Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Нелинейные уравнения, инвариантные относительно группы Евклида 8
I. Об одном классе уравнений, инвариантных относительно группы Е (4.,71-4) 8
2. Точные решения нелинейных уравнений типа QU, + F(4C,U>)U=0 12
1. Инварианты группы Е (^,3).
2. Точные решения уравнения Otl+AUli0=0.
3. Нелинейное уравнение Дарбу
4. О точных решениях уравнения WU+AdXpUU ^O.
5. Точные решения уравнения Q-Ц+Я /a^atl0~ 0.
3. Линейное уравнение Дарбу 36
4. Уравнение Буссинеска 41
ГЛАВА II. Галилеевски-инвариантные нелинейные уравнения 50
I. Уравнения, инвариантные относительно групп Галилея и Шредингера 50
2. Инварианты группы & С 4-, 2>) 61
3. Точные решения уравнения Гамильтона-Якоби. "Размножение" решений
ГЛАВА III. Уравнения газовой динамики 71
I. Одномерное изэнтропическое движение газа 42 1. Симметрия одномерных уравнений газовой динамики. 2. Общее решение в случае р= 5 .
2. Точные решения многомерных уравнений газовой динамики 82
3. Симметрия уравнений, описывающих специальные движения газа 98
4. Точные решения уравнений газовой динамики в случае изохорического движения 102
Литература
- Точные решения нелинейных уравнений типа QU, + F(4C,U>)U=0
- О точных решениях уравнения WU+AdXpUU
- Инварианты группы & С 4-, 2>)
- Симметрия уравнений, описывающих специальные движения газа
Введение к работе
Большинство реальных физических процессов описывается с помощью нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Для нелинейных дифференциальных уравнений, при всем изобилии интересных фактов и многообразии остроумных способов их решения, не существует общих методов исследования. Это связано в первую очередь с тем, что к нелинейным дифференциальным уравнениям неприменим принцип суперпозиций, поскольку многообразие решений не является линейным.
В последнее время, в связи с открытием нового метода математической физики - метода обратной задачи теории рассеяния, удалось проклассифицировать большое количество нелинейных эволюционных уравнений, допускающих полное и точное аналитическое описание. Это сделано, в основном, только для нелинейных двумерных дифференциальных уравнений. Для нелинейных многомерных дифференциальных уравнений данный метод трудно эффективно реализовать. В связи с этим особенно важно исследовать нелинейные многомерные дифференциальные уравнения. Для нелинейных уравнений даже правильная постановка классических задач связана с принципиальными трудностями, поэтому большое значение приобретает построение классов точных решений.
Задача отыскания решений как линейных так и нелинейных дифференциальных уравнений тесно связана с их групповыми свойствами. Еще более ста лет тому назад норвежский математик Софус Ли заложил основы группового анализа дифференциальных уравнений [63], [64], [65]. Он же первый применил свою теорию для построения решений конкретных дифференциальных уравнений.
Впоследствии многие исследователи использовали и разивали теорию С.Ли. Особенно эффективно использовал симметрию линейных волновых уравнений для нахождения точных решений Г.Бейтман. Он впервые использовал конформную инвариантность линейного уравнения Д"Аламбера для построения новых решений по известным. Важные идеи по отысканию инвариантных решений предложил Г.Биркгоф [IJ.
Современному изложению теории С.Ли и ее дальнейшему развитию за последнее время посвящена фундаментальная монография Л.В.Овсянникова [22]. Им, в частности, построена теория частично-инвариантных решений дифференциальных уравнений в частных производных. В настоящее время эта теория получила широкое применение.
Новый нелиевский подход к исследованию симметрии дифференциальных уравнений предложен в [4,5]. Этот метод существенно отличается от классического метода Ли. Основное отличие состоит в том, что базисные элементы алгебры инвариантности соответствующих уравнений являются интегродифференциальными операторами. По этой причине эти алгебры порождают нелокальные преобразования. В ин-финитезимальном методе С.Ли базисные элементы алгебры инвариантности того или иного дифференциального уравнения принадлежат классу линейных дифференциальных операторов первого порядка.
С помощью нелиевского метода обнаружены новые, ранее не известные, симметрии для уравнений Максвелла, Дирака [43], Ламе [42] и др.
В работах [45] и [48], используя групповые свойства сформулирован и в явном виде реализован один из возможных алгоритмов для отыскания классов точных решений для нелинейных многомерных дифференциальных уравнений.
Настоящая диссертация посвящена теоретико-групповому исследованию и построению целых классов точных решений нелинейных
Многомерных дифференциальных уравнений, инвариантных относительно групп Евклида и Галилея.
Так как многие законы сохранения (энергии, импульса, количества движения и др.) являются следствием той или иной симметрии, то как правило дифференциальные уравнения, для которых выполнены такие законы, инвариантны относительно групп Евклида, Лоренца, Пуанкаре, Галилея и др. В связи с этим важной является задача описания классов дифференциальных уравнений, инвариантных относительно той или иной группы. В диссертации это сделано для групп Евклида и Галилея.
В первой главе описаны все нелинейные уравнения вида U1L +F(U,lC)tL=0 инвариантные относительно расширенной группы Евклида. Для некоторых из найденных уравнений построены целые классы точных решений. Здесь же построены многопараметрические семейства решений для известных уравнений Дарбу и Буссинеска.
Вторая глава посвящена галилеевски-инвариантным нелинейным многомерным дифференциальным уравнениям. Описаны все нелинейные уравнения в частных производных 2-го порядка, инвариантные относительно групп Галилея и Шредингера. Полученные уравнения нелинейным образом обобщают уравнение диффузии, так что сохраняется инвариантность относительно группы Галилея. Найдены точные решения уравнения Гамильтона-чЯкоби, получены формулы "размножения" решений данного уравнения.
В третьей главе рассматриваются основные уравнения газовой динамики. Установлено, что одномерные уравнения газовой динамики обладают уникальной симметрией - бесконечномерной алгеброй Ли. Используя это свойство, найдено общее решение данных уравнений.
Построены многопараметрические семейства решений нелинейных многомерных уравнений газовой динамики. Исследованы групповые свойства и найдены точные решения нелинейных уравнений, описывающих специальные движения газа. Получены формулы "размножения" решений.
Автор выражает благодарность своему научному руководителю доктору физ.-мат.наук, профессору В.И.Фущичу за постановку задач и постоянное внимание к работе.
Точные решения нелинейных уравнений типа QU, + F(4C,U>)U=0
В основе подхода к отысканию точных решений дифференциальных уравнений лежит формула (см. [45] ) где (f - некоторая неизвестная функция от новых переменных гії(Х)={і4Щ- Ufn-i і » ф(Л) и $(0б) -известные функции, ЦҐ(Х) - инварианты группы инвариантности данного дифференциального уравнения. Новые переменные и явные выражения для функций (%) и й(Х) определяются из системы уравнений Лагранжа dXo _ dXi. _ _ dx-n-i dtt to - tn 1 Ь J (1.2.2) где f и /і функции задающие инфинитезимально группу инвариантности дифференциального уравнения =t+ -І- 0(6 ). . м. Для уравнений типа (1.1.1) г и задаются формулами (І.І.ІЗ). Подставив (І.2.І), например, в уравнение (I.I.I), в силу того, что 1/f - инвариантные переменные получим для функции f(ltf) уравнение, не зависящее от JLu . Полученное таким путем уравнение зависит только от новых переменных W , причем число переменных Ьи на единицу меньше, чем переменных ЗС в уравнении (I.I.I). Если удается найти какие-либо решения нелинейного дифференциального уравнения в частных производных для функции (f(Uf) , то тем самым по формуле (I.2.I) найдем решения исходного уравнения. 1. Инварианты расширенной группы Евклида Е а з)
Вопрос о нахождении инвариантов yf(X) , как отмечалось выше, связан с интегрированием системы уравнений Лагранжа (1.2.2). Вообще говоря, система (1.2.2) имеет бесконечно много решений в зависимости от того, какой вид имеют функции . Овсянников в [2.1] предложил перечислить все несопряженные подгруппы группы инвариантности данного уравнения и интегрировать систему (1.2.2) для каждой подгруппы отдельно. Этот вопрос связан с чисто алгебраическими трудностями перечисления всех несопряженных подгрупп данной группы. Мы будем искать инварианты 1/f(X) несколько иным способом.
В этом пункте мы рассмотрим группу Е (ЧЗ.) , коэффициен ты с инфинитезимального оператора (І.І.9), которой имеют вид (см. (1-І.13) ): ) efa X dft/ (1-2.4) где &м.))j cL t fL,P= 6 - произвольные постоянные, причем Введем следующее обозначение 4lL-. dX±_ dX ._ (1ъ dti, J+ (T о м- TZ - T5 - —у - ЫТ и. і.о; В новых обозначениях с учетом (1.2.4) система (1.2.2) примет вид = Cf4.it Я -f-Ufo (1.2.6) (1.2.6) - это линейная система обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, методы решения которой хорошо разработаны. В зависимости от соотношений между коэффициентами С р и d в формулах (1.2.4) будем иметь несколько независимых решений системы (1.2.6). После чего, исключив параметр t » получим инварианты W(X)
Для того, чтобы найти функции (я.) и #ej в формуле (I.2.I), остается проинтегрировать уравнение f= . (I.2.I7) Исходя из явного вида л для каждого уравнения будем находить (Х) и OCX) , интегрируя (1.2.17). 2. Точные решения уравнения Qil + ЛИ ЬС0 -О. Рассмотрим нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных (I.I.I) с нелинейностью вида (I.1.18) для к=4. Ъи + ЛЪСио=0, (1.2.18) где Ы=иШ, Я (Х0,Х,ЯЯ,Я3).
Отметим, что данное нелинейное дифференциальное уравнение встречается в теории афинной связности поля, в теории газовой динамики и др. Решения данного уравнения в двумерном случае при Л=Л были найдены в \.10\.
Заметим, что решения уравнения (1.2.18) полученные ниже, в случае четырех переменных существенно новые, только некоторые из них являются аналогом решений в пространстве двух переменных.
Решения уравнения (1.2.18) ищем по формуле (1.2.1). Причем, из явного вида О и формулы (1.2.17) следует, что в (I.2.I) Q(OI)=LO , а Ш= уо Для случаев 1-4.7 и (%) = ± для случаев 5,6,8-10.
О точных решениях уравнения WU+AdXpUU
Если в инварианте ЪсГ (см.(1.2.26)) второе слагаемое за менить на произвольную дифференцируемую функцию , то получим решение уравнения (1.2.18), содержащее произвольную функцию о где 16 =67. Формулы (I.2.51) и (1.2.52) описывают целые классы решений уравнения (1.2.18).
Мы получили решения уравнения (1.2.18) в случае ґі- . Очевидно, что эти решения удовлетворяют уравнению (1.2.18) и при К ъ ? только суммирование по повторяющимся индексам надо проводить от О до /г-і. . Однако для к ,5 существуют и другие решения уравнения (1.2.18). Их можно получить аналогично, если проинтегрировать уравнение (1.2.2) и определить инварианты vf(x) . 3. Нелинейное уравнение Дарбу
Ограничиваясь рассмотрением случаев /- У(иґі) , с целью получить для функции Cf обыкновенное дифференциальное уравнение, мы теряем информацию о многих других решениях уравнения (1.2.18). Если бы удалось решить уравнение в частных производных для функции f (W) , то таким образом мы получили бы более широкий класс решений уравнения (1.2.18). С этой целью рассмотрим уравнение (1.2.25), где f{UUrzt&)\ АЯі + иНУль-Щ+ЛуЬоЩ =0, (1.2.53) _ 9Q _ которое заменой #о=Ч, У &І ЛІЇЇ., (1.2.54) приведем к каноническому виду У - f„- & + сРСР -п (1.2.55) Уравнение (1.2.55) является нелинейным уравнением Дарбу. С помощью алгоритма Ли [21] можно доказать утверждение. Теорема I.2.I. Уравнение Дарбу (1.2.55) инвариантно относительно группы преобразований где ty Coofr + dr, І=-с /,сі0 0, Ь=6 , fL=0,±. Решение уравнения (1.2.55) ищем в виде /= Ф(\М )ГУ), (1.2.56) где и/ = -о $(%)= &\ Но % , , sr =#, e0=e nd.
Подставляя (1.2.56) в (1.2.55) для функции имеем обыкновенное дифференциальное уравнение которое интегрированием приводится к уравнению Риккати 4и4 )Ф ф- \мф =Єу (1.2.57) где С - постоянная интегрирования. Легко убедиться, что частным решением уравнения (1.2.57) при С=0 будет функция - зо , Ф=[ 2 /[Ї ІГ ± где С± - постоянная интегрирования. Тогда функция Ч-- №\ l\-%+ttf{ А )]_І (1-2.58) решение уравнения (I.2.55). Из (1.2.58), (1.2.54), (I.2.19) получим решение уравнения (1.2.18) и= ММ Ч - (А, +ф + - САХЧЇЇ -±
Таким образом, на примере уравнения (1.2.53) мы показали как находить точные решения дифференциальных уравнений в частных производных используя два шага исследования симметрии. Очевидно, что в случае П 5 данный процесс можно применять в несколь ко шагов.
Аналогично, как в предыдущих пунктах, используя формулу (I.2.1) и явный вид инвариантов Uf(X) , найдем точные решения нелинейного дифференциального уравнения в частных производных OUf-AexpWUo=0 у (1.2.59) - ЗІ где V.= tL(X)?Od= (X0 Xj,f ), инвариантного относительно группы E (4-І$) Из (1.2.17) получаем, что в формуле (I.2.I) 4(я)=± для всех десяти случаев, $(&)= -пМ0 для 1-4, а для остальных - Of л) =0. Решения уравнения (1.2.59) ищем в виде UL = cffUf) +Qf3t). (1.2.60) Подставляя (1.2.60) в (1.2.59) для функции f получим диф ференциальное уравнение в частных производных относительно U2. » где У т еарр иґагиґ/, Т%ор.«у # = аигл, Для первых 6-ти случаев инвариантов 1/f группы ti уравнение (1.2.61) имеет вид: М ( 1)%- з%5+в(Щ,-)% г -. (1.2.62) 2. и + 4 - %S4ШЧ- ) /„ 3. (Uf/M1) "ЬШ- ЧЬ+ Ы зъ +їак(і&±)% + - 32 + 4 +4 4 - 5+ ч + + 4 + + +4 -/ + (1-2-№) 5- щ+Щї(і- )%+тіь-щ+МА %у ру - (1-2-66) Рассмотрим для примера, уравнение (1.2.62), частное решение которого удалось найти полагая - г 0 Тогда функция (/? удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению (uf-c J /d- ZuftfrMvlfSd) жрУ +4 = Й (1.2.68) Интегрируя уравнение (1.2.68), имеем уравнение где - постоянная интегрирования. Последнее уравнение подстановкой f=faV (1.2.69) приводится к уравнению Вернули общее решение которого дается формулой ОС v= 4 (Уґл -Л) (U/.-d) 3?cl (vfirjy&m+j.) 3J& \. (1.2.70) В зависимости от значений постоянной , из (1.2.70), в силу (1.2.69), имеем следующие решения уравнения (1.2.68): (1.2.71) Тогда из (1.2.71) и (1.2.60) получим решения уравнения (1.2.59): U= - Ль (бЛ {U -Jy} +Л) . Для некоторых других уравнений (1.2.63)-(1.2.67) удалось найти частные решения. В результате имеем следующие решения уравнения (1.2.59):
Инварианты группы & С 4-, 2>)
Настоящая глава посвящена изучению групповых свойств основных уравнений газовой динамики и построению их точных решений.
Установлено, что максимальной группой инвариантности одно-» мерных уравнений газовой динамики, описывающих изэнтропическое движение пометропного газа, является бесконечномерная алгебра Ли. Это групповое свойство одномерных уравнений использовано для построения общего решения.
Построены целые классы точных решений многомерных уравнений газовой динамики, используя формулу U Ш=(х) cjitf) + &(Х) 9 (3.0.1) где Ш&У [и ЗД fxUfm - неизвестные функции, WJ(0fy \Ufpb... ufffi} инварианты группы инвариантности данной системы уравнений, с$г() и J3(x ) - известные переменные матрицы раз мерности (п-)х (ft-d) и (fL-d) х і соответственно, ко торая является обобщением формулы (І.2.І). Изучены групповые свойства и построены точные решения уравнений, описывающие специальные модели движения газа.
Используя решения уравнения Гамильтона-Якоби, получены некоторые решения уравнений газовой динамики. - 72 I. Одномерное изэнтропическое движение газа В данном параграфе доказано, что одномерные уравнения газовой динамики для изэнтропических течений политропного газа инвариантны относительно бесконечномерной алгебры Ли. Это свойство использовано для построения их общего решения.
Дифференциальные уравнения для скорости XL(-h;X) и плотности рС Х) при одномерном изэнтропическом течении имеют вид "Скорость звука" 0(0) определяется формулой C ]/ f(o) 0 , где О- JL(p) заданная монотонная функция, выражающая зависимость давления р от плотности О
Отметим, что одномерные изэнтропические движения среды являются одним из самых изученных разделов газовой динамики. Еще в 1808 году Пуассон [68J получил решение (3.I.I) в виде простой волны 11= Р( - (Ui-C)i); где г - произвольная дифференцируемая функция.
Чэллис (1848) f58J заметил, что это уравнение не всегда имеет единственное решение для скорости . Чтобы получить единственное решение, Стоке (1848) [72] предложил считать, что разрыв в скорости начинается тогда, когда производная становится бесконечной и получил два условия на разрыве. Ирншоу (1858) [бО J получил решение в виде простой волны для газов, удовлетворяющих люйому соотношению р= (р) Риман (I860) [27J независимо развил теорию простой волны и построил общее решение задачи о течении с помощью "инвариантов Римана".
Большой вклад в теорию газовой динамики внесли Гюгонио Ї593 Седов Л.И; [29j, Христианович С.A. [51], Зельдович Я.Б. [ДОІ, Ландау А.Д. и Лифшиц Е.М. [18] и др. Групповому анализу уравнений газовой динамики посвящена монография Овсянникова [24].
На сегодняшний день групповой анализ уравнений газовой ди-намики приобретает большое значение. Давно известные автомодельные решения одномерной газовой динамики по существу, были получены с помощью группового анализа.
Симметрия уравнений, описывающих специальные движения газа
В настоящем параграфе полностью исследована симметрия уравнений газовой динамики (3.2.1) в классе линейных дифференциальных операторов 1-го порядка при р=еоп#Ь и $=G0n$t . Если плотность и давление газа постоянные, то уравнения (3.2.1) имеют вид [їХо+ (U V)U =0 (3.3.1) dcVU O (3.3.2) где яГ = и(х)={иЩ UCX)y U3(X)\ Z=(Z0,Xh) Для исследования симметрии уравнений (3.3.1), (3.3.2) применим лиевский алгоритм [21J. Следуя [2lJ, инфинитезимальный - 39 оператор группы инвариантности данных уравнений будем искать в виде где /66 = 3, = 3.
В работе [ 71 ] частично исследована симметрия уравнений . /с -» (3.3.1) в случае, когда г в (3.3.3) не зависит от il \ = (х) . При этих предположениях там установлено, что уравнения (3.3.1) инвариантны относительно группы где J61(4,1) - это группа линейных неоднородных преобразований 4-х мерного пространства, С fa) - группа конформных преобразований. Причем преобразования группы й имеют вид #/1= +а $%) + № ), где to «о .DJ +Ao +Ag ue216 a,i=Z5.
Используя алгоритм [Zl]9 нами установлена лемма, которую из-за громоздкости реализации данного алгоритма приведем без доказательства. Лемма. Максимальной алгеброй инвариантности уравнений (3.3.1) является бесконечномерная алгебра Ли, причем координаты - 100 инфинитезимального оператора А (X, U) н №, U) удов летворяют следующей системе уравнений (3.3.6) где индекс внизу, как и раньше, означает дифференцирование по соответственному аргументу.
Замечание. Если A = A я») , то из (3.3.6) в част ности, получим формулы (3.3.5). Исследуем теперь симметрию полной системы уравнений (3.3.IM3.3.2). Теорема 3.3.1. Максимальной алгеброй инвариантности уравнений (3.3.1) (3.3.2) является алгебра tf&l»(4j/l) с базис ними генераторами р. &в в — -й о. XJo- U«-4l4C?ug, &а ГХода, +#и Л= #0 0.+ иадись ; ; а їЗ /4-ї (3.3.7)
Доказательство. Следуя [21J для определения координат инфинитезимального оператора (3.3.3), кроме уравнений (3.3.6) получим еще дополнительные уравнения - 101 dttr?=0? J =0, Л = з , W/3. (3.3.8) Из (3.3.6), (3.3.8) получим формулы (3.3.5) при dC = 0 . / = 3 : С= + Гг, /-«з, {3.з.9) Формулы (3.3.7) получаются из (3.3.9) стандартным методом (CM.[20J). Замечание. Алгебра (3.3.7) в качест ве подалгебр содержит и алгебру Пуанкаре и алгебру Галилея. Это означает, что уравнения (3.3.1)-(3.3.2) описывают как релятивистские процессы, так и нерелятивистские. Причем интересно отметить, что операторы Лоренца jOCb алгебры Пуанкаре реализуются нелинейным представлением УооГ оЯ- Ъ. +i(u«u%- 4.), (3-3-10) где /L- $м.) дЗ, Я-лИ т метРический тензор с сигнатурой
Если определить конечные преобразования, порождаемые операторами (З.З.Ю), то получим известный закон преобразования для координат и времени 1Л/- \f /4- Vа и правило сложения скоростей І-+ VU (3.3.12) - 102 4. Точные решения уравнений газовой динамики в случае изохорического движения В данном параграфе, используя групповые свойства уравнений (3.3Д) и (3.3.1)-(3.3.2), построены их точные решения, получены формулы "размножения" решений. I. Рассмотрим уравнение (3.3.1) їіа+ (HV)U=0 (3.4.1) где и = й(Х) {и-Щи2т/и3М} Я=(ХоЛ). Решения уравнения (3.4.1), инвариантные относительно расширенной группы Галилея будем искать по формуле которая является частным случаем формулы (3.2.13). Так как все случаи независимых инвариантов и значений функций #&0, Ы(з$ , 1 (%о) и В(Хо) для уравнения (3.4.1) совпадают со случаями 1)-8) 2 гл.П и 2 гл.Ш, то и уравнения для функций УМ) будут совпадать с уравнениями (3.2.14)-(3.2.21), только в них нужно положить Я -О и отбросить последнее уравнение в каждой из указанных систем. Ниже приведем только те уравнения для функций УМ) , для которых удалось найти частное решение. Рассмотрим уравнения (3.2.14). Если Ц—j - - Тх -О , то для функций У получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений
