Содержание к диссертации
Введение
1 Группы диффеоморфизмов 23
1.1 Предварительные сведения и постановки задач 23
1.2 Расстояния на группах диффеоморфизмов и меры пс-компактности 28
1.3 Локальная липшицевость дифференциалов вложений 33
2 Уравнения с правоинвариантными операторами 39
2.1 Правоинвариантные векторные поля на D" 39
2.2 Правоинвариантные специальные векторные поля на Т№ 43
2.3 Правоинвариантные стохастические дифференциальные уравнения на группе диффеоморфизмов плоского тора 48
3 Уравнения с уплотняющими полями 53
3.1 Уплотняющие векторные поля на№ 53
3.2 Уплотняющие дифференциальные уравнения второго порядка 59
4 Уравнения с многозначными полями 66
4.1 Общие свойства многозначных векторных полей на D(M) 66
4.2 Дифференциальные включения первого порядка на D 72
4.3 Дифференциальные включения второго порядка на D 75
Литература 82
- Расстояния на группах диффеоморфизмов и меры пс-компактности
- Правоинвариантные стохастические дифференциальные уравнения на группе диффеоморфизмов плоского тора
- Уплотняющие дифференциальные уравнения второго порядка
- Дифференциальные включения первого порядка на D
Введение к работе
Группы соболевских диффеоморфизмов компактных римановых многообразий являются широко известными примерами функциональных бесконечномерных многообразий. Активное исследование различных объектов на указанных группах началось после того как в работах В.И. Арнольда [1] и затем Д. Эбина и Дж. Марсдена [2] было показано, что указанные группы (функциональные многообразия) являются естественными конфигурационными пространствами для описания движения различных жидкостей в рамках лаграпжева подхода к гидродинамике. Различные аспекты анализа на этих многообразиях и различные типы уравнений на них исследовались в многочисленных работах В.И. Арнольда (см., например, [3]) , Д. Эбина , Дж. Марсдена, А. Фишера, Д. Холма, Т. Ратиу и Р. Чернова [4, 5, б, 7, 8, 9], М. Кантора [10], A.M. Лукацкого [11, 12, 13], Н.К. Смоленцева [14, 15], С. Школлера [16], А.И. Шнирельмана [17], К.Д. Элворти (см., например, [18]), Я.И. Белопольской и Ю.Л. Далецкого (см., например, [19]) и других.
Важным вопросом, возникающим при использовании групп диффеоморфизмов в гидродинамике и других разделах математики, является вопрос о существовании решений различных типов дифференциальных уравнений с непрерывными правыми частями па указанных группах. В частности, дифференциальное уравнение второго порядка (1.6) на группе сохраняющих объем диффеоморфизмов (см. ниже) описывает движение идеальной несжимаемой жидкости. Напомним,
что на бесконечномерных пространствах дифференциальное уравнение с непрерывной правой частью может не иметь даже локального по времени решения задачи Коши.
Отметим одно важное отличие групп диффеоморфизмов от конечномерных групп Ли: на группах диффеоморфизмов правошшариант-ные векторные поля могут быть не гладкими, а лишь непрерывными. В связи с этим в основополагающих работах Д. Эбина и Дж. Мар-сдеиа дифференциальные уравнения с правоинвариантными правыми частями рассматривались только при дополнительном условии гладкости или локальной липшицевости правых частей. Аналогично дополнительное условие гладкости накладывалось на коэффициенты стохастических дифференциальных уравнений на группах диффеоморфизмов в работах Я.И. Белопольской и Ю.Л. Далецкого, К.Д. Элворти и др. Между тем важным для приложений является рассмотрение уравнений с непрерывными правоинвариантными правыми частями.
Уравнений с непрерывными правыми частями, которые не являются правоинвариантными, естественно возникают в случаях, когда физические поля, действующие на жидкость, зависят от конфигурации жидкости. Для таких уравнений проблема существования решений аналогична.
Начиная со статей А.Амброзетти [20] и Б.Н.Садовского [21], широко известным дополнительным условием на непрерывную правую часть дифференциального уравнения в бесконечномерном пространстве, при котором локальное по времени решение задачи Коши существует, является требование, чтобы операторы, стоящие в правой части, были ограниченными относительно той или иной меры нскомпактности (см. также развитие этого метода, в частности, для дифференциальных включений, в [22, 23, 24, 25]). В работах В.В. Обуховского и Ю.Е. Гли-клиха [26, 27] этот подход был обоснован для бесконечномерных мно-
гообразий на основе вложения многообразия в некоторое гильбертово пространство как окрестностного ретракта, однако не были указаны никакие критерии во внутренних терминах групп диффеоморфизмов, при которых этот подход применим.
Отметим также, что в работах А.В. Фурсикова [28, 29] и В.В. Обу-ховского, П. Дзекки и В.Г. Звягина [30] в рамках эйлерова подхода описаны задачи гидродинамики с управлением, приводящие к дифференциальным включениям. Если в рассмотренных в этих работах задачах перейти к лагранжеву формализму, то соответствующие многозначные поля на группе диффеоморфизмов оказываются правоинвариант-ными, то есть в указанных работах учитывалась только зависимость силовых полей от скорости и не учитывалась зависимость от конфигурации жидкости. Таким образом возникает задача об изучении общих свойств многозначных операторов на группах диффеоморфизмов и соответствующих им дифференциальных включений, причем не только с правоинвариантной правой частью. Несмотря на важность этой задачи для приложений, раньше она не рассматривалась.
Целью работы является изучение непрерывных правоинвариант-ных, уплотняющих, многозначных и других операторов на группах диффеоморфизмов и доказательство разрешимости соответствующих им уравнений и включений. Основным техническим приемом здесь является вложение групп диффеоморфизмов или их касательных расслоений в линейное гильбертово пространство и продолжение указанных выше операторов на трубчатую окрестность. Поэтому еще одной целью работы является исследование свойств указанных продолжений.
Методика исследований. Использовались идеи и методы современного функционального анализа и глобального анализа. В частности теория уплотняющих операторов, теория многозначных отображений и дифференциальных включений, а также отдельные элементы
стохастического анализа на бесконечномерных многообразиях.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Среди них можно выделить следующие наиболее важные:
Показано, что естественное продолжение на трубчатую окрестность непрерывного правоинвариантного векторного поля на группе диффеоморфизмов и непрерывного правоинвариантного специального векторного поля на касательном расслоении к группе сохраняющих объем диффеоморфизмов, вложенных в соответствующее соболевское пространство, являются локально липшицевыми. Как следствие, отсюда получена теорема существования и единственности глобального по времени решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка на группе диффеоморфизмов и теорема существования и единственности локального по времени решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка на группе сохраняющих объем диффеоморфизмов с непрерывными правоинвариантпыми правыми частями.
Доказана теорема существования глобального по времени решения задачи Коши для правоинвариантного стохастического дифференциального уравнения Ито в форме Белопольской-Далецкого на группе диффеоморфизмов плоского n-мерного тора с непрерывным сносом и гладкой диффузией.
Найдено условие, при котором продолжение непрерывного не правоинвариантного векторного поля на группе диффеоморфизмов, вложенной в соответствующее соболевское пространство, на трубчатую окрестность является локально /^-ограниченным относительно мер некомпактное Куратовского и Хаусдорфа и аналогичное условие для правоинвариантного специального векторного поля на касательном расслоении к группе сохраняющих объем диффеоморфизмов. Как следствие, отсюда получены теоремы существования локального по
времени решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений первого и второго порядка на группах диффеоморфизмов с непрерывными правыми частями.
Изучены свойства полунепрерывности сверху и снизу, непрерывности по Хаусдорфу и т.д., а также ^-ограниченности относительно мер некомпактности для многозначных векторных полей, на группах диффеоморфизмов,
Доказан ряд теорем существования локальных по времени решений для дифференциальных включений первого и второго порядка на группах диффеоморфизмов. Исследован модельный пример об управлении движением идеальной несжимаемой жидкости на двумерном компактном многообразии, описываемой дифференциальным включением второго порядка на группе диффеоморфизмов. Доказано существование оптимального управления.
Практическая и теоретическая значимость. Работа имеет теоретический характер. Полученные результаты применяются при исследовании задач гидродинамики.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на Международных школах-семинарах по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 2002,2004, 2006), международной научной конференции "Топологические и вариационные методы нелинейного анализа и их приложения"(Воронеж, 2005), Воронежской зимней математической школе 2006 года и на научных сессиях Воронежского государственного Университета 2001 - 2006 годов.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в [31] - [41]. Из совместной работы [41] в диссертацию вошли только результаты, принадлежащие лично диссертанту.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из Введения, четырех глав, разбитых на 11 параграфов, и списка литерату-
ры, включающего 48 источников. Общий объем диссертации 87 стр. Краткое содержание работы
Всюду в диссертации по возможности используются стандартные обозначения, которые не оговариваются особо. В частности для обозначения различных объектов на многообразиях используются обозначения из [42].
В первой главе приведены необходимые первоначальные сведения из теории групп Соболевских диффеоморфизмов, определены римано-вы метрики и расстояния в соответствующих пространствах, а также описаны необходимые в дальнейшем понятия мер некомпактности и уплотняющего (^-ограниченного) оператора. Основными результатами главы являются теоремы о локальной липшицевости дифференциалов вложений групп диффеоморфизмов и их касательных расслоений относительно специальных метрик и нахождение соответствующих констант Липшица.
Параграф 1.1 носит вспомогательный характер. В нем излагаются первоначальные понятия и утверждения о группах соболевских диффеоморфизмов компактного многообразия.
Пусть М - компактное n-мерное риманово многообразие без края с римановой метрикой (,). Для s > \ + 1 вводится гильбертово многообразие DS[M) отображений М в себя, принадлежащих Соболевскому пространству Ня и одновременно являющихся С1 диффеоморфизмами. Ds является группой относительно суперпозиции с единицей е = id. Подмногообразие >S(M), состоящее из диффеоморфизмов, сохраняющих риманову форму объема (обозначается DS(M)) является также подгруппой в DS(M).
Через Щ обозначается правый сдвиг на диффеоморфизм г)\ Rv0 = О о г;, через ТЩ - касательное отображение к правому сдвигу на ц.
Вводится слабая риманова метрика на D*(M)
(Xg,Yg)g = J(Xg(m),Yg(m)}g{m)n(dm)> (1.2)
м задающая топологию функционального пространства L^ более слабую, чем исходная топология пространства Hs. Сужение метрики (1.2) на >*(М) является правоинвариантной слаборимановой метрикой. Описывается отображение связности Леви-Чивита метрики (1.2) на Da{M)iLH&Datt{M).
Пусть F{t,r},X) векторное поле на D*(M), вектор которого для каждого г) лежит в T^D'UM) и зависит от параметров t Є [0,7і] и X Є T^DUM). Такие векторные поля мы будем называть силовыми. Рассмотрим на D3{M) дифференциальное уравнение второго порядка вида
^№ = ПШ,№))> (1-6)
где jt - ковариантная производная связности (1.4) Леви-Чивита слабой римановой метрики (1.2), r\[t) = jtT){t) ~ векторное поле производной кривой Tj[i) на D*{M). Уравнение (1.6) описывает движение идеальной несжимаемой жидкости на М под действием силы F в рамках лагранжева подхода.
Уравнение (1.6) сводится к уравнению первого порядка наТ>*(М) со специальным векторным полем виде S(r], Х) + Fl(t, (т},Х)) в правой части, где S - геодезическая струя слабой римановой метрики (1.2), а F1 - вертикальный подъем силового поля F(tt г/, X).
В параграфе 1.2 определяются некоторые специальные функции расстояния на группах диффеоморфизмов и на касательных расслоениях к ним. Также здесь описываются необходимые меры некомпактности относительно этих расстояний, используемые в дальнейших рассуждениях.
Введем на и*(М) сильную риманову метрику, т.е. метрику, порождающую топологию Н3 модельного пространства. Для д Є D*(M) и X,Y є TeD*{M) положим Хд = Xод TgDs uYg = YogG TgDs и определим сильное скалярное произведение вТдО"(М) по следующей формуле:
№) YgYB = / №н> У5И)3(т)М(^т)+ .
J{(d + 5)'Jf о зН, (d + «У)'У о 5(m))3(m)M(dm), (1.8)
м где ii{dm) — риманова форма объема, d — дифференциал де Рама, 5
— кодифференциал и (d + 5d)2 = d5 + <5d = Д — оператор Лапласа -
де Рама. Сильная норма касательного вектора определяется обычной
формулой.
Сужение (1.8) на D'HM) является сильной римановой метрикой на
этом подмногообразии (подгруппе), которая к тому же является пра-
воинвариантной.
Для любой кривой rj(t) в D"(M), t Є [a,b] определим ее длину по
ь .
обычной формуле f inflifyffjtyYu-idt, которая приводит к стаидарт-
ному определению риманова расстояния шВ3(М):
Определение 1.2 Пусть ^q,і Є В,!(М), Число, равное иифимуму длин соединяющих их кривых, где длина найдена по приведенной выше формуле, назовем внутренним расстоянием меоісду ними вОя(М) и обозначим dist(fai).
С помощью модификации стандартных конструкций вводится расстояние d между точками касательного расслоения Т7>5(М). Показано, что это расстояние между векторами в TDS{M) есть расстояние dist между точками их приложения в DS(M) плюс норма разности правых сдвигов этих векторов в единицу.
С помощью связности Леви-Чивита слабой римановой метрики (1.2)
сильная римаиова метрика (1.8) поднимается на касательное расслоение ТВр(М) к группе Da{M) сохраняющих объем диффеоморфизмов. Риманово расстояние на TDS{M) относительно указанной метрики обозначается d\. С помощью модификации конструкции расстояния d на втором касательном расслоении TTDS строится расстояние 6а (формула (1.12)).
В заключение параграфа описываются меры некомпактности Хаус-дорфа (внутренняя xl и внешняя %р) и Куратовского ар, где р - функция расстояния, относительно которой определяется мера некомпактности. Дается определение уплотняющих и ^-ограниченных операторов относительно мер некомпактности:
Определение 1.8. Пусть даны метрическое пространство X с расстоянием pj и мерой пекомпактпости (Хаусдорфа или Куратовского) относительно этого расстояния ф\ и метрическое пространство Y с расстоянием р2 и мерой пекомпактпости (Хаусдордш или Куратовского) относительного этого расстояния ф%. Будем называть оператор F : X —* Y уплотняющим с константой 0 < q < 1, если для любого Q С X, для которого ai(fi) конечно, выполнено <*2{F{fy) < ДОі(^)- Если константа q > 1, то такой оператор будем называть k-ограпичениым относительно мер пекомпактпости фі и тр2 с константой k = q или (д,фі,ф2)-ограниченним. В случае, если q зависит от времени t, то такой оператор будем называть k-ограпичеппым относительно мер некомпактности ф\ иф^с коэффициентом k — q(t).
В 1.3 исследуются изометрические вложения многообразий D", D* и TD* с сильными римановыми метриками в пространство соответствующих соболевских отображений, порожденные изометрическим вложениями римановых многообразий М и ТМ в евклидово пространство достаточно высокой размерности.
Изометрическое вложение М в пространство Е достаточно высокой размерности (существующее по теореме Нэша) индуцирует изометрическое (относительно сильной метрики) вложение г : DS(M) —» Н"(М, Rk). Обозначим через Ті его касательное отображение, || [| обозначает норму в ЯЛ(М,МЙ).
Аналогично изометрическое вложение ТМ в пространство W достаточно высокой размерности индуцирует изометрическое (относительно сильной метрики) вложение j : TD"(M) —» HS{M,W). Обозначим через Tj его касательное отображение, [|| ||] обозначает норму bH*(M,W).
Основными результатами параграфа являются следующие две теоремы.
Теорема 1.1. Для любого вектора X Є TDS(M) и для любого числа С > 0 существуют окрестность вектораХ в TDS(M) и числа А, К > О такие, что для любых У, Z из этой окрестности выполнено - TiZ\\ < (1 + А + {С + \\X\\)K)d{Y, Z).
Теорема 1.2. Для любых Z Є TD'^M), Zl Є TzT^D^M)) и для любого С > 0 существуют окрестности V(Z) С TD*(M) и W(Zl) С TTDSJM) и числа а,к> 0 такие, что для любыхX, Y Є V и любых вертикальных векторов Xі Є TxT^xD*, Yl Є TyT^yD-\, при-надлеоісащих W(Zl), выполняется неравенство \\\TjXl — TjYl\\\ <
(І + а + КС+ІіИіМ^У).
Во второй главе исследуются свойства непрерывных правоива-
риантных векторных полей на D"(M) и непрерывных специальных векторных полей на TDS{M) (дифференциальных уравнений второго порядка), которые правоинвариантны относительно естественного действия DJ(M) naTUJ(M).
В параграфе 2.1 исследуются свойства локальной липшицевости правоинвариантных векторных полей па DS(M), а также получена гло-
бальная по времени теорема существования и единственности решения задачи Коши обыкновенного дифференциального уравнения с право-иивариантным векторным полем в правой части.
Пусть U ~ трубчатая окрестность DS(M) в Hs(M,Hk) и г : U —+ DS(M) — ретракция. Пусть X - правоинвариатное непрерывное векторное поле на ВЯ{М). По построению норма его векторов во всех точках одинакова, это значение мы обозначим ||Х|]. Рассмотрим продолжение X:U ^ Н*{М,Жк) поля TiX : D*{M) -» H*(M,Rk) на U, определенное по формуле
X{x)=TiX{R{x)),xeU.
Теорема 2.1. Для любой точки щ Є D*(M) существует ее окрестность В С U такая, что для любых г},9 Є В выполняется соотношение \\Х{г}) - Х(0)|| < 2(1 +#||Х||)||тг - 0\\.
Как следствие из теоремы 2.1 доказывается следующая: Теорема 2.2. Пусть X(t) - кривая в TeDs(M), измеримая по t, норма которой \\X(i)\\ интегрируема по t на каждом конечном про-меоісутке. ПустьX{t,rj) - соответствующее ей правоиивариантиое векторное поле па D*[M), непрерывное по г\ Є Ds при каждом t. Тогда задача Коши
r}{t) = X{t,n), 77(0) - щ Є D*{M)
имеет решение при ecext Є [0, ею), причем единственное.
В параграфе 2.2 мы исследуются непрерывные специальные векторные поля на касательном расслоении TD*(M), которые правоин-вариантны относительно естественного действия ВЯ(М) на TDHM). Поскольку касательное расслоение TDS{M) само не является группой, конструкции параграфа 2.1 существенно модифицированы. Исследуется случай правоинвариантного непрерывного силового поляР,
ие зависящего от скорости. Уравнение (1.6) с таким силовым полем обозначено как уравнение (2.2)
Показано, что после вложения TD3(M) в векторное пространство естественные продолжения указанных векторных полей на трубчатую окрестность U оказываются локально липшицевыми на малой окрестности многообразия TDHM) в U. Как следствие получено следующее утверждение:
Терема 2.6 Пусть F(t,rf) - правоинвариантное векторное поле, порооюденное векторным полем F(t) = F(t,m) Є TeDsJM), которое измеримо по t в пространстве %DS(M) и норма которого ||F(t)|j интегрируема. Тогда задача (2.2) с начальными условиями т](0) = % т)(0) — Xq Є Тф)В*{М) имеет решение на достаточно малом промеоісутке времени t [0, є), причем единственное.
В параграфе 2.3 изучается вопрос о существовании решений стохастических дифференциальных уравнений Ито в форме Белопольс-кой-Далецкого на группе сохраняющих объем Ня (s > 4- 1) диффеоморфизмов плоского гс-мерного тора Тп (то есть метрика па торе получена из евклидовой метрики в Rn при факторизации по целочисленной решетке). Отметим, что для случая гладких коэффициентов для таких уравнений известна теорема существования решения задачи Коши.
Мы рассматриваем уравнения специального вида с тг-мерным ви-неровским процессом, у которых снос задается непрерывным право-инвариантным векторным полем а(Ь,г}), а диффузия предполагается гладкой и приавоинвариатной. Для таких уравнений доказано существование сильного решения (теорема 2.7).
В главе 3 исследуются непрерывные векторные поля на DS{M) и специальные векторные поля на TD3(M), которые ие являются пра-воиивариантными. Найдены условия, при которых продолжения та-
ких векторных полей после вложения на трубчатые окрестности будут локально ^-ограничены относительно мер некомпактности Хаусдорфа или Куратовского. Как следствия, получены теоремы существования решений дифференциальных уравнений с такими правыми частями.
В параграфе 3.1 рассматриваются непрерывные не правоинвари-антные векторные поля на D*{M).
Рассмотрим X - продолжение векторного поля X на трубчатую окрестность U после вложения, как это описано выше в 2.1. Для этого продолжения справедлива теорема.
Теорема 3.3. Пусть векторное поле X : [0,Т] х DS(M) —> TD^M), удовлетворяющее условию Каратеодори, таково, что при почти всех t отображение
A:[0,T}xD-;(M)^TcD^(M)
вида A(t,rj) = TR~lX{t,T}) k-ограничепо относительно мер некомпактности otdist и с коэффициентом g{t) > 0. Тогда продолоісение X векторного поля X на трубчатую окрестность U обладает следующим свойством: при почти ecext для любой точки г) Є Ds и для любого числа С > 0 существуют числа А, К > 0 и окрестность D точки г) в Hs(M,Rk) на которой X k-ограничепо относительно меры некомпактности Куратовского с коэффициентом 2(1 4- g[l)){l + А+ (С + \\X(t,7])\\)K) по норме в пространстве Hs(M,M.k).
Теорема 3.4. Пусть X - векторное поле на D*(M) такое oice, как в теореме 3.3 и при этом функция g[t) интегрируема с квадратом па [0,Т]. Выберем точку щ Є D*[M). Пусть на замыкании D окрестности D этой точки, где D из теоремы 3.3, выполняется оценка \\X{t,)\\ < f[t), Є D, где f(t) > 0 - числовая функция, интегрируемая с квадратом па [0,Г]. Тогда задача Коши
rj(t) = X(tAt)), ч(о)«чо 16
имеет решение на достаточно малом промежутке.
Описываются примеры векторных полей, для которых выполняется теорема 3.3 и, следовательно, теорема 3.4.
Доказаны утверждения, в точности аналогичные теоремам 3.3 и 3.4 для ^-ограниченности относительно внутренних мер некомпактности Хаусдорфа (теоремы 3.1 и 3.2).
В параграфе 3.2 изучаются условия, при выполнении которых продолжение на трубчатую окрестность неправоинвариантного специального векторного поля на TDSJM) является локально fc-ограничен-ным относительно мер некомпактности. Как следствие доказана теорема о существовании локальных по времени решений для соответствующих дифференциальных уравнений второго порядка.
Как отмечено выше, задача (1.6) сводится к задаче об интегральных кривых векторного поля S + F1 на TDS{M), где F1 - вертикальный подъем поля F на D*(M), a S - геодезическая струя связности Леви-Чивита слабой римановой метрики; S гладко и удовлетворяет условию TttS(X) = X.
Вложим ТВр(М) в HS(M, MP), как это описано в 2.2, и рассмотрим продолжение F1 поля F1 на трубчатую окрестность U по формуле
Fl(X) = Tj(Fl(r(X))).
Теорема 3.6. Пусть силовое поле F : [0,71] xTD* —> TDS удовлетворяет условию Каратеодори и таково, что при почти всех t Є [0,Т] отображение А : [О, Г] х TD'^M) -> ТеГ(М) вида A(t,X) = TR~xF(t, X) является k-ограничепным относительно мер нскомпактности ав. и ct|i.i| с коэффициентом g(t). Тогда при почти всех t у любого вектора Z Є TD4(M) существует окрестность D С U такая, что на D поле F1 k-ограничено относительно меры иекомпакт-ности Q|j|.||| с коэффициентом 2(2 + g(t))(l +a+ k(C + 111^(^,-2)111)), где а, к и С - константы из теоремы 1.2.
Рассмотрим продолжение В : [0,Т] х U — U поля 3 : TDS{M) —+ TTDsJyM) определенное по формуле S{x) = Tj'S(r(a;)),j; Є U". Поскольку S гладко, а по теореме 3,6 поле F1 локально ^-ограничено относительно оц|.|[|, то по свойству меры некомпактности Куратовского сумма В + Р1 локально fc-ограничено относительно щ\\.\\\-
Теорема 3.8 Пусть выполнены условия теоремы 3.6 и функция g(t) интегрируема с квадратом на [0,Т]. Выберем точку Zq Є TDSAM). Пусть на замыкании D некоторой окрестности D этой точки выполняется оценка ^(^Л^Ц < f(t), X Є D, где f(t) > О - числовая функция, интегрируемая с квадратом на [О, Г]. Тогда задача Коши для уравнения (1.6) с начальным условием 7](0) = тг^о, г](0) — Zq имеет локальное решение.
Описываются примеры силовых полей, для которых выполняется теорема 3.6 и, следовательно, теорема 3.8.
В главе 4 исследуются свойства многозначных векторных полей на группах сосболевских диффеоморфизмов. Найдены условия, при которых продолжения таких векторных полей после вложения оказываются ^-ограниченными относительно меры некомпактности Куратовского. Также получены теоремы существования решений дифференциальных включений первого и второго порядка с такими векторными полями в правой части.
Параграф 4.1 посвящен исследованию некоторых свойств право-инвариантных и неправоинвариантных многозначных векторных полей на группах соболевских диффеоморфизмов типа полуиепрерывно-сти сверху и снизу, непрерывности по Хаусдорфу и т.п.
Определение 4.1 Многозначным векторным полемX mTDs(M) назовем отображение X : D*{M) -» P(TDa{M)) (где P{TD*{M)) -совокупность всех непустых подмножествТD* (М)) такое, что для любой точки г} Є D3(M) выполнено n(X(r))) = rj.
Рассмотрим TeDs(M). Пусть в TeDs{M) задано непустое множество векторов X. Определим многозначное векторное поле X на DS(M) как множество всевозможных правых сдвигов множества X. Таким образом, мы определили многозначное отображение X : DS(M) —* P(TDS(M)). Полученное таким образом многозначное векторное поле X правоинвариантно.
Теорема 4.1 Многозначное векторное поле X является полунепрерывным снизу.
Теорема 4.2 Пусть множество X компактно. Тогда соответствующее многозначное векторное поле X полунепрерывно сверху.
Следствие 4.3 Пусть мнооїсество X компактно. Тогда соответствующее многозначное векторное полеХ непрерывно в том смысле, что оно полунепрерывно сверху и снизу.
Теорема 4.4 Пусть мнооїсество X Є TeDs{M) замкнуто. Тогда отобраоїсение X : D* —* P(TDS) является непрерывным по Хаус-дорфу, то есть непрерывным относительно метрики Хаусдораж па пространстве замкнутых подмножеств TDS'.
Далее рассматриваются многозначные векторные поля, не являющиеся правоинвариантными.
Теорема 4.5 Многозначное векторное полсУ на DS(M) непрерывно по Хаусдорфу тогда и только тогда, когда непрерывно соответствующее отображение У = ТЯ~1У(г]) : DS(M) —» TeDs(M).
Теорема 4.6 Для того, чтобы многозначное векторное поле У на DS(M) было полунепрерывно снизу необходимо и достаточно, чтобы соответствующее отобраоїсение У — ТК~1У{г}) : D*{M) —> TejDs(M) было полунепрерывно снизу.
Теорема 4.7 Если многозначное векторное поле У па ГУ(М) полунепрерывно сверху, то и соответствующее ему отображепие У = ТРС1У{ц) : D*[M) —> TeDs(M) также полунепрерывно сверху.
Теорема 4.8 Пусть задано многозначное векторное поле У на D3(M). Если соответствующее ему отображепиеУ = TR~lY(rj) : D"(M) —> Te,Ds(M) полунепрерывно сверху и имеет компактные образы, то У полунепрерывно сверху.
В параграфе 4.2 доказывается разрешимость одного класса дифференциальных включений первого порядка на DS(M), удовлетворяющих верхнему условию Каратеодори, у которых правая часть имеет выпуклые образы.
Определение 4.2 Будем говорить, что многозначное векторное поле F(t,ri), t Є [0,Т], ij Є Dp(M), удовлетворяет верхнему условию Каратеодори если при почти ecext оно полунепрерывно сверху и при каждом 7] измеримо по t.
Рассмотрим F - продолжение векторного поля F на трубчатую окрестность U после вложения, как это описано выше в 2.1. Для этого продолжения справедлива следующая теорема.
Теорема 4.9 Пусть многозначное векторное поле с выпуклыми образами F : [0,Т] х D* —> TDS удовлетворяет верхнему условию Каратеодори и таково, что при почти всех t для отображения А : [0,Г| х ЩМ) -> ТеПЦМ) вида A{t,r]) = T^Ffar}) и для любого ограниченного мнооюеетва П С DSAM) выполнено неравенство ац.ц(Л(,})) < g{t)adist{ty Тогда продолжение F векторного поля F на трубчатую окрестность U обладает следующим свойством: при почти всех і для любой точки г] Є D* и для любого числа С > 0 существуют числа А, К > 0 и окрестность D точки ц в НЯ(М, Rfc) на которой X k-ограничено относительно мери иекомпактпости Ку-ратовского с коэффициентом 2(1 + #())(1 +A + (C + i|F(f,7?)||)i^) по норме в пространстве Ня(М,Жк).
С использованием этой теоремы доказывается следующая:
Теорема 4.10 Пусть F многозначное векторное поле на DSJM),
такое же как в теореме \.9. Пусть функция g(t) интегрируема с квадратом на [0,Т]. Выберем точку щ Є D^(M). Пусть па замыкании D окрестности D этой точки, где D из теоремы 4-9, выполняется оценка |jX(,)|| < f(t), Є D, где f(t) > 0 - числовая функция, интегрируемая с квадратом на [0,Т]. Тогда задача Коши для включения
ф) Є F(t,V),
с начальным условием 7](0) = щ имеет решение на достаточно малом промежутке.
В параграфе 4.3 мы доказываем разрешимость одного класса дифференциальных включений второго порядка на )*, удовлетворяющих верхнему условию Каратеодори, у которых правая часть имеет выпуклые образы. Эта задача интерпретируется как задача об управлении движением жидкости. Для одного модельного примера на двумерном многообразии М получено утверждение о существовании оптимального управления.
Пусть F - полунепрерывное сверху многозначное силовое поле с выпуклыми образами на DS(M). Рассмотрим дифференциальное включение
~т Є F(t,V,fi)- (4.2)
Теорема 4.12. Пусть многозначное силовое поле с выпуклыми образами F : [0,Т] х TD8 —* TDS(M), удовлетворяющее верхнему условию Каратеодори таково, что при почти всех t отобраоїсепие A:[0>T}xD^{M)-*TeDsfi{M) вида A{t,X) = TR;\F{t,X) является k-ограниченным относительно мер некомпактпости а^ и огц.ц с коэффициентом g(t). Тогда при почти ecext векторное поле 5+ F1 на достаточно малой окрестности TDS[M) в U локально к-ограничено относительно меры некомпактности се\\\.\\\-
Теорема 4.13 Пусть б условиях теоремы \.1% функция g(i) ип-
тегрируема с квадратом па промежутке [О, Т]. Выберем точку Zq Є TD*(M). Пусть на замыкании D некоторой окрестности D этой точки выполняется оценка \\F(t,X)\\ < f(t), X Є D, где f(t) > О - числовая функция, интегрируемая с квадратом на [О, Т]. Тогда задача Коши для включения (4-2) с начальным условием tj(O) — -kZq, т)(0) = Zq имеет локальное решение.
Решения включения (4.2) интерпретируются как движенния идеальной несжимаемой жидкости с управлением. Рассматривается следующий модельный пример: пусть конечномерное многообразие М имеет размерность 2, многозначное силовое поле F - такое же, как выше и при этом оно равномерно ограничено по сильной норме и равно нулю вне некоторой окрестности В единицы, т.е. F(t, ту, X) = 0 при 7] Є Da\B. Рассмотрим непрерывный функционал / : С([0,Т], DS{M)) —* R.
Теорема 4.14 Существует измеримое управление такое, что соответствующее ему решение включения (4-2) минимизирует функционал f, то есть является оптимальным.
Расстояния на группах диффеоморфизмов и меры пс-компактности
Группы соболевских диффеоморфизмов компактных римановых многообразий являются широко известными примерами функциональных бесконечномерных многообразий. Активное исследование различных объектов на указанных группах началось после того как в работах В.И. Арнольда [1] и затем Д. Эбина и Дж. Марсдена [2] было показано, что указанные группы (функциональные многообразия) являются естественными конфигурационными пространствами для описания движения различных жидкостей в рамках лаграпжева подхода к гидродинамике. Различные аспекты анализа на этих многообразиях и различные типы уравнений на них исследовались в многочисленных работах В.И. Арнольда (см., например, [3]) , Д. Эбина , Дж. Марсдена, А. Фишера, Д. Холма, Т. Ратиу и Р. Чернова [4, 5, б, 7, 8, 9], М. Кантора [10], A.M. Лукацкого [11, 12, 13], Н.К. Смоленцева [14, 15], С. Школлера [16], А.И. Шнирельмана [17], К.Д. Элворти (см., например, [18]), Я.И. Белопольской и Ю.Л. Далецкого (см., например, [19]) и других.
Важным вопросом, возникающим при использовании групп диффеоморфизмов в гидродинамике и других разделах математики, является вопрос о существовании решений различных типов дифференциальных уравнений с непрерывными правыми частями па указанных группах. В частности, дифференциальное уравнение второго порядка (1.6) на группе сохраняющих объем диффеоморфизмов (см. ниже) описывает движение идеальной несжимаемой жидкости. Напомним, что на бесконечномерных пространствах дифференциальное уравнение с непрерывной правой частью может не иметь даже локального по времени решения задачи Коши.
Отметим одно важное отличие групп диффеоморфизмов от конечномерных групп Ли: на группах диффеоморфизмов правошшариант-ные векторные поля могут быть не гладкими, а лишь непрерывными. В связи с этим в основополагающих работах Д. Эбина и Дж. Мар-сдеиа дифференциальные уравнения с правоинвариантными правыми частями рассматривались только при дополнительном условии гладкости или локальной липшицевости правых частей. Аналогично дополнительное условие гладкости накладывалось на коэффициенты стохастических дифференциальных уравнений на группах диффеоморфизмов в работах Я.И. Белопольской и Ю.Л. Далецкого, К.Д. Элворти и др. Между тем важным для приложений является рассмотрение уравнений с непрерывными правоинвариантными правыми частями.
Уравнений с непрерывными правыми частями, которые не являются правоинвариантными, естественно возникают в случаях, когда физические поля, действующие на жидкость, зависят от конфигурации жидкости. Для таких уравнений проблема существования решений аналогична.
Начиная со статей А.Амброзетти [20] и Б.Н.Садовского [21], широко известным дополнительным условием на непрерывную правую часть дифференциального уравнения в бесконечномерном пространстве, при котором локальное по времени решение задачи Коши существует, является требование, чтобы операторы, стоящие в правой части, были ограниченными относительно той или иной меры нскомпактности (см. также развитие этого метода, в частности, для дифференциальных включений, в [22, 23, 24, 25]). В работах В.В. Обуховского и Ю.Е. Гли-клиха [26, 27] этот подход был обоснован для бесконечномерных мно- гообразий на основе вложения многообразия в некоторое гильбертово пространство как окрестностного ретракта, однако не были указаны никакие критерии во внутренних терминах групп диффеоморфизмов, при которых этот подход применим.
Отметим также, что в работах А.В. Фурсикова [28, 29] и В.В. Обу-ховского, П. Дзекки и В.Г. Звягина [30] в рамках эйлерова подхода описаны задачи гидродинамики с управлением, приводящие к дифференциальным включениям. Если в рассмотренных в этих работах задачах перейти к лагранжеву формализму, то соответствующие многозначные поля на группе диффеоморфизмов оказываются правоинвариант-ными, то есть в указанных работах учитывалась только зависимость силовых полей от скорости и не учитывалась зависимость от конфигурации жидкости. Таким образом возникает задача об изучении общих свойств многозначных операторов на группах диффеоморфизмов и соответствующих им дифференциальных включений, причем не только с правоинвариантной правой частью. Несмотря на важность этой задачи для приложений, раньше она не рассматривалась.
Целью работы является изучение непрерывных правоинвариант-ных, уплотняющих, многозначных и других операторов на группах диффеоморфизмов и доказательство разрешимости соответствующих им уравнений и включений. Основным техническим приемом здесь является вложение групп диффеоморфизмов или их касательных расслоений в линейное гильбертово пространство и продолжение указанных выше операторов на трубчатую окрестность. Поэтому еще одной целью работы является исследование свойств указанных продолжений.
Методика исследований. Использовались идеи и методы современного функционального анализа и глобального анализа. В частности теория уплотняющих операторов, теория многозначных отображений и дифференциальных включений, а также отдельные элементы стохастического анализа на бесконечномерных многообразиях.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Среди них можно выделить следующие наиболее важные: Показано, что естественное продолжение на трубчатую окрестность непрерывного правоинвариантного векторного поля на группе диффеоморфизмов и непрерывного правоинвариантного специального векторного поля на касательном расслоении к группе сохраняющих объем диффеоморфизмов, вложенных в соответствующее соболевское пространство, являются локально липшицевыми. Как следствие, отсюда получена теорема существования и единственности глобального по времени решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка на группе диффеоморфизмов и теорема существования и единственности локального по времени решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка на группе сохраняющих объем диффеоморфизмов с непрерывными правоинвариантпыми правыми частями.
Правоинвариантные стохастические дифференциальные уравнения на группе диффеоморфизмов плоского тора
Отметим, что для случая гладких коэффициентов для таких уравнений известна теорема существования решения задачи Коши.
Мы рассматриваем уравнения специального вида с тг-мерным ви-неровским процессом, у которых снос задается непрерывным право-инвариантным векторным полем а(Ь,г}), а диффузия предполагается гладкой и приавоинвариатной. Для таких уравнений доказано существование сильного решения (теорема 2.7).
В главе 3 исследуются непрерывные векторные поля на DS{M) и специальные векторные поля на TD3(M), которые ие являются пра-воиивариантными. Найдены условия, при которых продолжения таких векторных полей после вложения на трубчатые окрестности будут локально -ограничены относительно мер некомпактности Хаусдорфа или Куратовского. Как следствия, получены теоремы существования решений дифференциальных уравнений с такими правыми частями.
В параграфе 3.1 рассматриваются непрерывные не правоинвари-антные векторные поля на D {M). Рассмотрим X - продолжение векторного поля X на трубчатую окрестность U после вложения, как это описано выше в 2.1. Для этого продолжения справедлива теорема. Теорема 3.3. Пусть векторное поле X : [0,Т] х DS(M) — TD M), удовлетворяющее условию Каратеодори, таково, что при почти всех t отображение вида A(t,rj) = TR lX{t,T}) k-ограничепо относительно мер некомпактности otdist и ctu.it с коэффициентом g{t) 0. Тогда продолоісение X векторного поля X на трубчатую окрестность U обладает следующим свойством: при почти ecext для любой точки г) Є Ds и для любого числа С 0 существуют числа А, К 0 и окрестность D точки г) в Hs(M,Rk) на которой X k-ограничепо относительно меры некомпактности Куратовского с коэффициентом 2(1 4- g[l)){l + А+ (С + \\X(t,7])\\)K) по норме в пространстве Hs(M,M.k). Теорема 3.4. Пусть X - векторное поле на D (M) такое oice, как в теореме 3.3 и при этом функция g[t) интегрируема с квадратом па [0,Т]. Выберем точку щ Є D [M). Пусть на замыкании D окрестности D этой точки, где D из теоремы 3.3, выполняется оценка \\X{t,)\\ f[t), Є D, где f(t) 0 - числовая функция, интегрируемая с квадратом па [0,Г]. Тогда задача Коши имеет решение на достаточно малом промежутке. Описываются примеры векторных полей, для которых выполняется теорема 3.3 и, следовательно, теорема 3.4. Доказаны утверждения, в точности аналогичные теоремам 3.3 и 3.4 для -ограниченности относительно внутренних мер некомпактности Хаусдорфа (теоремы 3.1 и 3.2). В параграфе 3.2 изучаются условия, при выполнении которых продолжение на трубчатую окрестность неправоинвариантного специального векторного поля на TDSJM) является локально fc-ограничен-ным относительно мер некомпактности. Как следствие доказана теорема о существовании локальных по времени решений для соответствующих дифференциальных уравнений второго порядка. Как отмечено выше, задача (1.6) сводится к задаче об интегральных кривых векторного поля S + F1 на TDS{M), где F1 - вертикальный подъем поля F на D (M), a S - геодезическая струя связности Леви-Чивита слабой римановой метрики; S гладко и удовлетворяет условию TTTS(X) = X. Вложим ТВр(М) в HS(M, MP), как это описано в 2.2, и рассмотрим продолжение F1 поля F1 на трубчатую окрестность U по формуле Теорема 3.6. Пусть силовое поле F : [0,71] xTD — TDS удовлетворяет условию Каратеодори и таково, что при почти всех t Є [0,Т] отображение А : [О, Г] х TD M) - ТеГ(М) вида A(t,X) = TR xF(t, X) является k-ограничепным относительно мер нскомпактности ав. и cti.i с коэффициентом g(t). Тогда при почти всех t у любого вектора Z Є TD4(M) существует окрестность D С U такая, что на D поле F1 k-ограничено относительно меры иекомпакт-ности Qj. с коэффициентом 2(2 + g(t))(l +a+ k(C + 111 ( ,-2)111)), где а, к и С - константы из теоремы 1.2. Рассмотрим продолжение В : [0,Т] х U — U поля 3 : TDS{M) —+ TTDsJyM) определенное по формуле S{x) = Tj S(r(a;)),j; Є U". Поскольку S гладко, а по теореме 3,6 поле F1 локально -ограничено относительно оц.[, то по свойству меры некомпактности Куратовского сумма В + Р1 локально fc-ограничено относительно щ\\.\\\ Теорема 3.8 Пусть выполнены условия теоремы 3.6 и функция g(t) интегрируема с квадратом на [0,Т]. Выберем точку ZQ Є TDSAM). Пусть на замыкании D некоторой окрестности D этой точки выполняется оценка ( Л Ц f(t), X Є D, где f(t) О - числовая функция, интегрируемая с квадратом на [О, Г]. Тогда задача Коши для уравнения (1.6) с начальным условием 7](0) = тг о, г](0) — ZQ имеет локальное решение. Описываются примеры силовых полей, для которых выполняется теорема 3.6 и, следовательно, теорема 3.8. В главе 4 исследуются свойства многозначных векторных полей на группах сосболевских диффеоморфизмов. Найдены условия, при которых продолжения таких векторных полей после вложения оказываются -ограниченными относительно меры некомпактности Куратовского. Также получены теоремы существования решений дифференциальных включений первого и второго порядка с такими векторными полями в правой части.
Уплотняющие дифференциальные уравнения второго порядка
В этой главе приведены необходимые первоначальные сведения из теории групп соболевских диффеоморфизмов, определены римаиовы метрики и расстояния в соответствующих пространствах, а также введены необходимые в дальнейшем понятия типа мер некомпактности. Основными результатами главы являются теоремы о локальной лип-шицевости вложений многообразий отображений.
В этом параграфе, следуя [2], мы приводим первоначальные понятия и утверждения о группах соболсвских диффеоморфизмов компактного многообразия.
Напомним основные конструкции многообразий отображений. Рассмотрим два компактных ориентируемых конечномерных многообразия без края М и N. Выберем на JV риманову метрику и определим экспоненциальное отображение exp : TN — N. Рассмотрим множество Ск(М, N) Ск- отображений из М в N. Зададим на нем структуру гладкого многообразия.
Пусть д Є Ck(M,N). Рассмотрим множество где 7Г : TN — iV обычная проекция. Отметим, что ТдСк(М, N) с Cfc-нормой является банаховым пространством. Отображение определенное как (if = expof является взаимно однозначным в малой окрестности образа в ТдСк. Поэтому эта окрестность вместе с отображением (imp может рассматриваться как карта в д Є Ск(М, N). Легко видеть, что замены координат между такими картами являются бесконечно гладкими. Таким образом мы получили, что наС (М, JV) задана структура бесконечногладкого банахова многообразия, причем такая, что ТдСк является касательным пространством к Ск(М, N) в точке д, и эта структура не зависит от римановой метрики, заданной на N.
Далее, пусть dimM = dimN = п. Зафиксируем s . Для данного s соболевские Я -отображения из М в N корректно определены и являются непрерывными. Обозначим множество Яя-отображений из М в N HS(M,N). Так же, как это было сделано выше, мы можем определить касательное пространство TgHs[M,N) для любого д Є НЙ(М, N), причем это пространство со стандартным Соболевским внутренним произведением является гильбертовым пространством. Поэтому HS(M,N) является бесконечногладким гильбертовым многообразием. Также, как и в случае линейных пространств, легко видеть, что при s + к Я (М, N) непрерывно вкладывается в Ск(М, N) и это вложение является всюду плотным.
Далее положим s + 1. Тогда ЯЯ(М, М) содержит подмножество DS[M) Яя-отображений из М в М, которые являются С1-диффеоморфизмами. Известно, что DS{M) открыто в Hs(MtM) и поэтому это множество является гильбертовым многообразием. Более того, ПЯ{М) является группой с групповой операцией суперпозиции о, где единица: е = id. Касательное пространство TeDs(M) — пространство всех Hs векторных полей на М. Все касательное расслоение TDS(M) есть подмножество ЯЯ(М,ТМ), состоящее из отображений, которые в суперпозиции с проекцией 7Г : ТЫ — М дают элементы из DS{M). В частности, TgDs{M) = {/ Є Яя(М,ТМ)тг о / = д} = {Xog\XTPD g}.
Группа DS(M) содержит подгруппу Ds(М) диффеоморфизмов, сохраняющих риманов объем, которая также является подмногообразием в DS{M). Отметим, что %D {M) есть множество всех бездивергентных векторных полей на М, касательные пространства в других точках определяются аналогично (см. подробное изложение в [2]) Через Я обозначается правый сдвиг на диффеоморфизм г) в DS(M) и в ВЯЛМ) : ЩО = 9 о т}, через ТКЛ - касательное отображение к правому сдвигу на г). Касательные расслоения TDS{M) и TDS[M) тривиальны. Триви-ализация осуществляется отображением R : D 4{M) х TeDs[M) — TDS{M) (соответственно, R : ЩМ) х ТеО (М) - TD M)) вида где г} Є D {M), X Є TCD"{M) (соответственно, r} Є D M), X Є TeDs(M)). Нетрудно видеть, что это отображиие является гомеоморфизмом. Римапова метрика (,) на М определяет риманову метрику на DS(M) по формуле: м Эта римапова метрика задает в касательных пространствах топологию функционального пространства Я0 = Ьг, более слабую, чем топология Я 9 и поэтому метрика (1.2) называется слабой. Ее сужение naD является слабой правоинвариантиой римановой метрикой. Второе касательное расслоение TTDS{M) описывается как множество Я" отображений из М во второе касательное расслоение ТТМ таких, что в суперпозиции с естественной проекцией 7Гі : ТТМ —» ТЫ они дают отображения из TDS(M). В частности, для X Є TDS(M) имеем ТхТОя(М) = {Ye Ня{М,ТТМ)\щУ = X). Для D»(M) определения аналогичны.
Дифференциальные включения первого порядка на D
Доказательство. Нетрудно видеть, что Теорема 1.4 работы [27] применима в данной ситуации, если в ее формулировке заменить М на TDp. Зафиксируем произвольную точку Z Є TDSJM) и выберем ее окрестность В С U, как в указанной выше теореме, такую, что г {В) С V, где V - окрестность из Леммы 2.4. Тогда утверждение теоремы очевидно следует из Теоремы 2.3, Следствия 2.4 и Теоремы 1.2, а также из того, что ретракция г в данном случае липшицева с константой 2.
Из теоремы 2.5 следует, что на малой окрестности многообразия D {M) в U продолжение S{x) -\- Fl{t,x) поля Tj(S + Fl) локально липшицево. Теорема 2.6 . Пусть F(t,rj) правоинвариантное векторное поле, порожденное векторным полем F(t) = F(t, т) Є TeDs{M), которое измеримо по t в пространстве TeD (M) и норма которого jF(t)] интегрируема. Тогда задача (2.2) с начальными условиями 7](0) = щ, т)(0) = XQ Є TJM)DS(M) имеет решение на достаточно малом промежутке времени t Є [0, є), причем единственное. Доказательство. Известно, что (2.2) сводится к задаче об интегральных кривых векторного поля (2.1). С помощью рассуждений, в точности аналогичных доказательству Теоремы 2.2, утверждение данной теоремы выводится из Теоремы 2.5. дифференциальные уравнения на группе диффеоморфизмов плоского тора В этом параграфе мы исследуем вопрос о существовании решений стохастических дифференциальных уравнений Ито в форме Белопольс-кой-Далецкого на группе сохраняющих объем Ня (s 4- 1) диффеоморфизмов плоского n-мерного тора Т" (то есть метрика на торе получена из евклидовой метрики в R" при факторизации по целочисленной решетке). Подробное изложение общей теории таких уравнений имеется в [19]. Отметим, что для случая гладких коэффициентов для таких уравнений известна теорема существования решения задачи Коїли. Мы рассматриваем более общий случай - уравнения с п-мерным винеровским процессом, у которых снос задается непрерывным пра-воинвариантным векторным полем a{t,r]). Диффузия предполагается гладкой и, следуя [44], описывается следующей конструкцией. (і) В : ТТп — Жп, проекция на второй сомнооїситель в Тп х Шп (и) A[m) : W1 — ТтТп, обратное к В отображение па касательное пространство кТп в т Є Т". Очевидно, что А - С гладко и при фиксированном х Є Жп векторное поле А(х) на Тп постоянно, т.е., в частности С гладко и безди-вергентно. Таким образом А можно рассматривать как линейный оператор Ae:Wl TeD"{7yi). Обозначим через ёхр экспоненциальное отображение связности Ле-ви-Чивита слабой римановой метрики (1.2) на D (Tn) (см. [2],). Рассмотрим стохастическое дифференциальное уравнение Ито в форме Вслопольской-Далецкого (см. [19]) на (Т") вида d t) = - pm{8L{t {t))dt + aA{ t))dw[t)), (2.5) где w(t) - винеровский процесс в М", а 0 - вещественное число, а -непрерывное правоинвариантное векторное поле наЛ Т"), полученное всевозможными правыми сдвигами бездивергентного векторного поля а на Т", а А - поле линейных операторов, полученное также всевозможными правыми сдвигами поля А = Ае (см. (іі) в Определении 2.1). Из w-леммы [2] следует, что А С - гладко. Рассмотрим задачу Коши для уравнения (2.5) с начальным условием (0) = е, где е — единица группы Ds(Tn). Теорема 2.7 Задача Коши для уравнения (2.5) с таким начальным условиелі имеет сильное решение, определенное на промежутке [0,+оо). Доказательство. Выберем па D (Tn) карту (V, р), содержащую единицу, В ней уравнение (2.5) записывается в виде (см. [19]): df(t) = amdt - rYm(A it))A {t))dt + Amdw(t), (2.6) где 1 (-, ) - локальный коэффициент указанной связности Леви-Чиви-та в карте (V, ф). В силу того, что Vv непрерывен по г/, можно выбрать карту настолько малой, чтобы локальный коэффициент связности был меньше наперед заданного С 0. Зададим атлас на D"(Tn), разнеся карту (V, ф) всевозможными правыми сдвигами. Полученный атлас назовем правоинвариантным. Вложим плоский тор Тп изометрично в пространство Rfc, где к достаточно велико. Тогда, как это описано выше, D"(Tn) вложится в Н8(Тп,Жк) как окрестностпый ретракт. Так как D (Tn) — подмногообразие Ds(Tn), то у него существует трубчатая окрестность U С IIs{Tn,Rk) Рассмотрим карту (V, ) на Ds(Tn). В ней после вложения уравнение (2.6) примет вид где Г - локальные коэффициенты связности, вычисленные в пространстве Ня(Тп,Ш.к), как в карте. Известно, что трубчатая окрестность U над картой (V, ф) предста-вима в виде прямого произведения V х W, где W — шар в ортогональном дополнении к TeDs(Tn) в H"(Tn,Rk). Отметим, что V х W - специальная карта трубчатой окрестности U над (V, ф). В этой карте каждый вектор z TU единственным образом представим в виде z = zv + zw, где zv Є TV, a zw Є TW. Определим продолжение уравнения (2.7) на трубчатую окрестность U над картой (V, ф) по формуле
