Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I Условия Birkoff-регулярности
1. Основные понятия, определения и вспомогательные результаты 24
2. Характеристический определитель
2.1 . Характеристическая система уравнений 31
2.2.Главная часть определителя А(р) при /-7 = 2// 34
2.3.Главная часть определителя Д(/>) при п = 2/л -1 44
З. Асимптотика собственных значений Birkoff-регулярного оператора, порожденного регулярными краевыми условиями
3.1 .Асимптотика собственных значений при n = 2ju 47
3.2.Асимптотика собственных значений при п = 2/1-1 59
ГЛАВА II Поведение функции Грина
1. Построение функции Грина, понятие регулярности 62
2. Поведение функции Грина при \р\
2.1. Регулярность при n = 2ju 65
2.2. Регулярность при п = 2/л -1 68
3. Контрпример
3.1. Постановка задачи 71
3.2. Характеристический определитель Л(р)и функция Грина 72
3.3. Оценка функции Грина 77
ГЛАВА III Условия базисности Рисса
1. Собственные функции 88
1.1. Асимптотика собственных функций при n-2/j. 89
1.2. Асимптотика собственных функций при п = 2/л 95
2. Полнота собственных и присоединенных функций 98
3. Теорема базисности Рисса собственных и присоединенных функций 102
Литература 106
- Характеристическая система уравнений
- Асимптотика собственных значений Birkoff-регулярного оператора, порожденного регулярными краевыми условиями
- Построение функции Грина, понятие регулярности
- Полнота собственных и присоединенных функций
Введение к работе
Большое число задач математики, механики и физики приводят к спектральному анализу дифференциальных операторов. Спектральный анализ операторов включает в себя решение вопросов о распределении собственных значений, поведении собственных и присоединенных функций, разложении произвольной функции в ряды по собственным и присоединенным функциям, полноте и базисности собственных и присоединенных функций, равносходимости разложений по собственным и присоединенным функциям и по известным системам функций. Такого рода задачи возникают, например, при обосновании метода Фурье решения краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных. Спектральный анализ дифференциальных операторов является основным математическим аппаратом при решении многих задач квантовой механики.
Задачей разложения по собственным функциям линейного' дифференциального оператора /7-го порядка на отрезке [0, 1], порождаемого дифференциальным выражением вида:
1(у>у1н) + Мх)у{"-1) + ...+ Шу (0.1)
и линейно-независимыми краевыми условиями:
U,(y) = І ^УЛ~7>(0) + І bijy{n-J\\) = 0, i = 1,2,...,« (0.2)
одним из первых занимался G.D.Birkhoff [1-2]. Определив условия регулярности, путем установления требований на коэффициенты линейных
5 форм U (у), G.D.Birkhoff показал, что в этом случае ряд Фурье по собственным функциям функции f(x), имеющей ограниченную вариацию,
/(* + 0) + /(*-0)
сходится к —— в каждой внутренней точке [0,1], а в точ
ках 0 и 1 ряд сходится к а/(0 + 0) + j3f(l - 0), где постоянные а и /? оп
ределяются краевыми условиями. При этом G.D.Birkhoff предполагал,
что /i(*) = 0 или, по крайней мере, fx єСл_1[0,1], то есть fx(x) является
(п-1) раз непрерывно дифференцируемой функцией, а /,(*) при
j = 2,3,...,« являются непрерывными на отрезке [0,1] функциями. Для
получения этого результата G.D.Birkhoff в [3] установил асимптотику
фундаментальной системы решений уравнения 1(у) - Лу = 0 при
|Л| -> оо, с использованием которой была определена асимптотика собственных значений и собственных функций линейного дифференциального оператора, определяемого (0.1)-(0.2).
В дальнейшем Я.Д.Тамаркин усилил результат, который получил G.D.Birkhoff, показав в [4], что при _/j(x)gC"_1[0,1] и регулярных краевых условиях для всякой интегрируемой функции ряды по собственным и присоединенным функциям задачи (0.1)-(0.2) и по тригонометрической системе равносходятся внутри [0,1]. Этот результат Я.Д.Тамаркина обобщил теоремы о равносходимости, которые ранее получил В.А.Стеклов [5], А.Нааг [6-7], E.Hobson [8], для краевых задач второго порядка. Аналогичный результат, но значительно позже, получил
M.H.Stone [9]. Более общие краевые задачи, а также краевые задачи в пространстве вектор-функций, детально изучал Я.Д.Тамаркин [10-11], G.D.Birkhoff и R.E.Langer [12]. Задачам, связанным с изучением спектральных свойств дифференциальных и интегро-дифференциальных операторов посвящены многочисленные научные исследования, среди которых работы таких математиков, как N.Dunford [13], J.Schwartz [14], А.Б. Будак, В.Н. Денисов [15], В.А. Ильин [16-18], B.C. Пугачев [19], Ю.В. Покорный [20], А.П. Хромов [21-23] и др.
Г. М. Кесельманом [24] и В. П. Михайловым [25] в общем виде были получены условия базисности Рисса собственных функций линейного дифференциального оператора, порожденного регулярными краевыми условиями при р(х) = \ и функции /[ (х) имеющей производные до (п-1)-го порядка. В настоящее время базисность Рисса установлена для широкого класса дифференциальных и интегро-дифференциальных операторов с достаточно общими граничными условиями, в том числе содержащими и интегральные слагаемые. Исследованиям вопросов базисности Рисса посвящены работы А.Г. Баскакова и Т.К. Кацарана, [26], В.Д. Будаева [27], В.В. Власова [28-30], A.M. Гомилко, Г.В. Радзиевского [31-32], B.C. Рыхлова [33], В.П. Курдюмов [34], Л.А. Муравья [35], А.П. Хромова и В.П. Курдюмова [36], А.А.Шкаликова [37-39] и др. R.E.Langer [40] и В.С.Пугачев [19] рассматривали различные спектральные задачи дифференциальных операторов с весовой функцией р(х), т. е. задачи, порождаемые дифференциальным выражением вида:
і(у) = -^-у{п) + A ФУ1"0 + + Л (^ (0.3)
и линейно-независимыми краевыми условиями (0.2)
В этих исследованиях р(х), /{{х) предполагались достаточно глад
кими функциями. В.С.Рыхлов, G.Freiling в [41] рассмотрели задачи рав
носходимости рядов по собственным и присоединенным функциям ли
нейного дифференциального оператора, порожденного (0.3)-(0.2) и
тригонометрической системой в предположении, что
р(х)е Wn[0,l] = {yeLl[0,\]7(1)єІ[0,1]} , a pv{x)єL[0,l],v = 1,2,...,л}.
W.Eberhard , G.Freiling , A.Schneider в [42-43], а также P.Koch [44] и T.Stoeber [45] рассмотрели в наиболее общем виде спектральные задачи для дифференциальных операторов, определяемые (0.3) и (0.2) со ступенчатой весовой функцией р{х), принимающей только действительные значения, отличные от нуля, и достаточно гладкой функцией /,(*).
А.П.Гуревич, А.П.Хромов в [46] рассмотрели задачи о разложении функций в ряды по собственным и присоединенным функциям дифференциальных операторов, порожденных дифференциальным выражением (0.3) для случая п=1 и п~2 и специальных краевых условий (0.2). При этом функция р(х) предполагалась ступенчатой, состоящей из двух ступенек. По терминологии, используемой в настоящей работе задача рассмотренная введенной в [46] для п=2 является нерегулярной.
Случай комплкснозначной функции р(х) в работах [42-45] не изучался. В настоящем же исследовании показано, что взаимное расположение ступенек функции р(х) в комплексной плоскости существенно влияет на спектральные свойства линейного дифференциального оператора. В работах [42-45] вопрос о влиянии гладкости при (и-І)-ой производной в дифференциальном выражении (0.3) на спектральные свойства не изучался. Задача о базисности Рисса собственных и присоединенных функций дифференциальных операторов с весовой ступенчатой функцией р(х) , даже в предположении гладкости функции /, (х), в общем виде до настоящего времени не рассматривалась.
Настоящая работа посвящена изучению спектральных свойств линейного дифференциального оператора L, заданного на отрезке [0,1], порождаемого дифференциальным выражением вида:
1(у) = -^-тУ(п)+А(х)у{"-1) +... + /п(х)у (0.4)
р(х)
и линейно-независимыми нормированными краевыми условиями:
Uv(y) = Uv0(y) + Uvl(y) = 0, v = l,2,...,/i, (0.5)
j=Q
П(К| + 1/М)*0. п-\>кх>...>кп>Ъкк 2
p(x) =
р0,хє!0 =[aQ = 0,л,),
Ррхє/, =[(3, = 0,<я2),
«о = 0 < а, <... < ат < ат+1 = 1. (0.6)
Рт>хєІт=[атіат+1]. При этом предполагается, что рк являются произвольными комплексными числами, отличными от нуля, а функции / (х) є L[0,1].
Задачами настоящего исследования являлись:
нахождение условий, аналогичных условиям регулярности при р(х) = \, которые в настоящей работе определяются как условия Birk-hoff-регулярности дифференциального оператора;
нахождение условий, при которых собственные и присоединенные функции Birkhoff- регулярного оператора L образуют базис Рисса в пространстве Z2[0,1].
Полученные условия Birkhoff- регулярности оператора L определяются коэффициентами в краевых условиях (0.5) и значениями ступенек весовой функции р{х). Сформулированные условия базисности Рисса также зависят от взаимного расположения ступенек рк в комплексной
плоскости.
При решении данных задач были рассмотрены вопросы об асимптотике собственных значений и собственных функций, кратности собственных функций, полноте собственных и присоединенных функций, поведении функции Грина. Указанные задачи решены в предположении,
что /|(д:)єД0,1] либо fl(x)eL2[0,1]. Таким образом, полученные ре-
10 зультаты обобщают результаты немецких математиков [42-45] на случай
комплекснозначнои весовой ступенчатой функции р(х) и негладкого коэффициента при (п-])-ой производной в дифференциальном выражении (0.4). При этом в ряде случаев получены более точные асимптотические формулы по сравнению с формулами, полученными в работах таких математиков, как W.Eberhard , G.Freiling, A.Schneider, P.Koch , T.Stoeber. Как указывалось выше, в работах [42-45] вопрос же о базисно-сти Рисса собственных и присоединенных функций оператора L, определяемого (0.4)-(0.5), не рассматривался даже в предположении гладкости коэффициента /, (х).
Теперь перейдем к рассмотрению основных результатов диссертации. При этом соответствующие результаты сформулируем здесь для линейных дифференциальных операторов, определяемых (0.4)-(0.5). В работе же все результаты получены для соответствующего класса квазидифференциальных операторов.
Диссертация состоит из трех глав. Каждая глава делится на параграфы. Некоторые параграфы делятся также на подразделы.
В первой главе вводятся основные понятия, определения, обозначения, которые используются затем во всей работе. На основании асимптотики фундаментальной системы решений, полученной В.С.Рыхловым [47-48], и метода склейки, определяется характеристический определитель А(р), нули которого определяют собственные значе-
ния дифференциального оператора. Важное место в рассуждениях настоящей главы занимает деление комплексной р— плоскости на некоторую систему S и Г—секторов, которое существенно отличается от классического деления комплексной р-плоскости на систему 2п секторов с
тс угловой мерой —-[см. например 49]. В этих секторах определенным об-
2/7
разом можно занумеровать различные корни «-ой степени {сок-}"._ из чисел рк, где к~=0.1,...,т. Далее изучается поведение характеристического определителя А(р) в этих секторах р -плоскости. В результате в каждом 5-секторе выделяется главная часть определителя Д(р), которая представляет собой некоторый экспоненциальный полином. Условия Вirkhoff—регулярности определяются в виде требований отличия от 0 коэффициентов при главных экспонентах соответствующего экспоненциального полинома. Сформулированные условия Birkhoff-регулярности зависят как от коэффициентов краевых условий, так и от значений ступенек соответствующей ступенчатой функции. Для того, чтобы сформулировать основные результаты первой главы, введем следующие обозначения:
, . /у. Пусть (-рк) = \Рк\е К и
SA-pk) = {peC\-^<^p<(^-^},v = 0X...,2n-l (0.7)
п п п п
Рассмотрим всевозможные пересечения f/77+У^-секторов
12 sv0(-Po)r\...nSVm(-/?„,), где vQ,vx,...,vm=0,l,...,2n-l,
тогда комплексная p -плоскость будет разбита на не более, чем 2п(т+1)
секторов. Пусть S один из таких секторов, т.е. S=f]Sv (-рк),
*=о *
{со{кр}"=]- различные корни «-ой степени из чисел рк, занумерованные для сектора 8у(-рк) таким образом, что:
Керсо(у) < Repeal <...< Reрсо(у),к=0,1,....т, psSv(-p.) (0.8)
Пусть далее {^}^...^ корни «-ой степени из чисел рк, занумерованные для S сектора, таким образом, что:
Repcok]
в{х1і...іха.\ха.+х ,...,хп) определители, вид которых определен на стр.31. настоящей работы.
Определение. Будем говорить, что дифференциальный оператор, определенный дифференциальным выражением (0.4) и краевыми условиями (0.5), является Birkhoff-регулярным, если в любом S-секторе выполнены следующие условия: 1)для п~2р
(0.9)
e(co0l,...,a)QfJ\(omfJ+l,...,u)mn)*Q 0(coO],...,coO/J;u)mfJ,a>mM+2>...,comn)*O
13 2) для n = 2ju-\
0(юО1,...,й>о,;<у..,<у„„,)*0 (9(w01,...,u;OA,«ym//+1;uJmA+1,...,^,„)^Oj
Основным результатом первой главы является получение следующих
теорем:
Теорема 1.1. Пусть п-2р, argp, *arg/?y для i*j,
F Q
р + \р + \ р + \р +1
^оМИи^Ы - ^око()^^["і] VoW^+A^^'W
^00 =
VoWHi^W VoMh/I8»! ^0^0(0)^0^1^^0^1^]
F0m =
*pMO^(VrV[i] v>(')M ... *pk,(i)[i]
Fp+\p
„-I fx»pJ[p+\-p) . ,
V>(0('^> « '^P+l ">[l] ^^(1)(^^,-^11...^^(1)(/^)-41
p + lp + l
w^m v»n -v>u)H -vu)<~p>M(vr
Qij - матрицы, все элементы которых равны [0]. Остальные матрицы Ф,7
являются нулевыми матрицами, т.е. матрицами, все элементы которого
равны 0.
Положим
(0, если,-, , .
v { 1, в противном случае .
Будем далее обозначать через ),(//' ,...;/,/,...), где /^,^ =0,1... - минор
/С I 2 12
/7-го порядка, находящийся в kn+l,kn+2,...,kn+n-Qu. строках матрицы Ф(р) и в /j,/2.. столбцах матрицы Ф^_, для к*0 и матрицы Ф00 для
/: = 0, а также j\,j2,— столбцах матрицы Ф,, для ЬО и матрицы Ф0т для & = 0. При этом, если какие-нибудь /уили нравны 0, то это будет означать, что Dk ( ; ) находится в оставшихся столбцах ivJv (iv,jv * 0).
37 Лемма 1.2. Для функции Ф(р), определяемой формулой (1.31) справедлива
следующая формула:
т +D ^(1,...,// + 1;// + 2,...,и)х П D (,« + 2,..,я ; 1,...,// + 1)+Dn(1,...,//-1 ;//,...,л)х
* = 1
/7?
хп Д. (//,...,/»; 1,...,//-1) + [0], (1.33)
Л = 1
7 = (»Л>;'i' J\> >'и>Jm) — вектор размерности 2(т +1),
Г i0>jQ=fd,ft + l i'j =//, если /q =// + 1,7] =//,// + 1, i2 = // , если;'] = //, у2 =//,//
* /j = // + 1 , если /q = // , /-=// + 1, если Л = //
./,„ = //, если jm_t =// + 1 ./„,=//, если 7о = /" + 1Л L = М + 1 > если 7'иЧ = A 7,,,=/^ + 1, если j0=ju-
(1.34)
М- 1
^.0 = -4-^,0,)+ S ^,(/,)- (Ь35)
Jt = О
До казател ьство:
Разложим Ф(р) по минорам /7-го порядка, находящимся в первых и строках матрицы Ф(р). Пусть AQ(i{,i2,...;jvj2...) — дополнительный минор к минору DJi yi ...;j ,7 -) в матрице Ф(р). Далее ^>(0 разложим по мино-
V/ I 4. 1 Т
рам «-го порядка, находящихся в первых л строках матрицы AQ(\). Соответствующие дополнительные миноры к минору /^(/,/ ,...;./,у ,...) в мат-
38 рице Aq (;) будем обозначать через Ах (;) и.т.д. Дополнительные миноры к
минору >„,_!(/р/2,—ІУрЛ'—) в матрице ^т_2 (0 будем обозначать через
Заметим, что возможно отличными от [0] минорами «-го порядка, находящимися в первых п строках матрицы Ф(р), являются всевозможные миноры п-го порядка матрицы |.F00F0m||. ^се остальные миноры будут равны [0], так как все их элементы равны о(1). Выбрасывая из матрицы Ц^о^отІІ два любых столбца, получим минор п-го порядка. Возможны три случая:
а) один столбец выбрасывается из F00 и один -из FQm;
б) два столбца выбрасываются из F0m;
в) два столбца выбрасываются из F00.
В результате получим:
ф(р)= I (-1)^^0^0^0(^(/0)1,.,^ +1(/0)(/i+i) ;^О0)^-.^(/0)«)^0(;)+
І =1...// + 1 \ г* t* J
о и
І ,j = //..../І ^ '
0 "0
J < і J0 0
і ,j = \...u+ 1 0 0
+ S (-0^^0^0^0(^(/0)^(/0)1,..,7 +1(/0)^ ^0)(^ + 1) ; /*,...,nW(;) + [0] =
Рассмотрим сумму 5,:
<o = 1...// + 1 /^ = 1...//-1 io =//,// + 1 /=//,// + 1
>0 = /*« 7'0 = A « У = // + 2...И y'o =//,//+1
Сумма 5,(l) соответствует случаю, когда А; содержит /л и //+1 столбец Фт и не содержит некоторый /-й (100, а значит, алгебраическое дополнение Д,(;) будет содержать столбец, все элементы которого равны [0], т.е.
5,(1)=[0]. (1.38)
Сумма 5,(2) соответствует случаю, когда D0 содержит ju-й и /і+1-й столбец Ф0л1, а значит, алгебраическое дополнение \ (;) будет содержать столбец, все элементы которого равны [0], т.е.
S,(2)=[0]. (1.39)
S.(3) = Z (-l)NoiijQ)D0{\,...,M-\,xM(i0)M,^(іь)(/і + і) ;^Oo)^^+1Oo)(^+0^+2-")
хЛО) (1.40)
^q(;) в формуле (1.34.) разложим по минорам л-го порядка, находящимся в первых п строках матрицы Aq(;). Эти миноры можно разбить на три группы:
а) миноры Dx (;), содержащие одновременно //-й и //+1-Й столбец Фи, т.е.
имеющие вид ),( ;ju,jj + \..). В этом случае Al(i) будет содержать столбец, все элементы которого равны [0];
б) миноры вида
40 ^1[^(у^^ + 1('1)(^ + 1)»^ + 2..л;1..^-1,^(ур^,^ + 1(ур(^ + 1)1где
i\J\ =//,//+ 1;
в) миноры ), (;), содержащие нулевой столбец.
В результате получим:
4)0) = . еоіи . J , (-'И'^'Ц^'і^ Vi('i)^+1) ^+^1^-1.^0-,)^^0-1)(^1)^
/i=/v+i ij=^+l, если <0=/'
х^(;) + [0] (1.41)
Проводя аналогичные рассуждения, получим:
40 =
Z HVWx (1.42)
/ =д если / =м+І\
2 ' ^=^ + 1
/ = и + І, если і = и\ 2
2 ^ 1 П
>^2[y/2)/A^+1('2)(//+i),//+2..Ar,i,...,/.-i,^o2)A^+1O2)(//+i)j><^2(;)+[0]
V2(0= z . (-1)^-1^-1^-^ х
/ = //, если і = fJ + 1
.^-1 , т-.2 \j =м.м + \
і = /и + 1, сели / = /J \ т - 1
/и -1 ш - 2 J
x^-,(;)+[0J (1.43)
лт-\ = т(Х;иЮР>Хм^0т)(м + 1) ^ + 2..«;l,...,//-l,^Ow)/".^+1Om)(/" + 1))'
/m =// + 1, если;ы=^ , л, =// + 1, если ;0 =//, /т = //, если yM_, =// + 1 , 7^=//, если у0 = // +1.
N О J ) = х О" )+х U )-1
ruiA'iv;i.->v-'"
государ;. :,ійШ^І
БИБЛИОТЕКА 41
к к Jк' лц + 1 к
Рассмотрим сумму Sz
Очевидно, что Aq (;) в сумме S2 будет иметь вид:
AQ{^) = Di(M + 2,...,n; 1,...,^ + 1)хЛ,(;) + [0]. (1.44)
Ах (;) в формуле (1.42) будет иметь вид:
Al(;) = D2(ju + 2t,..tn; 1,...,^ + 1)х А2 (;) + [0] ,
4»-2(0 = A,,-iC"+2-"w; і,...,^+і)х4„-.(;)'
Ля-1 (') "~
Dm (/и + 2,...,п; 1,..,/л-1) , если)0 не содержит /и и /л + \ столбец Ф0 [0] в противном случае
Заметим, что:
Л/0(/0 = /л, уо = ju +1) = «(/7 +1) — четное число.
Таким образом,
т S2=D0(l,..,ju + l;M + 2,...,n)x П Dk(fj + 2,...,rr, 1,...,// + 1) + [0]. (1.45)
к-\ Рассмотрим сумму Sy. Миноры >0 (;) в сумме 53 можно разделить на две группы:
а) >0(;) содержит /*-й и/или /^-1-й столбец Ф00. В этом случае Aq(;) со
держит нулевой столбец, и поэтому Aq (;) = [0];
б) D0(;) не содержит ни /і-й, ни /г»-1-й столбец Ф00, т.е. D0(;) имеет вид
>0 (1,.,.,/v -1; /u,.. .,/?).
42 В этом случае:
4, (;) = >, (/А-,"; 1,...,//-1)хЛ,(;) + [0]
4,-2О) = -^,-1 (>">.«; i,..,//-i)x4-i(0 + [] ^,.,0) = /^,(//,..,^ 1,..,//-1)
Лемма доказана.
Из этой леммы легко получить следующий результат:
Лемма 1.3. Пусть п = 2/и , тогда для функции А(р) определенной выражением (1.24) справедлива формула:
т /1
т1и „ k +^'dJ p(ak+rak).I, <kj
Д(/>) = Н) P 2 в *=0 ^+1 хф(р),где
фМ= і (4)W[^(/)]e^(/)+[/,]e"/,l)^,(flw^) +
+ [C]e *=0
X^('4l'-'4^-l»^0o) "*V*/i+l(*o) ^O/z+li^Oo) '4^^lU) ^4,/,+1^4^2--'4«)
m ,
k=\
хП^іМ^Л)х^М4) 4-i^+i('*) 'Ч-і,+і.%і,+2-".%і„;'Ч!-Ч-і'
жДл) 4-^^Л)/uVi)
^^(4^^(0)^(4-,^ <4-.„;<4i <4„+i)
NQ(I) = m-l + Xfi+1(i0)+YZM+l(jk)
k=0
1 = (. Уо>*i> j\ »'«»Уія) — вектор размерности 2(m+l).
Множество G определено в лемме 1.2.
Определение 1.4. Для я = 2ju будем говорить, что к.д. оператор К,
определяемый (1.1)—(1.3),является Birkhoff-регулярным, если в любом S-секторе следующие определители отличны от 0:
(1.47)
Замечание 1.3. Birkhoff-регулярность оператора К определяемого (1.1)-(1.3) достаточно проверить для соседних S-секторов, образующих в
совокупности угловую меру —. Указанное утверждение следует из
формул:
со = AutofK 45/+1) = Л/^^Г_1). гДе А, = е п еп , 1=0,1, ...,п-1;
(2р) _
= B2pcof\ со%/+1)=В2ре~"со(2"-1\гАЄ в21=е п є » ,р=0,1,...,п-1;
где {u/v)} . ., , v = 0,2« -1 -корни и-ой степени из числа 1 занумерованные для сектора Sv (1).
44 Замечание 1.4. Повторяя рассуждения [24, с. 84-88] можно показать,
что если К является Birkhoff—регулярным оператором, то и сопряженный
оператор К является Birkhojf-регулярньш оператором.
2.3. Главная часть определителя Д(/?)при « = 2//-1
т О ) Пусть S - П *Я> .Заметим, что:
Керсокм<ОяяярЕ^\Як)
(1.48)
Для рєТ=S-спреобразуем определитель А(/>) следующим образом: І.из v- ой строки матрицы Д(/?)) выносим /А для к =7,2,..,.«, из кп+j-ovL строки матрицы А(р) выносим pj~x для k=l,2..m,j-J,2..n; 2. из kn+j-oro столбца матрицы А(р) выносим
/^K+rt) jVak=0,J...puj=M + ^-n.
из «+ // -го столбца матрицы А (р) выносим
е ^ Л для к=0,1, ...т;
З.вынесем (-1) из кп+j-ro столбца А(/?) для к=1, ...,т и j=l, ...,//-1.
В результате проведенных преобразований получим:
к=0
;=//+!
-Л-ІУ'О'-І) л« 2
Д(Р)-(-1)^-V
л=о
хФ(/Л
PlK+rtH/^O)
(1.49)
ф(р)
ф „ ф
Ф^ — матрицы размерности пх п, которые определяются следующим
образом:
^00 - ГОО^ОО ' ^Om ~~ ЭДмЛ)/п '
^O+lD^ I
р+\р
Р+1р р+\р
>Ф0о =
Fp+\P+iQp+iP+\ » тяр=0,1...,т-].
F =
^0^(0)(/^,)41 [«,] ^0^(0)04,-, )*'[«,] WoVAmcoJ^ay^^1^
у/0к0(0)0Ч,)*2[«2] ^o(0)(/*v,)V2] ^ok0(0)04Ja,K>
„./[«J ^ox/^/^v^v1'
^0^(0)04,)'"[«.] ^o(0)(/*v,)Vj ^^о(0)ОЧJVJ^"1''00'
r.vm(W*^e'^il-'l-*,-**[p-
у„Л„(0(/^.,)*'[A] ^,/,,,(1)('Ч„„)ЧД]
^(i)(i4«l)',*^(,""H,~',"(,V3] ^,,Л,(1)('Ч,,,+,)2,[&] У.УЛМаЛЧРг]
^^0)(|««,)ь,е^(,-х,-'-(,и[/?11;
^0)(/^, )*«[&] ^^(i)(/wmJ4"[AJ
^ к(1)^я"(а"+гИ,1К'""/>('!)[1]
р />
^рУр(\)(шрм) e^^-^-^hl}
уЛ(і)(<Ч„+.) [і] v,W4*> [і]
Я+lp
я_, («»w("ftl -"p№-Xlp (0)
Vp^a)('4J""e
[1] ^/Р(1)(/^+,)"-'[1] рУр(Чшрп)п-хЩ
/'
/7 1-1/)+1
^,+1^+1(^+4) I']
»ViVi(0,,ij
^/)+1//^/,+2-^+1^-^1101
vv+tVi(OX"Vn> і» гдър=0,1 ...m-J.
,,-1 ^/,+1,//^/)+2""/)+! X)-/ |(D) ,
Q,— матрицы, все элементы которых равны [0].
Так же, как и в четном случае , можно убедиться в справедливости следующих утверждений:
Лемма 1.4. Для функция Ф(/>), определяемой выражением (1.49), справедлива следующая формула:
0(^) = (-1)-^(1,...,//-1 ; p,...,n)xY\Dk(ju,...,n ; 1,...,//-1) +
k=\
+(-1)-(^)D0(l,...,// ; // + l,...,«)xflD,(// + l,...,« ; l,...,//) + [0]
(1.50)
Лемма 1.5. Пусть w = 2//-1, оператор К, определяемый (1.1.)-(1.3.)
удовлетворяет условию:
argr0=... = argrm ,
тогда для функции А(р), определенной выражением (1.24) справедлива формула:
т п
A(p) = (-ir('-V
2 е ^0
7=//+1
хФ(р), (1.51)
Ф(р) = Ше "> к"+[А2],
4=(-ir>^1^-,(ov^^a)><^4i.--.4^;^^--^Jx
а=і
><П^^(^Г^ГЧо)К(ч_.,..^Ч-,,;Чі---^Ч,-.)5
^0^^41)^^(0)^(/^.,^,,...,/4,,^/4.----.^)-
Определение 1.5 . Пусть /7 = 2//-1, оператор К, определяемый (1.1)-(1.3)
удовлетворяет условию a.rgrQ-... = argrm .Тогда будем говорить, что
оператор К является В irkhoff—регулярным, если в любом S—секторе
следующие определители отличны от нуля:
(1.52)
0(coov...,ісо0м_х;й>тм,...,сотп)Ф0 , в(а)ОІ,...,Ф0м;а>тм+1,...,сотп) * О .
Замечание 1.5. Также как и для четного п Birkhoff-регулярность оператора К определяемого (1.1)-(1.3) достаточно проверить одного S-сектора (так как argr0 =arg/-m, то все рассматриваемые S- сектора
образуют угловую меру — ).
Замечание 1.6. Повторяя рассуждения [24, с.84-88] молено показать,
что если К является Birkhoff-регулярным оператором, то и сопряженный
оператор К*является Birkhoff-регулярным оператором.
3.Асимптотика собственных значений Birkhoff-регулярного
квазидифференциального оператора
3.1.Асимптотика собственных значений при п = 2р.
Рассмотрим теперь задачу о распределении (асимптотике) собственных значений Birkhoff-регулярного оператора К.
48 Будем далее обозначать через е[,к) один из двух лучей, ограничивающих
сектор S (R ), на котором Керсокм =0, рєе{к), где {cokJ}J=l2...» коРни л-й
степени из числа (-Rk)занумерованы для сектора Sv(Rk).
Легко можно показать справедливость следующих утверждений.
Лемма 1.6.
(к) 2т,]+\ <р,
для п = 4ди v = 2mn, arge\ ' =—у -^-
п п
ik) 2тп+\ (р,
для п = 4ди v = 2wn +1, argej,; = —у —
п п
'і/
для n = 4q + 2 и v = 2m0, avgel'- и- '
и и
,(*)_2OT0+2
для n = 4q + 2 и v = 2w0 +1, arge*' -
п п
где k=0,I,...,m, v- 0,1,...,2п-1.
Лемма 1.7.
Если сок -корень п-й степени из(-Як), занумерованный для-сектора
Sv(Rk), то
* л <*, 7г Фь 2та+2
для n-4q и v = 2m0> aigcokM=-^ + jf- $—л;
для л = 4д и v = 2/w0 + l, argo^ =-^-+- g—к;
2n(q+\\ ф +7Г 2т +2 ^1,53^
для n = 4q + 2 и v = 2m0, argo^=- 4^+2 +~^ л-7*7
„ л ^ і 27r(^+l) ф+п 2тп+2
для n = 4q + 2 и v = 2/w0+l,.argu>A/1=—4^+2^+ и пж
Лемма 1.8.
Пусть 0
., I %(ы-^И' (1.54)
/С—/с, ,K.~,...,Kq
Доказател ьство:
Предположим, что ^/,(^+1-^)=. тогда для любого
к—кл iky,...,kq
ft— K\,...,kq
Рассмотрим сектор S a S, не содержащий ни одного из лучей
eW (v = 0,1,-.,2«-1; = 0,1,...,/и), тогда ехр{р X ^(%г^)} -> 0.
k=kv...,kq peS
Лемма доказана.
Обозначим:
И (S)- ^41--^4^4,^-^4,,) х V{i(pQft^,...ii(o(ia\ia>u,..1ico{)l)
0 ^O'^op-'^-p^o^p'^+i-v'^J К(/й>0/1ї/й)0//+2,..м/й>0я;/й?п,...,іІА)
где / * 0 и / * m.
Я М- , ^*4i --^4//^4^+1--^4^) у ^ОЧм^р-^'^-ь^Ч,!»-^^)
%)01,..,/uV'Z4//,«4//+2-->'4«) ^4^+1-^4-1^4,,1-^4/,-1^4/,+]
В формулах Н (S\ g = 0,1,..,/я {со,.} -_1? - корни /7-й степени из
KJ J 1,/,...,/7
(-/?А), занумерованные для сектора S.
Пусть 5/ -5-сектор, который опирается на луч ej и 5Ї czSq(R,).
50 S1/ е50(і?у) -5-сектор, который опирается на луч 4'і-і и S'j с S2«-i(^/)
Обозначим
я;01 = /-/дх;), я;2»-"=я,(5;);
, где / = 0,l,...,iw
Теоремаі.1 .Пусть /7 = 2//, argr.-arg/^ ^0, d/ш «Vy, 0 -со"
I II 12
су су х
1! 12
О) О)
*0
7-х
со,
-о)^
1 -1 -1 ^13 _^21 -шгг
СУП -су
СУГ, - СУ
13 -и
^22" ^21
-СУот
-1 -0)22
-со;.
= (-1)'+Ч-1)
су,з -су2, 0)22 -СУ,,
, > 2 у
0)'^ — СУ,, со22 — 0)2}
= -(ft>,3 -Й>2.)(й>22 -U>2l)
су,, -су,, о)22 -o)2t
= -(сув - су,, )(су2, - о)21)(со22 - СУ,, - СУ|Ч +0)2,) = -(а)13 - СУ,, )(&>,, - 0)2] )(0)22 - 0)и )
Если су13 = со2,, то к = г2, со^ Ф со2,, так как корни из (-п,) различны, ес-
ли су22 = су13 , то г, = г2.
Так как по предположению г, * г2, то у * 0
Теорема2.3. Пусть
го =
п =
в^.гг
е 1, при этом будем считать, что при срх=ср2 г, | Ф г2
Рассмотрим сектор S*целиком лежащий внутри S-сектора и не содержащий граничных лучей S-сектора. S = S)p (r^^S^ (г$\Бц\г2)
Пусть {соЛъ.{корни 3-й степени из чисел {-rk), занумерованные для S*-
сектора и число
Г,=
^ + 1
>=2 ^01 «3 «23 A SK/)*3 + ,«3
./--
*0
І^Ц, 0, p)\ > —-^, /7/?w |/?| > Лд,, RN-> со при N->oo (2.43)
/7 є Ss - (P є 5": \p - /?, [ > S, где (-p/ ) - с.з. оператора L) Доказательство: Выше мы получили:
Н{х = а{,ї = 0,р) =
3/?2г0 '
//0(а,Ар) = -Я,(«„0,р) + [0] ^(fl„0,p) = y + [0]
Д(р) = рк\+к2+къ х р6 х ^ог^+р^з^+р^зО-а^+р^зС1-^) х А (р),
гдеА0(р) = [0].
Из этих соотношений следует:
1 х[гЬ У+[0] Зр2г0 [0] 3pV0[0]
Отсюда следует оценка (2.43). Теперь приведем условия, при которых, коэффициент /, = 0
86 Лемма 2.2. Пусть в краевых условиях соблюдаются следующие условия
1 )при кх=2, к2 = 2,къ = \ и сс3фО и аф2Фа2Д,
при кх = 2, к2=2,к3=0 и а3 Ф0 и аф2*а2/Зх,
при к, =2, к2-\,к,=\ и а,фО и афъ ^а3/3,,
(р2-(р0-2тг
4) при кх=2, к2~\гкъ-0 и Ц ^0 иа2/33 * r^—e 3 аФ~>
тогда коэффициент у определяемый формулой отличен от нуля
Доказательство:
Проведем для первого случая
Заметим, что справедлива следующее соотношение:
*, ' wky
СО. +СОІ. + СОІ =<
0,7=0,1,2, -Зг У=3.
Из этого соотношения следует, что:
ЕК/1+Ч = Z(«0j )Ч = -w - W = ~2W
До+1
I К,) 2 «2 = Z («оу) «2 =-2г0«2
7=2 -7 у=2
Отсюда имеем:
'1
= (-1)^(-3)^^,
cola, со\фх cola2 со\ъРг
OU^Ofj x cow X со'п X
a: Д
-3fi>02,a3 x ^o2, x у22з x (а, Д2 - a2 Д) ух *Оесли «з^Ои #,Д2 *а Д .
Характеристическая система уравнений
В этих исследованиях р(х), /{{х) предполагались достаточно глад кими функциями. В.С.Рыхлов, G.Freiling в [41] рассмотрели задачи рав носходимости рядов по собственным и присоединенным функциям ли нейного дифференциального оператора, порожденного (0.3)-(0.2) и тригонометрической системой в предположении, что W.Eberhard , G.Freiling , A.Schneider в [42-43], а также P.Koch [44] и T.Stoeber [45] рассмотрели в наиболее общем виде спектральные задачи для дифференциальных операторов, определяемые (0.3) и (0.2) со ступенчатой весовой функцией р{х), принимающей только действительные значения, отличные от нуля, и достаточно гладкой функцией /,( ). А.П.Гуревич, А.П.Хромов в [46] рассмотрели задачи о разложении функций в ряды по собственным и присоединенным функциям дифференциальных операторов, порожденных дифференциальным выражением (0.3) для случая п=1 и п 2 и специальных краевых условий (0.2). При этом функция р(х) предполагалась ступенчатой, состоящей из двух ступенек. По терминологии, используемой в настоящей работе задача рассмотренная введенной в [46] для п=2 является нерегулярной. Случай комплкснозначной функции р(х) в работах [42-45] не изучался. В настоящем же исследовании показано, что взаимное расположение ступенек функции р(х) в комплексной плоскости существенно влияет на спектральные свойства линейного дифференциального оператора. В работах [42-45] вопрос о влиянии гладкости при (и-І)-ой производной в дифференциальном выражении (0.3) на спектральные свойства не изучался. Задача о базисности Рисса собственных и присоединенных функций дифференциальных операторов с весовой ступенчатой функцией р(х) , даже в предположении гладкости функции /, (х), в общем виде до настоящего времени не рассматривалась. Настоящая работа посвящена изучению спектральных свойств линейного дифференциального оператора L, заданного на отрезке [0,1], порождаемого дифференциальным выражением вида: и линейно-независимыми нормированными краевыми условиями: При этом предполагается, что рк являются произвольными комплексными числами, отличными от нуля, а функции / (х) є L[0,1]. Задачами настоящего исследования являлись: 1. нахождение условий, аналогичных условиям регулярности при р(х) = \, которые в настоящей работе определяются как условия Birk-hoff-регулярности дифференциального оператора; 2. нахождение условий, при которых собственные и присоединенные функции Birkhoff- регулярного оператора L образуют базис Рисса в пространстве Z2[0,1]. Полученные условия Birkhoff- регулярности оператора L определяются коэффициентами в краевых условиях (0.5) и значениями ступенек весовой функции р{х). Сформулированные условия базисности Рисса также зависят от взаимного расположения ступенек рк в комплексной плоскости. При решении данных задач были рассмотрены вопросы об асимптотике собственных значений и собственных функций, кратности собственных функций, полноте собственных и присоединенных функций, поведении функции Грина. Указанные задачи решены в предположении, что /(д:)єД0,1] либо fl(x)eL2[0,1]. Таким образом, полученные ре 10 зультаты обобщают результаты немецких математиков [42-45] на случай комплекснозначнои весовой ступенчатой функции р(х) и негладкого коэффициента при (п-])-ой производной в дифференциальном выражении (0.4). При этом в ряде случаев получены более точные асимптотические формулы по сравнению с формулами, полученными в работах таких математиков, как W.Eberhard , G.Freiling, A.Schneider, P.Koch , T.Stoeber. Как указывалось выше, в работах [42-45] вопрос же о базисно-сти Рисса собственных и присоединенных функций оператора L, определяемого (0.4)-(0.5), не рассматривался даже в предположении гладкости коэффициента /, (х). Теперь перейдем к рассмотрению основных результатов диссертации. При этом соответствующие результаты сформулируем здесь для линейных дифференциальных операторов, определяемых (0.4)-(0.5). В работе же все результаты получены для соответствующего класса квазидифференциальных операторов. Диссертация состоит из трех глав. Каждая глава делится на параграфы. Некоторые параграфы делятся также на подразделы.
Асимптотика собственных значений Birkoff-регулярного оператора, порожденного регулярными краевыми условиями
В этих исследованиях р(х), /{{х) предполагались достаточно глад кими функциями. В.С.Рыхлов, G.Freiling в [41] рассмотрели задачи рав носходимости рядов по собственным и присоединенным функциям ли нейного дифференциального оператора, порожденного (0.3)-(0.2) и тригонометрической системой в предположении, что W.Eberhard , G.Freiling , A.Schneider в [42-43], а также P.Koch [44] и T.Stoeber [45] рассмотрели в наиболее общем виде спектральные задачи для дифференциальных операторов, определяемые (0.3) и (0.2) со ступенчатой весовой функцией р{х), принимающей только действительные значения, отличные от нуля, и достаточно гладкой функцией /,( ).
А.П.Гуревич, А.П.Хромов в [46] рассмотрели задачи о разложении функций в ряды по собственным и присоединенным функциям дифференциальных операторов, порожденных дифференциальным выражением (0.3) для случая п=1 и п 2 и специальных краевых условий (0.2). При этом функция р(х) предполагалась ступенчатой, состоящей из двух ступенек. По терминологии, используемой в настоящей работе задача рассмотренная введенной в [46] для п=2 является нерегулярной. Случай комплкснозначной функции р(х) в работах [42-45] не изучался. В настоящем же исследовании показано, что взаимное расположение ступенек функции р(х) в комплексной плоскости существенно влияет на спектральные свойства линейного дифференциального оператора. В работах [42-45] вопрос о влиянии гладкости при (и-І)-ой производной в дифференциальном выражении (0.3) на спектральные свойства не изучался. Задача о базисности Рисса собственных и присоединенных функций дифференциальных операторов с весовой ступенчатой функцией р(х) , даже в предположении гладкости функции /, (х), в общем виде до настоящего времени не рассматривалась.
Настоящая работа посвящена изучению спектральных свойств линейного дифференциального оператора L, заданного на отрезке [0,1], порождаемого дифференциальным выражением вида: Рт хєІт=[атіат+1]. При этом предполагается, что рк являются произвольными комплексными числами, отличными от нуля, а функции / (х) є L[0,1]. Задачами настоящего исследования являлись: 1. нахождение условий, аналогичных условиям регулярности при р(х) = \, которые в настоящей работе определяются как условия Birk-hoff-регулярности дифференциального оператора; 2. нахождение условий, при которых собственные и присоединенные функции Birkhoff- регулярного оператора L образуют базис Рисса в пространстве Z2[0,1]. Полученные условия Birkhoff- регулярности оператора L определяются коэффициентами в краевых условиях (0.5) и значениями ступенек весовой функции р{х). Сформулированные условия базисности Рисса также зависят от взаимного расположения ступенек рк в комплексной плоскости. При решении данных задач были рассмотрены вопросы об асимптотике собственных значений и собственных функций, кратности собственных функций, полноте собственных и присоединенных функций, поведении функции Грина. Указанные задачи решены в предположении, что /(д:)єД0,1] либо fl(x)eL2[0,1]. Таким образом, полученные ре 10 зультаты обобщают результаты немецких математиков [42-45] на случай комплекснозначнои весовой ступенчатой функции р(х) и негладкого коэффициента при (п-])-ой производной в дифференциальном выражении (0.4). При этом в ряде случаев получены более точные асимптотические формулы по сравнению с формулами, полученными в работах таких математиков, как W.Eberhard , G.Freiling, A.Schneider, P.Koch , T.Stoeber. Как указывалось выше, в работах [42-45] вопрос же о базисно-сти Рисса собственных и присоединенных функций оператора L, определяемого (0.4)-(0.5), не рассматривался даже в предположении гладкости коэффициента /, (х).
Построение функции Грина, понятие регулярности
Теперь перейдем к рассмотрению основных результатов диссертации. При этом соответствующие результаты сформулируем здесь для линейных дифференциальных операторов, определяемых (0.4)-(0.5). В работе же все результаты получены для соответствующего класса квазидифференциальных операторов.
Диссертация состоит из трех глав. Каждая глава делится на параграфы. Некоторые параграфы делятся также на подразделы. В первой главе вводятся основные понятия, определения, обозначения, которые используются затем во всей работе. На основании асимптотики фундаментальной системы решений, полученной В.С.Рыхловым [47-48], и метода склейки, определяется характеристический определитель А(р), нули которого определяют собственные значе и ния дифференциального оператора. Важное место в рассуждениях настоящей главы занимает деление комплексной р— плоскости на некоторую систему S и Г—секторов, которое существенно отличается от классического деления комплексной р-плоскости на систему 2п секторов с тс угловой мерой —-[см. например 49]. В этих секторах определенным об 2/7 разом можно занумеровать различные корни «-ой степени {сок-}"._ из чисел рк, где к =0.1,...,т. Далее изучается поведение характеристического определителя А(р) в этих секторах р -плоскости. В результате в каждом 5-секторе выделяется главная часть определителя Д(р), которая представляет собой некоторый экспоненциальный полином. Условия Вirkhoff—регулярности определяются в виде требований отличия от 0 коэффициентов при главных экспонентах соответствующего экспоненциального полинома. Сформулированные условия Birkhoff-регулярности зависят как от коэффициентов краевых условий, так и от значений ступенек соответствующей ступенчатой функции. Для того, чтобы сформулировать основные результаты первой главы, введем следующие обозначения: Рассмотрим всевозможные пересечения f/77+У -секторов тогда комплексная p -плоскость будет разбита на не более, чем 2п(т+1) т секторов. Пусть S один из таких секторов, т.е. S=f]Sv (-рк), {со{кр}"=]- различные корни «-ой степени из чисел рк, занумерованные для сектора 8у(-рк) таким образом, что: Пусть далее { } ... корни «-ой степени из чисел рк, занумерованные для S сектора, таким образом, что: в{х1і...іха.\ха.+х ,...,хп) определители, вид которых определен на стр.31. настоящей работы. Определение. Будем говорить, что дифференциальный оператор, определенный дифференциальным выражением (0.4) и краевыми условиями (0.5), является Birkhoff-регулярным, если в любом S-секторе выполнены следующие условия: 1)для п 2р Основным результатом первой главы является получение следующих теорем: 0 a.rgpj,argpj 2л, тогда Birkhoff-регулярный оператор, определяемый (0.4)-(0.5), имеет 2(т+1) последовательностей собственных значений, для которых справедливы следующие асимптотические формулы:
Полнота собственных и присоединенных функций
Во второй главе строится функция Грина G(x, ,A = рп) и изучается ее поведение при \р\ — оо. Поведение функции Грина изучается в секто рах S(S) {р є S dist(p, cr) S}, где а = {р є С рп - собственноезначениё), a dist(p, a) = inf \р -у\. Во вто рой главе водится понятие регулярности оператора. Определение. Пусть G(x,d;,A,) функция Грина оператора, определяемо го (0.4)-(0.5), тогда, если для любого сектора S и положительного чис ла 8 Q существует такое положительное число R6, что: то будем говорить, что оператор, определяемый (0.4)-(0.5), является регулярным. Далее рассматривается соотношение свойств Birkhoff-регулярности и регулярности оператора, определяемого (0.4)-(0.5). Основным результатом второй главы является получение следующих теорем. Теорема2.1. При п = 2р Birkhoff-регулярный оператор, определяемый (0.4)-(0.5), является регулярным. Теорема2.2 Пусть п = 2р \ и arg/?0 =... = argpm, тогда Birkhoff-регулярный оператор, определяемый (0.4)-(0.5), является регулярным оператором. В результате полученных теорем мы видим, что если оператор L, определяемый (1)-(2), является Birkhoff-регулярным оператором; то для четного п, оператор L будет регулярным. В нечетном же случае данное утверждение справедливо в случае, когда все ступеньки ступенчатой функции р(х) лежат на одном луче комплексной р-плоскости. В этой ситуации возникает вопрос о регулярности оператора L, который является Birkhoff-регулярным, у которого не все ступеньки функции р(х)лежат на одной комплексной плоскости для случая нечетного п. В работе строится контрпример, который показывает точность теоремы 2.2. Суть контрпримера заключается в следующем:рассматривается дифференциальный оператор 3-го порядка со ступенчатой весовой функцией р(х) = \р = рх \е1(Рх, х є [a,, а2), где О (р0 р1 (рг —, порожденный линейно независимыми нормированными краевыми условиями. 2. выделяется главная часть характеристического определителя А(/?)в соответствующих iS-секторах в виде некоторой экспоненциальной суммы. Требуя отличие от нуля коэффициентов при главных экспонентах, можно сформулировать условия Birkhoff-регулярности оператора. 3. в некотором S -секторе получается следующая оценка функции Грина где/? є S (S) = {peS \\p- p \ S,гдеЛр = -pp -собственноезначение} \p\ RN, RN — oo при 7V- oo, a 8 некоторое фиксированное положительное число. Оценка (0.20) получается при определенных достаточно общих требованиях на коэффициенты краевых условий. В третьей главе устанавливаются асимптотические формулы для собственных функций. При этом выясняется кратность собственных функций. Для четного п существенное значение в получении соответствующих асимптотических формул для собственных функций имеет ус 18 ловие нахождения ступенек функции р(х) на различных лучах комплексной р— плоскости. Затем, используя полученные в предыдущей главе оценки функции Грина, методом контурного интеграла устанавливается теорема о приближении произвольной функции из области определения оператора равномерно сходящимися рядами по собственным и присоединенным функциям. Следствием из полученного результата является установление полноты системы собственных и присоединенных функций в пространстве L2[0,1]. Далее, используя метод, предложенный Г.М. Кессельманом, получаем теорему, устанавливающую условия базисности Рисса собственных и присоединенных функций Birkhoff-регулярного оператора. Основным результатом третьей главы является получение следующих теорем. Теорема 3.1. Пусть п = 2р, arg/?, Ф argp, для i j, 0 arg».,arg» . 2/г, и в (0.4) /JGL2[0,1J, тогда Birkhoff-регулярный оператор, определяемый (0.4)-(0.5), имеет 2(т+1) последовательностей собственных функций {у{х,р )} ,{у{х,р[р))}, где 1=0,1,...,т, р=1,2,..., которые, начиная с некоторого номера N, являются однократными, и для которых справедливы следующие асимптотические формулы:
