Введение к работе
А.
Диссертационная работа выполнена в рамках классического анализа с приложениями к вопросам качественной теории нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными. Объектом исследования являются квазилинейные дифференциальные уравнения с частными производными эллиптического типа в евклидовом пространстве и на рима-новых многообразиях.
Актуальность темы. Исторические сведения. Не будет большим преувеличением сказать, что с помощью дифференциальных уравнений с частными производными описывается значительное количество явлений, процессов, возникающих как в физике, химии, экономике, так и в медицине, биологии и других отраслях науки. Поэтому качественное поведение решений данных уравнений было и остается предметом постоянного внимания специалистов в области квазилинейных уравнений.
Настоящая диссертация посвящена изучению решений квазилинейных дифференциальных уравнений с частными производными эллиптического типа в евклидовом пространстве и на римановых многообразиях. Следует отметить, что в этот класс уравнений входит квазилинейное уравнение
E^-M|V/l).W=0, a(t) = (і - 1^±А '"' , (1)
содержащее, в свою очередь, классическое уравнение минимальных поверхностей
д ( fx
Т— ^ =0
(случай 7 = —1)- В случае п = 2 уравнение (1) — есть уравнение для потенциала скорости в газовой динамики (в дальнейшем ПСГД-уравнение). Проводимые в диссертации исследования берут свое начало в теории минимальных поверхностей в евклидовом пространстве. Эта область математики продолжает интенсивно развиваться в настоящее время по разным направлениям и имеет результаты, ставшие классическими и
широко известными благодаря работам Ф. Альмгрена, С.Н. Бернштей-на, Л. Берса, Дж. Дугласа, И.С.С. Ниче, Р. Финна, У. Флеминга, а также в самые последние годы — Ю.А. Аминова, Э. Бобьери, А.А. Бо-рисенко, Э. Де Джиорджи, Э. Джусти, О.В. Иванова, В.М. Миклюкова, У. Микса, И.Х. Сабитова, Л. Саймона, В.Г. Ткачева, А.А. Тужилина, А.Т. Фоменко, Дж.Ф. Хванга и др.
Значительное число задач, которые исследуются в настоящее время в теории уравнений с частными производными, обязаны своим происхождением классической теории функций комплексного переменного. К числу таких задач во многом относится и проблематика, связанная с изучением асимптотических свойств решений и, в частности, с многочисленными вариантами принципа максимума-минимума для решений в неограниченных областях — так называемыми, теоремами типа Фрагмена—Линделефа (см. [2] —[5] и др.). Настоящая работа примыкает к этому направлению.
Цель работы. Целью диссертационного исследования является получение новых теорем типа Фрагмена—Линделефа для разности решений квазилинейных дифференциальных уравнений с частными производными эллиптического типа при достаточно общей формулировке. А именно, сформулировать теоремы для всех областей из Шп и для класса квазилинейных дифференциальных уравнений с частными производными эллиптического типа, содержащего уравнение (1).
Методика исследования. Для получения представленных результатов в работе широко применяются методы классического анализа, методы теории функций, а также теоретико-функциональная техника теории квазилинейных уравнений с частными производными, развиваемой Волгоградской школой нелинейного и геометрического анализа.
Научная новизна и практическая значимость. В настоящей диссертационной работе исследовано поведение решений квазилинейных уравнений с частными производными эллиптического типа в евклидовом пространстве и на римановых многообразиях. В качестве примера
подробно рассматривается уравнение (1). Все результаты являются новыми не только для квазилинейных уравнений с частными производными эллиптического типа и ПСГД-уравнение, но и для уравнения минимальных поверхностей.
Диссертация носит теоретический характер. Результаты диссертации будут способствовать созданию вычислительных алгоритмов для расчетов течений газа, более эффективных, нежели имеющиеся, а также могут быть использованы специалистами при исследовании решений нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными эллиптического типа.
Результаты, выносимые на защиту.
Получены и описаны множества, на которых разность решений уравнения (1) удовлетворяет некоторым специальным условиям, необходимым при доказательстве единственности решения краевой задачи.
Установлен обобщенный принцип максимума для разности решений квазилинейных уравнений с частными производными эллиптического типа на римановых многообразиях, где дается оценка скорости роста разности решений в рассматриваемой области, при превышении которой нарушается единственность решения краевой задачи.
Получен некоторый вариант теоремы типа Фрагмена—Линделефа для обобщенных суб- и суперрешений квазилинейных уравнений с частными производными эллиптического типа, где дается оценка скорости роста решений вблизи особого множества простых концов области.
Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на 102 страницах и состоит из введения, трех глав и списка литературы. В работе используется подчиненная нумерация. При этом нумерация параграфов и формул подчинена нумерации глав, нумерация определений, лемм, теорем — нумерации параграфов. Библиография диссертации содержит 39 наименований.
