Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Метод расчета потенциальных и бессиловых и * const) магнитных полей 27
1. Математическая постановка задачи. Периодические функции 28
2. Исследование поведения уединенных полей при удалении от источника . 38
3. Приближенное построение уединенных полей из периодических 43
4. Потенциальные поля ; 47
5. Численная реализация алгоритма 54
6. Основные результаты 58
Глава II. Численный анализ пространственной структуры магнитных полей в активных областях по линейным моделям 61
1. Анализ на потенциальность наблюдательных данных по магнитным полям на поверхности Солнца 63
2. Эволюция крупномасштабной токовой структуры группы №207, взаимосвязь с движением пятен, возникновением очагов вспышечной активности 77
3. Исследование особенностей развития и эволюции токовой структуры в группе №420 89
4. Потенциальные модели магнитного поля униполярного солнечного пятна 96
5. Бессиловые (о( -const) модели магнитного поля униполярного солнечного пятна 112
6. Основные результаты 123
Глава III. Расчет многоуровневой токовой конфигурации активной области по измерениям магнитного поля магнитографом в нескольких спектральных линиях 128
1. Расчет силовых магнитных конфигураций активных областей с помощью аппарата рядов Фурье. Математическая постановка задачи 129
2. Расчет магнитного поля в элементарном объеме. Анализ полученного решения .133
3. Численная реализация алгоритма. Основные результаты 137
Глава ІУ. Обобщенные решения для силовых магнитных конфигураций при задании граничных условий на криволинейных плоскостях 141
1. Математическая постановка задачи 142
2. Вариационный принцип 143
3. Расчет силовых магнитных конфигураций 147
4. Силовая модель магнитного поля уни полярного солнечного пятна 152
5. Основные результаты 159
Заключение 162
Литература . 168
- Математическая постановка задачи. Периодические функции
- Анализ на потенциальность наблюдательных данных по магнитным полям на поверхности Солнца
- Расчет силовых магнитных конфигураций активных областей с помощью аппарата рядов Фурье. Математическая постановка задачи
- Математическая постановка задачи
Математическая постановка задачи. Периодические функции
Наиболее часто задача восстановления пространственного распределения магнитного поля в пределах солнечной атмосферы по измерениям магнитографа рассматривается в потенциальном приближении, т.е. предполагается что в рассматриваемом объеме токов нет. Тогда магнитные поля удовлетворяют однородным уравнениям Максвелла. На поверхности, которая ограничивает рассматриваемый объем, задается обычно нормальная компонента поля.
Приближение бессилового поля, широко используемое в настоящее время, предполагает наличие в солнечной атмосфере лишь таких токов, что равна нулю сила Лоренца, действующая на плазму со стороны магнитного поля. Тогда в каждой точке векторы плотности тока j и напряженности магнитного поля Н должны быть параллельны. В силу отсутствия значительных сил свидетельствует существование стационарных образований в атмосфере Солнца, где магнитное давление сравнимо с газодинамическим [9Ъ] . В этом приближении поле и токи удовлетворяют уравнениям: где JL - заранее неизвестная скалярная функция.
Хотя модель бессиловых полей и не имеет таких фундаментальных оснований, как потенциальная,- ее место среди различных форм описания плазмы четко определено: это наиболее общий случай, когда уравнения магнитных полей отщепляются от уравнений движения. При таком выделении исчезает причинное описание токов, которое задается законом Ома в общей магнитогазодинамичес-кой задаче. Более того, несложно показать, что бессиловые поля при о(0 не могут быть созданы стационарными электрическими полями в покоящейся изотропно проводящей среде. В работе fl06jпоказано, что нестационарные магнитные конфигурации также не являются бессиловыми. Тем не менее, в эамагниченной плазме в силу сильной анизотропии тензора проводимости токи текут в основном вдоль направления магнитного поля /107/. Более детальному изучению вопроса о роли проводимости солнечной плазмы в реализации бессиловых магнитных структур посвящена работа/I08J.
Из приведенных выше уравнений следует постоянствоct вдоль силовых линий магнитного поля.
Сформулированная задача сложна для исследования и решения, поэтому будем рассматривать лишь самый простой вариант, когда tL постоянна по всей области. Упрощение связано с тем, что в этом случае система уравнений решается в форме рядов Фурье.
Система уравнений для бессилового поля {cktCOnSt) изучалась в работе /99J, где получено частное решение для двумерной модельной задачи и сделаны попытки использования результатов расчетов по этому решению для объяснения конкретных.физических процессов, протекающих в АО. Информация с магнитографов здесь не используется, расчеты позволяют лишь выяснить качественную сторону, специфику подобных бессиловых конфигураций, тем не менее полезны, поскольку могут служить тестами при разработке более общих методик. Отдельно стоит группа работ, посвященных численной реализации расчетов трехмерных Л О0П$t бессиловых полей с включением информации магнитографов [lOO,I09j. Здесь используются итерационные методы решения без обоснования их сходимости. Исходная математическая постановка задачи также некорректна, переопределена. Таким образом вопрос разработки данных бессиловых моделей остается открытым.
Анализ на потенциальность наблюдательных данных по магнитным полям на поверхности Солнца
В настоящем параграфе будут рассмотрены вопросы по использованию одноуровневых (запись магнитных полей производится лишь в одной спектральной линии) измерений вектора Н на магнитографе. В соответствии с результатами 1 первой главы этой информации достаточно лишь для построения открытых потенциальных полей. В ряде работ [95] по таким данным строятся одноуровневые бессиловые модели, но об ошибочности таких расчетов в главе I уже говорилось.
Настоящая работа завершила цикл исследований по анализу структуры магнитного поля активных областей: №420 1968г., №207 1969г. (нумерация взята по "Солнечным данным"). Записи магнитного поля были сделаны в линии А 5250 & Fel на вектор-магнитографе КАО в режиме одновременной регистрации всех компонент вектора Н и охватывают все стадии развития данных активных групп. Подробное описание материала наблюдений и метода его обработки опубликовано ранее в работах [122,123, 124] .
По этим магнитограммам, используя фотогелиограммы Гелио-физической обсерватории АН ВНР, магнитные спектрограммы из Медонской обсерватории, подробно исследовались такие вопросы, как взаимосвязь структуры полутени с вектором Н fl24j , проводилось сравнение перемещений ядер тени и волокон полутени со структурой магнитного поля в группе [I22J и ряд других исследований.
Остался невыясненым такой важный вопрос, как восстановление детальной структуры токов и эволюция крупномасштабной токовой структуры за время наблюдения данных областей. Попытка восполнить этот пробел была сделана в работе [123] , где представлены результаты расчетов плотности вертикальной компоненты токов j Z путем разностного дифференцирования компонент вектора Hi . Такой подход не корректен по следующим причинам:
1. Разностное дифференцирование является математически некорректной операцией (величина относительной погрешности определения /fi может существенно превышать величины погрешностей измерения Н х , Ну, ).
2. Необходим учет погрешностей собственно разностной аппроксимации производных (при измерении отсчеты с диаграмной ленты снимались через каждые 3.4 , а расстояние между скалами равнялось 6.7 ).
3. При измерении направление азимута вектора Hi может иметь два значения различающиеся на 180. Для сложных магнитограмм выбор правильного направления азимутов может быть затруднителен.
4. Расчет распределений компонент ) позволяет определить границы участков токов одного знака и величину осреднен-ной вихревой составляющей вдоль этих границ. По этим данным трудно сказать, насколько сильно выделенные токи возмущают магнитное поле, делают его непотенциальным. Это важно, поскольку непотенциальность поля служит одним из основных физических критериев степени активности данной группы.
5. Указанным способом фиксируется распределение jf z -компоненты на глубине образования линии А 5250 А Яг Г . Ин - 65 формации о протекании токов выше этого уровня (т.е. в хромосфере и короне) таким способом получить нельзя.
Ниже будет показано, что использование результатов расчетов по открытым потенциальным моделям совместно с описанными данными магнитографа позволяет решить поставленную задачу почти по всем перечисленным пунктам.
Идея проводимого анализа на потенциальность очень проста и естественным образом вытекает из физической суіцности используемой модели [90] . Предлагается исследовать вопрос о близости магнитного поля данной активной области к потенциальному, расчет которого проводится для каждого дня наблюдений по распределению вертикальной компоненты Hj . Расчеты позволяют указать в какие дни наблюдений магнитное поле близко к потенциальному, а в какие сильно от него отличается. Возможен и более тонкий структурный анализ полученных магнитограмм: можно выделять участки хорошего согласия с потенциальной моделью и, независимо, области сильного рассогласования между расчетами и наблюдениями. Если эти области рассогласования фиксируются уверенно (величины отклонения значительно превышают погрешности измерений магнитного поля; в возмущенные участки попадает большое число точек измерения),то это позволяет зафиксировать в пределах возмущенных областей или в непосредственной близости от них наличие крупномасштабных токов, вносящих данные возмущения.
Расчет силовых магнитных конфигураций активных областей с помощью аппарата рядов Фурье. Математическая постановка задачи
Предполагается, что в исследуемом объеме магнитное поле и токи удовлетворяют следующим линейным уравнениям Максвелла для стационарных конфигураций: где П -П-гТТ/Ті , m -mlTf/Ti (как и 1 глава І) Ai = m/Zo 9 к = 1,3,5,7... . Легко видеть, что при E=Z0 X и U -компоненты от fOtW в решении (3.4) равны нулю, т.е. компонента /Б L - 0 . Этим обстоятельством определяется физический смысл параметра Е0 : это верхняя граница протекания электрических токов в объеме. Распределение вектора / в объеме ищем также в форме (3.7). Подстановка этих уравнений в систему (3.6) позволяет связать коэффициенты Vnm и / .
Условие бездивергентности токов (3.3) при этом автоматически следует из уравнений (3.8) и (3.0).
Подстановка общего решения (3.4) в систему (3.1),(3.2) позволяет получить уравнение на потенциальную часть поля:
Эта часть решения может быть найдена целиком по методу, описанному в главе I. Решение задачи (3.1),(3.2) в форме (3.7)-(3.9) впервые было получено сотрудником ЁЦ Щ СО АН СССР Денисенко В.В.
Проделанных выкладок достаточно для того, чтобы обсудить вопросы математического обоснования полученного решения.
Прежде всего заметим, что представление решения в форме рядов фурье (3.7) строго соответствует постановке вспомогательной краевой задачи, описанной в главе I, но уже для системы (3.1),(3.2). Корректная постановка в данном случае наряду с ограничениями (1.38) на потоки магнитного поля предполагает выполнение аналогичных требований и на полные электрические токи, протекающие в исследуемом объеме. Корректировка полных токов за счет изменения касательных компонент вектора Н в наблюдательных данных может быть произведена методами, описанными в 5 главы I.
При выполнении этих условий возмущения от фиктивных ис - 132 точников определяются только потенциальными полями. Соответственно, результаты 2,3,4 главы I по определению этих возмущений полностью справедливы и для исследуемой задачи. В частности, вопрос о точной сходимости решения вспомогательной задачи к решению исходной при соблюдении условий типа (1.38) на потоки магнитного поля и полный электрический ток, решается на уровне строгого доказательства.
При невыполнении этих условий в поставленной задаче есть существенное отличие от случая чисто потенциальных магнитных полей. В этом случае, возмущения от фиктивных источников спадают значительно медленнее, порядка 1ъ/г , где Iz - полный эффективный ток, протекающий с нижнего уровня объема на верхний. При нахождении решения вспомогательной задачи в этом случае нужно следовать рекомендациям 3 главы I, где рассмотрены аналогичные возмущения для линейных бессиловых полей.
В качестве общего замечания отметим, что, как правило, при расчете силовой конфигурации избавиться от влияния фиктивных возмущений значительно легче, чем для бессиловых магнитных полей.
Математическая постановка задачи
Для силовой магнитной конфигурации рассматривается классическая краевая задача Неймана (уравнения обезразмерены):.
Легко также показать, что Wi W) также ограничен по норме (4.5). Этими обстоятельствами исчерпывается специфика поставленной задачи [92] : на множестве пар функций (Ъ Ф } -дважды дифференцируемых, удовлетворяющих условию (4.2), существует минимизирующая последовательность. Минимум функционала (4.3) существует и единственен.
Рассмотрим элемент (Фо Ч) » обеспечивающий минимум функционала энергии (4.3). Его существование и единственность доказаны в предыдущем параграфе.
По построению для любых гладких функций (Ф , W , удовлетворяющих условию (4.2) и при произвольном числе t
В работе [133] показано, что условие (4.II) не является необходимым для решения поставленной задачи. Оно автоматически выполнится при минимизации функционала энергии (4.3). Данное обстоятельство представляется весьма удобным при численной минимизации функционала энергии.
Таким образом, построенное векторное поле И в случае гладкости действительно является решением краевой задачи (4.1).
Описанный способ расчета силовых магнитных полей включает в себя ранее разработанные методы по расчету двухуровневых и открытых потенциальных моделей, силовых магнитных конфигураций в форме рядов Фурье как частные случаи (что и было использовано в качестве тестов при отладке программы, работающей по этому методу). Обсудим эти вопросы подробно.
Сопоставление с потенциальными моделями, описанными в главе I, совсем простое. Любое решение для потенциального поля, полученное с помощью рядов Фурье, легко может быть получено энергетическим методом при использовании соответствующих граничных условий. Важно другое, данный метод свободен от влияния возмущающих полей фиктивных источников, поскольку позволяет учесть граничное условие в (4.1) и на боковых гранях объема, что нельзя сделать в изученных моделях (но при некотором изменении алгоритма от этого недостатка можно избавиться).
Вопросы, связанные с расчетом линейных бессиловых магнитных конфигураций по энергетическому методу, здесь не рассматриваются.
Сопоставление с силовыми конфигурациями, изученными в главе Ш, содержит ряд принципиальных моментов.
После того, как решена обратная задача по нахождению токовой структуры, эти токи можно взять как исходные и решить прямую задачу (4.1) по нахождению распределения магнитного поля в объеме. Энергетический метод даст то же самое решение просто в силу своей общности (данное обстоятельство будет проиллюстрировано ниже на конкретных расчетах). Но распределение этих токов нужно заранее знать, что, как правило, неизвестно и составляет основной предмет исследования. Б этом плане энергетический метод не является конструктивным.
Необходимо отметить, что метод решения обратной задачи, описанный в главе Ш, может быть обобщен и использован для реше-. ния прямой задачи (4.1). Коэффициенты х /# разложения (3.7) определяются из системы уравнений: где К - число уровней по высоте, на которых задано распределение токов из наблюдательных данных, 6 п 1,2,... К , /х (2е) коэффициенты Фурье разложения jf - компоненты плотности тока пти в наблюдательных данных на уровне Je . Коэффициенты / определяются аналогично.
Коэффициенты jfj определяются по формуле (3.9), т.е., коэффициенты jji в наблюдательных данных произвольными быть не могут (как это и должно быть в силу условия (3.3)).
