Интерполяционные методы и интегральные неравенства Сайдахметов, Куанышбек

Введение к работе

Актуальность темы. Теория интегральных операторов имеет многочисленные применения в самых различных областях математики и механики. Наибольшее ее приложения в теории интегральных и дифференциальных уравнении. Результаты этой теории используются также в различных областях анализа и теории функции. Укажем, например на результаты С.Л.Соболева об интегральных операторах типа потенциала, послужившего основой для разработанной С.Л.Соболевым теории вложении пространств дифференцируемых функции многих переменных. Большой интерес теория интегральных операторов представляет для функционального анализа. Как отмечают в своей монографии¹ П.Халмош и В.Сандер, "Теория интегральных операторов является источником всего современного функционального анализа и остается по настоящее время богатым источником нетривиальных примеров. Так как главным препятствием к прогрессу во многих областях теории операторов является недостаток конкретных примероа, чьи свойства могут быть точно определены, систематическая теория интегральных операторов дает новую надежду для новых открытии".

Исследование общих интегральных операторов, т.е. интегральных операторов с произвольными измеримыми по совокупности переменных ядрами, было начато в 1922 году в диссертации С.Банаха. До середины 60-х годов изучались интегральные операторы с ядрами, удовлетворяющими тем или иным метрическим условиям. Важный вклад в развитие теории ограниченных интегральных операторов на этом этапе сделан в известных работах Э.Хилле, Дж. Неймана, С.Л.Соболева, Л.В.Канторовича, Г.П.Акллова, М.А.Красносельского, П.П.Забрейко и других авторов. В 70-е годы в основном изучались характеристические свойства общих интегральных операторов и теория линейных неограниченных интегральных операторов. В этом направлении можно отметить работы В.Б.Короткова². В 80-е годы теория интегральных операторов свертки развивалась в работах В.Б.Короткова и В .Д. Степанова. В последние годы теория ограниченных интегральных операторов в пространствах Лебега нашла продолжение в работах М.О.Отелбаева, В.Д.Степапова, Т.К.Нурекенова, Р.Ойнарова и др. Также в работах

^ІХаяііозі П., Сандер В. Ограниченные интегральные операторы в пространства* Ьз- // М.: Наука, 1385.

³Коротков В.Б. Интегральные операторы. // Новосибирск: Н&ука, 1983.

Ойнарова Р. исследовались мультипликативные неравенства для интегральных операторов. Одним из способов исследования линейных отображении является интерполяционные методы. Отметим, что с помощью интерполяционных методов были получены наиболее тонкие результаты оценочного характера такие как теоремы Марцинкевича, Михлина о мультипликаторах³, результаты Макенхаупта о весовых неравенствах Харди⁴, результаты Сгейна, Кокилашвили о сингулярных интегралах⁵, теорема Зигмунда об ограниченности частичных сумм (в многомерном случае)⁸ и другие. Разработка интерполяционных теории для семейств абстрактных гильбертовых и банаховых пространств была начата в 1968 году независимо в ряде стран. Первые публикации принадлежат Лионсу, Кальдерону, Гальярдо, С.Г.Крейну, Ароншайну (1958-1961 г.г.). В дальнейшем существенную роль сыграли работы Петре. Также интерполяционные методы развивались в работах В.И.Овчинникова, Н.Я.Кругляка, А.А.Седаева, Л.Малигранды и др. авторов⁷.

В то же время для мультипликативных неравенств интерполяционный аппарат не построен. Такого рода неравенства, берущие начало из неравенства Ландау-Адамара⁸, были исследованы в работах Арестова В.В.^В, Габушина В.Н.¹⁰, Купцова Н.П.¹¹, Ойнарова ?Р

Цель работы. В работе рассматриваются следующие задачи: а) Изучение интерполяционных свойств мультипликативных иера-

³Махлаа С.Г. О иуяьтяплжкаторах ждгегралоа Фурье. // Докд. АН СССР, 109_i N 4, 1956, стр. 701-703,

⁴Majcmkiewica J, Sar Г interpolation d'operaton. //С. r. Acad, «сі, 1838,208, р.1272-1273.

^аКоккяашвнля В.М. О весовых пространствах Лязоркяка-Тржбеля. Сянгудярные хятегралы, иультншіжкатори, теоремы вложения. //Тр. МИАІ1 СССР т.161, 1883, с. 125-Н9.

'Зжгиувд А. Трягонометрятестсже ради. Т.1-2. // М.: Мир, 1968.

^тБрудаый Ю.А., Крейа С.Г., Сеиекоа Е.М. Иитерлодяодя лкнеяаых. операторов. // Итоги яауях я техаякя. Математический анализ. М.: ВИНИТИ, 1986, стр.3-140.

"Хардя Г.Х., Ляттлвуд Дж. Э., Пойа Д. Неравенства. // Москва; ИЛ, 1967. стр. 38S

^fl Арестов В.З. О точзых неравенствах иехлу кормами фуякцжи я ях производных. // Acta ecieot. math. 33 N3-4,1872, с. 243-267.

¹⁰Габушжн В.Н. О наилучшем вржбдяжевхя оператора дяффереидяров&няя на uosyupiuox. // Махеыатнческяе зацеткж, 6, выв. 5, 1969, с.573-582.'

"Купцов Н.П. Колиогороскже одевкн для нрожэводяых вэ[0,оо].//Труды МИАН СССР, т. 138, 1975.

¹³Оаваров Р. Об одяом иультжплхкатквнон весовой неравенстве. //Доклады HAH РК N3,1993, с.19-24.

Ояяаров Р. Мупыжаянхатнвкие неравенстваддя інтегральних операторов. // Теэясы докяадов жовфереадяж "Пржиеяевне методов георнж фувхцхн к фунжджожальяопо анализа в задачах иатеиа-тхческоі фізики*. Аяиаты, 1993,102.

венств вида

||Та||с < M||a||]f\,e||S, где 0 < а < 1 (1)

б) Получение близких друг к другу двусторонних оценок норм операторов свертки.

Общая методика псследопания. Основным методом исследовании данной диссертации является вещественный метод интерполяции.

Научная новизна. В работе получены следующие новые результаты:

1. Доказаны интерполяционные теоремы для мультипликативных неравенств.

2. Получен критерий выполнения "квазислабых" мультипликативных неравенств для интегральных операторов.

3. Получены достаточные условия выполнения слабых и сильных мультипликативных неравенств для интегральных операторов.

4. Получены двусторонние оценки нормы интегрального оператора свертки.

5. Получены необходимые и близкие к ним достаточные условия ограниченности дискретного оператора свертки.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты работы представляют теоретический интерес и могут быть использованы в различных областях математики и механики, в теории функции, в дифференциальных и интегральных уравнениях, в уравнениях математической физики.

Степень достоперности полученных результатов. Все результаты, полученные в диссертационной работе сопровождены полными доказательствами.

Основные положения, выносимые на защиту.

Изучение интерполяционных свойств мультипликативных неравенств вида (1)

Выявление условия выполнения базовых неравенств для полученных интерполяционных теорем.

Получение близких друг к другу двусторонних оценок норм операторов свертки.

Апробация работы. Основные результаты работы апробированы на межвузовской научной конференции "Теория приближения и вложения функциональных простралств" (Караганда 1991, 1994

гг.), на конкурсе научных работ студентов вузов СНГ (отмечен Дипломом ВСНТО), на международной студенческой конференции в г.Новосибирске, где был отмечен дипломом II степени, на республиканской конференции "Применение методов теории функции и функционального анализа к задачам математической физики" (Алмати, 1993 г.), на международной конференции "Теория приближении, нелинейный анализ", посвященной 90-летию С.М.Никольского (Москва, 1995), на республиканской конференции "Актуальные вопросы математики и методики преподавания математики" посвященной 60-летию профессора К.Ж.Наурызбаева (Алмати, 1994), на международной конференции посвященной 50-летию развития математики в Казахстане и 30-летию ІШТМ (Алматы, 1995), на семинарах член-корреспондента HAH РК, профессора М.О.Отелбаева, член-корреспондента HAH РК, профессора А.А.Женсыкбаева, профессора Е.С.Смаилова, профессора Н.Т.Темиргалиева, профессора Р.Ойнарова, на общем научном семинаре ИПМ АН РК.

Структура диссертадии. Диссертационная работа состоит из
введения, где дается краткое содержание р^оты, двух глав, разбитых
на семь параграфов. Нумерация утверждении двойная: Первая цифра
указывает параграф, вторая - номер утверждения. <.