Введение к работе
Актуальность темы. Весовые неравенства, исследуемые в диссертации, берут начало со статьи английского математика. Г. Харди, получившей дальнейшее обобщение в работах Г. Блисса, К. Кноппа и других его современников; эти результаты отражены в классической монографии Г. Харди, Дж. Литтльвуда и Г. Полна "Неравенства", гл. IX.
Интенсивное развитие теории вложения пространств дифференцируемых функций, основанной С.Л. Соболевым, особенно в части, касающейся весовых пространств (см., например, монографию Л.Д. Кудрявцева1), привело к необходимости изучения неравенств Харди с весовыми функциями без априорных ограничений типа степенного поведения. Эта задача для оператора интегрирования была решена в 70-х годах в работах Б. Макенха-упта, Дж. Брэдли, В.Г. Маэьи и А.Л. Розина (см. монографию В.Г. Мазьи2, гл. I), а для операторов Римана-Лиувилля дробного интегрирования в конце 80-х годов в работах Ж. Мартина-Рейеса, Э. Сойера и В.Д. Степанова. Являясь поначалу лишь инструментом в оценках различных интегралов, к настоящему времени весовые неравенства типа Харди становятся самостоятельным объектом исследования. В 90-х годах различным вопросам этой бурно развивающейся области были посвящены работы В.И. Бурен-кова, М.Л. Гольдмана, Р. Ойнарова, Е.И. Бережного, А. Куфнера, Г. Хай-нига, Г. Синнамона и многих других отечественных и зарубежных авторов. Первые публикации, посвященные переопределенным неравенствам Харди, вышли в 1997 г., поэтому тематика является актуальной.
Кудрявцев Л.Д., Прямые и обратные теоремь* вложения. Приложения к решению вариационным методом эллиптических уравнений, Трудя МИАН СССР, 55 (1959), 1-182. 2Маэья В.Г., Пространства С.Л. Соболева, Л.: Издательство ЛГУ, 1985.
Цель работы. Работа посвящена характеризации неравенств Харди порядка к на действительной полуоси в весовых лебеговских нормах для функций, исчезающих на границе области.
Методика исследования. В данной работе использованы методы математического анализа, теории линейных интегральных операторов и теории функций.
Теоретическая значимость и научная новизна. Результаты диссертации носят теоретический характер и могут применяться в различных разделах анализа, где появляется необходимость оценки нормы функции через норму ее некоторой производной, например, в теории вложения весовых пространств, в теории интегральных и дифференциальных операторов, в исследовании вариационных задач. Все основные результаты диссертации имеют законченный характер в форме критериев и являются новыми.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на 1-й Дальневосточной конференции студентов и аспирантов по математическому моделированию, Владивосток, 1997; на Международной школе International Spring School "Nonlinear Analysis, Function Spaces and Applications 6", Прага, 1998; на заседании секции "Геометрия и Анализ" III Сибирского Конгресса по индустриальной и прикладной математике, Новосибирск, 1998; а также на семинаре "Функциональный анализ" (руководитель д.ф.-м.н. Степанов В.Д.) и семинаре "Дифференциальные уравнения" (руководитель д.ф.-м.н. Зарубин А.Г.) Хабаровского Государственного Технического Университета.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[4], работа [5] принята в печать. Список публикаций приведен в
конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разделенных на 9 параграфов и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 100 страниц машинописного текста, подготовленных автором в систаме Ш^Х, библиография включает 63 наименования.
