Ряды экспоненциальных мономов Кривошеева Олеся Александровна

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Сходимость рядов экспоненциальных мономов

1.1. Пространство коэффициентов сходящихся рядов 23

1.2. Аналог теоремы Абеля для рядов экспоненциальных мономов 29

1.3. Аналог теоремы Коши-Адамара для рядов экспоненциальных мономов.. 33

Глава 2. Особые точки суммы ряда экспоненциальных мономов на границе области сходимости .

2.1. Характеристики комплексной последовательности 37

2.2. Построение специальной функции 43

2.3. Особые точки 53

2.4. Случай нулевой плотности 66

2.5. О теореме А.Островского 74

Глава 3. Фундаментальный принцип для инвариантных подпространств

3.1. Замкнутость множества сумм рядов экспоненциальных мономов 78

3.2. Фундаментальный принцип 92

Литература 95

• Аналог теоремы Абеля для рядов экспоненциальных мономов
• Построение специальной функции
• Случай нулевой плотности
• Замкнутость множества сумм рядов экспоненциальных мономов

Введение к работе

Диссертация посвящена изучению рядов экспоненциальных мономов, т.е. р5*д₀в вида

0O,7Tlfe—1

2] d_Knzⁿexp (A_fcz). (O.i) fc = l,TX=0

Исследуется задача описания пространства коэффициентов сходящихся рядов (0.1) характер сходимости этих рядов, описывается область их сходимости и изучается вопрос о продолжении сходимости рядов (0.1). Кроме того, исследуется распред_еле_ ние особых точек суммы ряда (0.1) на границе области сходимости и изучается задача о замкнутости множества таких сумм. Последняя называется также проблемой фундаментального принципа для инвариантных подпространств.

Тематика, связанная с рядами экспоненциальных мономов и их частными случаями - рядами экспонент (т.е. рядами вида (0.1), где т_к = 1, к = 1,2,...), рядами Дирихле (т.е. рядами вида (0.1), где т_к = 1 и Х_к - положительные числа) и рядами Тейлора имеет богатую историю. Их исследование берет свое начало в трудах Тейлора Коши, Адамара, Абеля и Дирихле. Указанные выше задачи для таких рядов изучались в работах Ж. Валирона, Ж. Полна, С. Мандельбройта, В. Бернштейна, Л. Шварца, Б.Я. Левина, А.Ф. Леонтьева, Г.Л. Лунца и многих других математиков.

Ряды экспоненциальных мономов являются естественным обобщением рядов экспонент. Достаточно полное изложение теории последних имеется в монографии А Ф. Леонтьева [1]. Основной результат теории рядов экспонент, ставший уже классическим, также принадлежит А.Ф. Леонтьеву. Ему удалось доказать, что любую функцию, аналитическую в выпуклой области D с С, можно разложить в ряд экспонент с фиксированными показателями Х_х,Х_г,... при определенных условиях на эти показатели. Известно, что экспоненты (и только они) являются собственными функциями оператора дифференцирования. Поэтому задачу представления рядами экспонент можно рассматривать как задачу разложения по собственным функциям этого оператора. Поскольку запас собственных функций оператора дифференцирования в HCD) достаточно большой (точнее говоря, все экспоненты), то существует много различных наборов показателей X_lt Я₂,..., при помощи которых удается получить представление всех функций из H(D) посредством ряда экспонент. Если же от всего пространства H{D) перейти к его замкнутому подпространству W, инвариантному относительно оператора дифференцирования (таковым является, например, пространство решений однородного уравнения свертки или их систем), то, как правило, одних лишь собственных функций этого оператора (в этом случае имеется только счетный набор собственных функций) уже недостаточно для разложения всех функций из W. Однако, ситуация меняется, если наряду с собственными функциями рассматривать еще и присоединенные функции оператора дифференцирования в W. Таковыми являются экспоненциальные мономы zⁿexp(X_kz), п = 1, ...,т_к — 1, где т_к- кратность собственного значения Л_к. Задача разложения функций из замкнутого инвариантного относительно оператора дифференцирования подпространства W с #()) по собственным и присоединенным функциям этого оператора называется проблемой фундаментального принципа. Такое название связано с тем, что в частном случае, когда инвариантное подпространство является пространством решений линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, возможность разложения произвольного решения по собственным и присоединенным функциям оператора дифференцирования называют фундаментальным принципом Л. Эйлера.

Таким образом, важное значение приобретают вопросы, связанные с поведением рядов вида (0.1) и их сумм. Исследованию подобных вопросов и посвящена диссертация. В частности, в ней получены аналоги теорем Абеля и Коши-Адамара для рядов экспоненциальных мономов. Исследованы особые точки сумм таких рядов на границах областей их сходимости. Получено также необходимое условие замкнутости множества всех таких сумм. Этот результат позволяет снять последнее ограничение, присутствовавшее до сих пор при решении проблемы фундаментального принципа.

Диссертация состоит из введения и трех глав.

В первой главе изучается сходимость рядов экспоненциальных мономов. Для таких рядов, как и в теории рядов экспонент (и, в частности, для степенных рядов и рядов Дирихле) первоочередными являются задачи описания классов областей сходимости (это включает в себя задачу о продолжении сходимости) и характер сходимости рядов, а также восстановление области сходимости по коэффициентам ряда. В теории степенных рядов первые две задачи решаются при помощи теоремы Абеля (чаще ее называют леммой Абеля), а последняя — при помощи теоремы Коши-Адамара. Для рядов Дирихле имеется аналог теоремы Абеля (см., напр., [2], глава 2, лемма 1.1), в котором утверждается, что сходимость ряда Дирихле d_fcexp (A_fcz) в одной точке z₀ влечет за собой его сходимость в полуплоскости {z Є С: Rez < Rez₀].

Если при этом величина <т(Л) равна нулю, то (см. [2], глава 2, теорема 1.1) эта сходимость будет абсолютной и равномерной в любой полуплоскости {z Є <С: Rez < Rez₀ - є).

Кроме того, для рядов Дирихле имеется полный аналог теоремы Копій-Адамара, и котором при условии а(Л) = 0 вычисляется расстояние от начала координат до граничной прямой полуплоскости сходимости (см. [2], глава 2, теорема 1.2). В случае рядов экспонент полный аналог теоремы Абеля отсутствует. Имеется результат (см. [3], [2], глава 2, теорема 2.1) о том, что множество точек абсолютной сходимости ряда экспонент вьшукло. Причем на компактных подмножествах внутренности этого множества ряд сходится равномерно (см. [2], глава 2, теорема 2.2). Если выполнено условие сг(Л) = 0, то (см. [2], глава 2, теорема 2.3) простая и абсолютная сходимость ряда экспонент в выпуклой области равносильны. Кроме этого для рядов экспонент известен также (см. [3], [4], [5] и [1], теорема 3.1.3) аналог теоремы Коши-Адамара. В ней дается описание области сходимости ряда экспонент, которая получается как пересечение некоторого семейства полуплоскостей. При этом приводится формула для расстояний от начала координат до граничных прямых этих полуплоскостей. В случае общих рядов вида (0.1) можно отметить лишь результат из работы [6]. Здесь доказывается, что область абсолютной сходимости ряда (0.1) выпуклая, если выполнено следующее условие: т(Л) = 0.

В первой главе при условиях о^-(Л) = т(Л) = 0 приводится полный аналог теоремы Абеля для рядов экспоненциальных мономов и, в частности, для рядов экспонент. Показывается, что областью сходимости ряда (0.1) является выпуклая область специального вида. Доказывается, что поточечная сходимость ряда (0.1) в этой области эквивалентна его абсолютной сходимости, равномерной сходимости на компактах и далее сходимости в более сильной топологии. Приводится также аналог теоремы Коши-Адамара, который, как частные случаи, содержит все предыдущие подобные результаты для рядов Дирихле и рядов экспонент.

Параграф 1.1 посвящен описанию пространства коэффициентов сходящихся рядов вида (0.1). Здесь доказана

Теорема 1.1.6. Пусть D - выпуклая область в (С и последовательность А такова, что сг(Л) = т(Л) = 0. Тогда эквивалентны утверждения:

1) Ряд (0.1) сходится в области D.

2) Имеет место включение d = {d_ki1l} Є Q(D).

В параграфе 1.2 приводится следующий аналог теоремы Абеля для рядов экспоненциальных мономов.

Теорема 1.2.1. Пусть последовательность Л такова, что о~(К) = т(Л) = 0. Предполооюим, что общий член ряда (0.1) ограничен на множестве Е а С. Кроме того, если начало координат является изолированной точкой множества Е, то ограничена также последовательность {d_kn} ' . Тогда для каждого р = 1,2,... найдется С_р > 0 (не зависящее от последовательности d) такое, что co,m_k-l

2^ \^dk,n\Cp,k,n ^ Cp\\d\\_p+2-k=l,n=0 где числа c_pkn и нормы \\d\\_p построены по последовательности компактов !7C(D) и D = Я(Э(Л)). В частности, ряд (0.1) сходится абсолютно и равномерно на любом компакте из области D.

Степенной ряд является частным случаем ряда экспонент: при помощи простого преобразования переменной степенной ряд превращается в ряд вида Y,d_kexp (kz). Однако, если переформулировать теорему 1.2.1 для этого частного случая, то в результате получится более слабое утверждение чем теорема Абеля. Это объясняется тем, что круги, на которых должен абсолютно и равномерно сходиться степенной ряд, при указанном преобразовании переходят в неограниченные множества. В теореме же 1.2.1 равномерная сходимость гарантируется лишь на компактных подмно-жествах. Ситуацию можно исправить, отказавшись от сомножителей zⁿ в ряде (0.1), i.e. рассматривая лишь «чистые» ряды экспонент, что и подтверждается следующим результатом.

Теорема 1.2.2. Предположим, что члены ряда d_fcexp (A_fcz) равномерно ограничены на множестве Е, то есть \d_kexp (&_kz)\ <А, к = 1,2,..., 2 Є Е.

Пусть далее <т(Л) = 0 и замкнутое множество 0 с таково, что для некоторого номера к₀ верно включение Л_к/\Л_к\ Є 0, fe > k₀. Тогда для каждого є > О существует с(,Л) > О такое, что выполнено неравенство

2^ \d_kexp (A_fcz)I < Ас(є, A), z Є -(0, є). k=k_a

В частности ряд сходится абсолютно и равномерно на Я(0(Л), є). Замечание. Рассмотрим ряд экспонент

У d_kexp (fez) в который переходит степенной ряд d_tw^k при преобразовании w = expz. В этом случае <г(Л) = 0 и для каждого k = 1,2, имеет место включение Х_к/\Х_к\ Є 0 = {1}. Предположим, что общий член этого ряда ограничен в точке z₀ и положим Е = {z₀}. Тогда по теореме 1.2.2 этот ряд сходится абсолютно и равномерно на каждом из множеств E(Q,e), є > О, которое совпадает с полуплоскостью {z: Rez < Rez_Q — є]. Это дает нам теорему Абеля для степенного ряда.

В последнем параграфе первой главы получен аналог теоремы Коши-Адамара для рядов экспоненциальных мономов. Прежде чем его сформулировать, введем еще необходимые обозначения. Пусть Є 0(Л). Для последовательности коэффициентов d = {d_kn} ряда(0.1) положим .,.« .... . MVKo).n|) h(d, О = inf lira mm —^^—, , JZ^ Osnsm_fca)-l |Я_к(/)| где инфимум берется по всем подпоследовательностям (Afcy)} последовательности {Я/с} таким, что Лед/|^*0')1 сходится к , когда; -» оо. Таким образом, мы получили функцию h(d,%), f Є 0(Л). Из ее определения нетрудно вывести, что она является полунепрерывной снизу. Поэтому множество D = D(d,A) = {z: Re(zO < Kd, О, К Є (Л)} является 0(Л) - выпуклой областью.

Теорема 1.3.1. Пусть последовательность А такова, что сг(Л) = т(Л) = 0. Тогда ряд (0.1) сходится в каждой точке области D и расходится в каждой точке ее внешности C\D за исключением начала координат, если ряд d_ki0 сходится.

Замечание. В частном случае для ряда d_fcexp (fez) имеем формулу h(d,!) = ton = lun(—lnj\dk\).

Делая преобразование w = expz, переводящее этот ряд в степенной ряд получаем следующую формулу для радиуса сходимости последнего

1 R = exph(d, 1) = ton .

Таким образом, мы получили формулу Коши-Адамара для степенных рядов.

Во второй главе диссертации изучается распределение особых точек функции g_d{z), на границе дТ)(Л, d) области сходимости ряда (0.1).

В главе один показано, что в общем случае множество 2)(Л, d) может быть невыпуклым и не является даже связным. Если же выполнены условия ш(Л) = <г(Л) = 0, то по теореме 1.3.1 (теореме Коши-Адамара для рядов экспоненциальных мономов) V (Л, d) будет 0 (Л)-выпуклой областью (возможно пустой), которая описывается при помощи коэффициентов {d_kn}. В этом случае D(A, d) совпадает с областью D(d,Л). Более того, при этих же условиях по теореме 1.2.1 (теореме Абеля для рядов экспоненциальных мономов) ряд (0.1) сходится абсолютно и равномерно на любом компакте области D(A,d) = D(d,A). В частности, это означает, что его сумма g_dQz) есть аналитическая функция в Х>(Л, d).

Задача описания множества особых точек функции #d(X) на границе области D(A, d) имеет долгую историю. Ее истоки лежат в начатых еще в позапрошлом веке исследованиях областей существования функций, представимых в виде степенных рядов. В 1892г. Ж. Адамар [8] доказал, что если функция g представляется рядом a(.w) = ])Г d_nw^k(-ⁿ^ (0.2) с пропусками к(п + 1) — к(п) > ак(п), где а - положительное число, не зависящее от п, то граница круга сходимости этого ряда является естественной границей области существования функции д, т.е. каждая точка этой границы является особой для g(w). Е. Фабри [9] в 1896г. доказал, что утверждение Адамара сохраняется при более общем условии на последовательность показателей, а именно, последовательность {к(п)} должна иметь нулевую плотность: п lim —~ = 0. n-»oofc(n)

Ж. Полна [10], [11], а также Карлсон и Ландау (см., например, [1], гл II, 5.2) распространили этот результат на случай рядов Дирихле. Они показали, что если функция д представляется в виде ряда Дирихле g(z) = ^Г d_kexp (-X_kz) (0.3) с последовательностью положительных показателей Л = {Л_к}, имеющей нулевую плотность, и выполнено неравенство

Л_к+1-Л_к>к>0, к = 1,2,..., то либо g(z) - целая функция, либо прямая сходимости (вертикальная прямая, ограничивающая полуплоскость сходимости ряда Дирихле) является естественной границей области существования этой функции. Этот результат является частным случаем более общего утверждения В. Бернштейна [12]. Он доказал, что при условиях lim —= т, у(Л) = lim — ln fc-к» А._к fc-»oo Д._к

П{Л_к) каждый отрезок длины 2тгт прямой сходимости ряда (0.3) (если таковая имеется) содержит по крайней мере одну особую точку функции g(z). Отсюда, в частности, следует обобщение теоремы Фабри: если последовательность степеней {к(п}} ряда (0.2) имеет плотность т = lim то каждая замкнутая дуга границы его круга сходимости углового раствора 2тгт содержит хотя бы одну особую точку функции g(w). Отметим, что утверждение В. Бернштейна ранее было доказано Ж. Полна [10] при более сильном ограничении (чем у(Л) = 0) на последовательность Л = {Л_к}:

Л_к+1-Л_к>к>0, к = 1,2,...

В книге [2], гл. II, 3.3 строится специальная функция, которая является суммой ряда Дирихле и при условии у(Л) Ф 0 не имеет особых точек на прямой сходимости. Существование такой функции говорит о том, что условие у (Л) = 0 в теореме В. Бернштейна необходимо.

А.Ф. Леонтьев [2] обобщил результаты Е. Фабри, Ж. Полна и В. Бернштейна на случай рядов экспонент с последовательностью показателей, имеющей нулевую плотность. Он доказал, что при этом условии и дополнительном условии у(Л) = 0 область сходимости ряда экспонент совпадает с областью аналитичности суммы ряда. Отсюда, в частности, следует, что последняя является выпуклой.

В связи с рассматриваемой задачей отметим еще стоящие несколько особняком работы А. Островского [13] и Г.Л. Лунца [14], [15]. В первой из этих работ изучаются ряды Дирихле с последовательностью показателей, имеющей конечную максимальную плотность lim — = а > 0.

Известная теорема А.Островского (см. также [16], [1], теорема 2.4.7) утверждает, что при условии ІШк(.Лк+і - h) = h- (0.4) fc->oo функция (0.3) в каждом замкнутом круге радиуса r(a,h) = па* + 3(3 — ln(/ia))a с центром в точке на прямой сходимости ряда имеет хотя бы одну особую точку. Здесь а* - усредненная верхняя плотность последовательности {Л_к} (см. [1]), для которой имеют место оценки а* < а < еа*. Отметим, что из определения верхней плотности следует неравенство а < І/h. При условии (0.4) последовательность {Л_к} всегда можно пополнить (см., например, [6]) до последовательности, имеющей плотность, которая не превосходит числа І/h. Тогда по теореме Полна (или теореме Бернштейна) функция (0.3) имеет хотя бы одну особую точку на каждом отрезке по крайней мере длины 2n/h, лежащем на прямой сходимости ряда. Если верхняя плотность а не сильно отличается от І/h, то число 2n/h существенно меньше, чем г (а, її). В этом случае результат, получаемый при помощи теоремы Полна лучше результата теоремы А. Островского. Таким образом, в контексте изучаемой нами задачи результаты работы [13] могли бы стать содержательными лишь для рядов Дирихле специального вида, когда верхняя плотность а последовательности {A_fc} намного меньше числа І/h. В этом случае показатели этих рядов должны быть сосредоточены в основном в группах, отстоящих друг от друга на значительном расстоянии на прямой. В этой связи возникает естественный вопрос о применимости результата теоремы А. Островского к задаче распределения особых точек суммы ряда Дирихле на прямой его сходимости.

В работах Г.Л. Лунца изучаются уже общие ряды экспонент. Здесь получены тонкие интересные результаты по распределению множества особых точек на границе области сходимости ряда экспонент. Однако речь идет не о множестве особых точек суммы g(z) этого ряда, а о множестве особых точек всех его «частных сумм» g(z, Г). Функция g(z, Г) является суммой лишь тех членов ряда, показатели которых лежат в угле Г. Множество особых точек всех функций g(z, Г) (включая и g(z) = g(z, С)) существенно шире множества особых точек функции g(jz). Для примера рассмотрим ряд fc=i где sinAsin (іЯ) и Л = {Я_к} - последовательность нулей функции (Я), состоящая из точек вещественной и мнимой оси +7ГП и +ІПП, п = 1,2,... Областью сходимости ряда (0.5) является квадрат с вершинами в точках 1 + і, і — І, 1-і, —1-і, а его сумма тождественно равна нулю, а потому не имеет особых точек (см. [2], гл. II, 2.3). В то же время каждая из четырех «частных сумм» g(z, Г) ряда (0.5), построенных по точкам Л_к, лежащим на положительной и отрицательной вещественной и мнимой полуоси, имеет хотя бы одну особую точку на соответствующей стороне квадрата. Действительно, пусть g{z, Г) - сумма ряда Дирихле, построенного по отрицательным точкам Л_к. Последовательность показателей этого ряда имеет плотность т = 1/л, и расстояние между соседними показателями равно единице. Тогда по цитируемой выше теореме Полна функция g{z, Г) имеет хотя бы одну особую точку на каждом отрезке длины 2 на прямой сходимости - вертикальной прямой, содержащей отрезок [—1 — i,i — 1]. Сказанное относится и к остальным трем частным суммам ряда (0.5). Во второй главе диссертации исследуются особые точки общего ряда (0.1). Получен результат, частными случаями которого являются результаты отмеченных выше работ за исключением трех последних. При этом построена специальная функция, которая не имеет особых точек на границе области сходимости своего ряда. Эта функция является обобщением указанной выше специальной функции из теории рядов Дирихле на случай общих рядов экспоненциальных мономов. Ее существование доказывает необходимость одного из условий основной теоремы, сходного по смыслу с условием у (Л) = 0 в теореме В. Бернштейна. Дается исчерпывающий ответ на вопрос, о том, когда область существования суммы ряда (0.1) является выпуклой и совпадает с областью его сходимости.

В первом параграфе второй главы рассматриваются некоторые известные характеристики распределения точек комплексной последовательности и изучаются взаимосвязи между ними. В частности вводится следующая величина (см. [17],[18])₅ схожая по смыслу с индексом конденсации Бернштейна-Леонтьева _с .. .. 1пЩЛ_к15)\S_A — lim lim —^!—гг—; -.

Здесь q_A(z,w,S)= [[ (зад) .

Второй параграф посвящен построению специальной функции, которая является обобщением специальной функции из теории рядов Дирихле. Здесь доказывается следующая

Теорема 2.2.1. Пусть последовательность А — {Л_к, 771}^ такова, что га (Л) = 0 и для некоторой подпоследовательности А = {Я_к(_р)) _ выполнено неравенство ln\q^^p\A_Kp>S_p)\ lim —^j 1 : < -р < 0, ^р-*^т І4(р)| где [dp] - убывающая к нулю последовательность пололсительных чисел из интервала (0,1/4). Тогда для каждой ограниченной выпуклой области D существует последовательность d Є 21(Л) такая, что множество Э(Л, d) совпадает с )(0(л)) и функция fd(^z) аполитична в области Dp = Т>(Л, d) + В {0,13).

Замечание. Если S_A < — /?, то согласно определению величины S_A найдется подпоследовательность {Я./с(_р)} последовательности {Л_к}, для которой выполнено неравенство в теореме 2.2.1.

В параграфе 3 главы 2 получен общий результат о распределении особых точек суммы ряда экспоненциальных мономов на границе его области сходимости, из ко- торого вытекает большинство отмеченных выше результатов по особым точкам суммы ряда (0.1) и его частных случаев.

Теорема 2.3.3. Пусть Л - правильная последовательность, / Є F(A) и ОС — сопряженная диаграмма функции f. Следующие утверждения эквивалентны.

Для любой последовательности d Є ЭД(Л) такой, что множество П(2)(Л, d), ЗС) не пусто и отлично от плоскости, и любой точки w Є d&(V(A,d),K) функция g

Имеет место равенство S_A = 0.

Замечание. Согласно теореме 2.2.1 при условии т(Л) = 0 отрицательность величины S_A обеспечивает существование аналитических функций, представимых рядом (0.1) со сколь угодно большой областью сходимости, которые не имеют особых точек на границе этой области. Теорема 2.3.3 означает, в частности, что при дополнительном условии на последовательность Л отрицательность <5д является и необходимым условием существования подобных функций.

Все отмеченные ранее результаты по особым точкам сумм рядов экспонент и их частных случаев (рядов Дирихле и Тейлора) являются следствиями теоремы 2.3.3. При этом мы не затрагиваем результаты Г.Л. Лунца [14],[15] и А. Островского [13] по тем причинам, которые указаны выше.

Рассмотрим вначале результаты, относящиеся к рядам Дирихле (0.3).

Следствие 2.3.4. Пусть последовательность Л = {A_fc} имеет плотность, т. е к г = ЛГ(Л) = Urn —. л-> Яд.

Тогда следующие утверждения эквивалентны:

Каждая функция g(z) вида (0.3) либо целая либо на любом отрезке длины 2тгт, лежащем на прямой сходимости, имеет по крайней мере одну особую точку.

Имеет место равенство _А = 0.

Следствие 2.3.5. (теорема Бернштейна) Пусть последовательность Л = {ДЛ имеет плотность т и у(Л) = 0. Тогда каждая функция g(z) вида (0.3) либо целая либо на любом отрезке длины 2пт, лежащем на прямой сходимости имеет по крайней мере одну особую точку.

Следствие 2.3.6. (теорема Полиа) Пусть последовательность А = {Л_к} имеет плотность т и Afc+i - К > h > 0, к = 1,2,...

Тогда каждая функция g(z) вида (0.3) либо целая либо на любом отрезке длины 2пт, лежащем на прямой сходимости имеет по крайней мере одну особую точку.

Выше было отмечено, что из сформулированных утверждений вытекают другие результаты по особым точкам. В частности, это относится к теоремам Адамара, Фабри, Карлсона и Ландау. Все они имеют дело со случаем положительных последовательностей нулевой плотности. Рассмотрим теперь случай общей последовательности Л = [Л_к, m_k}_k==1 с нулевой плотностью.

Следствие 2.3.7. Пусть последовательность Л = {Л_к,т_к}_к=1 имеет нулевую пчотностъ. Тогда следующие утверждения эквивалентны.

Для каждой последовательности d Є 51(A) функция gz) выпуклая.

Имеет место равенство _л = 0.

Частным случаем этого утверждения является

Следствие 2.3.8. (теорема Леонтьева). Пусть последовательность Л = {A_fc}"₌₁ имеет нулевую плотность и у(Л) = 0. Тогда для каоїсдой последовательности d Є ЭД(Л) функция 5d(^z) либо целая либо все граничные точки области >(Л, d) являются для нее особыми. В частности область существования функции да(?) выпуклая.

Из теоремы 2.3.3 следует, что случай нулевой плотности не единственный, когда все точки z Є 92)(Л, d) являются особыми для функции g_d. Действительно, такая ситуация будет иметь место, если каждая граничная точка области D(A, d) совпадает с одним из множеств (w + JC) П dD(A,d), где w Є дП(2)(Л, d),X). Приведем соответствующий результат.

Следствие 2.3.10. Пусть А — правильная последовательность, f Є F(A), Ж — сопряженная диаграмма функции f и d Є 51(A). Предположим, что S_A = 0, ОС -строго выпуклый компакт, множество ft(2)(A,d), JC) не пусто и отлично от плоскости, а область 2)(A,d) имеет гладкую границу и выполнено равенство X>(A,d) = n(2)(A,d),X) + X. Тогда все граничные точки области Ъ(Л, d) являются особыми для функции ga(z). В частности область ее существования вьіпуюіая.

В параграфе 4 главы 2 дополнительно изучается случай последовательности Л, имеющей нулевую плотность. Здесь показывается, что условие J\f (Л) = 0 необходимо для пункта 1) в следствии 2.3.7. Другими словами, получен критерий того, что область существования каждой суммы ряда (0.1) совпадает с областью его сходимости. Этот результат опирается на два вспомогательных утверждения, которые имеют и самостоятельный интерес.

Лемма 2.4.1. Пусть последовательность А такова, что т(Л) Ф 0. Тогда существует последовательность коэффициентов d Є $1(Л) такая, что не все граничные точки множества Ъ(Л, (Г) являются особыми для функции ga(.z).

Лемма 2.4.2. Пусть последовательность А такова, что т(Л) = 0 и J\f (Л) = 0. Тогда существует последовательность коэффициентов d Є 21(Л) такая, что не все граничные точки множества Ъ(А, d) являются особыми для функции g_d (z).

Теперь сформулируем основной результат параграфа.

Теорема 2.4.3. Для того чтобы область существования суммы каждого ряда вида (0.1), для которого 2>(A,d) Ф 0, совпадала с множеством >(Л, d) (внутренностью множества сходимости этого ряда) необходимо и достаточно выполнение равенств Ж (А) = 0 и S& = 0.

Из теоремы 2.4.3 вытекает утверждение, обратное к теореме Фабри.

Следствие 2.4.4. Для того чтобы область существования суммы каждого ряда вида (0.2) совпадала с кругом сходимости этого ряда необходимо и достаточно выполнение равенства

Замечание. Этот результат является частным случаем результата Мальявена, Фукса, Кусиса [23].

В последнем параграфе второй главы обсуждается указанная выше теорема А. Островского. Приводится пример (который представляет из себя вариацию теоремы 2.2.1), очерчивающий рамки применимости результата этой теоремы. В примере строится функция g(z), являющаяся суммой ряда Дирихле. При этом последовательность его показателей удовлетворяет условиям теоремы А. Островского. Расстояние между особыми точками g(z) на прямой сходимости ряда достигает величины порядка 0(l/h), что при малых h и фиксированном а значительно больше, чем радиус г (а, /г) из теоремы А. Островского, который имеет порядок О (—Ink). Это означает, что результат теоремы А. Островского по существу относится к особым точкам суммы ряда Дирихле, лежащим не на прямой сходимости, а лишь в ее окрестности. Кроме того, указанный пример дает также оценку снизу на величину этой окрестности. Оказывается, что за эту оценку отвечает верхняя плотность а последовательнос- ти {Afc}. Действительно, построенная функция g(z) аналитична также в круге й(0,а),где а = /3/(1 + 45), /? = (5А)1п (3(1 - S).

Поскольку число 8 можно выбрать произвольно из интервала (0, ha), то это означает, что в теореме А. Островского речь идет об особых точках суммы ряда (0.3), лежащих на расстоянии, сравнимом с верхней плотностью а последовательности Л, от прямой его сходимости.

Заключительная глава диссертации посвящена проблеме фундаментального принципа для инвариантных, относительно оператора дифференцирования, подпространств пространства функций, аналитических в ограниченной выпуклой области.

Основной проблемой в теории любых рядов является, безусловно, проблема представления функций посредством этих рядов. При этом задача состоит в том, чтобы выяснить при каких условиях каждая функция из какого-либо класса (пространства, подпространства) может быть разложена в ряд того или иного вида. Особый интерес представляет случай, когда такое разложение единственно.

Из теоремы 1.2.1 следует, что при условии с(Л) = т(Л) = 0 сумма ряда (0.1) -это функция, аналитическая в выпуклой области D. Поэтому в нашей ситуации естественно рассматривать классы именно таких функций. Как уже отмечалось выше, проблема представления всех функций из H(D) уже решена. При этом достаточно бьшо использовать лишь «чистые» ряды экспонент, однако разложения которые получались были неединственными. Более сложной оказалась проблема представления функций из нетривиального замкнутого подпространства W с tf (D) (с условием использования при разложении, конечно, лишь функций, принадлежащих этому подпространству). Только рядов экспонент здесь уже недостаточно, необходимо использовать ряды вида (0.1). При этом естественно ограничиться ситуацией, когда семейство функций (Л) = {_г«ехр (^)} полно в W. В этом случае говорят, что подпространство W допускает спектральный синтез. Тогда оно автоматически становится инвариантным относительно оператора дифференцирования, а элементы (Л) являются собственными и присоединенными функциями этого оператора. Как уже отмечалось выше, проблема представления функций из W посредством рядов вида (0.1) носит название проблемы фундаментального принципа. Ее решение тесно связано с решением интерполяционной задачи в пространствах целых функций и имеет очень богатую историю. Обзор некоторых ос- новных результатов по проблемам фундаментального принципа и интерполяции можно найти в работе [18]. Здесь мы отметим лишь некоторые из работ, а именно [24]-[31], [6], [17], [18], в которых решалась проблема фундаментального принципа. В работе [18] при условии т(Л) = 0 найдено полное решение проблемы фундаментального принципа для произвольных нетривиальных замкнутых инвариантных подпространств, допускающих спектральный синтез, в произвольных выпуклых областях комплексной плоскости. Целью заключительной главы данной диссертации является доказательство того, что в случае ограниченной области условие т(Л) = О необходимо для фундаментального принципа. Таким образом, результат этой главы вместе с результатом работы [18] дает полное решение проблемы фундаментального принципа для произвольных нетривиальных замкнутых инвариантных подпространств, допускающих спектральный синтез, в произвольных ограниченных выпуклых областях уже без всяких дополнительных ограничений.

В ситуации, описанной выше, совокупность функций (Л) принадлежит подпространству W с Я(>), полна в нем и не полна в H(D). Проблема фундаментального принципа состоит в том, чтобы выяснить условия, когда W совпадает с пространством функций W(D,A), которые являются суммами рядов (0.1), сходящихся в топологии Н(Р), или, что эквивалентно, когда W(D,Л) замкнуто в Я().

В первом параграфе третьей главы получено необходимое условие замкнутости W(D,A) в пространстве #(D) в случае, когда D - ограниченная область.

Теорема 3.1.2. Пусть D - ограниченная выпуклая область в и последовательность Л = {A_k,m_fc}fc₌₁ такова, что система (Л) неполна в пространстве #(D). Предположим, что W(D,K) замкнутое подпространство в H(D~). Тогда верно равенство 771 (Л) = 0.

В заключительном параграфе приводится фундаментальный принцип для инвариантных подпространств, допускающих спектральный синтез. Этот результат уже был получен ранее в работе [18] при одном ограничении на кратность показателей ряда (0.1): тп(Л) = 0. В данном параграфе это ограничение устраняется.

Теорема 3.2.1. Пусть D - ограниченная выпуклая область в (С, W - нетривиальное замкнутое и инвариантное относительно оператора дифференцирования подпространство в Н(Д) со спектром Л, допускающее спектральный синтез. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

I) Оператор L является изоморфизмом линейных топологических пространств Q(D)uW.

Каждая функция из W представляется рядом (0.1), равномерно сходящимся на компактах из области D. S_A = О, Л - правильная последовательность и существует функция f Є F(A) такая, что hfiX) = Я₀(Л), Я Є С.

Аналог теоремы Абеля для рядов экспоненциальных мономов

Доказательство. Пусть выполнены условия теоремы. Тогда по лемме 1.1.3 и замечанию к ней имеет место включение d = [dkn] Є (?()). Отсюда по лемме 1.1.5 для каждого р = 1,2,... найдется число Ср 0 (не зависящее от последовательности d) такое, что 00,771 -1 2_, \dk,nVp,k,n Cpdp+2. fc=l,n=0 В частности, это означает, что ряд (0.1) сходится абсолютно и равномерно на любом компакте из области D. Теорема доказана. Замечания. 1. Из теоремы 1.2.1 следует, что при условии сг(Л) = т(Л) = 0 внутренность множества сходимости ряда (0.1) всегда является выпуклой и даже 0 -выпуклой областью (т.е. областью, которая представляет из себя пересечение полуплоскостей {z: Re{z ) fr()»f є }) 2. Если из теоремы 1.2.1 изъять условие т(Л) = 0, то ее утверждение становится неверным. В книге [2] приведен пример ряда Дирихле, для которого о-(Л) 0. Этот ряд сходится в полуплоскости (а значит, его общий член ограничен в этой полуплоскости), но абсолютно расходится в каждой точке плоскости. Условие т(Л) = 0 также существенно. Действительно, пусть последовательность Л = {к, тк} такова, что т(Л) = т 0 и при этом г(Л) = 0 (например, тк = 2 к). Рассмотрим ряд Нетрудно показать, что этот ряд сходится в некоторой области, лежащей в полуплоскости Rez —а, где а 1 выбрано из условия а 2(т1па + 1), ив круге В(0,г), где г Є (ОД) такое, что — 2 1т1пг 3. В то же время он, очевидно, расходится на окружности . Таким образом, внутренность множества сходимости данного ряда не является выпуклой областью и даже просто областью (она несвязна). Как уже говорилось ранее, теорема 1.2.1 является аналогом теоремы Абеля для степенных рядов. Действительно, как и в последней в теореме 1.2.1 доказывается, что ограниченность общего члена ряда в некоторых граничных точках области влечет за собой его абсолютную и равномерную сходимость внутри области.

Степенной ряд является частным случаем ряда экспонент: при помощи простого преобразования переменной степенной ряд превращается в ряд вида dkexp (kz). Однако, если переформулировать теорему 1.2.1 для этого частного случая, то в результате получится более слабое утверждение чем теорема Абеля. Это объясняется тем, что круги, на которых должен абсолютно и равномерно сходиться степенной ряд, при указанном преобразовании переходят в неограниченные множества. В теореме же 1.2.1 равномерная сходимость гарантируется лишь на компактных подмножествах. Существенно усложнив доказательство этой теоремы, можно показать, что ряд (0.1) все-таки будет равномерно сходиться в некоторых случаях и на неограниченных множествах. Однако эти множества не всегда будут содержать образы кругов при преобразовании переменной, переводящем степенной ряд в ряд экспонент. Чтобы пояснить сказанное, приведем следующий пример. Рассмотрим ряд Множество 0(Л) в этом случае является одноточечным: 6(Л) = {1}. Коэффициенты ряда равны единицы, а потому ограничены. Следовательно, по теореме 1.2.1 ряд (1.2.1) сходится в области "(0(Л)), где Е = {0}, которая совпадает с левой полуплоскостью, и равномерно на ее компактах. Можно показать, что ряд (1.2.1) сходится равномерно и на некоторых неограниченных множествах (например, на углах раствора строго меньше и и с вершинами, принадлежащими отрицательной вещественной полуоси). Но он не сходится равномерно ни в какой полуплоскости вида Он получается из степенного ряда wk при помощи преобразования w = expz. Последний сходится в круге 5(0,1), а по теореме Абеля он сходится равномерно в любом круге меньшего радиуса. Эти круги при указанном преобразовании переходят в полуплоскости П(а). Следовательно, ряд (1.2.2) сходится равномерно в каждой из этих полуплоскостей. Такое отличие в множествах равномерной сходимости у рядов (1.2.1) и (1.2.2) связано с наличием множителей z в ряде (1.2.1). Как показывает этот пример, сохраняя подобные множители, нельзя доказать теорему типа теоремы 1.2.1 так, чтобы ее частным случаем была теорема Абеля для степенных рядов. Однако эту ситуацию можно исправить, отказавшись от сомножителей zn в ряде (0.1), т.е. рассматривая лишь «чистые» ряды экспонент, что и подтверждается следующим результатом. Теорема 1.2.2. Предположим, что члены ряда равномерно ограничены на множестве Е, то есть Пусть далее т(Л) = 0 и замкнутое множество 0 с таково, что для некоторого номера к0 верно включение в который переходит степенной ряд dkwk при преобразовании w = expz. В этом случае 0"(Л) = 0 и для каждого номера к = 1,2,... имеет место включение лк/\хк\ є е = {і}. Предположим, что общий член ряда (1.2.4) ограничен в точке z0 и положим Е — {z0}. Тогда по теореме 1.2.2 ряд (1.2.4) сходится абсолютно и равномерно на каждом из множеств E(Q,E), Є О, которое совпадает с полуплоскостью {z: Rez RezQ — є}. Это дает нам теорему Абеля для степенного ряда. Приведем результат, который является аналогом теоремы Коши-Адамара для степенных рядов. В этой теореме дается формула для вычисления радиуса сходимости степенного ряда.

Аналогом круга для рядов экспонент является полуплоскость, а аналогом радиуса круга - расстояние от начала координат до полуплоскости. Если 0(Л) состоит из двух точек, то соответствующая 0(Л) - выпуклая область сходимости ряда (0.1) является пересечением двух полуплоскостей. У этой области уже два «радиуса сходимости» - расстояния от начала координат до двух прямых, являющихся границами этих полуплоскостей. Если же 0(Л) - бесконечное множество, то и соответствующих «радиусов сходимости» ряда (0.1) будет бесконечно много. Следует отметить, что некоторые расстояния нужно брать со знаком минус. Такая ситуация возникает в случае, когда область сходимости не содержит начало координат. Рассмотрим, например, ряд Применяя к соответствующему ему степенному ряду теорему Абеля легко установить, что областью его сходимости является полуплоскость {z: Rez In (1/2)}. Чтобы не возникало путаницы, «радиусом сходимости» здесь следует считать величину In (1/2), равную расстоянию от начала координат до прямой, ограничивающей полуплоскость, взятому со знаком минус, а не само расстояние. Поясним сказанное. Рассмотрим еще ряд Также как и в первом случае находим, что областью сходимости этого ряда является полуплоскость {z: Rez 1п2}. И вот здесь уже «радиус сходимости» равен 1п2, т.е. расстоянию от начала координат до прямой, ограничивающей полуплоскость. Прежде чем сформулировать заявленный выше результат, введем еще обозначения. Пусть Є 0(Л). Для последовательности коэффициентов d = {dkn] ряда (0.1) положим где инфимум берется по всем подпоследовательностям {Як(у)} последовательности

Построение специальной функции

Величина SA как и индекс конденсации влияет на наличие особых точек суммы ряда экспоненциальных мономов на границе области его сходимости. Отрицательность SA влечет за собой существование последовательности d Е 21(Л), для которой функция ga(z) не имеет особых точек на границе множества 2)(Л, d). Приведем результат, где строится подобная функция. Она является обобщением соответствующей специальной функции из теории рядов Дирихле (см. [2]). Теорема 2.2.1. Пусть последовательность Л = {Ак, тпк]к-1 такова, что т(Л) = 0 и для некоторой подпоследовательности Л = {Afc(p)j _ выполнено неравенство где [бр] - убывающая к нулю последовательность положительных чисел из интервала (0,1/4). Тогда для каждой ограниченной выпуклой области D существует последовательность d Є $1(Л) такая, что множество T)(k,d) совпадает с (0(л)) и функция ga{z) аполитична в области Dp = Ъ(Л, d) + В(0, /?). Замечание. Если SA —/?, то согласно определению величины 5д найдется подпоследовательность (Afc(p)} последовательности {Лк}, обладающая свойством (2.2.1). Доказательство. Требуемую в теореме функцию будем искать в виде суммы Для ее построения , прежде всего, подходящим образом «проредим» последователь-носіь Л = {Я/сТПд.}-!, т.е. из элементов Л построим новую последовательность, обладающую специальными свойствами. Чтобы не загромонсдать текст излишними обозначениями и индексами, для новой последовательности сохраним те же символы что и для исходной. Приступим к построению необходимой последовательности. Вначале заметим, что переходя к меньшей подпоследовательности, можно считать, что При этом подобный переход можно осуществить, не уменьшая множество 0(л). Для этого при построении подпоследовательности нужно использовать какое-нибудь счетное всюду плотное на 0(Л) подмножество 0(Л). Теперь мы изымем из последовательности Л «лишние» точки. Прежде всего, отбросим все Лк, которые не попали ни в один из кругов

Далее, если номер р таков, что то из круга Вр изымем столько точек Лк, не трогая Лк , или уменьшим их кратности тк так, чтобы выполнялись неравенства Таким образом, мы получили последовательность Л = {Лк, т - обладающую следующими свойствами: 1) каждая точка Лк лежит в одном и только одном из кругов Вр, р = 1,2,...; 2) ряд Ер=іехр(—аЛ (р)і) сходится для любого а 0; 3) имеет место неравенство (2.2.1); 4) тп(Л) = 0; 5) JV(Л) оо. Покажем, что свойства 1)-5) действительно имеют место. По построению каждая точка Лк лежит хотя бы в одном из кругов Вр, р = 1,2,... Кроме того, верно неравенство (2.2.3). Так как 8р 1/4, то из него следует, что Поэтому круги Вр, р = 1,2,... попарно не пересекаются, и мы получаем свойство 1). Свойство 2) немедленно вытекает из неравенства (2.2.3). Докажем 3). Для тех номеров р, для которых неравенство (2.2.4) не имело место, все точки Лк из круга Вр остались на месте. Поэтому величина In \q (Afc(p), Sp) не изменилась. Пусть номер р такой, что неравенство (2.2.4) было выполнено. После изъятия из круга Вр некоторых точек Лк или уменьшения их кратностей тк величина ln\q v (Лк(л , 6Р)\ увели чилась. поскольку каждый из сомножителей, определяющих 7д 0 fc(p) р) по мо дулю не превосходит единицы. Однако это увеличение не нарушило необходимых оценок сверху. Действительно в силу леммы 2.1.1 имеем: Отсюда при больших р с учетом (2.2.5) получаем Таким образом, неравенство (2.2.1) сохранилось и для новой последовательности. Свойство 4) верно, т.к. предел любой подпоследовательности совпадает с пределом самой последовательности, и уменьшение чисел тк О сохраняет равенство т(Л) = 0. Проверим последнее свойство.

По построению для каждого р = 1,2,... верно неравенство Пусть t Є [(і + 5p)Afc(p), (і - 5р+1)Як(р+1)]. Тогда с учетом (2.2.6) и свойства 1) получаем: Отсюда и из неравенств (2.2.3) и (2.2.7) следует, что р В силу (2.2.3) последовательность [pAfc(p) j ограничена. По свойству 4) ограничена также последовательность 11AfcQ) тщ) } Поэтому из предыдущего получаем

Случай нулевой плотности

В этом параграфе мы покажем, что условие J\f (Л) = 0 необходимо для пункта 1) в следствии 2.3.7. Другими словами, будет получен критерий того, что область существования каждой суммы ряда (0.1) совпадает с областью его сходимости. Для этого нам нужно доказать два вспомогательных утверждения. Лемма 2.4.1. Пусть последовательность Л такова, что т(Л) Ф 0. Тогда существует последовательность коэффициентов d Є ЗЇ(Л) такая, что не все граничные точки множества Ъ(Л, d) являются особыми для функции ga(z) Доказательство. Пусть т(Л) 2р 0. Можно считать, что р 1/2е2. Согласно определению величины т(Л) найдем подпоследовательность {Afe(P)}, для которой выполнены неравенства тп(к(рУ) рАЛ(р), р = 1,2,... Переходя еще раз к подпоследовательности, можно считать, что последовательность {ЛС(Р)/ /С(Р)} сходится к некоторой точке окружности S, и выполнено неравенство Afc(p) р, V = 1,2,... Пусть п(р) - целая часть числа рАк(р), р = 1,2,... Рассмотрим функцию где ос О, если plnr0 + r0 О и p pQ. Поскольку p l/2e2, то можно считать, что r0 = 2р. Согласно выбору выполнено неравенство Ак(Р) р. Следовательно, Это означает, что ряд (2.4.1) равномерно сходится в круге В (, г0). Поэтому его сумма g(z) - аналитическая в этом круге функция. Рассмотрим ряд полученный из ряда (2.4.1) при помощи раскрытия скобок последнего. Оценим коэффициенты dpn. Имеем Из неравенств Коши получаем: \dP,n\ max \{z - \ majc \(z - )"(Р) 2» » exp(pAkCp)). Пусть z - произвольная точка пересечения круга В (0,1) и полуплоскости Тогда верны неравенства Последняя оценка вытекает из соотношений р -» 0 и Afc(-p) p. Следовательно, ряд (2.4.2) сходится на множестве Последнее при Р р содержит непустое пересечение Сумма ряда (2.4.2) на этом пересечении совпадает с функцией g(z), поскольку частичные суммы ряда (2.4.1) являются одновременно и частичными суммами ряда (2.4.2). Пусть dkn = cpdpn, если к = к(р), п = ОД,...,п(р), и dkn = 0 в противном случае. Мы получили последовательность коэффициентов d = {dkn} такую, что d Є 91 (Л), а множество Ъ(Л, d) пересекает круг б(, 2р), куда аналитически продолжается функция gd = д. Для завершения доказательства остается лишь показать, что множество T)(A,d) не содержит круг В(, 2р). Рассмотрим точки z = г, г 1.

Так как р - 0, то это означает, что ряд (2.4.2) расходится во всех точках z — г$, г 1, т.е. круг В(С, 2р) не лежит целиком на множестве 2)(Л, d). Лемма доказана. Следующее утверждение является вариацией теоремы 2.2.1. Лемма 2.4.2. Пусть последовательность А такова, что т(Л) = 0 и Ж (А) = 0. Тогда существует последовательность коэффициентов d Є 21(Л) такая, что не все граничные точки множества (Л, d) являются особыми для функции g z). Доказательство. Переходя к подпоследовательности, можно считать, что выполнено неравенство ЛГ(Л) оо, и при этом сохраняется условие Ж(А,)=Ж(А)Ф0. Тогда из определения величины J\f (Л, С) следует, что для каждого S Є (ОД) найдется точка Є такая, что М(Л, Г(, б)) отлично от нуля. Фиксируем какие-нибудь S Є (0,1/8) и(Є, для которых число J\f (Л,Г(,5/6)) строго больше нуля. Тогда по лемме 2.1.2 верно неравенство М"Л($/3 0- Согласно определению величины МАі /з найдем неограниченно возрастающую последовательность положительных чисел [tp] такую, что Отсюда следует, что для всех достаточно больших номеров р круг B(tp%, tpS/3) содержит хотя бы одну точку &k(p) последовательности {Afe}. Нетрудно заметить, что имеет место вложение Поэтому мы получаем: По условию гп(Л) = 0. Следовательно, сокращая при необходимости подпоследовательность {Як(Р)}, можно считать, что для некоторого Д 0 выполнены неравенства Отсюда с учетом леммы 2.1.2 получаем Последняя оценка здесь верна, т.к. Ж (Л) оо (т.е. Afc(p) ск(р), с 0). Это означает, что ряд (2.4.5) сходится в каждой точке круга В(0, а), причем равномерно в любом меньшем круге. Следовательно, функция g(z) аналитична в круге 5(0, а). Определим последовательность коэффициентов d — [dkn] _ к_ точно также как в теореме 2.2.1. Подберем теперь числа ар, р = 1,2,... Выберем ар такое, что ax{ fc(p)_1(fnbfc)Tl - lnap] = В, (2.4.6) где максимум берется по все номерам к, для которых Хк Є Вр и всем п = ОД,..., тк — 1. В силу (2.4.3) верно неравенство ар 1. Найдем область сходимости ряда Как и в теореме 2.2.1 находим, что ряд (2.4.7) сходится в выпуклой области и расходится в каждой точке ее внешности за исключением возможно начала координат. Из последнего неравенства вытекает, что множество D (d, Л) содержит область )(0(Л)). Как и в теореме 2.2.1 функция gd, являющаяся суммой ряда (2.4.7), совпадает с д на пересечении областей D(d,K) и В (О, а), которое не пусто, т.к. (0(Л))пЯ(О,а) Ф0. В результате наших построений мы получили последовательность коэффициентов d = {dkn} такую, что d Є $1(Л), а множество D(d,K) пересекает круг В(0, а), куда аналитически продолжается функция gd. Для завершения доказательства остается лишь показать, что множество Did,К) не содержит круг В(0, а). Фиксируем какую-нибудь подпоследовательность {Дг(о} СО є BPU І = І 2 - последовательности {Afc} такую, что As({)//lS(7) сходится к некоторой точке f Є 0(Л), и для к — s(0 и некоторого п = n(l), I = 1,2,..., в соотношении (2.4.6) реализуется максимум при р = р(1), т.е. Теперь мы можем сформулировать и доказать заявленный в начале параграфа результат. Теорема 2.4.3.

Для того чтобы область существования суммы каждого ряда вида (0.1), для которого 2) (Л, d) Ф 0, совпадала с множеством D(A,d) (внутренностью множества сходимости этого ряда) необходимо и достаточно выполнение равенств JV (Л) = 0 и 5д = 0. Доказательство. Если Ж (А) = О и д = 0, то в силу следствия 2.3.7 область существования суммы каждого ряда вида (0.1), для которого 2)(Л, 2) Ф 0, совпадает с множеством В (Л, d). Обратно, пусть последнее утверждение имеет место. Тогда из леммы 2.4.1 вытекает равенство т(Л) = 0. Отсюда согласно лемме 2.4.2 получаем равенство .ЛГ(Л) = 0, а согласно теореме 2.2.1 и равенство SA = 0. Теорема доказана. Как показано выше, величина SA равна нулю, если Лк = к и т = 1. Поэтому из теоремы 2.4.3 вытекает утверждение, обратное к теореме Фабри. Следствие 2.4.4. Для того чтобы область существования суммы каждого ряда вида (0.2) совпадала с кругом сходимости этого ряда необходимо и достаточно выполнение равенства Замечание. Этот результат является частным случаем результата Мальявена, Фукса и Кусиса [23].

Замкнутость множества сумм рядов экспоненциальных мономов

Прежде чем перейти к формулировке и доказательству .основного результата этого параграфа, сделаем некоторые необходимые замечания и докажем вспомогательный результат. Известно (см., напр., [21]), что преобразование Лапласа где D - вьшуклая область в С, устанавливает алгебраический и топологический изоморфизм между H (D} и пространством целых функций экспоненциального типа PD, которое является индуктивным пределом банаховых пространств целых функций экспоненциального типа где {Km} = %{D). Пусть система не полна в пространстве Я(В), и W - подпространство в Я(О), которое является замыканием в топологии Я(О) линейной оболочки системы (Л ). Тогда оно, очевидно, нетривиально (т.е. W Ф (0},Я()), замкнуто в tf (D) и инвариантно относительно оператора дифференцирования. Таким образом можно получить любое нетривиальное замкнутое и инвариантное относительно оператора дифференцирования подпространство пространства H(D). Поскольку W нетривиально, то по теореме Хана-Банаха существует ненулевой функционал }і Є Я (0), обращающийся в ноль на элементах W и, в частности, на всех функциях из системы (Л). Пусть /(Я) - преобразование Лапласа функционала ц. Тогда, как нетрудно заметить, точка Лк является нулем функции /(Я) кратности не меньшей чем тк. Действительно, Функция /(Я) может иметь и другие нули. Поскольку /(Я) имеет экспоненциальный тип, то ее нули, а значит и последовательность Л, имеют конечную верхнюю плотность (см., напр., [2], гл.1, теорема 2.3), т.е. JV(A) оо. Отсюда следует, что величина т(Л) равна нулю. При помощи функции /(Л) всегда можно построить (см., например [2], [18]) последовательность целых функций {fk,n} с PD элементы которой являются преобразованиями Лапласа соответствующих элементов последовательности функционалов { к,п} с Н (Ю, биортогональной к системе функций (А), т.е. выполнены равенства: и (цц.п- zp exp(A/z)) = 0 в противном случае. » Пусть W(D,K) - пространство сумм рядов вида (0.1), которые сходятся в топологии /-/().

Существование биортогональной последовательности обеспечивает единственность представления элемента д Є W(D, Л) рядом (0.1), поскольку в этом случае коэффициенты ряда однозначно определяются по формуле Мы хотим показать, что равенство тп(Л) = 0 является необходимым условием замкнутости подпространства W(J),K) в пространстве #( ) в случае ограниченной области D. Но прежде сделаем еще одно наблюдение. Пусть t 0 и Dt - область, полученная из D при помощи преобразования го-мотетии с центром в начале координат и коэффициентом г, т.е. Положим Очевидно, что при любом t 0 из равенств т(Л) = т(Л) = 0 следуют равенства o"(A(t)) = m(A(t)) = 0 и наоборот. Ле \ша 3.1.1. Подпространства W{D,K) и W(Dt,A(t)) замкнуты или незамкнуты соответственно в Н(]У)ивН{Рі) одновременно. Доказательство. Пусть VK(D,A) - замкнутое подпространство в Н(D), и последовательность {/ij} ! с V/()t,A(t)) сходится к функции h0 в топологии пространства Я(Ос). Положим Тогда последовательность (fy}Li лежит в H(D) и сходится в топологии этого пространства к функции gQ. По определению l (I t,A(t)) имеем причем ряды сходятся в пространстве #(Z)t). Следовательно, и последние ряды сходятся в пространстве H(D ). Это означает, что последовательность {gi} лежит в подпространстве W(D,A). Поскольку оно замкнуто, то и фун-ция д0 также принадлежит W(D, Л), т.е. д0 раскладьшается в ряд вида (0.1), сходящийся в топологии пространства н(ру. Но тогда функция Л0 также раскладывается в ряд (0.1), сходящийся уже в топологии пространства W(D,A(t)): образом, W(Dt,A(t)) - замкнутое подпространство в #(Dt). Пусть теперь VV(Dt,A(t)) является замкнутым подпространством пространства H(D).

Очевидно, что верны равенства где D = Dt и Л = A(t). Тогда, как и выше, показывается что подпространство замкнуто в пространстве. #(.D). Лемма доказана. Сформулируем и докажем, наконец, основной результат параграфа - необходимое условие замкнутости подпространства W(D,K). Теорема 3.1.2. Пусть D - ограниченная выпуклая область в и последовательность А — {A-k mk}k=i такова, что система (Л) неполна в пространстве H(D). Предположим, что W(D,IS) замкнутое подпространство в #( ). Тогда верно равенство ш(Л) = 0. Доказательство. Предположим, что утверждение теоремы неверно. Тогда найдутся положительное число т и подпоследовательность Afc.,mk.} такие, что последовательность {mfc./U/. j сходится к т, когда у -»о. Переходя еще раз к подпоследовательности, можно считать, что [Л / Ufc также сходится к некоторой точке окружности S. Рассмотрим по отдельности три возможные ситуации: начало координат лежит во внешности области D, в самой области D, и на ее границе. 1) Пусть 0 ё D. Поскольку D - ограниченная область, то согласно лемме 3.1.1 (делая, если это необходимо, преобразование гомотетии с центром в нуле), можно считать, что для некоторой точки а окружности (очевидно, она не является единственной) круг В (а, 1) компактно содержит область D. Рассмотрим ряд

Похожие диссертации на Ряды экспоненциальных мономов

Представление функций рядами Уолша и коэффициенты сходящихся рядов УолшаЛукомский, Сергей Федорович

О сходимости рядов Фурье почти-периодических функций и кратных тригонометрических рядов Гуния Николоз Григорьевич

Асимптотические свойства аналитических функций, представленных степенными рядами и рядами ДирихлеСкаскив, Олег Богданович

Об аппроксимативных свойствах классических средних и арифметических средних с пропусками тригонометрических рядов Фурье и их сопряженных рядов Леладзе Давид Вахтангович

Интерполяционные и базисные разложения в ряды по биортогональным системам рациональных функций и в обобщенные ряды экспонент Казарян Корюн Гайкович

Ряды экспонент в пространствах целых функций комплексных переменных Монако Татьяна Петровна

Линейные средние рядов Фурье функций нескольких переменных Нахман Александр Давидович

Ортогональные ряды в симметричных пространствах Новиков Игорь Яковлевич

Некоторые вопросы единственности разложения фунуций в ряды по мультипликативным системам и системам типа Хаара Бокаев Нуржан Адилханович

Приближение классов периодических функций линейными средними их рядов Фурье Бушев Дмитрий Николаевич