гарантировать однозначность аналитической функции &i'(w). Чтобы задача отыскания этой функции стала корректной, в ее постановку добавляются произвольные элементы. Этот путь, предложенный Л.Н.Журбенко [2б], приводит к так называемой видоизмененной обратной краевой задаче, которая в случав внешней окз формулируется следующим образом.

Требуется найти регулярную функцию w(2) и (п+1) - связную

5 область ее определения 3)_ъ , содержащую бесконечно удаленную точку, если на границе ЭЖ)₂=0_гк заданы значения искомой функции в виде wte) = u_K(s/e_K)+iiu$/e_K), o«s4_K, к=М (&o^s1 ;В_к,к = 1,а , - неизвестные длины граничных кривых <_ак , $ -дуговая абсцисса Л^\; при этом предполагается, что функции w_K(T)eu_KCt)nV_K(T) , Т [0,1] (У *$/&*)» * ⁼ w^sw(S0₂) с границей Ъ3)„-Ы._т* Внешние окз по другим параметрам в многосвязных областях исследовались Р.Б.Салимовым, Л.Н.Журбенко, Р.Г.Авхадиевым ( см. обзор [п])> а также в диссертации С.Б.Сагитовой [S9J, где доказана разрешимость различных окз как в двусвязных, так и многосвязных областях.

Внешняя окз по дуговому параметру $ изучалась в основном только с гидромеханическими целями (за исключением двусвяз-ного случая [35*]) и с гидромеханической нормировкой: w(o) _s во . Результаты по этим задачам описаны в [42, гл. 1У]. Во внешней окз с нормировкой w(eo)sw₀npn неизвестной величине w₀ в [42, с.80] намеченный путь исследования не привел к точному выводу о разрешимости задачи в многосвязной области. Аналог уравнения (0.1) для определения vv₀ в случае двусвязных областей впервые выведен в [44], а его разрешимость обоснована С.Б.Сагитовой[39]. Таким образом, возникла необходимость преодолеть разрыв, который наметился между внутренними и внешними задачами теории окз в случав многосвязных областей. Исследование возникающих во внешних окз аналогов уравнения (0.1) представляет собой важную проблему теории окз. Этим и обусловлена актуальность темы диссертации. Ее целью является доказательство разрешимости внешних окз в различных постановках и исследование окз в случае многосвязных областей и римановых поверхностей.

Кратко изложим основные результаты работы.

Диссертация состоит из трех глав, разделенных на одиннадцать параграфов. Нумерация формул и утверждений ведется по параграфам.

В первой главе изучена внешняя обратная краевая задача по дуговому параметру S в многосвязных областях.

В I исследована разрешимость внешней окз в видоизмененной постановке, сформулированной для внутренней задачи в работе [2б]. В предположении, что значение w(**)=W₀ не задано, решение окз имеет вид H(W) = e^U J e"^(W) T V,w_e)dw + С, где d - вещественная, а С - комплексная постоянные. Для определения точки W₀ получено уравнение %'(w) = 2fUw,w)/f(w,w) (0.2) ( J означает производную по первому аргументу), которое обеспечивает однозначность функции fc(w) в окрестности точки w₀ . Здесь X(w) - определяемая по начальным данным функция, регулярная в области 5)_w , llWjWjeJ^w^w), a ?Cw,w₀) конформно и однолшр-но отображает область 5)_w на единичный круг с концентрическими круговыми разрезами, 7(w₀,w₀) = 0 .

С соотношением (0.2) связана вещественная поверхность Q. с уравнением Q=Q(u,V) , где Q(w) = |e*^(W)/f(w,w)t vv=u*iir, стационарными точками которой служат корни уравнения (0.2) и только они. Это уравнение обобщает (0.1) на случай многосвязных областей и совпадает с ним, когда <0_W - единичный круг. Назовем его

7 уравнением Гахова.

Теорема ІД. Уравнение Гахова в случае конечносвяз-ной области SD_W всегда разрешимо.

В этом же параграфе приведены примеры, в которых уравнение Гахова имеет любое наперед заданное число или даже континуум решений.

В 2 рассмотрена общая постановка внешней окз при минимальных ограничениях на граничные функции ц^т), lf_K (Т) ,Я=0,а. Исследование условий, обеспечивающих разрешимость внутренней и внешней окз (с незаданной величиной w(co)=w₀ ), в односвязных областях было начато Ф.Д.Гаховым [20] и С.Н.Андриановым [13]. ЇЇ.І.НІабалин [44] обобщил их результаты на случай внутренней окз для многосвязных областей. В работах [20, 13] общее решение внешней задачи для односвязных областей было получено в предположении, что уравнение (0.2) разрешимо и при минимальных ограничениях на функции U_R(T), U_K(T). В этом параграфе обосновывается это предположение в случае как односвязных, так и многосвязных областей со спрямляемыми границами. С использованием результатов [20, 44] доказано (теоремы 2.1 и 2.2), что минимальные ограничения, которым должны удовлетворять граничные функции W_K(T)=U„(T)+iVj№X R = 0,ti, для разрешимости внешней окз, имеют вид: а') функции tt^CX), ITjcCT), ic*0,rv , являются абсолютно непрерывными, б') производные w(T) почти всюду удовлетворяют неравенствам 0 < |w^(T)l < М .

В 3 изучен вопрос о числе корней уравнения (0.2). Этот вопрос занимает важное место в теории окз, так как от количества корней уравнения (0.2) существенно зависит число решений вне- шней задачи. Результаты, касающиеся единственности решения уравнения (0,2) в односвязных областях, подробно описаны в обзорной статье [її].

Введем векторное поле градиента функции Q : особыми точками которого являются корни (0.2) и только они.С использованием теории плоских векторных полей [зо] доказано, что уравнение Гахова в многосвязном случае всегда имеет неединствен-ное решение. Точнее, справедлива

Теорема 3.1. Уравнение Гахова имеет в (гЫ) -связной области W не менее п+1 решений.

В случае одно- и двусвязных областей приведены примеры,подтверждающие точность нижней оценки из теоремы 3.1.

В 4 исследовано строение поверхности Q , связанной с уравнением (0.2).

Разобьем все корни W_K уравнения Гахова на три группы в зависимости от значений их индексов fl(w_K) I³^]» которые могут принимать лишь три значения: -I, 0, +1. На основе известных фактов из дифференциальной геометрии [25, 15] каждая из этих групп охарактеризована следующим образом.

Теорема 4.1. Поверхность П _t связанная с уравнением Гахова, в окрестности U_K особых точек (w_K>Q(w„)) допускает только три типа строения: I) если y(w_K)« + 1 , то U_K выпукла; 2) если Y(w_K) «О , то U* имеет полуседло образное строение; 3) если fl"(^wK) ⁼ H , то U_K аналогична обыкновенному седлу.

Из теоремы 3.1 вытекает следующая простая зависимость между числом М ( М^И ) эллиптических ( Y(^w*)^{s +} t ) ^ж числом S

9 гиперболических (*у (щ) = -1 ) корней уравнения Гахова: М - S И - Л, где rt-M - порядок связности области «D_w .

В главе П исследованы обратные краевые задачи по смешанным параметрам S и 8 (6 - угол наклона касательной к искомым граничным контурам), рассмотрены некоторые геометрические вопросы, связанные с решением окз.

В 5 даны постановка и исследование внутренней окз по смешанным параметрам S и 0 , т.е. задача отыскания конечносвязной области 3) в случае, когда граничные значения искомой функции на одних контурах І_ІК заданы как функции параметра S , а на остальных контурах - как функции параметра в . Решение этой задачи приведено к решению прямой смешанной краевой задачи для аналитической в cQ_w функции X(w) по известным значениям ее вещественной части на одних контурах и мнимой - на остальной части границы. С использованием идеи видоизменения постановки задачи [2б] , т.е. добавлением в граничные данные некоторых произвольных постоянных,показано (лемма 5.2), что за счет выбора этих постоянных всегда можно единственным образом отыскать однозначную и регулярную в области W функцию X(w), у которой граничные значения вещественной или мнимой части отличаются от заданных на аддитивные постоянные.

Теорема 5.1. Внутренняя обратная краевая задача по смешанным параметрам S и 0 в случае многосвязной области разрешима, если граничные функции 11^(1),11^(1^) , К «0,П , обладают непрерывными производными, не обращающимися одновременно в нуль, и если выполняются условия замкнутости Є (0 3) %(w) Функция 2(w) , определенная формулой 2(\N)= $Є dw+C, при выполнении (0.3) осуществляет конформное отображение области S)_w на искомую область Ю^

Внешняя окз по смешанным параметрам S и 6 , т.е. задача отыскания конечносвязной области 2 , содержащей одну бесконечно удаленную точку, по граничным значениям искомой функции w(l), заданным в зависимости от параметра S или 8 , рассмотрена в 6.

При решении этой задачи для устранения полюса второго порядка в точке w₀ у Z'(w) использовано конформное и однолистное отображение области 5)_w на единичный круг с радиальными и концентрическими круговыми разрезами. В лемме 6.1 с помощью аналогов функций Грина, Неймана и гармонических мер граничных контуров области (D_w получен явный вид указанного отображения. Обозначим, как и в I, каноническое конформное отображение 5)_w на единичный круг с радиальными и круговыми разрезами через ?(w,W₀) , 3F(w,w_o)s(w-w_o)f(w,Wo)»fK,Wo)^0. С помощью ?(w,w₀) разрешимость внешней окз по параметрам $ и 9 сводится к разрешимости аналога уравнения Гахова (0.2) x'W»afjK^w)/fl^w»^w), (0.4) служащего для определения неизвестного полюса w₀ функции H(w) . С применением свойств плоских векторных полей доказана Теорема 6.1. З^гравнение (0.4) в (Л + 1 )-связной области

Для исключенного в теореме 6.1 случая двусвязных областей приведены примеры неразрешимых уравнений (0.4). Из разрешимости уравнения (0.4) следует Теорема 6.2. Внешняя окз по параметрам S и б будет разрешимой в случае ( П+1 )-связной области, если порядок связности больше двух (п>1 ), а граничные функции U_K(T), V_K{X) ,

1С =0,іг, обладают гельдеровыми производными, не обращающимися одновременно в нуль, и если выполняются условия замкнутости вида

В 7 рассмотрены симметричные решения внутренних и внешних окз по параметру $ в случае многосвязных областей. Полученные здесь результаты уточняют и обобщают результаты [э] доказанные для односвязных и двусвязных областей. В этом параграфе введены условия иг -симметрии и зеркальной симметрии граничных функций, указаны необходимые и достаточные требования, при которых решение внутренней или внешней окз является m -симметричной (или зеркально симметричной) функцией в m -симметричной (зеркально симметричной) области Э₂ .

Определение 7.5. Будем говорить, что. граничные функции W_K(T), К « 0,П , заданные на отрезке [0,1] , удовлетворяют условиям зеркальной стлметрии, если W₀(T) = W₀(1-T) и для каадого КФО существует j^O такое, что W_K(X) =Wj(1-T) .

Граничные функции W_K(X), К = 0,fi , этого типа описывают границу зеркально симметричной области 5)_w .Условие W_K(T) =W^(1-X) при Ksj означает симметрічность граничного контура <_WK относительно вещественной оси, а при к 4\ описывает зеркальную симметрию двух контуров <_WK и *_w; .

Приведем типичное утверждение из 7.

Теорема 7.4. Для того чтобы внешняя окз обладала зеркально симметричным решением w(2) в зеркально симметричной области <Й_г , необходимо, а при выполнении условий замкнутости и до-

12 статочно, чтобы граничные функции W_KCO, K«0,n _t удовлетворяли условиям зеркальной симметрии.

В 8 описаны простейшие критерии для определения индексов корней уравнения Гахова в симметричных областях. Приведенные здесь результаты позволяют в некоторых случаях установить существование дополнительных корней уравнения Гахова. В теореме 8.1 указан способ определения индексов точек по поведению функции Q(u,v) на оси симметрии поверхности Q . В конце параграфа 8 рассмотрен модельный пример поверхности, являющейся аналогом поверхности О , связанной с уравнением Гахова, исследованы стационарные точки этой поверхности и с помощью теоремы 8.1 определены значения их индексов. Установлено, что доказанная в теореме 3.1 нижняя оценка числа стационарных точек CI (U,V) достигается для этой модельной поверхности.

В третьей главе исследованы более слоякые окз в ситуации, когда искомая и известная многосвязные области расположены на ри-мановых поверхностях рода О у, О .

В 9 рассмотрена обратная краевая задача, когда граничные функции описывают границу конечносвязной плоской области W і а искомая область 3)₂ расположена на конечнолистной римановой поверхности 312 рода нуль и может содержать точки ветвления 3ffc_z. При этом предполагается, что конформность отображения W(2) нарушается в конечном числе точек, образы которых известны, и задано поведение в них функции 2(w), обратной к W(?).

Решение задачи найдено в определенном классе функций 2(w) [N;ra₁,...,mp] (т.е. Z(W) имеет в точках 8^ ,j^s1,p, области 3)_w полюсы порядков ntj , а Ґ{уи) обращается в нуль первого порядка в заданных точках CLg,0«1,N) ив классе областей eD₂ ІЗ с заданными геометрическими характеристиками искомых граничных контуров &_гк , K-0,rt .

Для нахождения неизвестных полюсов 6: , j = 1,р , возникает система уравнений разрешимость которой обоснована в теоремах 9.1, 9.2 в классах[N;0], [N;1] , [N; 1 ,...,1] . В последнем случае разрешимость окз до-казана при дополнительном предположении о том, что граничные функции удовлетворяют условиям р -симметрии и описывают гранилу конеч-носвязной р -симметричной области Й^О. При этих условиях с использованием теории плоских векторных полей и теории ортонормирован-ных систем в теореме 9.3 показано, что число различных наборов (6₄,...,6р) в обратной задаче с ZCWjefN;}^^] не меньше М-1 + 2р .

Обратным краевым задачам на компактных римановых поверхностях ненулевого рода посвящен 10. Впервые общая постановка таких задач рассмотрена в [б]. В этом параграфе дано уточнение общей постановки для случая окз с единственным полюсом второго порядка у 2'(w). Это уточнение основывается на постановке окз в случае римановых поверхностей [б], видоизменении такой постановки из работы [26] и внесении дополнительных ограничений геометрического характера на граничные контуры искомой области 3)₂ .

В II для обратной краевой задачи, сформулированной в 10, исследована разрешимость уравнения Гахова. Используя свойства векторных полей на двумерных многообразиях,дано обобщение теоремы 3.1 на случай компактных римановых поверхностей рода о .

Теорема II.2. В ограниченной конечносвязной области 2)_w, граница которой состоит из rv + 1 гладких кривых wk> уравнение Гахова имеет не менее 2р + п+1 решений.

14 \.

Выделим основные результаты работы: ^ установлена зависимость числа корней уравнения Гахова от порядка связности и рода области, расположенной на римановой поверхности; приведена полная классификация корней этого уравнения; найдены наименьшие ограничения на граничные данные, обеспечивающие разрешимость внешней обратной краевой задачи; выделены слу-чаи корректной постановки внешних задач в двусвязной области без дополнительных условий; поставлены и исследованы внутренняя и внешняя окз по смешанным параметрам $ и 0 ; доказана разрешимость внешней задачи в областях с порядком связности больше двух.

Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [l0, 12, 28, 29] . В статье [l2J, написанной совместно с Л.А.Аксентьевым и С.Б.Сагитовой, автору диссертации принадлежит доказательство разрешимости уравнения Гахова в случае многосвязной области с порядком связности больше двух ( і), а также ряд примеров из 2. В работе [іо] им доказана теорема 2, остальные результаты статьи получены совместно .

По мере получения результаты докладывались на семинаре по геометрической теории функций в Казанском университете (руководитель -профессор Л.А.Аксентьев), на итоговых научных конференциях Казанского университета (1982-1984 г.г.), на IX Донецком коллоквиуме по теории квазиконформных отображений, ее обобщениям и приложениям (сентябрь 1984 г.), на У Всесоюзной школе "Теоретические основы и конструирование алгоритмов решения задач математической физики и теории приближений" (Казань, август 1984 г.) .

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю профессору Л.А.Аксентьеву за постоянное внимание к работе и A.M. Елизарову за полезные замечания.

Оценка числа корней уравнения Гахова

В теории обратных краевых задач важное место занимает вопрос о количестве корней уравнения Гахова (і.іф, от числа корней которого существенно зависит число решений внешней задачи. Результаты, касающиеся единственности решения (і.12) в односвяз-ных областях, подробно описаны в обзорной статье [її]. В данном параграфе мы продолжим исследование уравнения Гахо-ва (і. 12). Приведенные в I примеры описывают ситуации, когда уравнение (і.12) имеет заданное число (и даже континуум решений. Поэтому в общем случае не существует верхней оценки для чис -ла корней (і.12). Ниже доказано утверждение о неединственности решения (І.І2) в многосвязной области и приведена нижняя оценка числа корней. 2. Как показано в I, корни уравнения Гахова (і.12) являются стационарными точками поверхности О = Q (u-,tf) с уравнением atw)=e№yf(w,w) , w = unv. Уже в случае двусвязной области 2)w из геометрических соображений следует, что поверхность 12 = Kit,tf) кроме максимума (вершины) имеет хотя бы одну седловую точку (перевал) . В области большей связности эта седловая точка может оказаться краг тной, и с помощью одних лишь геометрических рассуждений трудно определить, будет ли уравнение Гахова иметь дополнительные корни. Остановимся теперь на одном аналитическом методе, с помощью которого получим более точную оценку числа стационарных точек поверхности. =2(u,tf) , Имеет место следующая имеет в (л+1) - связной области (а /0) не менее п + 1 решений. При доказательстве теоремы будем использовать некоторые свойства плоских векторных полей (см., напр., [ ЗО]).

С каждой точкой w области DW свяжем вектор т.е. зададим в области 2)w векторное поле градиентов ЪйМ/Ъ . Особыми или критическими точками поля (з.і) , т.е. точками, в которых artod Q 0 , являются корни уравнения Гахова и только они. Предположим теперь, что уравнение (і.12) имеет конечное число решений. Это требование означает, что все особые точки векторного поля (ЗЛ) изолированы. (Если это не так, тогда уравнение (і.12) имеет бесконечное число решений и теорема доказана.) Рассмотрим линии уровня функции fi( 0 . Выберем число 0 0 меньше расстояния всех нулей функции Ъй/bvi до границы 3«Dw , а также меньше половины расстояния между различными граничными кривыми, входящими в 32)w На множестве &w& , состоящем из всех точек )w » расстояние от которых до границы 3«Dw не меньше $ , функция flt(w) имеет положительный минимум 6в , t0 0 . Рассмотрим множество Ate) состоящее из точек области &vv » определенных уравнением ФСМ") tу о t0 # QHO состоит из конечного числа непересекающихся гладких кривых, которые не могут оканчиваться на граничных контурах 2)w - DW$ (где u{yj) 0 или &(w) 6e). Каждая такая кривая замкнута и не имеет самопересечений. Все эти утверждения следуют из теоремы о существовании неявной функции, примененной к уравнениюП(и,\г)-«0, и из условия, что на множестве «Ow " 0w8 хотя бы одна из производных Ъй/Ъи, или Ъй/Ъ\У отлична от нуля. Далее, часть Лк10 множества Л(), состоящая из точек, отстоящих от данной граничной кривой &WK не далее, чем на с , состоит только из одной замкнутой гладкой кривой Жордана, содержащей &WK внутри себя. В противном случае, т.е. когда Л,Д) состоит из не скольких кривых, в части 3)w «&w$ , прилегающей к WK , найдется область, в которой Q(U,,V) является непрерывно дифференцируемой функцией и на границе которой О. №,V) - . Но отсюда по теореме Вейерштрасса следовало бы, что функция &(u,tf) достигает своего максимума (или минимума) внутри указанной области, и значит, в некоторой точке множества «Qw " 0w$ имеют место равенства что противоречит выбору $ . Следовательно, линии уровня Q(U,tf) = 6 определяют в 5)w область 0у/е с границей, состоящей из замкнутых гладких кривых Жордана, аппроксимирующих границу области )w

Перейдем теперь непосредственно к доказательству теоремы 3.1. Определим вращение векторного поля рдЛй вдоль любой кривой Г , расположенной в области «Dy : Геометрически величина "$(Г) равна числу оборотов вектора поля при однократном обходе кривой Г . Возьмем в качестве Г систему Г\ = № ыь замкнутых кривых ГОІІГ ,..-, , каждая из которых является -линией уровня функции Q(u,v) . Подсчитаем вращение поля градиентов на границе области Я е Для этого заметим, что на линии уровня выполняется равенство Эй. гіг Значит, касательный вектор { U .9dti} ортогонален вектору-градиенту (3.1), т.е. xodQ направлен по нормали к линии уровня. Из вестно [ЗО, с. 24] , что вращение поля нормалей к гладкой простой замкнутой кривой Г , обходимой против часовой стрелки, равно 1 . Следовательно, вращение поля градиентов вдоль границы области «Owe равно 1-а . Обозначим корни уравнения Гахова через W w, ,...,w„v . Для W - изолированной особой точки векторного поля (ЗД) - определим индекс формулой Величина 1J (W ) не зависит от замкнутой кривой Вк , вну-три которой находится только одна особенность WK . По основной теореме в теории плоских векторных полей [30, с. 28] алгебраи-ческое число особых точек 2 (wi ) равно вращению поля на гра-нице Г$ , т.е. Одно из слагаемых в левой части (3.2) известно: индекс изолированной точки экстремума- w0 функции .Q(w) равен 1 . В самом деле, в окрестности w0=ite+iv0 линии уровня, определяемые уравнением CI(U,V)B.Q0iJ,tfe ) , при малых положительных S будут простыми замкнутыми кривыми Е0 , внутри которых лежит точка W . Индекс этой критической точки равен вращению поля градиентов на кривой 0О .

Как было уже показано, fl= 1 . Поэтому равенство (3.2)можно переписать в виде Индекс остальных точек Wj, зависит от того, каков порядок нуля W у функции 3(u,V)/3w . Чтобы выяснить этот вопрос, рассмотрим в окрестности особых точек поведение второй дифференци альной формы функции Q(u,V) . Докажем, что в особых точках векторного поля (З.і) дифференциальная-форма (з.4) невырождена, т.е. хотя бы один из элементов Оцц,»Пщг члг отличен от нуля. Эта наиболее простая ситуация в теории плоских векторных полей подробно исследована в [30, 7] . Лемма 3.1. Функция является стро го супергармонической в области 3DW , т.е. Замечание 3.1. Свойство супергармоничности функции виЩ МО (однако с возможным знаком равенства в (3.5)) из других соображений отмечалось уже в работе [48] . Доказательство. Так как в представлении функция ReX(w) является гармонической о(з.5) эквивалентно неравенству которое мы и будем доказывать. Преобразуем выражение в левой части (З.б), а именно, докажем равенство Для этого введем новые обозначения: вместо функции бп, (w,w) будем писать ft(W,W;We wi) , подчеркивая этим зависимость R, от переменных w и w0 . Условие симметрии &l}f(w,we) =tnlf(w0,w) для функции ft(w,W}W0,wQ) запишется теперь так: Продифференцировав (3.8) по w , получим fcUw wo )= k 5(wo,vV w,w), (3.9) где нижний индекс (1,2,3 или 4) указывает, по какому аргументу ведется дифференцирование функции R.(w,"w;we w ) . Правая часть (3.7) в новых обозначениях равна 2К"Ц (w,wjw,w) . Распишем левую часть (3.7) . В силу (з.9) имеем

Исследование разрешимости внешней задачи по сме шанным параметрам

Постановка задачи. Взяв за основу постановку внутренней окз по смешанным параметрам S и б из 5 , сформулируем внешнюю задачу в случае многосвязной области. Требуется найти регулярную функцию W(I) и (Л 1) -связную область ее определения 3) (вообще говоря, неоднолистную) , содержащую одну бесконечно удаленную точку, если на граничных контурах M,oL t "«f »эд заданы значения искомой функции в зависимости от дуговой абсциссы: причем Uк(0) = ик(1), tfKC0) = tfx(.1), li = 0,iU , а на граничных контурах .гт, \і» 2Л в зависимости от угла наклона касательной 0: [0(t)]- = -2n , 0 o)=dK, где t0 - начальная точка, от которой ве дется обход контура 2к» Функции WK(T),tfK(T), К = Ш+1,а , являются конечнозначными , так что на каждом участке монотонности 0 определена их не прзрывная ветвь; UK №) \кк{г ), Л0) « к(- ) K = nv+ і ,іг Кроме того, предполагаем, что U KlT),tfK(T),icso,ri, обладают первыми производными, которые удовлетворяют условию Гельдера и не обращаются одновременно в нуль. Искомая функция w»w(fc) осуществляет конформное отображение области UZ на плоскую область Ьу с границей и 1)2)w = 0 VVK ; параметрическими уравнениями к являются со язи отношения (б.і), (б.2) . Значение w(o)swe предполагается неизвестным. сформулированной задачи приведем к решению смешанной краевой задали для функции Efiz (w) с логарифмической особенностью в то щсе W0 , являющейся для производной (w) полюсом второго порядка.

По начальным условиям (б.і) на контурах , 1 , ...Дищ находим граничные значения trv 12 (w) : где б= бк(Т) - дуговая абсцисса контура WK , а рц(б) s foJfcjS)!) К;=0,1ГЛ , - известные функции. На контурах wm+1, « wit находим граничные значения QJty% (w): где рк(б) = Тк(б) - оя (б ), Т = б - , « m+i,nr известные гельдеровы функции. Вновь предварительно определим в области ftw регулярную функцию %(w) по граничным значениям ее вещественной части на контурах f 0,y » » v »v и по граничным значениям ее мнимой части на остальных контурах «wrn H,..., wrv . На основании леммы 5.2 величины R K os ratissO) определяются единственным образом из ус ловия однозначности X(w). Решение видоизмененной задачи (6.5), (6.6) дается формулой (5.17) с точностью до чисто мнимой постоян ной, при этом в (5.17) нужно положить U(t) = U/K(t) = pK(6)+lllc , ІЬ fcw ( i), V(i) =lTK(t) = рк{6)Лк , t „( P2). Для того чтобы перейти от нерегулярной функции ErtZ (w) к регулярной %(w) , нужна функция, устраняющая полюс второго порядка в точке w0 у 2 (w). Наиболее удобно, чтобы устраняющая функция имела постоянный модуль на граничных контурах из совокупности и постоянный аргумент на каждой из компонент WIC совокупности Г2 . Из геометрических соображений ясно, что такая функция переводит iWK,іс= 0,пг, в дути концентрических окружностей, a iWK, к = пги,м , - в радиальные разрезы. Несмотря на иной геометрический смысл устраняющей функции, мы по-прежнему будем обозначать ее через 3"(w,w0) , как в I. Используя матрицу {6jR}-mKsi » обратную к {A;KV.RS1 , и введенные ранее функции T(w,w0) і CK(w), K(w), построим явный вид J(w,w0) .

Докажем следующую лемму. конформно и однолистно отображает область J)w на внутренность единичного круга с m разрезами вдоль дуг концентрических окружностей с центром в начале координат и с л-пг разрезами вдоль радиальных отрезков, сходящихся в начале координат (рис. 4). Доказательство. Чтобы выяснить геометрические свойства функции j(w,w0) вида (б.7) , определим характер многозначности (VtO S CWjWe) . Периоды аналитической по w функции при обходе кривых, гомотопных контурам из совокупности Г« , равны нулю. Приращения, которые получает (б.8) при обходе і.щ fj не имеет периодов относительно кривых, гомотопных внутренним граничным контурам к С 8 »11) Найдем приращение функции (б.9) относительно Лщ . Для этого учтем, что периоды T(w,w0) и CK(W) ПРИ обходе w0 равны соответственно - 2.ЯІ 0(w) и 23ііАК0-"2ЛІ2АК;.Поэтому приращение, которое получает Ьг J(w,w0) при обходе контура AWo t равно 2яі. Таким обра-зсм, функция SHW W0) однозначна в области 5)w и имеет простой нуль в точке W«W0 . Определим модули значений (б.?) на контурах Г} и аргументы 3\w,w0) на контурах . Для этого вычислим на Ff действительную часть функцииЬх$(w W0) , а на Г - ее мнимую ча.сть. Учитывая известные граничные значения T(w,W0) и CK(w), находим Отсюда видно, что на каждом контуре WK , Г постоянна величина l$(.t,W0), а на каждом контуре / 6 Га постоянен одо 5"(t,Wp) . Из этих фактов можно заключить, что функция (w,W0) отображает область 3DW на область 3)7= (&w) так, что образы граничных кривых из П, лежат на окружностях, а образы граничных кривых из Г% - на прямых оло 5"(w,w0)sconst.Аргумент функции $(w w0) не изменяется, когда w описывает любой контур Awnjfc O , поэтому образом каждого такого контура будет дуга окружности ( к«1,m j или радиальный разрез ( к = m+l, v ) на некоторой римановой поверхности, расположенной над плоскостью с . Так как WCQ F(w,w0) возрастает на 25С , когда w описывает іу о» то образом граничного контура iw0 будет единичная окружность ItFI s 1 . Используя принцип аргумента, докажем однолистность построенного отображения. Если а - точка области )$ , не лежащая на концентрических окружностях и прямых, вдоль которых расположены образы граничных контуров .у„к , s1,a , то В самом деле, когда wei , к = пг+1,п , разность tF-GL лежит в полуплоскости, ограниченной прямой и поэтому изменение CVtg[?(w,w0)t3 равно нулю. В случае Wt/ p it 5= ТГгл , представив 7-а в виде а w»w) - 11 . если а У(Мв),и к , или 7(w,w0)p - J если а К 15"(i,we)l, itX NK легко Убедиться, что О чЩ&і CW9[y0w,we)-aJ,K«vS. В силу простоты замкнутой кривой 3"( » ыо) » представляющей единичную окружность, приращение ар

Индексы корней уравнения Гахова в симметричных областях

В данном параграфе исследуются характеристики корней уравне ния Гахова (і.12) . 1. Предположим, что в многосвязной области w определено положение и индексы некоторых корней уравнения Гахова (і.12) . По известным индексам этих точек из формулы (4.3) легко установить наличие или отсутствие дополнительных корней (і.12) . Таким образом, особое значение приобретает задача нахождения простого способа, позволяющего определять индексы точек, не опираясь на само определение понятия индекса. Теорема 8.1 . Пусть граничные функции WK(T),K=0,ri, удовлетворяют условиям зеркальной симметрии и описывают границу зеркально симметричной области «Dw Индексы изолированных корней уравнения Гахова, расположенных на отрезках вещественной оси, засекающей граничные контуры, зависят от поведения функции П(и,) sQ(u ,o) в этих точках: а) в точке (и О) максимума Xl(ot) индекс может принимать одно из двух возможных значений +1 или - 1 (эллиптический или гиперболический корень) ; б) индекс точки (U. ,о) минимума О.М равен -1 (гипербо лический корень) ; в) индекс точки (1А ,0) перегиба функции Q(u ) равен нулю (параболический корень) . (Точкой перегиба называется стационар ная точка функции 12 (и,) , не являющаяся ни максимумом, ни мини мумом для Л (и») .) Доказательство. По предположению теоремы особые точки векторного поля y&oelfl(w)= (.ljL,1 Lj изолированы, поэтому существует достаточно малый круг с центром в ((&, ?) , на вещественном диаметре которого производная ЗЛ/Ъи отлична от нуля, за исключением (it ,о) . Справа и слева от точки (it ,0) функция ЪО.{\ь)/Ъи, имеет определенные знаки и,так как (а о) является точкой максимума, то слева и справа от нее выполняются соответственно неравенства Ъ&(&)/$It 0 и ЪО.(и /Эм, 0 . Как установлено при доказательстве теоремы 7.4 , в точках вещественной оси справедливо равенство \У )9 ) j _ Q Отсюда следует, что в концевых точках вещественного диаметра окрестности (а о) векторы поля Q%oulfUw)sf p. K-j направлены противоположно друг другу (рис. 5) .

Подсчитаем теперь индекс точки (и, о) , взяв р в качестве кривой Г , окружающей (it о), границу указанной окрестности. Вращение — у поля OXOcii2(w) на окружности, Г рис. 5 кое уравнение поля равно сумме вращений у1 и уа на верхней и нижней полуокружностях Г} и Гг . Обозначим через w(t),t[o,l] , параметричес-Г , тогда -по определению вращения векторного 1 в МС о ЪУЫ Так как в условиях теоремы поверхность 0 = 0(,1 , ) , связанная с уравнением Гахова, является "зеркально симметричной", т.е. Q )= Q(«) , «о -М = -CW) - Отовда flU.(Wtt))= Из полученных равенств следует, что вращение поля вдоль симметричных половин Г, и Ра окружности Г равны, т.е. На концах полуокружности Tf векторы поля ytCuiQ(it,tf) направлены противоположно, поэтому Yis?+ » гДе к " некоторое целое число. Значит, индекс особой точки (и, ,о) может принимать лишь нечетные значения. Из трех возможных значен ний индекса - , О ,+ 1 (см. 3) нечетными являются -1 ,+ 1 ,и утверждение а) доказано. Докажем теперь утверждение б) . Если точка (а , 0) является точкой минимума функции Q.W, то индекс у также принимает лишь нечетные значения. Действительно, в концевых точках вещественного диаметра полуокружности П, векторы поля по-прежнему имеют противоположные направления, и значит, fSK+1/2 , a fl 2ie 1 . Как следует из результатов 4, изолированная особая точка с индексом +1 обязательно является точкой локального максимума (0/,17) . По предположению функция XI(,&,#) в направлении вещественной оси (#=0) принимает в точке (і о) минимальное значение и поэтому случай Ye4,1 невозможен. Значит, fl = - 1 . Исследуем теперь случай в) точки перегиба (иДо) функции Х2(м/) . Векторы поля на концах Г, и Г2 здесь уже имеют одинаковое направление. С помощью тех же рассуждений, которые ис пользовались при доказательстве утверждения а) , можно показать, где К - целое число, и значит, индекс особой точки (и ,0) равен нулю, т.е. (М- ,о) является параболическим корнем уравнения Гахова. Теорема 8.1 доказана. Приведем без доказательства утверждение, соответствующее теореме 8.1 для случая иг - симметричных областей &w .

Обратная краевая задача на компактных римановых поверхностях

Постановка задачи. Пусть неизвестная т -связная область 3) с гладкой границей ) = UoC2le (іг$пг) расположена на некоторой конечнолистной римановой поверхности 5$Ц рода р 0 и содержит только одну точку, лежащую над бесконечно удаленной точкой плоскости Н . Пусть, далее, над плоскостью W задана компактная конечно-листная риманова поверхность 3tw (рДа f) » на которой размещена пг -связная область )w , ограниченная (п+1) замкнутыми гладкими кривыми ш, К =0,и , ориентированными так, что при обходе dtWK в направлении, указанном ориентацией, риманова поверхность остается слева. При этом предполагаем, что границы Ъ3) 1 и ЪЗ)УЫ не содержат точек ветвления iRz и JRW и бесконечно удаленной точки. Требуется найти регулярную Функцию W(l) и т -связную область ее определения cDj w в заданном классе {Над 21 ,.. ги}, если на неизвестных граничных контурах ігк ,К = 0,П , заданы значения искомой функции в виде причем UK{X),VK{.T) - непрерывно дифференцируемые функции с не обращающимися одновременно в нуль производными; U«(o)sU, irK(0)3VK(1), К=0,П . Здесь 60Н; 6K,№ = 1,a , являются неизвестными пока длинами граничных кривых, S - длина переменной дуги на к-ом граничном контуре. Соотношения (iO.l) описывают проекцию границы DoDw на плоскость w .

При этом предполагается, что искомая функция w(Z) и обратная к ней 3(w) осуществляют конформное отображение областей Ш и S)w соответственно; значение w(oo)=w0 считается незаданным. условие разрешимости задачи имеет вид Kro KsO Оно следует из соотношения для индексов граничных кривых, полученного Л.А.Аксентьевым [4,7] . Как следует из недавней работы [2], величины а»= 2 П-гк и W-S WK В равенстве (l0.2) мо-гут быть вычислены по формулам где v(fc)(v им)- общее число точек ветвления (с учетом их кратности), лежащих в области 2)г (DW), причем в силу конформности отображений, осуществляемых функциями w( fc) и ,(w), V(3)x)=V(i)w), a f№a)Sf№w) - род поверхности w (или Я)г) , т.е. 9(.«Dw) - наименьший из родов компактных римановых поверхностей, в которые можно вложить 3)w в дальнейшем предполагается, ЧТО p(5)X) = fC w)::f№w) =f . Таким образом, при выборе класса областей 2) индексы Пзд іЦи »ftfcrt можно задавать произвольно, лишь бы выполнялось одно из условий (l0.2) или (ю.з) . 3. Схема решения задачи сходна схеме решения обычных окз на плоскости. По граничным функциям WK(T) из (іО.Й находим сначала зависимость б=бк(Т): (при этом подразумевается интегрирование в плоскости граничной уни формизирукщей Т ) , где б = іЛ$/Ек)- дуговая абсцисса на контуре j[WK . Из этих соотношений определяем непрерывно дифференцируемые функции T=T(6K),R = 0,ri. Следовательно, будут известны граничные значения функции in\ l,{ )\ : где рк(б)= Ы5р.(6),»с=0,1г,- известные непрерывные функции. Для устранения полюса второго порядка в точке w=w0 функции Z (w) используем представление (і.Іб) функции a(w,W0) из I , которая в плоском случае осуществляет конформное и однолистное отображение области eDvv на единичный круг с круговыми разрезами, и 7(w0,w0) = 0 . Обоснуем это представление для случая т -связной области w , расположенной на римановой поверхности 3tw ненулевого рода. Введем необходимые определения [32]. Обозначим через ct1,...,« p»B v»8j) П,»Гп, (10.5) каноническую гомологическую базу области «Dw на римановой поверхности Siw рода о , состоящую из замкнутых гладких ориентированных контуров.

Через rj , ... , (\ здесь обозначены гранич ные циклы, каждый из которых гомологичен компоненте wl ,K = yt . Циклы оц, ..., а , 61 ..»8 , Г,,..., Г являются гомологически независимыми на поверхности «Rw , если род области 2)w и род римановой поверхности $tw совпадают. Пусть G(w,w0) - функция Грина области &w римановой поверхности, т.е. Gr(w,w0) - однозначный (вещественный) абелев интеграл третьего рода с особенностью -Enlw-Wol в точке W«w0, непрерывный в (Dw для w W0 и равный нулю на границе ЭД) области Dvv . С помощью 6(w,w0) образуем комплексную функцию Грина M(w,W0) , для которой ReM(w,W0) = Cr(w,w0) .На римановой поверхности M(w,w0) является многозначной аналитической функцией. Кроме многозначности "в целом", определяемой группой гомологии (і0.5) поверхности «3lW5 она обладает еще локальной многозначностью в логарифмической точке ветвления w = w0 Периоды M(W,W0) относительно граничных циклов Гк обозначим через

Похожие диссертации на Внешние обратные краевые задачи в многосвязных областях и на римановых поверхностях

Задача Дирихле для уравнения максимальных поверхностей с особенностями в пространстве МинковскогоКлячин, Алексей Александрович

Геометрические вопросы теории разветвленных накрытий поверхностей и их применение в обратных краевых задачахНасыров, Семен Рафаилович

Сингулярная эллиптическая краевая задача в областях плоскости ЛобачевскогоЕмцева Елена Дмитриевна

Достаточные условия разрешимости задач оптимизации, обобщающих некоторые задачи построения оптимальной областиЗамураев Виталий Геннадьевич

Решение некоторых смешанных обратных краевых задач по параметру х для односвязных и двусвязных областей в случае полигонаСтрежнева, Елена Васильевна

Исследование свойств интегральных представлений функций, голоморфных в кратнокруговых областях, и их приложение к решению пространственной краевой задачи Римана Якшина Анна Сергеевна

Классические области в операторном проективном пространстве (теория ПАР) и решение интерполяционных задач вида: ..........Хассан, Недал

Условия однолистности в канонических областях, отличных от круга, и их применение к обратным краевым задачам Зиновьев Павел Михайлович

Краевые задачи теории аналитических функций и функциональные уравнения со сдвигом в область Митюшев Владимир Викторович

Численное моделирование токовых и магнитных полей в активных областях на поверхности Солнца Романов Валерий Александрович