Введение к работе
Актуальность темы
Исследование аналитического продолжения непрерывных функций f, заданных на границе ограниченной области D в многомерном комплексном пространстве, со свойством одномерного голоморфного продолжения является одной из актуальных задач теории функций многих комплексных переменных. На комплексной плоскости C результаты о функциях с одномерным свойством голоморфного продолжения тривиальны, поэтому результаты существенно многомерны.
Начало данных исследований было положено в работе М. Л. Аграновского и Р. Е. Вальского 1971 г., изучавшими функции с одномерным свойством голоморфного продолжения в шаре. Они показали, что если непрерывная функция, заданная на границе шара, обладает свойством одномерного голоморфного продолжения вдоль всех комплексных прямых, пересекающих шар, то она голоморфно продолжается во внутренность шара как функция многих комплексных переменных. Доказательство основывалось на свойствах группы автоморфизмов шара.
В 1977 г. Э. Л. Стаутом, использовавшим комплексное преобразование Радона, теорема Аграновского и Вальского была перенесена на произвольные ограниченные области с гладкой границей. Альтернативное доказательство теоремы Стаута получено А. М. Кытмановым', применившим интеграл Бох- нера - Мартинелли. Идея использования интегральных представлений (Бох- нера- Мартинелли, Коши - Фантаппье, логарифмического вычета) оказалась полезной при изучении функций с одномерным свойством голоморфного продолжения вдоль комплексных прямых'. Обзор результатов, относящихся к
данной теме, можно найти в работе А. М. Кытманова и С. Г. Мысливец.
После работы Э. Л. Стаута2, встал вопрос о нахождении классов комплексных прямых L, достаточных для голоморфного продолжения. Более узкое семейство комплексных прямых, достаточное для голоморфного продолжения, было рассмотрено М. Л. Аграновским и А. М. Семеновым. Оно состоит из множества Lv комплексных прямых, пересекающих некоторое открытое множество V из D. Аналогичное утверждение справедливо, если множество V лежит вне замыкания D.
Вопрос о нахождении других различных семейств комплексных прямых, достаточных для голоморфного продолжения, был поставлен в работе Гло- бевника и Стаута. Ясно, что семейство комплексных прямых, проходящих через одну точку, не является достаточным для голоморфного продолжения непрерывных функций. Более того, как показано в работе А. М. Кытманова и С. Г. Мысливец, семейство всех комплексных прямых, проходящих через любое конечное число точек, лежащих на комплексной гиперплоскости, также, вообще говоря, не является достаточным для голоморфного продолжения непрерывных функций.
В работе А. М. Кытманова и С. Г. Мысливец10 рассмотрено множество Lr всех комплексных прямых, проходящих через росток порождающего многообразия Г, лежащий вне замыкания области D. Они показали, что данное множество комплексных прямых является достаточным для того, чтобы непрерывная функция f, заданная на границе ограниченной области D С Cn со связной гладкой границей и обладающая свойством одномерного голоморфного продолжения вдоль прямых из Lr, голоморфно продолжалась в D как функция многих комплексных переменных. Как показано теми же авторами, утверждение остается верным (для некоторых классов областей) в случае, если росток порождающего многообразия Г лежит в области D.
Семейства комплексных прямых, проходящих через конечное число точек, было рассмотрено в работах М. Л. Аграновского и Л. Баракко. В работе М. Л. Аграновского12 рассмотрены семейства комплексных прямых, проходящих через две различные точки, лежащие в замыкании шара. Показано, что данное семейство является достаточным для голоморфного продолжения вещественно - аналитических функций, заданных на границе шара. В работе Л. Баракко13 рассмотрено семейство комплексных прямых, проходящих через граничную точку комплексного шара. Им было показано, что данное семейство комплексных прямых является достаточным для голоморфного продолжения вещественно - аналитических функций с границы шара. А. М. Кытманов и С. Г. Мысливец рассмотрели семейство комплексных прямых, проходящих через конечное число точек в шаре, не лежащих на комплексной гиперплоскости в Cn. Ими показано, что данное семейство является достаточным для голоморфного продолжения непрерывных функций с границы шара. Другие семейства комплексных прямых изучались Глобев- ником и приведены в его работе.
Таким образом, в работах Р. Е. Вальского, Э. Л. Стаута, Дж. Глобев- ника, А. М. Семенова, М. Л. Аграновского, Д. Говекар, А. М. Кытманова, С. Г. Мысливец, Л. Баракко (1990-2012 гг.) исследованы различные семейства L комплексных прямых и других классов областей, достаточные для голоморфного продолжения функций из различных классов. Тем не менее, вопрос о нахождении других достаточных семейств комплексных прямых остается актуальной задачей многомерного комплексного анализа.
Цель диссертации
Целью диссертационной работы является исследование функций с одномерным свойством голоморфного продолжения и нахождение семейств комплексных прямых, достаточных для голоморфного продолжения функций из различных классов с границы ограниченных областей в многомерном комплексном пространстве.
Методика исследования
В основу исследования положены методы многомерного комплексного анализа, в частности, использование интегрального представления Бохнера- Мартинелли и его граничных свойств, а также теоремы и приемы классического вещественного анализа.
Научная новизна
Основные результаты работы являются новыми, представляют научный интерес и состоят в следующем:
получен граничный аналог теоремы Форелли для вещественно - аналитических функций;
доказан аналог теоремы Лиувилля для решений уравнения Гельмгольца; показано, что семейство комплексных прямых, проходящих через росток комплексной гиперповерхности, является достаточным для голоморфного продолжения непрерывных функций.
Теоретическая и практическая ценность
Результаты, полученные автором, являются теоретическими. Теоретическая ценность работы состоит в том, что полученные результаты могут быть использованы в многомерном комплексном анализе, при изучении граничных свойств голоморфных функций многих комплексных переменных, вопросов аналитического продолжения функций, в исследовании уравнения Гельм- гольца.
Практическое применение полученных результатов состоит в их включении в учебные программы специальных курсов по современным проблемам многомерного комплексного анализа кафедры теории функций Института математики и фундаментальной информатики Сибирского федерального университета.
Степень достоверности и апробация работы
Все утверждения диссертации снабжены строгими математическими доказательствами.
Основные результаты диссертации обсуждались и докладывались на следующих международных и всероссийских конференциях: международной конференции «Современные проблемы математического моделирования и вычислительных технологий» (Красноярск, Россия, 2008); региональных студенческих конференциях по математике (Красноярск, Россия, 2009, 2010); международной конференции «Аналитические функции многих комплексных переменных» (Красноярск, Россия, 2009); международной конференции «Современные проблемы анализа и геометрии» (Новосибирск, Россия, 2009); международных студенческих конференциях «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, Россия, 2010, 2012); молодежной школе-конференции «Лобачевские чтения» (Казань, Россия, 2010); международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» (Москва, Россия, 2011); международной школе - конференции по геометрии и анализу (Кемерово, Россия, 2011); VI Уфимской международной конференции «Комплексный анализ и дифференциальные уравнения» (Уфа, Россия, 2011); IV российско-армянском совещании по математической физике, комплексному анализу и смежным вопросам (Красноярск, Россия, 2012);
Результаты работы неоднократно докладывались на Красноярском городском семинаре по многомерному комплексному анализу (2008-2013 г. г.).
Публикации
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-20], из них 3 работы [1-3] в ведущих рецензируемых изданиях, рекомендованных ВАК, 11 публикаций [4-14] в материалах конференций, 6 публикаций [15-20] являются тезисами конференций.
Результаты диссертации получены автором самостоятельно. В соавторстве выполнены две работы [1, 2]. В работе [2] вклады авторов равнозначны. Из работы [1] в диссертацию включены результаты, принадлежащие лично автору.
Структура и объем работы
Похожие диссертации на О функциях с одномерным свойством голоморфного продолжения
