Введение к работе
Диссертация посвящена решению дискретных экстремальных задач Фейера, Ту рана, Дельсарта для тригонометрических полиномов на циклической группе Zq, вычислению дискретных констант Джексона в пространстве ^(bq).
Актуальность темы. Задача Фейера о наибольшем значении неотрицательного тригонометрического полинома с фиксированным средним значением, экстремальный полином в задаче Фейера нашли многочисленные применения в различных областях математики. В аналитической теории чисел, теории функций используется обобщение задачи Фейера на случай полиномов с заданным спектром, известное как задача Монтгомери. Ею занимались X. Монтгомери, Д.В. Горбачев, А.С. Белов.
Задача Турана — это задача о наибольшем среднем значении положительно определенной функции с фиксированным значением в нуле и заданным носителем. Она находит применение в теории чисел, цифровой обработке сигналов. Ею занимались СБ. Стечкин, Н.Н. Андреев, А.Ю. Попов, В.В. Арестов, Е.Е. Бердышева, В.И. Иванов, Д.В. Горбачев, R.P. Boas, М. Кас, М. Kokmntzakis, S.Revesz, A. Garsia, Е. Rodemich, Н. Rumsey. Задача Турана для периодических положительно определенных функций допускает редукцию к дискретным задачам Фейера и Турана.
Задача Дельсарта — это задача о наибольшем среднем значении положительно определенной функции с фиксированным значением в нуле и неположительной вне заданного множества. Она используется в задачах об оценке мощности кодов, дизайнов, контактных чисел, плотности упаковки однородных пространств. На этом пути важные результаты получили Ф. Дельсарт, Д. Геталс, Дж. Зейдель, К. Дан-кл, А. Одлыжко, М. Слоэн, В.М. Сидельников, В.И. Левенштейн, ГА. Кабатянский, Г. Фазекаш, В.А. Юдин, Н.Н. Андреев, В.В. Арестов, А.Г. Бабенко, О.Р. Мусин, Д.В. Горбачев, Т. Hales, Н. Cohn, N. Elkies, A. Kumar и др. Задачи Дельсарта для ассоциативных симметричных схем отношений являются дискретными экстремальными задачами.
В теории приближений важной задачей является задача о точных константах в неравенствах Джексона между величиной наилучшего приближения функции и ее модулем непрерывности. В пространствах 1/2 ею занимались Н.Н. Черных, В.А. Юдин, В.В. Аре-
стов, А.Г. Бабенко, В.И. Иванов, В.Ю. Попов, Д.В. Горбачев, В.Т. Ше-валдин, А.А. Лигун, А.В. Московский, О.И. Смирнов, СИ. Васильев, А.И. Козко, А.В. Рождественский, Е.Е. Бердышева, А.А. Тюрюканов. Точные константы или константы Джексона являются функциями размерности приближающего подпространства и аргумента в модуле непрерывности. В пространстве 1/2 на торе Т константа Джексона вычислена только в одном случае И.И. Черныхом. Один из подходов к вычислению констант Джексона в пространстве 1/2 (Т) состоит в вычислении дискретных констант Джексона в пространстве /2() и последующем предельном переходе при q —> 00.
Цель работы. Основной целью диссертации является решение дискретных экстремальных задач Фейера, Турана, Дельсарта, задачи о дискретных константах Джексона в пространстве І2 на конечной циклической группе и прямом произведении циклических групп.
Методика исследований. Применяются методы теории функций, теории приближений, теории чисел, дискретной математики.
Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.
Решены дискретные экстремальные задачи Фейера, Турана, Дельсарта для полиномов на циклической группе Zq. Исследованы экстремальные функции в этих задачах.
В ряде случаев вычислены дискретные константы Джексона в пространстве І2ІЬЧ).
Для двух ассоциативных симметричных схем отношений на прямом произведении циклических групп вычислены максимальные мощности кодов. С их помощью получены двусторонние оценки в многомерных дискретных экстремальных задачах Фейера, Турана, Дельсарта, в задаче о многомерных дискретных константах Джексона.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты и предложенные методы могут быть использованы при решении экстремальных задач Фейера, Турана, Дельсарта, задачи о константах Джексона на других ассоциативных симметричных схемах отношений.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на Между нар одной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» в г. Туле (2002г., 2003г., 2004г.), Международной конференции «Функциональные пространства, теория при-
ближений, нелинейный анализ» в г. Москве (2005г.), XIV Международной конференции «Проблемы теоретической кибернетики» в г. Пензе (2005г.), Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» в г. Воронеже (2005 г), III Между нар одном симпозиуме «Ряды Фурье и их приложения» в г. Ростове-на-Дону (2005г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 4 статьях [15, 16, 17, 18], три из которых написаны в соавторстве. Одна статья в соавторстве с В.И. Ивановым, а две - в соавторстве с В.И. Ивановым и Д.В. Горбачевым.
В работах [16, 18] автору принадлежат результаты по дискретным экстремальным задачам. Леммы 3, 4, 5 в [16, 18] получены совместно с В.И. Ивановым.
Тезисы докладов на конференциях опубликованы в [19, 20, 21, 22, 23, 24, 25].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. Главы разбиты на 9 параграфов. Общий объем диссертации - 118 страниц. Библиография содержит 57 наименований.
