Введение к работе
Актуальность. Изопериметрические неравенства являются посто-шным предметом исследования в различных областях математики, механики и физики.
В диссертации изучаются изопериметрические свойства моментов шерции односвязной области, связанные с физическими величинами, встречающимися в теории упругости.
Несмотря на то, что классическое изопериметрическое неравенство ізвестно давно, первые глубокие результаты и строгие методы исследования связаны с работами XIX века: Я. Штейнера (введение геометрической операции—"симметризация"), В. Сен-Венана, Лорда Рэлея, А. Іуанкаре, Г. А. Шварца. Объектом интенсивного изучения изопериметрические неравенства стали в XX веке. Новые методы исследования изо-іериметрических свойств даны в работах А.Д. Александрова, Л. Аль-рорса, В. Бляшке, Т. Боннезена, Т. Карлемана, Р. Куранта, Е. Крана, ?. Минковского, Г. Полна, Г. Сеге, Г.Фабера. Ряд интересных результатов получен в работах Ф.Г. Авхадиева, В. Андриевского, К. Бендл, Д. Зураго, А. Бернстайна, А. Вайнштена, Дж. Дженкинса, В.Н. Дубинина, З.А. Залгаллера, В.Г. Мазьи, Е. Макай, И.П. Митюка, Н.И. Мусхели-двили, Н. Надирашвили, 3. Нехари, Е. Николаи, Р. Оссермана, Л.Е. Іейна, А.Ю. Солынина, Р.П. Сперба, Дж. Херша, Г. Хиги, А. Хубера, З.К. Хеймана, X. Федерера, В.Х. Флеминга, И. Чигера, М. Шиффера, М. Эссена.
Актуальность изучения изопериметрических неравенств заключается і их теоретических и практических приложениях в различных областях іауки.
В диссертации рассматриваются также краевые задачи теории упругости, которые могут быть использованы в практических задачах и
численных экспериментах.
Цель работы. Изучение изопериметрических свойств новых геометрических функционалов односвязной области и их обобщений, а также получение точного решения первой и второй основных задач теории упругости для специального класса областей и определение коэффициентов интенсивности напряжения в граничной точке возврата.
Методика исследования. В диссертации используются методы геометрической теории функции комплексного переменного и методы решения краевых задач для аналитических функций.
Научная новизна. Доказаны изопериметрические неравенства для конформного момента инерции области и момента инерции области относительно границы, введенных в [1], [2]. Доказано, что в областях класса Джона справедливо аналитическое неравенство Пуанкаре. Получена точная оценка норм в пространствах Бергмана для произведения функций и рассмотрено их приложение к изопериметрическим неравенствам. Найдено решение первой и второй основных задач теории упругости для несимметричных профилей Жуковского.
Апробация работы. Результаты работы по мере их получения докладывались на II республиканской научной конференции молодых ученых и специалистов (1996г., Казань), на Всероссийской школе-конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Б.М. Гагаева (1997г., Казань), на итоговых научных конференциях Казанского университета (1994 - 1997гг.). В целом работа доложена на семинаре под руководством д.ф.-м.н. Ф.Г. Авхадиева.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 работ, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Работа набрана в системе БТ^Х. Общий
объем диссертации 107 страниц. Диссертация содержит 22 рисунка и библиографию, включающую 75 наименований.
