Содержание к диссертации
Введение
1 Построение вариационных множителей для линейных дифференциальных операторов с частными производными второго порядка с переменными коэффициентами 16
1.1. Постановки обратных задач вариационного исчисления (ОЗВИ) 17
1.2. Метод решения обобщенных ОЗВИ 21
1.3. Несуществование решений ОЗВИ для линейных ультрапараболических операторов с частными производными второго порядка 24
1.4. Конструктивные решения обобщенных ОЗВИ для линейных иепараболических дифференциальных операторов с частными производными второго порядка 27
2 Существование вариационных принципов для дифференциально-разностных операторов с частными производными 47
2.1. Условие потенциальности дифференциальных операторов 48
2.2. Простейшие дифференциально-разностные операторы с частными производными, допускающие вариационные принципы 51
2.3. Условия потенциальности дифференциально-разностных операторов с частными производными 67
2.4. Об одной классификации дифференциально-разностных операторов 79
3 Вариационность эволюционных дифференциально-разностных уравнений и симметрии 88
3.1. Оператор рекурсии и симметрии заданных дифференциально-разностных уравнений 89
3.2. Вариационность эволюционных дифференциально-разностных уравнений 99
Заключение 108
- Метод решения обобщенных ОЗВИ
- Конструктивные решения обобщенных ОЗВИ для линейных иепараболических дифференциальных операторов с частными производными второго порядка
- Простейшие дифференциально-разностные операторы с частными производными, допускающие вариационные принципы
- Вариационность эволюционных дифференциально-разностных уравнений
Введение к работе
Диссертация посвящена исследованию существования и построению решений обратных задач вариационного исчисления (ОЗВИ) для дифференциально-разностных операторов. Вопросы, рассматриваемые в данной работе, тесно связаны со следующей постановкой ОЗВИ, обобщающей ее классическую формулировку. Дан произвольный оператор N с отклоняющимися аргументами. Требуется найти функционал, множество стационарных точек которого совпадает с множеством решений задачи N(u) = 0.
Под задачей построения интегральных вариационных принципов для системы уравнений в общем случае имеют ввиду построение таких функционалов, множество критических точек которых совпадает с множеством решений исходной системы.
" Широкое -распространение и систематическое использование вариационных принципов обусловлено рядом замечательных последствий вариационных формулировок:
-в теоретических исследованиях экстремальные вариационные принципы позволяют установить существование решений исходных уравнений;
-в приложениях важной является возможность получения устойчивых приближений решений рассматриваемых уравнений так называемыми вариационными методами;
-на основе вариационных формулировок возможно получение интегралов эволюционных уравнений, в том числе законов сохранения.
Однако, все эти преимущества вариационных принципов в течение длительного времени удавалось использовать лишь для узкого класса потенциальных операторов.
Существует потребность в получении вариационных принципов для новых классов линейных несимметричных операторов и нелинейных не потенциальных операторов. Это требует построения функционалов -решений обратных задач вариационного исчисления - и исследования соответствующих экстремальных вариационных задач. Вместе с тем, даже для основных операторов математической физики -параболических, гиперболических и широких классов эллиптических в известных классах функционалов Эйлера-Лагранжа не существует ограниченных сверху или снизу решений ОЗВИ [78].
Прямой вариационный метод исследования дифференциальных операторов с частными производными получил, начиная с работ Д. Гильберта [89], дальнейшее развитие и глубокое теоретическое обоснование в работах С.Л. Соболева [72], СМ. Никольского [45], Л.Д. Кудрявцева [36] и других. Большое значение для распространения вариационных методов в приложениях имели работы М.М. Вайнберга [9], С.Г. Михлина [41], К. Ректориса [102]. Однако разработанный прямой вариационный метод распространялся, в основном, только на линейные самосопряженные, положительные операторы или на нелинейные потенциальные операторы.
В работах А.Е. Мартынюка [40], В.В. Петришина [101], В.М. Шалова [80], В.М. Филиппова [75, 78], Э. Тонти [107], В.М. Савчииа [59, 78, 105] были предложены некоторые общие подходы построения и исследования экстремальных вариационных задач для не потенциальных операторов.
К ОЗВИ привела, в частности, разработка вариационных методов решения линейных уравнений с В-симметрическими и В-положительными операторами и их обобщения на нелинейные уравнения с не потенциальными операторами. Наряду с другими результатами, исследования в этой области показали необходимость изучения классов функционалов, не являющихся функционалами Эйлера-Лагранжа.
В исследованиях по классической ОЗВИ можно выделить две ветви, которые на протяжение длительного периода развивались независимо. Первая из них связана с именем Г. Гельмгольца [90], который нашел необходимые условия представления обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) второго порядка в виде уравнений Эйлера-Лагранжа. Достаточность этих условий была независимо доказана А. Майером [100] и Г.К. Сусловым [73]. Данные условия и некоторые другие эквивалентные формы этих условий в современной литературе принято называть условиями потенциальности Гельмголъца. В случае их невыполнения было предложено рассматривать задачу об отыскании вариационных интегрирующих множителей, с помощью которых можно построить эквивалентные уравнения, допускающие представление в виде уравнений Лагранжа.
Аналогичная задача рассматривалась и для дифференциальных операторов с частными производными. В этом направлении Е.Т. Копсон [87] доказал, что для линейного дифференциального оператора с частными производными параболического типа не существует искомого вариационного интегрирующего множителя, зависящего лишь от независимых переменных. Следует подчеркнуть, что поиск решений соответствующих ОЗВИ велся только в рамках классов функционалов Эйлера-Лагранжа.
Начало второй ветви было положено В. Вольтерра [109] и в дальнейшем составило основу теории потенциальных операторов.
В настоящее время известны различные подходы к исследованию операторов на потенциальность, основанные на алгебраических и геометрических методах (см., например, [6], [10], [41]).
В плане дифференциально-разностных операторов ОЗВИ почти не рассматривались, хотя прямые задачи вариационного исчисления с одним аргументом ставились еще Л.Э. Эльсгольцем [82] - [85] и получили дальнейшее развитие в работах Г.А. Каменского [15] -[17], [93, 94], А.Л. Скубачевского [70, 71, 106] и др. В этом направлении анализировались различные разделы теории обыкновенных дифференциальных операторов, выясняя, в какой форме соответствующие результаты переносятся на теорию дифференциальных операторов с отклоняющимися аргументами, какие принципиально новые свойства возникают при таком перенесении.
Под обыкновенным дифференциально-разностным уравнением понимается [3] уравнение относительно неизвестной функции и ее производной, вычисленное при некоторых значениях аргумента, отличающихся на постоянные.
В обширной литературе, посвященной данному вопросу, различные подклассы уравнений такого типа называют также функционально-дифференциальными уравнениями, уравнениями с отклоняющимися аргументами, уравнениями с последействием.
Линейные дифференциально-разностные уравнения первого порядка делятся на три вида [82]:
1) уравнения с запаздывающим аргументом;
2) уравнения нейтрального типа;
3) уравнения опережающего типа.
В приложениях наиболее часто встречаются уравнения с запаздывающим аргументом, реже - уравнения нейтрального типа. Прикладных задач, сводящихся к уравнениям опережающего типа известно пока совсем немного. Это обусловлено тем, что методы решения для уравнений с запаздывающим аргументом или нейтрального типа не подходят для таких уравнений. Например, метод шагов, он так же применим к уравнениям опережающего типа, но вообще говоря, эти уравнения теряют запас гладкости, который имела начальная функция, и через некоторое число шагов решение может даже не существовать. Метод преобразования Лапласа (метод последовательного интегрирования, экспоненциальные оценки) непригоден для уравнений опережающего типа. В общем случае, решения не имеют экспоненциального порядка роста, и поэтому интегралы Лапласа будут расходящимися.
В ряде случаев предположение о том, что отклонение постоянно, хорошо отражает действительные явления, например, когда запаздывание связано с передачей звукового сигнала, с гидравлическим ударом или другим волновым процессом. Следует отметить, что подстановка t = —t превращает уравнение запаздывающего типа по і в уравнение опережающего типа по і! и обратно и превращает уравнение нейтрального типа в другое уравнение нейтрального типа. Уравнения запаздывающего тина в некоторых отношениях проще уравнений нейтрального или опережающего типа.
В самых разнообразных областях науки часто встречаются системы с запаздывающими связями, динамические процессы, которые описываются дифференциальными, интегральными и интегро-дифференциальными уравнениями с отклоняющимися аргументами.
Как известно, дифференциально-разностные уравнения возникают в теории колебаний, при изучении процессов в реактивных двигателях, при решении ряда проблем теоретической физики, некоторых задач экономики, биологии и экологии. Например, клапан в двигателе Дизеля поднимается под действием давления газа, сжимаемого поршнем. Легче описать движение клапана, введя запаздывание по времени в уравнение движения клапана, чем пытаться решить полностью задачу о движении клапана и течении газа в цилиндре [48].
Уравнение у" (t) + 2ry {t) + u2y(t) + 2qy (t - 1) = sy 2(t - 1), где г,д,ш,є - постоянные и є мало, исследовал Минорский Н. в связи с теорией самовозбуждающихся колебаний в системах стабилизации судов. Ранее Горелик Г.С. вывел подобное уравнение при изучении влияния времени пролета электронов в электронных лампах. Своеобразный класс экологических задач порождает теория эпидемий. Введение запаздывания в дифференциальные уравнения, описывающие какой-либо биологический процесс, является естественным математическим наличие инкубационного периода, показано, что решение при t — со стремится к постоянной.
Параболические функционально-дифференциальные уравнения возникают в теории нелинейных оптических систем с двумерной обратной связью [69]. Квазилинейные_параболические функционально-дифференциальные уравнения возникают при математическом описании нелинейных оптических систем с преобразованием поля в двумерной обратной связи. Такие системы используются при генерировании лазерных пучков и применяются в современной компьютерной технологии.
С помощью дифференциально-разностных уравнений можно рассмотреть задачу о распространении тепла в системе материальных точек с термальными связями [16]. Также данные уравнения описывают нестационарное течение идеальной жидкости со свободной поверхностью [81]. В частности, путем прямого численного моделирования было рассмотрено возникновение интересного (и сложного) океанологического явления "волны-убийцы". "Волны-убийцы"могут возникать в следствии нелинейных эффектов в уравнениях, описывающих течение идеальной жидкости со свободной поверхностью.
В 1996 г. в докладе [96] на II Всемирном конгрессе нелинейных аналитиков (Афины) было предложено следующее определение: Смешанным ФДУ (СДУ) называется ФДУ, для функции более чем одного непрерывного аргумента, в котором (уравнении) производная от нее берется только по одному из этих аргументов.
Таким образом, "смешанность "уравнения состоит в
противопоставлении одного из аргументов, играющего роль времени и как бы отвечающего за эволюцию, остальным аргументам, которые естественно трактовать как пространственные. При этом оператор, действующий по пространственным аргументам, - ограниченный (разностный, интегральный и т. п.). Это делает класс СДУ в некотором смысле промежуточным между обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ) и уравнениями математической физики.
Среди основных направлений и исследований дифференциально-разностных уравнений следует отметить:
1) прямые вариационные задачи;
2) теорию линейных уравнений;
3) теоремы существования и приближенные методы;
4) теорию устойчивости;
5) исследование периодических решений и др.
При решении задач вариационными методами возникает необходимость построения функционалов, критические точки которых совпадают с решениями исходных уравнений. Исследование проблемы построения искомых функционалов начинается с проверки выполнения условий потенциальности соответствующих операторов. Для обыкновенных дифференциальных уравнений имеются эффективные методы, позволяющие проверять потенциальность соответствующих операторов [78].
Для уравнений с непотенциальиыми операторами поиск функционалов соответствующих вариационных принципов является актуальной и нетривиальной проблемой. Несмотря на значительное количество работ в этом направлении, имеется ряд проблем, в основном, в области конструктивного построения решений обратных задач вариационного исчисления для таких операторов.
Актуальными являются задачи решения ОЗВИ для дифференциально-разностных операторов с частными производными. Такая задача была впервые сформулирована в работе [63].
Попов A.M. [50] получил условия потенциальности дифференциально-разностных операторов второго порядка нейтрального типа. Для систем дифференциально-разностных уравнений n-го порядка нейтрального типа в работе [51] получены необходимые и достаточные условия потенциальности относительно классической билинейной формы. Полученные результаты • применяются к квазилинейным системам первого порядка.
Исследования в области дифференциально-разностных операторов, в настоящее время привлекает к себе все большее внимание (см., например, работы [1], [7], [11], [18],[52], [65], [71], [79], [86], [97]).
Решение задач с дифференциально-разностными операторами представляет специфические трудности, так как сами постановки задач отличаются от соответствующих постановок задач для обыкновенных дифференциальных операторов.
Значительный интерес представляет распространение результатов, полученных по ОЗВИ для обыкновенных дифференциальных операторов и дифференциальных операторов с частными производными на дифференциально-разностные операторы с частными производными.
Основная цель диссертационной работы состоит в разработке методов построения решений ОЗВИ - вариационных принципов -для различных классов дифференциально-разностных операторов с частными производными; получении условий потенциальности для дифференциально-разностных операторов с частными производными относительно различных билинейных форм; разработке алгоритмов построения симметрии дифференциально-разностных уравнений с частными производными.
Диссертация носит теоретический характер. Вместе с тем ряд установленных фактов и их следствий представляют определенный интерес для приложений. Результаты диссертации могут быть использованы для изучения потенциальных и непотенциальных взаимодействий различной физической природы, описываемых дифференциальными и дифференциально-разностными операторами с частными производными.
По теме диссертации опубликовано 16 работ автора.
В диссертацию включены только те результаты, которые получены лично диссертантом. В совместно опубликованных работах В.М. Филиппову и В.М. Савчину принадлежат постановки задач, другим соавторам - решения ряда технических вопросов.
Диссертация состоит из введения, трех глав и библиографического списка литературы, состоящего из 109 наименований.
Во введении кратко излагается история рассматриваемого вопроса и современное состояние проблем, исследуемых в диссертации. Проводится обоснование актуальности темы, формулируются цели и задачи диссертационной работы и дается краткое содержание работы.
Первая глава посвящена исследованию существований решений обратных задач вариационного исчисления для одного достаточно общего класса дифференциальных операторов с частными производными. Доказано, что для некоторых непотенциальных дифференциальных операторов с частными производными второго порядка существуют вариационные множители и получены формулы для их построения.
В параграфе 1.1 рассмотрены основные современные постановки обратных задач вариационного исчисления. В параграфе 1.2 представлен алгоритм построения вариационного множителя для заданного непотенциального дифференциального оператора с частными производными второго порядка с переменными коэффициентами.
В параграфе 1.3 исследуется задача существования вариационных множителей для дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка ультрапараболического типа.
В параграфе 1.4 найдены решения обобщенных ОЗВИ для непараболических дифференциальных операторов с частными производными второго порядка с переменными коэффициентами.
Вторая глава посвящена исследованию на потенциальность дифференциально-разностных операторов с частными производными.
В параграфе 2.1 приведены необходимые определения из функционального анализа и теории дифференциальных операторов с частными производными, а также дан критерий потенциальности операторов.
В параграфе 2.2 исследованы на потенциальность дифференциально-разностные операторы простейших задач с частными производными.
В параграфе 2.3 исследована задача о существовании вариационных принципов для заданных краевых задач для дифференциально-разностных операторов с частными производными второго порядка. Получены необходимые и достаточные условия потенциальности типа Гельмгольца для весьма общего нелинейного дифференциально-разностного оператора с частными производными относительно классической билинейной формы, а также относительно билинейной формы со сверткой. Они являются удобными для проверки заданного оператора на потенциальность и служат основой для нахождения вариационных множителей - как решения, в общем случае, переопределенной системы уравнений с частными производными.
В параграфе 2.4 дана одна классификация дифференциально разностных операторов, основанная на анализе сил.
В третьей главе представлен метод построения симметрии дифференциально-разностных уравнений с частными производными. Получены необходимые и достаточные условия вариациониости операторного эволюционного дифференциально-разностного уравнения.
В параграфе 3.1 исследован вопрос о существовании операторов рекурсии и нахождении группы симметрии для ряда дифференциально-разностных уравнений с частными производными. Доказана теорема об операторе рекурсии. Получены необходимые и достаточные условия, при которых система дифференциально-разностных уравнений с частными производными второго порядка допускает группу симметрии.
В параграфе 3.2 Получены условия вариациониости операторного эволюционного дифференциально-разностного уравнения с первой производной по t.
В работе используются современные методы решения обратных задач вариационного исчисления, методы нелинейного функционального анализа и теории дифференциальных операторов с частными производными.
Сформулируем основные результаты диссертации, выносящиеся на защиту:
1. Получена достаточно общая классификация линейных дифференциальных операторов с частными производными второго порядка, допускающих решения ОЗВИ в различных постановках.
2. Установлено несуществование вариационного множителя достаточно общего вида для заданного класса ультрапараболических операторов.
3. Даны конструктивные решения обобщенных ОЗВИ для непараболических дифференциальных операторов с частными производными второго порядка с переменными коэффициентами.
4. Получены необходимые и достаточные условия потенциальности заданных нелинейных дифференциально-разностных операторов с частными производными относительно классической билинейной формы и билинейной формы со сверткой.
5. Получена система дифференциальных уравнений с частными производными для нахождения вариационных множителей.
6. На дифференциально-разностные уравнения с частными производными распространен метод построения симметрии, основанный на операторе рекурсии.
7. Найдены условия, при выполнении которых система дифференциально-разностных уравнений с частными производными 2-го порядка допускает группу симметрии.
8. Получены необходимые и достаточные условия вариационности операторного эволюционного дифференциально-разностного уравнения.
Следует отметить, что в работе используется определенный интеграл в смысле Римана. Напомним, что он существует тогда и только тогда, когда подынтегральная функция является ограниченной, а множество ее точек разрыва имеет лебегову меру ноль [14]. В этой связи отметим, что ограничения на гладкость рассматриваемых в работе функций в ряде случаев могут быть понижены, обеспечив при этом существование соответствующих интегралов.
Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на научных конференциях по проблемам математики, информатики, физики и химии, ежегодно проводимой в Российском университете дружбы народов (1996-2008 г.г.); на научном семинаре по вариационным принципам и методам в математике и естествознании кафедры математического анализа факультета физико-математических и естественных наук Российского университета дружбы народов под руководством профессоров В.М. Филиппова и В.М. Савчина (1998 - 2001 г.г.); на научном семинаре по теории устойчивости и качественной теории динамических процессов Российского государственного открытого технического университета путей сообщения под руководством профессора А.А. Шестакова (2001 г.); на научном семинаре кафедры дифференциальных уравнений и функционального анализа Российского университета дружбы народов по теории дифференциальных уравнений под руководством профессора М.Ф. Сухинина (2002 г.); на научном семинаре кафедры дифференциальных уравнений Московского авиационного института (ГТУ) по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям под руководством профессоров Г.А. Каменского и А. Л. Скубачевского (2002 г.); на научном семинаре кафедры дифференциальных уравнений Российского университета дружбы народов по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям под руководством профессора А.Л. Скубачевского (2006 г.); на научном семинаре "Обратные задачи математической физики" под руководством профессоров А.Б. Бакушинского, А.В. Тихонравова и А.Г. Яголы (2007 г.); на объединенном научном семинаре по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям кафедры дифференциальных уравнений и математической физики Российского университета дружбы народов под руководством профессора А.Л. Скубачевского и по функциональному анализу кафедры математического анализа и теории функций Российского университета дружбы народов под руководством профессора В.Д. Степанова (2008 г.).
Автор выражает глубокую благодарность и признательность В.М. Филиппову и В.М. Савчииу за постановки задач и постоянное внимание к работе.
Метод решения обобщенных ОЗВИ
Дан произвольный оператор N с отклоняющимися аргументами. Требуется найти функционал, множество стационарных точек которого совпадает с множеством решений задачи N(u) = 0. Под задачей построения итегральных вариационных принципов для системы уравнений в общем случае имеют ввиду построение таких функционалов, множество критических точек которых совпадает с множеством решений исходной системы. " Широкое -распространение и систематическое использование вариационных принципов обусловлено рядом замечательных последствий вариационных формулировок: -в теоретических исследованиях экстремальные вариационные принципы позволяют установить существование решений исходных уравнений; -в приложениях важной является возможность получения устойчивых приближений решений рассматриваемых уравнений так называемыми вариационными методами; -на основе вариационных формулировок возможно получение интегралов эволюционных уравнений, в том числе законов сохранения. Однако, все эти преимущества вариационных принципов в течение длительного времени удавалось использовать лишь для узкого класса потенциальных операторов. Существует потребность в получении вариационных принципов для новых классов линейных несимметричных операторов и нелинейных непотенциальных операторов. Это требует построения функционалов -решений обратных задач вариационного исчисления - и исследования соответствующих экстремальных вариационных задач. Вместе с тем, даже для основных операторов математической физики -параболических, гиперболических и широких классов эллиптических в известных классах функционалов Эйлера-Лагранжа не существует ограниченных сверху или снизу решений ОЗВИ [78].
Прямой вариационный метод исследования дифференциальных операторов с частными производными получил, начиная с работ Д. Гильберта [89], дальнейшее развитие и глубокое теоретическое обоснование в работах С.Л. Соболева [72], СМ. Никольского [45], Л.Д. Кудрявцева [36] и других. Большое значение для распространения вариационных методов в приложениях имели работы М.М. Вайнберга [9], С.Г. Михлина [41], К. Ректориса [102]. Однако разработанный прямой вариационный метод распространялся, в основном, только на линейные самосопряженные, положительные операторы или на нелинейные потенциальные операторы.
В работах А.Е. Мартынюка [40], В.В. Петришина [101], В.М. Шалова [80], В.М. Филиппова [75, 78], Э. Тонти [107], В.М. Савчииа [59, 78, 105] были предложены некоторые общие подходы построения и исследования экстремальных вариационных задач для непотенциальных операторов.
К ОЗВИ привела, в частности, разработка вариационных методов решения линейных уравнений с В-симметрическими и В-положительными операторами и их обобщения на нелинейные уравнения с непотенциальными операторами. Наряду с другими результатами, исследования в этой области показали необходимость изучения классов функционалов, не являющихся функционалами Эйлера-Лагранжа.
В исследованиях по классической ОЗВИ можно выделить две ветви, которые на протяжение длительного периода развивались независимо. Первая из них связана с именем Г. Гельмгольца [90], который нашел необходимые условия представления обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) второго порядка в виде уравнений Эйлера-Лагранжа. Достаточность этих условий была независимо доказана А. Майером [100] и Г.К. Сусловым [73]. Данные условия и некоторые другие эквивалентные формы этих условий в современной литературе принято называть условиями потенциальности Гельмголъца. В случае их невыполнения было предложено рассматривать задачу об отыскании вариационных интегрирующих множителей, с помощью которых можно построить эквивалентные уравнения, допускающие представление в виде уравнений Лагранжа.
Конструктивные решения обобщенных ОЗВИ для линейных иепараболических дифференциальных операторов с частными производными второго порядка
Аналогичная задача рассматривалась и для дифференциальных операторов с частными производными. В этом направлении Е.Т. Копсон [87] доказал, что для линейного дифференциального оператора с частными производными параболического типа не существует искомого вариационного интегрирующего множителя, зависящего лишь от независимых переменных. Следует подчеркнуть, что поиск решений соответствующих ОЗВИ велся только в рамках классов функционалов Эйлера-Лагранжа. Начало второй ветви было положено В. Вольтерра [109] и в дальнейшем составило основу теории потенциальных операторов. В настоящее время известны различные подходы к исследованию операторов на потенциальность, основанные на алгебраических и геометрических методах (см., например, [6], [10], [41]). В плане дифференциально-разностных операторов ОЗВИ почти не рассматривались, хотя прямые задачи вариационного исчисления с одним аргументом ставились еще Л.Э. Эльсгольцем [82] - [85] и получили дальнейшее развитие в работах Г.А. Каменского [15] -[17], [93, 94], А.Л. Скубачевского [70, 71, 106] и др. В этом направлении анализировались различные разделы теории обыкновенных дифференциальных операторов, выясняя, в какой форме соответствующие результаты переносятся на теорию дифференциальных операторов с отклоняющимися аргументами, какие принципиально новые свойства возникают при таком перенесении.
Под обыкновенным дифференциально-разностным уравнением понимается [3] уравнение относительно неизвестной функции и ее производной, вычисленное при некоторых значениях аргумента, отличающихся на постоянные. Например, u"(t) -u"(t- 1) + u(t) = 0. Общее обыкновенное дифференциально-разностное уравнение имеет вид F[t,u(t),u(t - ші), ...,u(t - wm),u(i),u (t - wi),..., u(t - wJ. M,/ ! - ал),..., « " ( - u m)] = 0, где F - заданная функция от 1 -f-_(m + 1)(п+ 1) переменных. В обширной литературе, посвященной данному вопросу, различные подклассы уравнений такого типа называют также функционально-дифференциальными уравнениями, уравнениями с отклоняющимися аргументами, уравнениями с последействием. Линейные дифференциально-разностные уравнения первого порядка делятся на три вида [82]: 1) уравнения с запаздывающим аргументом; 2) уравнения нейтрального типа; 3) уравнения опережающего типа. В приложениях наиболее часто встречаются уравнения с запаздывающим аргументом, реже - уравнения нейтрального типа. Прикладных задач, сводящихся к уравнениям опережающего типа известно пока совсем немного. Это обусловлено тем, что методы решения для уравнений с запаздывающим аргументом или нейтрального типа не подходят для таких уравнений. Например, метод шагов, он так же применим к уравнениям опережающего типа, но вообще говоря, эти уравнения теряют запас гладкости, который имела начальная функция, и через некоторое число шагов решение может даже не существовать. Метод преобразования Лапласа (метод последовательного интегрирования, экспоненциальные оценки) непригоден для уравнений опережающего типа. В общем случае, решения не имеют экспоненциального порядка роста, и поэтому интегралы Лапласа будут расходящимися.
В ряде случаев предположение о том, что отклонение постоянно, хорошо отражает действительные явления, например, когда запаздывание связано с передачей звукового сигнала, с гидравлическим ударом или другим волновым процессом. Следует отметить, что подстановка t = —t превращает уравнение запаздывающего типа по і в уравнение опережающего типа по і! и обратно и превращает уравнение нейтрального типа в другое уравнение нейтрального типа. Уравнения запаздывающего тина в некоторых отношениях проще уравнений нейтрального или опережающего типа.
В самых разнообразных областях науки часто встречаются системы с запаздывающими связями, динамические процессы, которые описываются дифференциальными, интегральными и интегро-дифференциальными уравнениями с отклоняющимися аргументами.
Как известно, дифференциально-разностные уравнения возникают в теории колебаний, при изучении процессов в реактивных двигателях, при решении ряда проблем теоретической физики, некоторых задач экономики, биологии и экологии. Например, клапан в двигателе Дизеля поднимается под действием давления газа, сжимаемого поршнем. Легче описать движение клапана, введя запаздывание по времени в уравнение движения клапана, чем пытаться решить полностью задачу о движении клапана и течении газа в цилиндре [48].
Простейшие дифференциально-разностные операторы с частными производными, допускающие вариационные принципы
Параболические функционально-дифференциальные уравнения возникают в теории нелинейных оптических систем с двумерной обратной связью [69]. Квазилинейные_параболические функционально-дифференциальные уравнения возникают при математическом описании нелинейных оптических систем с преобразованием поля в двумерной обратной связи. Такие системы используются при генерировании лазерных пучков и применяются в современной компьютерной технологии.
С помощью дифференциально-разностных уравнений можно рассмотреть задачу о распространении тепла в системе материальных точек с термальными связями [16]. Также данные уравнения описывают нестационарное течение идеальной жидкости со свободной поверхностью [81]. В частности, путем прямого численного моделирования было рассмотрено возникновение интересного (и сложного) океанологического явления "волны-убийцы". "Волны-убийцы"могут возникать в следствии нелинейных эффектов в уравнениях, описывающих течение идеальной жидкости со свободной поверхностью.
В 1996 г. в докладе [96] на II Всемирном конгрессе нелинейных аналитиков (Афины) было предложено следующее определение: Смешанным ФДУ (СДУ) называется ФДУ, для функции более чем одного непрерывного аргумента, в котором (уравнении) производная от нее берется только по одному из этих аргументов. Таким образом, "смешанность "уравнения состоит в противопоставлении одного из аргументов, играющего роль времени и как бы отвечающего за эволюцию, остальным аргументам, которые естественно трактовать как пространственные. При этом оператор, действующий по пространственным аргументам, - ограниченный (разностный, интегральный и т. п.). Это делает класс СДУ в некотором смысле промежуточным между обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ) и уравнениями математической физики. Среди основных направлений и исследований дифференциально-разностных уравнений следует отметить: 1) прямые вариационные задачи; 2) теорию линейных уравнений; 3) теоремы существования и приближенные методы; 4) теорию устойчивости; 5) исследование периодических решений и др. При решении задач вариационными методами возникает необходимость построения функционалов, критические точки которых совпадают с решениями исходных уравнений. Исследование проблемы построения искомых функционалов начинается с проверки выполнения условий потенциальности соответствующих операторов. Для обыкновенных дифференциальных уравнений имеются эффективные методы, позволяющие проверять потенциальность соответствующих операторов [78].
Для уравнений с непотенциальиыми операторами поиск функционалов соответствующих вариационных принципов является актуальной и нетривиальной проблемой. Несмотря на значительное количество работ в этом направлении, имеется ряд проблем, в основном, в области конструктивного построения решений обратных задач вариационного исчисления для таких операторов.
Актуальными являются задачи решения ОЗВИ для дифференциально-разностных операторов с частными производными. Такая задача была впервые сформулирована в работе [63]. Попов A.M. [50] получил условия потенциальности дифференциально-разностных операторов второго порядка нейтрального типа. Для систем дифференциально-разностных уравнений n-го порядка нейтрального типа в работе [51] получены необходимые и достаточные условия потенциальности относительно классической билинейной формы. Полученные результаты применяются к квазилинейным системам первого порядка.
Исследования в области дифференциально-разностных операторов, в настоящее время привлекает к себе все большее внимание (см., например, работы [1], [7], [11], [18],[52], [65], [71], [79], [86], [97]).
Решение задач с дифференциально-разностными операторами представляет специфические трудности, так как сами постановки задач отличаются от соответствующих постановок задач для обыкновенных дифференциальных операторов.
Значительный интерес представляет распространение результатов, полученных по ОЗВИ для обыкновенных дифференциальных операторов и дифференциальных операторов с частными производными на дифференциально-разностные операторы с частными производными.
Вариационность эволюционных дифференциально-разностных уравнений
Основная цель диссертационной работы состоит в разработке методов построения решений ОЗВИ - вариационных принципов -для различных классов дифференциально-разностных операторов с частными производными; получении условий потенциальности для дифференциально-разностных операторов с частными производными относительно различных билинейных форм; разработке алгоритмов построения симметрии дифференциально-разностных уравнений с частными производными.
Диссертация носит теоретический характер. Вместе с тем ряд установленных фактов и их следствий представляют определенный интерес для приложений. Результаты диссертации могут быть использованы для изучения потенциальных и непотенциальных взаимодействий различной физической природы, описываемых дифференциальными и дифференциально-разностными операторами с частными производными. По теме диссертации опубликовано 16 работ автора. В диссертацию включены только те результаты, которые получены лично диссертантом. В совместно опубликованных работах В.М. Филиппову и В.М. Савчину принадлежат постановки задач, другим соавторам - решения ряда технических вопросов. Диссертация состоит из введения, трех глав и библиографического списка литературы, состоящего из 109 наименований. Во введении кратко излагается история рассматриваемого вопроса и современное состояние проблем, исследуемых в диссертации. Проводится обоснование актуальности темы, формулируются цели и задачи диссертационной работы и дается краткое содержание работы. Первая глава посвящена исследованию существований решений обратных задач вариационного исчисления для одного достаточно общего класса дифференциальных операторов с частными производными. Доказано, что для некоторых непотенциальных дифференциальных операторов с частными производными второго порядка существуют вариационные множители и получены формулы для их построения. В параграфе 1.1 рассмотрены основные современные постановки обратных задач вариационного исчисления. В параграфе 1.2 представлен алгоритм построения вариационного множителя для заданного непотенциального дифференциального оператора с частными производными второго порядка с переменными коэффициентами. В параграфе 1.3 исследуется задача существования вариационных множителей для дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка ультрапараболического типа. В параграфе 1.4 найдены решения обобщенных ОЗВИ для непараболических дифференциальных операторов с частными производными второго порядка с переменными коэффициентами. Вторая глава посвящена исследованию на потенциальность дифференциально-разностных операторов с частными производными. В параграфе 2.1 приведены необходимые определения из функционального анализа и теории дифференциальных операторов с частными производными, а также дан критерий потенциальности операторов. В параграфе 2.2 исследованы на потенциальность дифференциально-разностные операторы простейших задач с частными производными. В параграфе 2.3 исследована задача о существовании вариационных принципов для заданных краевых задач для дифференциально-разностных операторов с частными производными второго порядка. Получены необходимые и достаточные условия потенциальности типа Гельмгольца для весьма общего нелинейного дифференциально-разностного оператора с частными производными относительно классической билинейной формы, а также относительно билинейной формы со сверткой. Они являются удобными для проверки заданного оператора на потенциальность и служат основой для нахождения вариационных множителей - как решения, в общем случае, переопределенной системы уравнений с частными производными. В параграфе 2.4 дана одна классификация дифференциально разностных операторов, основанная на анализе сил. В третьей главе представлен метод построения симметрии дифференциально-разностных уравнений с частными производными. Получены необходимые и достаточные условия вариациониости операторного эволюционного дифференциально-разностного уравнения. В параграфе 3.1 исследован вопрос о существовании операторов рекурсии и нахождении группы симметрии для ряда дифференциально-разностных уравнений с частными производными. Доказана теорема об операторе рекурсии. Получены необходимые и достаточные условия, при которых система дифференциально-разностных уравнений с частными производными второго порядка допускает группу симметрии. В параграфе 3.2 Получены условия вариациониости операторного эволюционного дифференциально-разностного уравнения с первой производной по t. В работе используются современные методы решения обратных задач вариационного исчисления, методы нелинейного функционального анализа и теории дифференциальных операторов с частными производными.
