Введение к работе
Актуальность темы. В настоящей работе решается проблема, которую в общей ситуации можно сформулировать следующим образом. Пусть E и F — локально выпуклые пространства; T : E ^ F — линейный непрерывный оператор. При каких условиях существует линейный непрерывный правый обратный (коротко: ЛНПО) или линейный непрерывный левый обратный (коротко: ЛНЛО) к оператору T? Задача о нахождении ЛНПО и ЛН- ЛО для бесконечномерных локально выпуклых пространств индивидуальна и ее решение зависит от свойств конкретного оператора. Для различных классов пространств E и F (бесконечно дифференцируемых, голоморфных функций, распределений, пространств последовательностей) и операторов T (дифференциальных операторов в частных производных, операторов свертки, представления рядами экспонент и их обобщений, продолжения бесконечно дифференцируемых функций) эта задача ставилась и решалась Л. Шварцем, А. Гротендиком, Б. С. Митягиным, Б. А. Тейлором, К. Швердтфегером, Р. Майзе, Д. Фогтом, Ю. Ф. Коробейником, М. Лангенбрухом, М. Тидтеном, У. Франкеном, З. Моммом, Х. Бонетом, С. Н. Мелиховым, А. В. Абаниным, Д. А. Абаниной и другими математиками.
Основным объектом изучения в данной работе является оператор сужения функций и их производных на дискретную последовательность точек. Он определен на некотором функциональном пространстве E и отображает его в связанное с E естественным образом пространство числовых последовательностей F. С помощью теории двойственности к проблеме существования линейных непрерывных обратных к оператору сужения, например, сводится задача о существовании ЛНПО к оператору представления элементов различных функциональных пространств рядами экспонент или их обобщений. Опишем коротко историю задачи о существовании ЛНПО к оператору представления аналитических функций рядами экспонент. Пусть G — произвольная ограниченная выпуклая область в C; A(G) — пространство Фре- ше всех аналитических в G функций. В середине 60-х годов прошлого века А. Ф. Леонтьев доказал, что существует последовательность комплексных чисел (Xj)jen, |Aj | t +го, такая, что любую аналитическую в G функцию f
можно разложить в ряд f (z) = ^ CjeXjz, абсолютно сходящийся в A(G) (к f).
j=1
При этом Xj, j Є N, — простые нули специальной целой функции L экспоненциального типа с сопряженной диаграммой G (G — замыкание G в C).
В связи с неединственностью разложения функций f Є A(G) в ряды вито
да f (z) = CjeXjz возникает задача о линейном и непрерывном способе j=i
определения коэффициентов Cj. Отметим, что А. Ф. Леонтьев указал способ
вычисления коэффициентов Cj представлений f (z) = Cj eXjz для функ-
j=1
ций f, аналитических на G. Но этот способ неприменим ко всем функциям f Є A(G). Результаты А. Ф. Леонтьева о разложениях в ряды экспонент побудили Ю. Ф. Коробейника к построению теории представляющих систем. Если ввести пространство Фреше числовых последовательностей
A1 := Ic = (cj)j: ^^ CjeXj абсолютно сходится в A(G) j
j=i
и оператор представления П : A1 ^ A(G), (n(c))(z) := ^ CjeXjz, то проблема
j=i
коэффициентов трансформируется в сформулированную Ю. Ф. Коробейником задачу: когда сюръективный оператор П : A1 ^ A(G) имеет ЛНПО, т. е. существует линейный непрерывный оператор P : A(G) ^ A1 такой, что П о P(f) = f, f є A(G)? Для показателей (Aj)j^, являющихся нулями специальной целой функции, она была решена Ю. Ф. Коробейником и С. Н. Мелиховым .
Известно , что сильное сопряженное к A(G) пространство можно отождествить с некоторым пространством целых функций экспоненциального типа E, а сильное сопряженное с A1 пространство — с некоторым пространством числовых последовательностей Кто. Тогда оператором, сопряженным к оператору П, будет оператор сужения R : E ^ Кто, R(f) := (f (Aj))jлинейно и непрерывно отображающий E в Кто. Так как пространства A(G) и A1 — рефлексивные пространства Фреше, то оператор П имеет ЛНПО тогда и только тогда, когда оператор R имеет ЛНЛО, т. е., когда существует линейный непрерывный оператор к : Кто ^ E такой, что к о R(f) = f, f є E. Итак, с помощью теории двойственности задача о ЛНПО к оператору представления сводится к задаче о существовании ЛНЛО к оператору сужения на последовательность соответствующих показателей рядов экспонент, определенному на счетном индуктивном пределе весовых банаховых пространств целых функций. Общие результаты о ЛНЛО к оператору сужения на весовых (LB)-пространствах целых функций были получены С. Н. Мелиховым . В настоящей диссертации для (LB)-пространств целых функций, задаваемых радиальными весами с естественными ограничениями, получены аналитические реализации (в терминах внутренних свойств весов) абстрактных усло- вий из 3. Полученные результаты применены также к (LB)-пространствам в нерадиальном случае, а именно, к пространствам целых функций, рост которых определяется уточненным порядком. Отмеченные выше результаты Ю. Ф. Коробейника и С. Н. Мелихова 1 перенесены на случай р-выпуклой области (р > 0).
С. Н. Мелиховым был доказан критерий существования ЛНПО к оператору представления рядами из квазиполиномов функций, аналитических в ограниченной выпуклой области. Данная задача решена нами для оператора представления рядами из квазимономов.
Если оператор сужения задан на счетном индуктивном пределе банаховых пространств целых функций с ограничениями на их рост, то область его значений содержится в некотором (LB)-пространстве последовательностей, рост которых также определяется исходными весами. Если же он задан на пространстве всех функций, аналитических в открытом множестве G С C, и функции и их производные сужаются на дискретное подмножество G, то областью его значений является уже пространство всех последовательностей ш. В связи с этим возникает задача о наличии ЛНПО к такому оператору сужения. При ее решении привлекается теория последовательностей Айдельхай- та в сопряженном к пространствам Фреше, и упомянутая выше проблема трансформируется в задачу о наличии ЛНПО у моментного оператора, задаваемого последовательностью Айдельхайта. По-видимому, первым в этом направлении является результат Б. С. Митягина о том, что оператор „вычисления" производных бесконечно дифференцируемых функций на отрезке [—1,1] не имеет ЛНПО. Косвенным образом к данному направлению примыкают результаты польских математиков Ролевича, Бессаги, Пелчинского о дополняемых подпространствах пространств Фреше, изоморфных пространству ш. В работе приводятся критерии и (отдельно) достаточные условия того, что моментный оператор имеет или не имеет ЛНПО. Полученные результаты применяются к замкнутым дополняемым идеалам в пространстве A(G), где G — область в C, а также к задаче о ЛНПО к оператору свертки, действующему в пространстве целых функций экспоненциального типа. Ранее в работе задача о существовании ЛНПО к оператору свертки решалась для пространства [1,0") всех целых в C функций экспоненциального типа меньше 0 Є (0, +то], изоморфного сопряженному к пространству функций, аналитических в круге Da := {z Є C : |z| < 0}. В диссертации аналогичный результат получен для пространства целых функций, изоморфного сильному сопряженному к пространству A(G) уже для произвольной односвязной области G С C. Отметим, что задача о существовании ЛНПО к оператору свертки в пространствах голоморфных функций решалась ранее в работах К. Швердфегера, Б. А. Тейлора, З. Момма, Ю. Ф. Коробейника, С. Н. Мелихова, М. Лангенбруха (см. соответствующий обзор в ).
Цели работы.
Установить условия наличия линейного непрерывного левого обратного к оператору сужения, определенному на (LB)-пространстве целых функций, заданном радиальными весами.
Доказать условия существования линейного непрерывного левого обратного к оператору сужения на весовом (LB)-пространстве целых функций, рост которых определяется уточненным порядком.
Доказать критерии существования линейного непрерывного правого обратного к оператору представления аналитических в р-выпуклой области функций рядами по функциям Миттаг-Леффлера.
Получить критерии наличия линейного непрерывного правого обратного к оператору представления рядами из квазимономов функций, аналитических в ограниченной выпуклой области в C.
Доказать критерии существования линейного непрерывного правого обратного к моментному оператору, определяемому последовательностью Айдельхайта в сопряженном к пространству Фреше. Применить их к описанию дополняемых идеалов в пространствах аналитических функций, оператору свертки в пространствах целых функций экспоненциального типа, оператору сужения бесконечно дифференцируемых функций и их производных на дискретную последовательность.
Методы исследований. В диссертационной работе используются методы функционального и комплексного анализа, теории целых функций вполне регулярного роста, субгармонических функций, конформных отображений, структурной теории пространств Фреше.
Научная новизна и практическая значимость. Полученные в диссертации результаты являются новыми, носят теоретический характер и могут найти применения к решению операторных уравнений, уравнений свертки в пространствах аналитических и бесконечно дифференцируемых функций, в теории абсолютно представляющих систем, в задаче Коши для аналитических функций. Они могут быть использованы специалистами, работающими в ЮФУ, Институте математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН, Южном математическом институте ВНЦ РАН и РСО-А, Московском, Башкирском университетах, национальном исследовательском ядерном университете „МИФИ", а также в других ведущих российских и зарубежных научных центрах.
Апробация работы. Основные результаты диссертации неоднократно докладывались на научном семинаре по анализу ЮФУ под руководством Ю. Ф. Коробейника и А. В. Абанина, на Международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова в Абрау-Дюрсо (2004, 2008 гг.), на Международной конференции "Теория операторов, комплексный анализ и математическое моделирование" в Волгодонске (2007, 2009, 2011 гг.), на Международной конференции "Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования" во Владикавказе (2008, 2010 гг.), на Воронежской весенней математической школе "Современные методы теории краевых задач"(2009, 2011 гг.), на Международной конференции молодых ученых "Математический анализ и математическое моделирование" во Владикавказе (2009, 2010 гг.), на Уфимской международной конференции "Комплексный анализ и дифференциальные уравнения"(2011 г.).
Публикации. По теме диссертации опубликовано четырнадцать работ, список которых приведен в конце автореферата. В совместных с научным руководителем публикациях [5]—[14] С. Н. Мелихову принадлежит постановка задач и указание метода исследования, а автору диссертации — проведение исследования и доказательство результатов.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы и списка литературы, содержащего 92 наименования. Определения, теоремы, следствия, леммы и замечания имеют свою независимую нумерацию, содержащую номер главы, параграфа и результата. Общий объем диссертации — 131 страница машинописного текста.
