Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Теория грэЕИЧЕых свойств функция из различных функциональных классов, в частности, теория особых точек таких функций, возникла на рубеже XIX-XX веков. Задачи, которыми занимается это направление математического анализа, возникают как е само?, теории, так и б снежных дисциплинах - в теории уравнений в частных производных, теории потенциала, теории аппроксимации функций одного и нескольких комплексных переменных. Фундаментальные результаты б теории граничны?; свойств аналитических и гармонических функций были получены П.Пенлевє, Д.Помгото, П.Фату, А.Данжуа, Г.Харди к Дж.Литтлвудом, братьями Ф. к М. Рисе, Е.К.Лузиным, У..К.Приваловым, Б.Ь.Голубевым, В.С.Федоровым, Р.певанлиннои, ЕЛ'. Смирновым, К.А.Лаврентьевым, К.Е.Келдышем, Л.Кзрлесонок, А.Г.Витуткиным, Е.П.Лолженко, А.А.Гончаром, У.Рулинык, Е.М.Чирков и другими аналитиками.
Из результатов полученных в последние голь.' отметим теорему М.Г.Голузиног 1, согласно которой супергармоническая ь полупространстве ив f" функция не может иметь -кх б качестве некасательного предела на множестве псложигє-.^-еое (г—')-мера с?, мери за грзнипе этого полупространства. Это утверждение - прямое ооо^шениэ классическог теоремы Привалова. Как и в плоском случае из него непосредственно вытекает соответствующая граничная теорема единственности типа Лузина-
іГолузина М.Г. Теорема Лузина-Привалова для субгармонических функций.. // Матем. заметки, 183С, Г 4?, 157-159.
Привалова (для случая некасательных предельных значений голоморфных 'функции).
3 настоящей диссертации содержатся различные обобщения теоремы Голузиноа, э также изучается граничные свойства л-гэрмонических функция з подобластях единичного шара 3 из с" и множества неизолированных особых точек этих функция.
-«-гармонические функции суть решения уравнения ди~з, где д. - оператор Лапласз-Бельтрзми на заре 3 , наделенном метрикой Бергмана, иначе называемый инвариантным оператором .Іаплзса (точнее определение -«-гармонической функции см. ниже з разделе "Содержание работы"). Оператор д коммутирует с любым биголоморфным автоморфизмом у шара 3 з том смысле, что д(і->/>) = (ді>-г' 3 более общей ситуации такие операторы изучались в работах Хуа Ло-Кена, А.Кораньи, С.Хелга-сона, й.Стейна и других. Термины "инвариантный оператор Лапласа" и "-«-гармоническая функция" были зведены, по-зидимо-му, У.Рудиным з его монографии с, которая содержит первое систематическое изложение основ теории -н-гармонических функций.
На комплексной плоскости имеем д = (1-izi2)2 д , где д - обычный лапласиан, izl<1, так что классы -«-гармонических и гармонических фуЕкдаа в этом случае совпадают. В многомерном случае функции этих классов обладают многими аналогичными друг другу сзоастзами, однако существуют и различия.
2Rudin W. Function theory in the unit ball of cn. Springer Yerlag, Berlin New York, 1930 (рус.пер. М.:Мир, 1984).
Отметин лишь два результата, характерных для -^-гармонических функций. Во-первых, для того,- чтобы функция былз плюригармо-
ЧЄСК02 Б В (ТО ЄСТЬ бЫЛЭ ВЄЩЄСТВЄЕЗОЕ ЧЭСТЬЮ ГОЛОМ0рфН02 Б
В функции) необходимо и достаточно, чтобы она одновременно былз .^-гармонической и гармонической в В (Ф.Форелли "). К зо-зтсрых, ^-гармоническая в В с сг функция, и раз непрерывно дифференцируемая вплоть до ав , плюригармонична в В (К.Грэхем 4).
^-субгармонические функции были введены Д.Ульрихок ~\ который доказал для этих функций аналог теоремы Рисса о разложении. Граничные свойства л-гармонических функпиг изучались также в работах Цимз к Стентона (1985), Суэиро (1986), Мацуту (1936), Хана к Сингмзнэ (1983), Столлз (1989). ^-гармоническим функциям посвящены также работы изучи (1888), Аграновского (1893), Ахернз и Рудинз (1991), Хана и Юссфи (1831), Ахернз и Касканте (1992), Дч;зс Еиинга (1992). ЦЕЛЬ РАБОТУ. ' ) Исследование граничного по^=л»-ет.*<= нропззт*-ченных гармонических функций., их обобщения и аналогов.
2) Получение интегральных представлений ^-гармонических функций, их приложение.
зГогеІІі J. Pluriiiarmonicity in terns of harmonic slices.// Math. Scand., 1977, V 41, 358-364.
4GrahaE C.R. The Dirichlet probleE lor the Bergman Lsple-cian 1.// ComiL. Psrt. Dill. Eq., 19S3, V Є, 433-476.
sUiinch 2. Radial limits or ^-subharsonie functions.// Trans. Amer. Math. Бос. , 1985, V 292, if 2, 501-518.
4-.
МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ. В работе используются методы теории функций многих действительных и комплексных переменных, теории меры, теории уравнений в'частных производных. НАУЧНАЯ НОВИЗНА. В диссертации получены следующие новые результаты.
-
Доказано, что функция, супергамоническая в липшишвой области из ж"*1 , яе может иметь некасательный предел -к» на множестве положительной n-мерной меры Лебега на границе этой области.
-
Доказано, что функция, кратносушргармоническая в про-
изведении р полупространств к^ (1<к<р), не может иметь некасательный предел -к» на множестве положительной меры на остове этого произведения.
-
Доказано, что ^-супергармоническая в В функция не может иметь -ко в качестве К-предела на множестве положительной меры на границе шара В.
-
Получены интегральные представления -и-гамонических функций в подобластях шара В и рассмотрены их приложения.
-
Доказана теорема о KL-пределе интеграла Пуассона-Cere от функции, суммируемой на сфере S ='
ПРИЛОЖЕНИЯ. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут найти применение в теории граничных свойств гармонических функций и их аналогов, теории потенциала, теории дифференциальных уравнений в частных производных. АППРОБАЦИЯ ДИССЕРТАЦИИ. Результаты диссертации докладывались в МГУ имени М.В.Ломоносова на семинаре по теории приближения
к граничным свойствам функций (руководитель профессор Е.П.
Довженко), на семинаре в Институте математики и механики АН
Азербайджана, на Одесской школе по теории функций (1891г.,
сентябрь) и на конференции "Проблемы нелинейного анализа"
(Махачкала, июль 1992г.).
ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликовано 5 работ список,
которых приведен в конце реферата.
СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ. Работа состоит из введения, двух глав,
