Введение к работе
Актуальность темы. Впервые понятие фрейма было введено в работе R.J. Duffin и А.С. Schaeffcr1. Бурное развитие теории фреймов началось в конце 80-х годов прошлого века в связи с возникновением и развитием теории вейвлетов.
Интерес к фреймам связан с тем, что в отличие от классического базиса в определении фрейма отсутствует требование линейной независимости, что позволяет строить фреймы сколь угодно большого объема. Тем не менее, оказалось верным то, что любой элемент гильбертова пространства можно разложить по фрейму, причем не единственным образом. Такие представлення имеют определенную ценность для многих прикладных вопросов, так как свойство избыточности фрейма позволяет восстановить исходный сигнал, даже если при передаче по сети некоторые из его коэффициентов разложения но фрейму были потеряны. В монографии С. Малла2 подробно описано применение фреймов для уменьшения шума при обработке сигнала, а также для анализа изображений. Кроме того, фреймы находят широкое применение в цифровой обработке сигналов, сжатии информации, удалении помех, сжатом зондировании, дискретизации непрерывного сигнала и др. В каждой из перечисленных областей уделяется особое внимание фреймам специального вида, в том числе и равномерным фреймам, т.е фреймам с одинаковыми нормами. Использование таких фреймов упрощает многие вычислительные процедуры.
В книгах О. Christensen3, И. Добеши4, К. Чуй5, К. Блаттера0 описана общая теория фреймов в конечномерных и бесконечномерных пространствах. В диссертации основное внимание уделяется равномерным фреймам и более общей задаче построения фреймов с заданными нормами.
Muffin R.J. A class of nonharmonic Fourier series / R.J. Duffin, A.С Schaeffer // Trans. Amer. Math. Soc. - 1902. - V. 72. - P. 341-366.
2Малла С. Вейвлеты в обработке сигналов / С. Малла. — М. : Мир, 2005. — С71 с.
3Christensen О. An Introduction to Frames and Riesz Bases / O. Christensen. — Boston : Birkhauser, 2002.
4Добеши II. Десять лекций по вейвлетам / П. Добеши. — M.-ІІжевск : РХД, 2004. — 4G4 с.
Чуи К. Введение в вейвлеты / К. Чуй. — М. Мир, 2001.
6Блаттер, К. Вейвлет-анализ. Основы теории / К. Блаттер. — М. : Техносфера, 2004. — 280 с. *v
Теория фреймов далека от завершения. Большие группы исследователей разных стран активно работают в этой области. На сайте Исследовательского фрейм-центра (США, ) постоянно обновляется список нерешенных проблем теории фреймов.
Цель работы. Исследование устойчивости фреймов по отношению к действию операции свертки в конечномерных пространствах; построить равномерные фреймы Парсеваля — Стеклова в конечномерных пространствах над полем вещественных чисел; найти алгоритмы для конструкции фреймов Парсеваля — Стеклова с заданными нормами в конечномерных пространствах; доказать возможность построения и построить фреймы Парсеваля — Стеклова с одинаковыми нормами в бесконечномерных пространствах, отличные от ортонормированных базисов; описать наборы положительных чисел, которые являются нормами фреймов в бесконечномерных пространствах.
Методика исследований. Использовались методы теории функций и функционального анализа, теории матриц, абстрактной теории операторов, анализа Фурье и геометрии гильбертовых пространств.
Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми. Среди них можно выделить следующие наиболее важные.
-
Доказана устойчивость фреймов по отношению к действию операции свертки в конечномерных пространствах.
-
Построены равномерные фреймы Парсеваля — Стеклова в конечномерных евклидовых пространствах.
-
Описан алгоритм построения фреймов Парсеваля — Стеклова с заданными нормами в конечномерных пространствах.
-
Введено понятие блочного фрейма и описано построшю равномерных фреймов Парсеваля — Стеклова в бесконечномерных пространствах.
-
Найдены условия на наборы положительных чисел, которые являются нормами фреймов Парсеваля — Стеклова и є-почти фреймов Парсеваля — Стеклова в бесконечномерных пространствах.
Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные в диссертационной работе результаты могут быть
использованы для дальнейшего изучения теории фреймов в конечномерных и бесконечномерных пространствах, для построения фреймов с заданными свойствами. Возможны применшення в цифровой обработке сигналов.
Апробация работы. Основные результаты по теме диссертационного исследования докладывались на семинарах Самарского государственного университета; на Всероссийской молодежной школе-конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Лобачевские чтения" в г. Казань, 2006, 2009 гг.; на международной Казанской летней научной школе-конференции в г. Казань, 2009, 2011 гг.; на Саратовской зимней математической школе, посвященной 125-летию со дня рождения В.В. Голубева и 100-летию СГУ в г. Саратов, 2010 г.; на зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" в г. Воронеж, 2009, 2011 гг.; на международной научной студенческой конференции в г. Новосибирск, 2011 г.
Публикации. Основные результаты исследований опубликованы в 13 научных работах. Статьи [3], [4] и [13] опубликованы в изданиях, соответсвую-щих списку ВАК РФ.
Структура и объем дисертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав и списка литературы. Объем диссертации 96 страниц. Библиографический список содержит 57 наименований.
