Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Об обратимости бесконечномерных псевдодифференциальных операторов 26
1. Псевдодифференциальные операторы с символом специального вида 26
2. Псевдодифференциальные операторы с символом, зависящим от одного аргумента 38
ГЛАВА II. Эволюционные уравнения с бесконечномерными псевдо-дифференциалъными операторами 61
1. Существование решения в обобщённых мерах задачи Коши для некоторых эволюционных уравнений 61
2. Эволюционные уравнения в пространстве функций на гильбертовом пространстве 67
3. О корректности краевой задачи для системы уравнений с псевдодифференциальными операторами 76
Дополнение. О линейных операторах, кооптирующих со свёрткой мер в бесконечномерном пространстве 94
Литература 98
- Псевдодифференциальные операторы с символом специального вида
- Псевдодифференциальные операторы с символом, зависящим от одного аргумента
- Существование решения в обобщённых мерах задачи Коши для некоторых эволюционных уравнений
- О корректности краевой задачи для системы уравнений с псевдодифференциальными операторами
Псевдодифференциальные операторы с символом специального вида
Бесконечномерные псевдодифференциальные уравнения привлекают сейчас внимание по нескольким причинам. Во-первых, такие уравнения естественно возникают в квантовой теории поля, статистической физике и статистической гидродинамике. Во-вторых, к необходимости исследования этих уравнений приводит сама логика развития нелинейного функционального анализа.
Наконец, отметим, что методы и результаты исследований бесконечномерных уравнений существенно отличаются от конечномерных. Эти отличия связаны с тем, что в бесконечномерном пространстве отсутствует мера Лебега (см. [ЗЗ] ). Поэтому, в частности, уравнения, сопряжённые к дифференциальным уравнениям относительно функций, оказываются уравнениями относительно мер. Фактически на это обстоятельство впервые обратил внимание С.В.Фомин (см. [39] ), указавший, что понятие распределения в смысле Шварца в бесконечномерном пространстве расщепляется. Меры на таком пространстве нельзя отождествить с обобщёнными функциями. Поэтому появляются два вида распределений: обобщённые функции - линейные непрерывные функционалы на основном пространстве гладких мер и обобщённые меры - линейные непрерывные функционалы на пространстве гладких функций(различные типы таких пространств построены в [3] , [-/?] , 6] ).
К настоящему времени опубликовано значительное число работ, посвященных исследованию ПДО и дифференциальных операторов в пространствах мер и функций на бесконечномерном пространстве,
В частности, такие операторы изучались в работах С.В.Фомина, Ю.М.Березанского, М.И.Вишика, Ю.Л.Далецкого, О.Г.Смолянова,В.Ю.Бе-нткуса, А.В.Угланова, Е.Т.Шавгулидзе, Л.Гросса, Б.Ласкара, А.Пич, и других математиков (см. [3J - [7J , [io] - [її] , [іб], [l9J -[20] , [26] , [29] - [32] , [35] - [38] , [40] - [41] , [47]-[49]). В большей части этих работ исследуются дифференциальные уравнения, как с постоянными, так и с переменными коэффициентами. Так, например, в [3 доказывается существование и единственность фундаментального решения .дифференциального оператора второго порядка с постоянными коэффициентами и исследуются эволюционные уравнения с такими операторами в пространстве обобщённых мер. В 4j устанавливаются достаточные условия обратимости дифференциальных операторов высших порядков. В JI6J изучаются эволюционные уравнения, содержащие дифференциальные операторы второго порядка с переменными коэффициентами.
Псевдодифференциальные операторы рассматриваются в 2б] , [4ІІ и, с помощью существенно иных методов, в работах [6] и [зі] - [32], [48І . В работе [2б] определяются ПДО в пространствах мер и функций на бесконечномерном локально выпуклом пространстве. Класс таких ПДО включает в себя дифференциальные операторы, как с постоянными, так и с переменными коэффициентами. Здесь, как и в конечномерном случае, бесконечномерные ПДО характеризуются своим символом. В [4Ї] изучаются бесконечномерные ПДО (в смысле работы [2б]) с символом, зависящим от одного аргумента ФЄН » где Н - гильбертово пространство и доказывается однозначная разрешимость задачи Коши для дифференциальных уравнений порядка т по Ъ , содержащих эти ДЦО. Кроме того, для каждого ПДО с борелевским символом определяется своё пространство обобщённых мер и доказывается обратимость ПДО в этом пространстве,
В [б] описывается один класс функций на произведении гильбертовых пространств Н х И и определяются ПДО с символами из этого класса. Доказывается теорема о композиции ПДО, исследуются эллиптические ПДО с параметром и устанавливается их обратимость при достаточно больших значениях параметра. Заметим, что бесконечномерный оператор Лапласа не является псевдодифференциальным оператором в смысле работы б] .
Настоящая работа также посвящена уравнениям с бесконечномерными ПДО в гильбертовом пространстве. В диссертации исследуются ПДО в смысле работы [[26]], с символами специального вида, изучаются уравнения с такими операторами, причём, в отличие от [б], [3IJ и [48]; параллельно рассматриваются уравнения относительно функций и мер. Кроме того, в настоящей работе ПДО строятся непосредственно, а не как пределы конечномерных операторов, которые определяются в б . Классу таких ПДО принадлежат дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами, которые изучались в работах [з] -[hj и [Зб] - [37J . В частности, из теорем 2.1-2.2 см. главу I , устанавливающих достаточные условия обратимости ПДО с постоянными коэффициентами, вытекает усиление теорем 2 и 9 из [4] и [37] соответственно. Так, пример 2.1 показывает, что таким условиям удовлетворяет бесконечномерный оператор Лапласа и любая его степень. В отличие от [41J , пространства, в которых исследуются псевдодифференциальные уравнения, не зависят от символов операторов В диссертации доказываются также теоремы об обратимости ПДО с переменными коэффициентами специального вида. При этом используется метод преобразований Фурье в сочетании с методом последовательных приближений такой подход не использовался в указанных выше работах о ПДО). Самостоятельный интерес представляют ПДО, которые изучаются в 2 главы II, где гильбертово пространство Но разлагается в прямую сумму своих подпространств Но{ и Н и исследуются ПДО Х&,Е) с символом, зависящим от двух аргументов ( - ) Н0{ х Н ласс таких ПДО включает операторы дифференцирования по направлениям из подпространства H{CZH с переменными коэффициентами (см. гл. П, пример 2.4-).
Перейдём теперь к изложению основных понятий и результатов работы. Основной текст диссертации состоит из двух глав и допол-нения. Главы разбиты на параграфы, формулы и утверждения в каждой главе имеют двойной номер - первая цифра соответствует номеру параграфа, вторая - является собственным номером формулы или утверждения внутри данного параграфа.
В диссертации используется, в основном, терминология работ \j]9 [57] -р 5] , частично напоминаемая ниже. - пара вещественных сепарабельных гильбертовых пространств со скалярными, произведениями соответственно, связанных плотным вложением типа Гильберта-Шмидта; j ) - d -алгебра борелевских подмножеств пространства Н ; /It -комплекснозначная мера на ( п, JJ ) .
Псевдодифференциальные операторы с символом, зависящим от одного аргумента
Таким образом, при С - для каждого к = 0,4,.., . Сле-довательно, оператор Т0 непрерывен на Л - М ПМв (в то-пологий, индуцированной из Мп ). Так как оператор TQ непрерывен на каждом К , то согласно теореме 5.16 из С & 51, оператор Т0 непрерывен на всём пространстве .К в . В силу линейности Т0 допускает единственное непрерывное продолжение на всё пространство М . удем обозначать это продолжение также через Т .Из построения операторов Г и Т0 ясно, что на Мл
В силу плотности Me в Л равенство (2..І0) справедливо и на всём пространстве ЇЛ . Положим по определению Так как A/ =Z и операторы TQ1 & ж ЛГ непрерывны, то ja Z . Обобщенная мера JU удовлетворяет уравнению Г 2.. 5), В самом деле, из (Z.H ) следует, что A (D)ju, ft, = В силу f Я,.40) получаем, что A (D)JZ , к /V , Л . Так как $. - произвольная функция из 2 , то A (D)JU N . Таким образом, установлено, что решение уравнения (Z . Ъ ) существует и единственно. Теорема 2.1 доказана. Следствие 2.1 Операторы AID) и А (1 ) с символом CLIty) , удовлетворяющим условиям теоремы 2.1, являются изоморфизмами пространств , соответственно Z и . Доказательство. По определению A (2 )iZ- Zt ft А_ " —» S CCL їґс/гіі Отсюда следует, что АС&) - " . Положим 3 - «Г Т0 & d , тогда б А(Е ) А (D)B J причём, в силу непрерывности операторов 3 9 Т и & щ оператор 3 непрерывен. Таким образом, ПДО Л(Ь) является изоморфизмом пространства Z , и, следовательно, А (Ъ) - изоморфизм пространства Z . СледствиеЕ! доказано. Пусть асу.) = об С 4 ( ) + &JJp3 , где об 6 С , функции А Л 5 V й eW ; л (D} z z -пдо с симво лом &0(Ц) а (% УоК гДе Ч0Є Н - фиксированная точка. Теорема 2.1 остаётся справедливой и для оператора 4 ( ) , а именно, имеет место следущее утверждение. Следствие 2.2 Если функция Ь. Ч удовлетворяет одному из условий (JTH) или Ш&) , то для всякого N$Z и %е-п решения уравнения т4 (D )/ =/1/существует и единственно в пространстве z . Доказательство. Обозначим через Т. оператор, действующий в пространстве i l , определенной формулой: Используя формулу замены переменной в интеграле Лебега (см. C&2J, стр. Zk ), получим, что Т. -. Т Г , где tu - гомеоморфизм пространства H,L ) = -"e (tjeH) . Выше было доказано, что образ оператора Т является плотным вД .Из гомеоморфнос-ти отображения „ следует, что образ оператора , Т Z также плотен в 14 . Отсюда и из равенства (2.6) следует единственность решения уравнения А (D)J - N . Положим теперь ТЬ \Т ХЧо ТГДа И3 (2,8) СЛЄДУЄТ ЧТ0 Т \о = = rp . гг. -2 Определим функционал jM/Q равенством j o,+ъ = л/ , S0yef % (A z) Ясно, что jU/0eZ. Покажем, 4T0jvvc удовлетворяет уравнению A 1)) =Л/ . В самом деле, A ID JV10 Д = Следствие Z.% доказано. Следствием. 5 Если выполнено одно из условий (т.1) или Сиг г,) то A ( D): Z - Z - изоморфизм пространства Z , а Л0 t Ь) : : Z, - Z/ - изоморфизм пространства Z . Доказательство. Из определения оператора AQCD) следует, что А0(Г ) - \ 1 Положим В0 Т0 о5- l , тогда А (Т ) В0 Q A (2))-1 и оператор 60 непрерывен. Следовательно, А0 (D) :Z-+Z - изоморфизм пространства Z , а A (D) І Z 7J - изоморфизм пространства 7-! . Замечание 2.1. Следствиег.ъ является усилением теоремы 2 из С47. В самом деле, теорема 2 утверждает существование и едино т- . венноеть решения уравнения AjA - N fA/eZ ) при условии, что множество E (І ) - Н, - конечномерно ограничено. Здесь А - Z - "Z - дифференциальный оператор с символом [) (X-XOV..,7JC-X0 ) , где яоє J/ - фиксированная точка, Z) / , -. , з J - /С -линейная непрерывная симметрическая форма в Я , Eli ) tyzH/&(%,...,%) ±d $ Положим #/у; =2)/ ,..., ; . Ясно, что Z (% )=fyfi.„#). Поэтому, если множество Е (й) JJj - конечномерно ограничено, то функция /у удовлетворяет условию (/nZ). С другой стороны, если выполнено условие (ffiZ) , то ясно, что выполнено условие конечномерной ограниченности в теореме 2 из C l . Таким образом, следствие 2.1, вытекающее из теоремы 2.1, даёт обобщение теоремы 2 из [41 на случай бесконечномерных ПДО с символом а є КУ t
Существование решения в обобщённых мерах задачи Коши для некоторых эволюционных уравнений
Из условия (I) и доказательства теоремы 2.1 следует, что кавдый из операторов 71 и TQ допускает единственное непрерывное продолжение на все пространство JM . Мера Yne = Т у удовлетворяет уравнению Q щ - Y . Заметим, что последнее уравнение имеет единственное решение в пространстве основных мер JM . Из доказательства теоремы 2.1 следует также, что обобщённая мераЦ,0 , определенная равенством является решением уравнения причем единственным в пространстве обобщенных мер Z . Заметим, что -М Z , поэтому в уравнении (Z.il) то мы рассматриваем как обобщённую меру. Ясно, что мера Jb0 удовлетворяет равенству (2,. і6) , а, следовательно, и (.4 5) . единственность решения уравнения (Z.i6) следует из единственности решения уравнения Qrn=\/ и уравнения (2..4 ) . Теорема 2.3 доказана.
Пример 2.1. Обозначим через Д ПДО с символом а(ч,) = - Ь #» % ) » где є Р в частности, ес ли о6=-4 , /3 = і , то ПДО Л =А » то есть является бесконечномерным оператором Лапласа с символом -(У)- (Ч,Ч) (от носительно определения оператора Лапласа в бесконечномерном пространстве см. Г2»] и СЪЪ1 , стр. 455). функция (Ч) = = (ц} и ) $ ( где запись ( , ) обозначает скалярное произведение в Н ) удовлетворяет условиям (ШІ ) и (т.2.) . Согласно теореме 2.1 решение уравнения A J - N существует и единственно в пространстве обобщённых мер Z . Заметим, что функция (м) {utuy t , где символ С ) ф» обозначает скалярное произведение в Ф , удовлетворяет условиям ІІ ) , (t0 ) і ( ) и ( С } .Из теоремы 2.2 следует существование и единственность решения уравнения Д (Ч. )f ( ё S" ) в пространстве S . Отметим, что в работе СЬУЗ изучаются дифференциальные операторы второго порядка (A D, D ) в оснащенном гильбертовом пространстве $сН С ф . Здесь доказывается существование фундаментальной функции произвольного элиптического или параболического дифференциального оператора второго порядка с постоянными коэффициентами, то есть устанавливается существование и единственность решения уравнения (A D, D ) jit = S в пространстве обобщенных мер 5 , іще о - положительная нормированная мера, сосредоточенная в точке 0 ; не М, (А , D) - п,-я степень оператора (АЪ,Ь) Оператор (AD}B) является ПДО с символом -(Au,u) , где А1 Ф - «& - оператор, сопряжённый к некоторому линейному непрерывному оператору А , действующему в пространстве ф » В частности, если А - I , то (AD D) - -А " итерированный оператор Лапласа. Пример 2.1. показывает, что для случая А 1 утверждения теоремю-1 % из С 5?J следуют из теоремы 2.2 настоящей работы. В заключение данного параграфа докажем возможность представления решения уравнения А (Ь)у - /И (в пространстве 2L ) в виде свёртки мер. Прежде всего, напомним определение свёртки обобщённой меры с основной мерой, данное в 6 J . Определение 3.1. Пусть m.jM, JH Z, . Сверткой мер W. и[М/ называется обобщённая мера At ЇЇІ , определённая равенством № М и П. 6 Z. . Поэтому обобщённая мера jvu т корректно определена равенством (2..1&) . Числовую меру 5" , сосредоточенную в начале координат гильбертова пространства Н , можно рассматривать как обобщенную меру, которая определяется так; , А г а (о) для всякого fi& Z, . Пусть A (D): Z- -Z -- ПДО с символом Л "W . Следуя СЬ З , фундаментальным решением оператора A ( D) будем называть решение уравнения A (D)jt o в пространстве обобщённых мер Z, . Теорема 3.1. Если символ оператора A ( D) . Z. -+Z удовлетворяет всем требованиям теоремы 2.1, то для всякого Л/ А1 решение уравнения A (D)M. Д/ существует, единственно и записывается в виде /VL -JH0 N , где (И,0 - фундаментальное решение оператора A (D) . Доказательство. Пользуясь определением 3.1,докажем, что оператор .A ID) коммутирует со свёрткой обобщенной меры с основной, то есть.
О корректности краевой задачи для системы уравнений с псевдодифференциальными операторами
Доказательство. Предположим, что выполняется условие (Л) . Пусть {jtnjh/M - последовательность гауссовских мер на Ф , заданных своим преобразованием Фурье О ) e)(/Dt2r )j) где В -Ф і - ядерный положительно определённый оператор (см. [J4J ). Тогда Jlne S и Jltn слабо (см. f35"J и [3 J ), то есть для любой непрерывной ограниченной функции на Ф интеграл f f C )JtCn(d ) — f-(O) при П- . Известно (см. [37] ), что S о , то есть любую меру Део можно рассматривать как линейный непрерывный функционал на пространстве S , определённый формулой JL,&- Cvli/ -= С \ хр{і( ; ))сІМ(ос)с[і(и) для всех VS. Вычислим: при /7 . Таким образом, последовательность мер { njne0 сходится к мере & в пространстве (S ; о) с топологией сЬ — о ( о , О/ .в силу слабой непрерывности операции свёртки (см. [35 1 ) получаем, что Jln JL- -b JlL=JL слабо прил? в Отсюда следует, что последовательность мер {Мп}Пм сходится в пространстве (о, о) и - Ltri (Jln /l) = JIL в d -топологий. Поэтому множество ( /ип , п fNlj ограничено в про странстве ( S ; э) , а, значит, и в ( S, !У) . Так как Т \ ( S; /" ( 5; с?) - линейное непрерывное отображение, то мно жество ограничено в пространстве (о ; ) .По определению пространство обобщённых мер S яв ляется сопряжённым к пространству ( S , Го) , где JI - топо логия, индуцированная из о преобразованием Фурье ст.- Ъ Ъ , при этом имеется в виду, что топология в пространстве о задана семейством норм (5.-/5) (см. гл. I, 2). В топологии U про странство 5 является пространством Фреше. Известно, что([42] , стр. 80J всякое пространство Фреше бочечно. Таким образом, S является сопряжённым к бочечному пространству. Известно также (см. [4-&] , теорема 7.1.I), что топологическое векторное про странство Е бочечно тогда и только тогда, когда всякое слабо ограниченное множество в сопряженном пространстве Е равносте пенно непрерывно. С другой стороны, если некоторое множество Оси слабо ограничено и равностепенно непрерывно, то оно от носительно компактно в топологии теорема I.II.4). Таким образом, из теорем 7.I.I и I.II.4 (из L4SJ ) следует, что множество і t(jlin) , ПЄ-INIj относи тельно компактно в пространстве ( S , = ) и поэтому имеет в нём слабую предельную точку, которую обозначим через и . В си лу непрерывности в (о } о) операции свёртки обобщённой меры /v с любой фиксированной основной мерой JIL : Л/ — N JL , N JL(h) NГ(/Г (і), f) S (см, [26] ) получаем, что L JL - предельная точка последовательности {TijU-r JLj) пє INI . В силу условия (0 и непрерывности отображения Г - (ЬГЇ-УСЗІГ) ИМЄЄМ : 7(/ 0 4 ) = = L Jl для всех /lie $ . Таким образом, из условия (&) следует on . Докажем импликацию . Пусть Jlf , jcz є 6 , L S и TdL = L JlL для всех Jlte S . Тогда имеем: T(/ /Q -= L (/ JLz) . С другой стороны, 7/ Д = (L Jll ) jUz Для еЗ вычислим L (jl /t!,)?f]y = KL (j JlLy f}y и ( A) A = Ь,уі/Г (/іГ /і)У - Из формулы 2.19 (см. гл. I, 2) следует, что (jMi Ji) fl = . Следовательно, обобщённые меры (L Jli/ jtLz) и L (jU{ Jlz) равны между собой, то есть оператор Т коммутирует со свёрткой. Следовательно, из условия { () вытекает (а). Теорема I доказана. Приведём пример ПДО, для которого выполнены условия Са) и («О . Пример I. Пусть - ПДО с символом (ft) , функция OL б Too . ПО Определению : то есть для Из того, что Voo0 о и a.eVoo вытекает, что обобщённая мера является свёртывателем для мер (см. [26J и гл. П, 3, доказательство предложения 3.1 в настоящей работе). Б силу предложения I из ИМееМ : Таким образом, непосредственно нз определения оператора А С&) следует выполнение условий Возможность представления линейного непрерывного оператора Т - «Я - оО в виде свёртки обобщённой функции с основной в конечномерном пространстве используется при изучении дифференциальных уравнений с частными производными в пространстве обобщённых функций ) (см. [.4-5-] , п. 5.II). Есть предположение, что теорема I, доказанная выше, может найти применение при исследовании бесконечномерных псевдодифференциальных уравнений в пространстве обобщённых мер S .
