Введение к работе
Актуальность темы. Диссертация посвящена вопросам единственности для двумерных рядов Хаара и Уолта, а также приложениям к решению этих вопросов некоторых новых, полученных в диссертации, результатов из теории многомерных обобщенных интегралов. Все это относится к той области анализа, которую принято называть действительным анализом.
Отметим, что постановка многих вопросов о единственности представления функций рядами является общей для различных ортогональных систем функций. Особенно важными являются понятия [/-множеств и М-множеств для рядов но некоторой системе функций. Напомним, что если {/п(^)} есть система функций, определенных на некотором подмножестве S числовой прямой, плоскости, либо, в общем случае, евклидова пространства R", то множество А С S называется Af-множествЪм для рядов J2anfn(x), если существует ряд J2anfn(x), сходящийся к пулю
п п
вне А и имеющий хотя бы один ненулевой коэффициент ап. Если А С S не является М-мпожсством для рядов ^,anfn{x), то в этом случае А
называется [/-множеством для подобных рядов.
Задача нахождения [/-множеств и Af-множеств для рядов Хаара оказалась не слишком сложной. То, что пустое множество является U-множеством для (одномерных) рядов Хаара, независимо друг от друга показали в своих работах М.Б. Петровская1 и В.А. Скворцов2, Ф.Г. Арутюнян и А.А. Талалян3, а для двумерных рядов Хаара для сходимости по прямоугольникам аналогичный результат следует из работ В.А. Скворцова4 и Х.О. Мовсисяна5. В то же время несложные примеры0 показывают, что в указанных выше случаях любое одноточечное множество уже является Af-множеством для рядов Хаара. Тем самым
1 Петровская М. В. О нуль рядах по системе Хаара и множествах единственно
сти // Изв. АН СССР. Сер. математика. 19G4. Т. 28. С. 773-798.
2 Скворцов В. А. Теорема типа Кантора для системы Хаара // Вести. Моск. Ун
та. Сер. 1, математика. 1964. №5. С. 15-28.
3 Арутюнян Ф.Г., Талалян А. А. О единствености рядов но системам Хаара и
Уолша // Известия ЛИ СССР, сер. математика. 19G4. Т. 28 С. 1391-1408.
4Скворцов В. А. О множествах единственности для многомерных рядов Хаара // Матем. заметки. 1973. Т. 14. Л"» 6. С. 789-798.
5Мовсисяп X. О. О единственности двойных рядов но системам Хаара и Уолта // Изв. АН Армянской ССР. Сер. математика. 1974. Т. 9. JV»1. С. 40-01.
(l Faber L. Ubcr die Orthiginal Funktionen das Hcrrn Haar // Jahresber. Dtsch. Math. Vcr., 19 (1910), 101-112
лишь пустое множество является (/-множеством для рядов Хаара (в одномерном случае и в двумерном случае для сходимости по прямоугольникам).
В связи с тем, что лишь пустое множество является [/-множеством для рядов Хаара, естественно сузить класс рядов Хаара и использовать следующую терминологию. Рассматривая класс рядов Хаара, удовлетворяющих условию (а), скажем, что множество А является М-множеством для рядов Хаара с условием (а), если существует ряд Хаара, удовлетворяющий условию (а), который сходится к нулю вне А и не все коэффициенты которого нулевые. Если такого ряда не существует, то есть из сходимости к нулю ряда Хаара с условием (а) вне А следует, что все коэффициенты ряда нулевые, то множество А назовем [/-множеством для рядов Хаара с условием (а). Иначе такие [/-множества называют множествами относительной единственности.
В 1967 г. Г.М. Мушегян7 показал, что множество А С [0,1] является М-множеством для рядов Хаара с условием —Щ—\ —> 0 тогда и
ХпЛх) только тогда, когда А содержит совершенное подмножество (где Пк —
последовательность всех таких номеров, что Хпк(х) Ф 0). В этой же работе показано, что для некоторого более сильного условия (а) существует совершенное [/-множество для (одномерных) рядов Хаара. В 1973 г. В.А. Скворцов показал4, что множество А с [0,1]2 является М-
множеством для рядов Хаара с условием ^—г —* 0 при к, I —> со
Xnkmi(x,y) для сходимости по прямоугольникам тогда и только тогда, когда А содержит совершенное подмножество.
Изучению множеств относительной единственности для различных систем посвящены работы Г.Г. Геворкяна, Н.Н. Холщсвниковой и других авторов.
Часто оказывается, что ряд, сходящийся вне некоторого [/-множества к конечной функции f(x), является рядом Фурье функции f(x) относительно некоторого обобщенного интеграла, то есть коэффициенты ряда находятся по формулам Фурье ап = J f (х)fn(x) dx (если система ifn(x)} — ортонормированная). Известно, например8, что если тригонометрический ряд сходится к функции f(x) вне счетного множества (которое является [/-множеством для тригонометрических рядов), то данный ряд есть ряд Фурье относительно так называемого (Мг)-интеграла,
7Мушегян Г.М. О множествах единственности для системы Хаара // Изв. АН Армянской ССР. Сер. математика. 1967. Т. 2. №6. С. 350-361.
8 Зигмунд А. Тригонометрические ряды. — М.: Мир, 1965. Т. 1, 2.
обобщающего интеграл Лебега. Аналогично, если ряд Хаара всюду на [0,1] сходится к конечной функции f(x) (то есть сходится к f(x) вне пустого множества, которое является [/-множеством для рядов Хаара), то данный ряд является рядом Фурье относительно (ГГ>)-интсграла, определенного В.А. Скворцовым9. Таким образом, в этих ситуациях функция f(x), определенная вне [/-множества может быть лишь единственным образом представляться как сумма соответствующего ряда.
Стоит отметить известные теоремы для одномерного случая, установленные И.И. Приваловым10 (для тригонометрической системы) и В.А. Скворцовым11 (для системы Уолша). Они говорят о том, что если ряд по соответствующей системе сходится вне замкнутого [/-множества к суммируемой и конечной функции f(x), то данный ряд есть ряд Фурье функции f(x). При том, что [/-множество в этих теоремах предполагается любым, лишь замкнутым, что является достоинством этих теорем, небольшой недостаток состоит в предположении о суммируемости f(x).
Часто имеет место следующая постановка задач о единственности. Пусть ряд по некоторой системе сходится всюду на своей области определения к некоторой функции, интегрируемой по Лебегу или в каком-то обобщенном смысле (иногда сходимость заменяется каким-либо другим условием). Следует ли отсюда, что данный ряд есть ряд Фурье своей суммы относительно соответствующего интеграла? Решением подобных задач для рядов Хаара (как одномерных, так и кратных) занимались в разное время М.Б. Петровская, Ф.Г. Арутюнян, А.А. Тала-лян, В.А. Скворцов, Х.О. Мовсисян, а для рядов по другим системам — П. Дюбуа-Реймон, Ш. Валле-Пуссеп, Г. Штейгауз, К. Йонеда, Н.А. Бо-каев и многие другие.
Что касается вопросов единственности для рядов Уолша, то основные исследования проводились для одномерных рядов. В 1949 г. А.А. Шпсй-дер12 установил, что счетное множество есть [/-множество для рядов Уолша. В уже упомянутой работе Шнейдера построен пример несчетного [/-множества. Примеры несчетных [/-множеств для рядов Уолша с различными характеристиками позже были получены многими автора-
9 Скворцов В. А. Вычисление коэффициентов всюду сходящегося ряда Хаара // Матем. сб. 19G8. Т. 75. Вып. 3. С. 349-360.
10Привалов И. И. Обобщенные теоремы Paul du Bois Reymond'a // Матем. сб. 1923. Т. 31. №2. С. 229-231.
11 Скворцов В. А. Некоторые обобщенные теоремы единственности для рядов по системе Уолша // Матем. заметки. 1973. Т. 13. №3. С.367-372.
12Шнейдер А. А. О единственности разложения по системе функций Уолша // Матем. сб. 1919. Т. 24. Выи. 2. С. 279-300.
ми, в том числе Д. Кури, В.А. Скворцовым и другими. Однако, до сих пор не установлены условия, которые бы являлись одновременно необходимыми и достаточными для того, чтобы данное множество являлось [/-множеством (или М-множеством).
Еще больше открытых вопросов в изучении множеств единственности для кратных рядов Уолша. Если рассматривать сходимость по прямоугольникам, то известно, что счетное множество есть [/-множество для двумерных рядов Уолша. Это следует из работ Х.О. Мовсисяна5 и В.А. Скворцова13. Широкий класс совершенных [/-множеств для кратных рядов Уолша был построен в 1989 г. Ю.Ф. Лукомскиим14. Но все равно в этой области вопросов больше, чем ответов.
Что же касается теории обобщенных интегралов, то эта область действительного анализа интенсивно развивалась в течение всего XX века, но нам в связи с изучением рядов Хаара интересна лишь небольшая часть этой теории. О ней мы поговорим чуть позже.
В нашей работе изучаются вопросы единственности для двумерных рядов Хаара и Уолша в различных постановках, которые представлены выше. При этом рассматривается достаточно общая р-регулярная сходимость но прямоугольникам. Для получения необходимых фактов используется, кроме всего прочего, теория многомерных обобщенных интегралов, причем в диссертации попутно получено достаточно много новых результатов, относящихся к этой теории.
Цель работы. Изучить множества относительной единственности для двумерных рядов Хаара при различных условиях. Получить результаты о единственности разложения функции в двумерные ряды Хаара. Доказать теорему о представлении всюду сходящихся двумерных рядов Хаара как рядов Фурье-Перрона, своих сумм, если последние интегрируемы по Перрону в р-регулярном смысле. Построить широкий класс совершенных [/-множеств для двумерных рядов Уолша при р-регулярной сходимости.
Методы исследования. В работе используются методы теории функций вещественной переменной, в частности теории многомерных обобщенных интегралов; сведение задач для рядов Хаара и Уолша к
13 Скворцов В. А. О коэффициентах сходящихся кратных рядов Хаара и Уолша // Всстн. Моск. Ун-та. Сер. 1, математика. 1973. №6. С. 77-79.
14Лукомский С. Ф. О некоторых классах множеств единственности кратных рядов Уолша // Матем. сб. 1989. Т. 180. №7. С. 937-945.
изучению аддитивных функций двоичного интервала, в том чисел к изучению их дифференциальных свойств.
Научная новизна.
1. Получен критерий принадлежности данного множества классу
множеств относительной единственности для двумерных рядов Хаара
при р-регулярнои сходимости и при условии —> и при к, І —»
Хп^ТГЦ (,^1 У)
(2к 21\ ->oonmm^;^J > 2р.
2. Получено необходимое, а также достаточное условие того, что
множество есть М-множество для двумерных рядов Хаара при р-
регулярпой сходимости и при условии 5,v міх, у) = o((NM)] а) при
N, М ->оои шиї ( —; — 1 ^ р.
-
Построен пример двумерного ряда Хаара, не равного нулю тождественно, но всюду на единичном квадрате сходящегося к нулю по квадратам.
-
Получен ряд теорем о единственности представления функций двумерными рядами Хаара.
-
Показано, что если двумерный ряд Хаара всюду на [0,1]~ сходится к конечной функции fix.у), интегрируемой по Перрону в р-регулярном смысле, то данный ряд есть ряд Фурье-Перрона, функции fix,у).
-
Построен широкий класс совершенных [/-множеств для двумерных рядов Уолттта при р-регулярной сходимости.
Теоретическая и практическая ценность Работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут быть использованы в теории ортогональных рядов, теории многомерных обобщенных интегралов, теории мартингалов.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре по теории функций действительного переменного под руководством проф. В.Л. Скворцова и проф. Т.П. Лукашенко (неоднократно), на семинаре по теории ортогональных и тригонометрических рядов под руководством член-корр. РАН, проф. II.Л. Ульянона, проф. М.К. Потапова и проф. М.И. Дьяченко, на V Казанской летней піколе-конференщін по теории функций (Казань, 2001).
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в трех работах аіпора, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы из 38 наименований. Общий объем диссертации — 102 стр.
