Экстремальные задачи для мероморфных и P-листных функций Ким Виктория Юрьевна

Диссертация - 480 руб., доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Автореферат - бесплатно, доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Ким Виктория Юрьевна. Экстремальные задачи для мероморфных и P-листных функций : Дис. ... канд. физ.-мат. наук : 01.01.01 : Владивосток, 2004 81 c. РГБ ОД, 61:04-1/1073

Содержание к диссертации

Введение

Глава I. Симметризационные преобразования множеств и функций 13

1. Обозначения и вспомогательные утверждения 13

2. Разделяющие преобразования областей 22

3. Линейно-усредняющее преобразование функций 29

Глава II. Приложения в геометрической теории функций комплексного переменного 35

1. Теорема покрытия для регулярных функций 35

2. Теоремы покрытия для р-листных функций в круге и кольце 37

3. Совместно р-листные функции 45

4. Рациональные функции 48

Глава III. Неравенства для полиномов 53

1. Приведенные модули 53

2. Теорема об отделении нулей полиномов 56

3. Ограничения на нули полинома 63

4. Ограничения на критические точки 69

Литература 72

Разделяющие преобразования областей
Теоремы покрытия для р-листных функций в круге и кольце
Рациональные функции
Ограничения на нули полинома

Введение к работе

Исследования по многолистным функциям составляют валеную и наиболее сложную часть геометрической теории функций комплексной переменной. Наиболее изучены р-листные функции, то есть функции, регулярные или мероморфные в некоторой области комплексной плоскости и принимающие в этой области каждое свое значение не более, чем р раз. Наряду с р-листными функциями большую роль играют также функции, р-листные в среднем по окружности и р-листные в среднем по площади. Многолистные функции обладают многими экстремальными свойствами, аналогичными экстремальным свойствам однолистных функций (р = 1). Однако ряд их свойств носит специфический характер, а ограниченность методов исследования затрудняет получение даже аналогичных результатов. Значимый вклад в развитие теории р-листных функций внесли X. Гру некий, Г.М. Гол узин, В. К. Хейман, Дж. Дженкинс, М. Шиффер, А.Ф. Бермант, П.Р. Гарабедиан, С.А. Гельфер, А. Гудман, И.Е. Базилевич, Ю.Е. Аленицын, И.П. Митюк, В.А. Шлык и другие математики. Актуальность исследования р-листных функций подтверждает большое количество работ по данной тематике, выполненных в последнее время. Отметим работы по изучению подклассов р-листных функций с ограничениями на их коэффициенты [48-53, 75, 82, 83,86,87]; работы, в которых получены условия р-листности, либо критерии выпуклости или звездообразности р-листных функций [1,47, 57, 58, 64, 70, 76, 90, 92]; исследования по р-листным в среднем функциям [59-63,65,88,89]; другие работы по изучению смешанных или специальных вопросов для меро- морфных р-листных функций [12,69,77,80,81,84,85,91,93].

Несмотря на многочисленные исследования в данной области, геометрические вопросы теории, такие как, например, теоремы покрытия и искажения р-листными функциями в круге и кольце, задачи об экстремальном разбиении и другие, не нашли должного отражения в литературе. Вместе с тем эти вопросы детально изучены в теории однолистных функций [23, 24, 8, см. об этом]. Цель данной работы — восполнить частично указанный пробел. Сложность проблемы состоит в том, что методы, которыми решены указанные задачи для однолистных функций, не применимы напрямую в случае многолистных отображений. Поэтому необходимо развивать существующие методы исследований. В этой связи нами выбран метод симметризации - один из немногих методов геометрической теории функций, одинаково применимых как для однолистных, так и для многолистных функций. Кроме того, мы используем технику обобщенных приведенных модулей [10]. Отметим, что пионерские работы по применению симметризации в теории многолистных функций выполнены В.К. Хейманом [39], Дж. Дженкин-сом [6], П.Р. Гарабедианом [66], и И.П. Митюком [31, 34]. Приложения симметризации к многолистным функциям представлены также в работах [2,32,33,35,38,40-46,67,68,71,72,74,79].

Первая глава диссертации посвящена развитию метода симметризации применительно к многолистным функциям. 1 носит вспомогательный характер. Во втором параграфе мы распространяем технику разделяющего преобразования В.Н. Дубинина [8] на римановы поверхности.

Рассмотрены два типа такого преобразования: для р-листных римано-вых поверхностей и для поверхностей без ограничения листности. Полученные результаты сформулированы в виде неравенств для внутренних радиусов, аналогичных неравенствам в [8] (Теоремы 1.1 и 1.2). В третьем параграфе мы распространяем на случай римановых поверхностей технику усредняющего преобразования Маркуса [78, 79] . В отличие от Маркуса, рассматривающего функции, заданные на плоскости, мы усредняем функции, заданные на р-листных римановых поверхностях с учетом листности накрытия. Вместе с тем, мы опираемся на основной результат М. Маркуса [79]. Аналогичные преобразования для круговой симметризации осуществлялись ранее Дж. Дженкинсом [б], П.Р. Гарабе-дианом и Ройденом [66], Кшижом [72], В.А. Шлыком [43] и другими. В идейном плане в нашем случае происходит соединение усреднения [79] и кусочно-разделяющей симметризации [8]. Однако построенные нами преобразования формально не сводятся к ним.

Во второй главе даны приложения методов первой главы к экстремальным задачам в различных классах многолистных функций. В первом параграфе в качестве примера такого приложения к регулярным функциям доказана следующая теорема покрытия. Пусть функция w = f(z) — z + a^z² + ... регулярна в круге \z\ < 1 и отображает этот круг на риманову поверхность обратного отображения 7/. При фиксированном <р, 0 < ip < 2п обозначим через Hj(af{^{P) ~ произвольная точка на луче argu> = ip, которую¹ можно соединить непрерывной кривой с одним из лучей argw —

Теорема 2.1. Для любого натурального п > 1 и вещественного числа в справедливо неравенство

Л 2тгАЛ ^а_<{^в+_—)

Равенство достигается для функции w — z[l + (е~^гвz)ⁿ]~²^ⁿ, которая конформно и однолистно отображает круг \z\ < 1 на плоскость с разрезами вдоль лучей {w : &rgwⁿ ~ 9п, \w\ > d\}-

При п = 1 этот результат, по существу, доказан В.К. Хейманом [39]. В случае однолистной функции w = f(z) как следствие получаем соответствующие теоремы покрытия Кебе, Г. Полна, Греча, Лаврентьева-Шепелева [26], Г.М. Голузина [4] и В.Н. Дубинина [8]. Отметим, что наш подход единым образом приводит к уточнению и других многочисленных теорем покрытия для многолистных функций, полученных ранее В.К. Хейманом методом симметризации [39].

Во втором параграфе рассматриваются теоремы покрытия для р-листных функций. Приведем следующий результат.

Теорема 2.3. Пусть функция w — f(z) регулярна ир-листна в коль- це 1 < \z\ < R, причем J dargf(z) ~ 2ртг\ |/(^)| > 1 при 1 < \z\ < R и

1*1=1 j/(z)| = 1, когда \z\ = 1. Обозначим через Lf((p) верхнюю грань длин от- резкое на римановой поверхности обратной функции, лежащих над лучом axgw = ip и содержащих на конце точку над окружностью \w\ = 1.

Пусть функция w — E(;n,p,R) конформно и однолистно отображает кольцо 1 < |С) < В? на внешность круга \w\ > 1 с разрезами вдоль лучей {w : argtuⁿ = 0, \wⁿ\ > 7(">Р, Д)}, E(l;n,p_t R) = 1. Тогда для любого вещественного числа в выполняется неравенство >i(n,p,R)-

Равенство достигается для функций f{z) — e^ieE(az^p;n,p,R), \а\ — 1.

При п — р = 1 данная теорема совпадает с результатом Т. Кубо [73]. В случае п > 1, р > 1, мы обобщаем соответствующие теоремы Г.М. Гол узин а [3] и В.Н. Дубинина [8].

Третий параграф посвящен задачам об экстремальном разбиении. Задачи с указанным названием восходят к известной статье М.А. Лаврентьева [25] и имеют богатую историю [24]. Распространение ряда таких задач на случай ^листных отображений было сделано в работах В.П. Мандика [27-30], который использовал оценки "логарифмических"площадей. Однако данный подход, по-видимому, неприменим к задачам со свободными полюсами (о такого рода задачах см., например, [24, с. 26], [8, с. 53]). Усредняющее преобразование областей на римановых поверхностях (гл. I) позволяет решать как задачи с фиксированными полюсами, так и задачи для полюсов с некоторой степенью свободы. Примером служит следующая теорема.

Теорема 2.4. Пусть функции w = fk{z) — «а + c^z^v + .-., к = 1,... ,п, (п > 2) мероморфные и совместно р-листные в круге \z\ < 1, то есть любое значение w принимается этими функциями в совокупности не более, чем в р точках с учетом кратности, и пусть \аь\ = 1, к = 1,..,, п. Тогда справедливо неравенство: _й^ы<_-Ш

Равенство достигается для п ветвей функции w = [(l-\-z^p)/(l — z^p)]²^ⁿ,каждая из которых осуществляет р-кратное накрытие кругом \z\ < 1 ^ф одного из углов {w : | argtu — %7гк/п\ < тг/п}, к — 1,..., п.

Теорема обобщает известные теоремы М.А. Лаврентьева (п = 2), Г.М. Голузина (п = 3), Г.П. Бахтиной (п = 4) и В.Н. Дубинина (п > 4) о неналегающих областях на случай р-листных отображений. В случае однолистных функций (р = 1) наш результат совпадает с теоремой 2.17 работы [8] и примыкает к соответствующим утверждениям Е.Г. Емельянова и Г.В. Кузьминой (см. [8, с. 54]).

Наконец в 4 главы II мы применяем усредняющее преобразование к ju оценкам рациональных функций. Полученный при этом результат сво- дится к следующему.

Теорема 2.5. Пусть w = R{z) ~ рациональная функция степени V ^ 1>" пусть _а, s = 1,... ,п - корни уравнения R(z) = 0 кратности соответственно k_s; rj_s, s = 1,..., m - корни уравнения R{z) = 1 крат- ности l_S} ^2 k_s — ^2 l_s — р. Предположим, что точки , лежат в верхней полуплоскости, а точки % - в нижней, и пусть »c_s= \im\R{z)\\z-_s\-^k', s = l,...,n, d_s = lira ]R(z) — \\\z — %| ', s = 1,..., m.

Тогда имеет место точная оценка

5=1 S=l _{П16 - 6|*}^Л _П _\ъ _{- ъР} і. ^ ^s& s — n _{Пй-^ПЬ.-%І}^и _J*

Равенство достигается для функции w = {z—ih)^p[(z—ih)^p+{z-\-ih)^p\ *, h > 0.

Третья глава диссертации посвящена неравенствам для простейших р-листных на комплексной сфере функций - алгебраических полиномов. На протяжении этой главы мы применяем технику обобщенных приведенных модулей В.Н. Дубинина [10]. Первый параграф носит вспомогательный характер, где собраны необходимые определения и факты о приведенных модулях. Во втором параграфе приводятся неравенства, вытекающие из монотонности приведенного модуля. Эти результаты примыкают к задачам об экстремальном разбиении. В частности, доказано следующее утверждение.

Следствие 5. Если окружность \z\ — 1 отделяет нули zi,...,z_n полинома P(z) = z+C22² + .. .+c_n+iz^n+l, Cn+i Ф 0, отличные от начала, от нулей его производной 1,..., С,_п, то Y[P(l/z_k)P'(l/Q < [(»+1)14-11]

Равенство достигается для полинома P(z) = z — \/l/(n + 1) z Основной результат 3 состоит в следующем.

Теорема 3.3. Пусть 7 ^- некоторый невырожденный континуум в плоскости z, и пусть С, = F{z) ~ соответствующая функция Рима- на. Предположим, что все нули полинома P(z) — cq + c.\z + ...+

Ф 0 лежат на у. Тогда для любой точки z такой, что \P(z)\ > max\P(z)\ = М выполняется неравенство \P{z)\ z)|i-V»|f _W(:Jl _И*)І \M(P{z)\²l^ где d("y) - постоянная Чебышева компакта 7-

Для круга 7 = {z : \z\ < р] имеем ^(7) = р, F{z) = z/p и полученное неравенство принимает вид ія-МІ < п кі^іаді^-^Ш^, где Мр — m&x\P(z)\. Знак равенства достигается для полинома P(z) = \z\=p CnZⁿ, и любых z ф 0. Понятно, что при больших \z\ условие \P{z)\ > Мр заведомо выполняется и, следовательно, интересно знать возможно лучшие нижние границы таких \z\.

В 4 получена оценка модуля производной полинома в зависимости от расположения его критических точек, то есть точек w — P(z) таких, что P'(z) = 0.

Теорема 3.7, Предположим, что все критические точки полинома P{z) — cq+c\z+. . ,-\-c_nzⁿ, с_п Ф 0 лежат над некоторым континуумом 7 С С_ш, и пусть точка z такова, что ее образ P{z) принадлежит связной компоненте С_ш\7, содержащей бесконечность. Тогда выполняется неравенство \РЧх)\ < п \с /dMI"" \ПРЩР'(РЩ ¹ ^(П ^S ^Ы ^Ш \F(P(z))\4" - \F(P(z))\-4»' где С = F(w) - функция Римана, соответствующая континууму 7, а d{"f) - постоянная Чебышева.

Отметим частный случай теоремы 3.7, когда все критические точки полинома P{z) = со + c\z + ... + c_nzⁿ, с^ Ф 0 лежат в некотором круге \^w — ^wo\ < R- В этом случае для любой точки z выполняется \P'(z)\ [\P(z) - w₀\^ⁿ - \P(_Z) ~ w₀\-4ⁿR²l» n\^l(n\P(z)-w₀\.

Знак равенства достигается для полиномов вида P(z) = w₀ + Cn(z — z₀)ⁿ, R = 0 и любых точек z. Как следствие отсюда получаем следующее утверждение [10]: если P{z) = 1 + c\z 4- ... + Cn,zⁿ, п > 2, с_п ф 0, то существует по крайней мере одна критическая точка а такая, что jp(_a)|2/n>l_!^J

Равенство достигается для полинома P(z) = (l-\-tz)ⁿ, где t — произвольное комплексное число, отличное от нуля.

Результаты диссертации докладывались на Дальневосточных конференциях студентов и аспирантов по математическому моделированию (Владивосток, 1998,1999, 2003 гг.), на Дальневосточных школах-семинарах им. академика Е.В. Золотова (Владивосток, 1998-2000 гг.), на семинарах по геометрической теории функций Института прикладной математики

ДВО РАН (руководитель чл.-корр. РАН В.Н. Дубинин), на семинарах кафедры теории функций и функционального анализа ДВГУ (руководитель д.ф.-м.н. Н.Н. Фролов), на научных семинарах Института прикладной математики ДВО РАН (руководитель чл.-корр. РАН Н.В. Кузнецов), Основные результаты диссертации опубликованы в работах [13-22]

Разделяющие преобразования областей

Пусть Dki /с = 1,..., п - односвязные попарно непересекающиеся области в Сг, ограниченные конечным числом кусочно аналитических кривых, и пусть {рк}к=і некоторое семейство функций С = Pk{z), конформно и однолистно отображающих соответственно области D на правую полуплоскость Re 0. Пусть, дополнительно, точка z является носителем одного и только одного граничного элемента для каждой области Dk, причем для функции Pk{z) выполняется асимптотическое равенство \Pk(z)-pk{zo)\ 4 г-201№, z- z0 z Є Dk. Здесь dk и &, к — 1,... ,n n - некоторые положительные числа и 2 fik = 2. Рассмотрим риманову поверхность 7Z, лежащую над плоскостью Cz и содержащую точку ZQ, окрестностью которой является однолистный круг, проекция точки ZQ равна ZQ. Пусть В — связная компонента поверхности 7, лежащая над областью Dk и содержащая точку ZQ, проекцию этой связной компоненты обозначим через Вк. Пусть Bk - объединение множества р {Вк) с его отражением относительно мнимой оси. Семейство симметричных областей {Bk}k=i назовем результатом разделяющего преобразования области 71 относительно семейства функций {рк} =\- Для внутренних радиусов соответствующих областей справедлива теорема. Теорема 1.1. Справедливо неравенство: центром в точке ZQ, лежащий над кругом г — г0 г . Пусть OJ\Z) - потенциальная функция этого конденсатора. Для каждого fc, к — 1,..., п введем вспомогательную функцию uJk{z) = maxcj(Z), где максимум берется по всем точкам Z, проекция которых равна z Є Bfc, и равную нулю в Сг \ Вк. Имеем следующую цепочку соотношений Введем вспомогательные функции Для любого к функция Uk(Q непрерывна в Cf, равна нулю на множестве Cf\Bfc и единице на С — Со , где г и = dfcr1 , к = 1,..., п. Из предложений 1.1 и 1.2 [8] следует, что функция щ(С) удовлетворяет условию Липшица в некоторой окрестности каждой конечной точки поля конденсатора Ck (C( \Bk, \С Со\ Гк), за исключением, может быть, конечного числа точек, лежащих на мнимой оси и соответствующих точкам, где нарушается аналитичность границы области D а также точки, соответствующей z — оо при отображении ( = Pk(z)-

Учитывая инвариантность интеграла Дирихле при мебиусовых преобразованиях и утверждение 2, имеем последовательно Таким образом, В правой части этого неравенства каждое слагаемое умножим и разделим на /? , и применив неравенство Иенсена, получим Пусть области D/., к = 1,...,п и функции = Pk(z) как и выше. Рассмотрим риманову поверхность 7Z, р-листно лежащую над плоскостью Сг и содержащую р-кратную точку ветвления ZQ, лежащую над ZQ. Пусть Бк - связная компонента поверхности 1Z, лежащая над областью Dk и содержащая точку ZQ. Проекцию этой связной компоненты обозначим через Вк. Пусть В% объединение множествар (Вк) с его отражением относительно мнимой оси. Семейство симметричных областей {Вк}1=1 назовем результатом разделяющего преобразования области TZ относительно семейства функций {pjt}fc=i. Для внутренних радиусов соответствующих областей справедлива теорема. Доказательство. При достаточно малом г, 0 г 1, рассмотрим конденсатор C(r) = (d1Z,E(r)), где {г) - р-листный круг с центром в точке Zo, лежащий над кругом \z — ZQ\ г. Пусть ( J(Z) -потенциальная функция этого конденсатора, тогда согласно утверждению 2 cap С(г) = 1(ш,Т1). При фиксированном fc, 1 к п разобьем множество Вк на совокупность областей , і — 1,... , р , j — 1,2,..., обладающих следующим свойством: Определим функции LUij(z), заданные в Gj следующим образом: Wij(z) u}(Z), Z Є Gij, npZ = z. Введем вспомогательную функцию u?fe(z) = Pi і p S шг?(2) z Є Gj, равную нулю вСДБ . Покажем, что г=1 Действительно, по построению функций Wjt, а также используя выпуклость степенной функции у = х2, имеем последовательно. Введем вспомогательные функции m Для любого А; функция «А (С) непрерывна в С равна нулю на множестве С{\Вь и единице на — 0[ г , где гк — t r1 , к = 1,..., п. Из предложений 1.1 и 1.2 [8] следует, что функция Uk(C) удовлетворяет условию Липшица в некоторой окрестности каждой конечной точки поля конденсатора Ck = (СДІЗ&, С Со тк), за исключением, может быть, конечного числа точек, лежащих на мнимой оси и соответствующих точкам, где нарушается аналитичность границы области Dk, а также точки, соответствующей z оо при отображении = pk{z)- Учитывая инвариантность интеграла Дирихле при мебиусовых преобразованиях и утверждение 2, имеем В правой части этого неравенства каждое слагаемое умножим и разделим на Pk, и применив неравенство Иенсена, получим 3. Линейно-усредняющее преобразование функций Пусть 72. - риманова поверхность, лежащая над комплексной плоскостью z х + iy, 7Z(П) - множество точек поверхности 7, проекция которых принадлежит полосе И = {z : 0 х 1}. Говоря об открытых и замкнутых множествах на 7(П), будем иметь в виду относительную топологию, являющуюся следом на 7(П) топологии, заданной в 7Z. Совокупность открытых множеств {V} назовем допустимым семейством множеств, если выполняются следующие условия: каждое множество V принадлежит множеству ЩП) некоторой римановой поверхности 7Z, причем считаем эти поверхности различными; множества {V} совместно р-листные, т.е. каждая точка z П покрывается не более, чем р различными точками, принадлежащими множествам из совокупности {V} (с учетом кратности); существует число с 0 такое, что множества {V} р-кратно покрывают множество Пс = {z : 0 х 1, \у\ с}, т.е. над каждой точкой г 6 Пс лежит ровно р точек с учетом кратности из множеств {V}; наконец, ни одно из множеств совокупности { } не содержит жордановой дуги, целиком покрывающей прямую Rez = х при каком-либо х, 0 х 1.

Далее, семейство замкнутых множеств {} назовем допустимым семейством, соответствующим семейству { }, если каждое множество из {} и только одно принадлежит некоторому множеству V Є {Т } и если множества совокупности {} также р-кратно покрывают полуполосы Пс при некотором с 0. Для простоты изложения удобно считать, что каждое множество "D семейства {V} содержит некоторое замкнутое множество = {Т ) семейства {}, возможно пустое. Обозначим через 1с(х,А) линейную меру Лебега множества точек из А, лежащих над отрезком [х — ъс, х + гс]. Результатом линейно-усредняющего преобразования Ср допустимого семейства открытых множеств { } назовем множество СР{Т)} = {z — х + іу Є П : у с — Y X] с{х,ТУ)}, где с из определения семейства {Т }. Лег P{V} ко видеть, что CP{V} не зависит от выбора числа с 0. Действительно, пусть существует число d 0 такое, что множества { } -кратно покрывают множество Пс , для определенности с d, тогда при фиксированном х, заметим, что Y1 с{х,1У) — ]Г) 1 {х,Т ) = 2р(с — d), от-сюда с — Y YL {Х)?)) = d — у- Y1,1&{ ,ТУ). Аналогично определяет-ся линейно-усредняющее преобразование допустимого семейства замкнутых множеств: Ср{} = {г = х-\-іуЄТІ:у с - 1 с(х, )} Предположим, что вещественная функция w(Z) задана на множе-ствах V допустимого семейства открытых множеств { } и удовлетворяет следующим условиям: 1) 0 OJ{Z) 1 на множестве Т и u?[Z) = 1 только на множестве некоторого допустимого семейства замкнутых множеств {}, соответствующего семейству { }; 2) uj(Z) непрерывна на V и гармоническая в Т \, V є {ТУ}, Є {}; 3) При любом фиксированном а, 0 а 1, множества V(a) = {Z V : LO{Z) а}, V Є { }, образуют совокупность из ко нечного числа непересекающихся областей, имеющих разве лишь конечное число точек ветвления;

Теоремы покрытия для р-листных функций в круге и кольце

Пусть функция w = f(z) регулярна и р-листна в круге U = {z : \z\ 1}, и пусть 7Zf - риманова поверхность обратного отображения, лежащая над w-плоскостью. Применение теоремы 1.2 к поверхности 7Zf с подходящими Dk и pk, как это делалось в [8] ведет к теореме покрытия отрезков. Однако более сильный результат получится, если воспользоваться линейно-усредняющим преобразованием функций, что и будет сделано в данном параграфе. Кривую у на поверхности 7/ назовем отрезком, если отображение проектирования осуществляет взаимно однозначное соответствие между 7 и некоторым отрезком ш-плоскости. Под длиной 7 понимается длина соответствующего отрезка. Обозначим через Af( p) верхнюю грань длин отрезков на поверхности TZ/, исходящих из точки WQ = /(0) и лежащих над лучом aigw — (р. Теорема 2.2. Если функция w = f(z) = zp + ... регулярна и p-листна в круге U, то для любого действительного числа в и натурального п справедливо неравенство Равенство достигается для функций f(z) = zp[l + (e l0zp)n] 2/n, р-кратно покрывающих w-плоскость с разрезами вдоль лучей {w : argwn = вп, \wn\ 1/4}. Доказательство. Можно считать в = 0. Введем обозначения: Afc = Af(27rk/n), Gk {w : \argw — 2тгк/п\ 7г/п}\{гу = іехр(2пік/п) : 0 t Ай}, Gk - область Gk с присоединенными к ней достижимыми граничными точками этой области, z — -ffc(iu) —. функция, заданная соотношениями: где ветви многозначных функций подобраны так, что Fk(w) отображает область G% конформно и однолистно на внутренность полосы П, причем достижимые граничные точки с носителем в начале переходят в +гоо, к = 1,.. ,п. При подходящем р, 0 р 1, функция w = fp{z) = f(pz) отображает круг U на р-листную риманову поверхность 7/ (р), ограниченную аналитической кривой и имеющую лишь конечное число точек ветв-ления. Сужение этой поверхности, лежащее над множеством Gk, образует некоторое семейство открытых множеств {T)}k (в относительной топологии). Функция Fk(w) индуцирует соответствующее ему допустимое семейство открытых множеств {T }k, лежащих над полосой П. Отображение множеств V семейства { } на V Є { }jt будем обозначать той же буквой: Z = Fk(W). Из всех условий допустимости семейства {Т }к требует пояснений лишь последнее. Если некоторое множе ство V Є { } : содержит дугу, целиком покрывающую прямую вида Kez — х, 0 х 1, то поверхность TZf(p) содержит замкнутую кривую 7, лежащую над {w : ReFk(w) — х}. Пусть Wk точка кривой у, для которой argnpWf. = 2тгк/п. Двигаясь от точки Wk по поверхности TZf(p) над лучом argtu = 2ттк/п в направлении к Wo, мы обязательно попадем в граничную точку Ttf{p) (по определению А/(27тк/п)). Двигаясь теперь из точки Wk в противоположном направлении, мы вновь попадем на границу, т.к. точка w = со не покрывается поверхностью TZf(p).

Таким образом, по разные стороны от у имеются точки границы поверхности 1Zf(p), что противоречит односвязности этой поверхности. Итак, семейство {Т }ь допустимо. Аналогично определяется соответствующее семейство замкнутых множеств {(г)}&, порожденное образом кру-га \z\ г, г 1 {вместо U в случае { }) при отображении w = fp(z). Заметим, что множество И+\Ср{(г)}к содержится в прямоугольнике {z Є П : 0 у {-пр/тг) log(rp) + (1/тг) log(4A) + о(1)} при г - 0. На множествах семейства {Т }к определим функцию Uk(Z) равную единице на (r) Є {{r)}k и Легко видеть, что функция Uk(Z) удовлетворяет условиям 1)-4). Из конформной инвариантности интеграла Дирихле следует - j = /((bg \z\)\ logr, {z : r z 1» - Ё E 7 b D\f (r)). С другой стороны, по теореме 1.3 с учетом (1.4) имеем Переходя здесь к пределу при г — 0, а затем р — 1, завершаем доказательство неравенства теоремы 2.2. Знак равенства в этом неравенстве доті стигается в случае, когда YI к — 41 т-е- к0ГДа множество И+\р{(г)}ь к=1 представляет собой прямоугольник {z Є П : 0 у (—пр/тг) log (гр) + (1/7г) log(4A) + о(1)} при г — 0, а множества Т Є { } представляют собой полуполосы П+ и П . Теорема доказана. Полученный результат включает в себя п.1-п.З теоремы Г.М. Голузи-на [3, теорема 8] (без утверждения о знаке равенства). Одновременно он содержит многие известные теоремы для однолистных в круге функций (см. [8, с.56-57]). Например, Следствие 1 (М.А. Лаврентьев, В.М. Шепелев). Для любой функции w = f(z) класса S и любого действительного числа $ справедливо неравенство Следствие 2 (Г.М. Голузин). Если f(z) Є S, mo в образе круга U при отображении этой функцией существует п прямолинейных отрезков, исходящих из точки w = 0 под равными углами (= 2ТГ/П) сумма длин которых сколь угодно близка к п. Следствие 3 (Г.М. Голузин). Если f(z) Є S, то площадь звезды образа круга U при отображении w = f(z) не меньше -к. Заметим, что наш подход позволяет установить единственность экстремальных отображений, а также распространить полученный результат на случай функций, заданных в кольце. Приведем в качестве примера одну из теорем такого рода. Теорема 2.3. Пусть функция w = f(z) регулярна ир-листна в кольце! \z\ R, причем f daigf(z) = 2ртг; \f(z)\ 1 при 1 \z\ R и z=l /(г)і = когда \z\ = 1. Обозначим через Lf( p) верхнюю грань длин отрезков на римановой поверхности обратной функции, лежащих над лучом zxgw — р и содержащих на конце точку над окружностью \w\-l. Пусть функция w = E(( ;n,p,R) конформно и однолистно отображает кольцо 1 С Rp на внешность круга \w\ 1 с разрезами вдоль лучей {w : argu u = 0, \wn\ f(n,p,R)}, E(l;n,p,R) = 1.

Тогда для любого вещественного числа в выполняется неравенство Доказательство. Можно считать 9 = 0. Введем обозначения: Afc = Lf(27rk/n) + 1, Gk = {w : argw — 27rfc/nj 7r/n}\{w = іехр(27ггА:/п) : 0 t A }, Gk - область Gk с присоединенными к ней достижимыми граничными точками этой области, z — F iw) - функция, заданная соотношениями: где ветви многозначных функций подобраны так, что Fk [w) отображает область Gk конформно и однолистно на внутренность полосы П, причем достижимые граничные точки с носителем в начале переходят в +г оо, к = 1,... ,п. При подходящем р, 1 р R, пусть TZf(p) - риманова поверх ность, образованная римановой поверхностью обратного отображения W w = f{z), 1 \z\ р, лежащей над -плоскостью, и р-листным кругом, (Ш лежащим над кругом \w\ 1. Данная поверхность ограничена аналитической кривой и имеет лишь конечное число точек ветвления. Сужение поверхности TZf(p), лежащее над множеством Gk, образует некоторое семейство открытых множеств {V}k (в относительной топологии). Функция Fk(w) индуцирует соответствующее ему допустимое семейство открытых множеств {Р}А, лежащих над полосой П. Отображение множеств Т семейства {Т }к на Т Є { }& будем обозначать той же буквой: Z = Fk{W). Из всех условий допустимости семейства {V}k требует пояснений лишь последнее. Если некоторое множество Т Є {X?}к содержит дугу, целиком покрывающую прямую вида Kez — х, 0 х 1, то поверхность 7Z/ содержит замкнутую кривую Г, лежащую над [w : ReFk(w) х}. Пусть Wk - точка кривой Г, для которой argnpWfc = 2тгк/п. Двигаясь от точки Wk по поверхности 1Zf(p) над лучом argu; = 2тгк/п в направлении к началу координат, мы обязательно попадем в граничную точку Hf{p) (по определению Lf(ip)). Двигаясь теперь из точки Wk в противоположном направлении, мы вновь попадем на границу, т.к. точка w = оо не покрывается поверхностью 7tf{p). Таким образом, по разные стороны от Г имеются точки границы поверхности Tlf(p), что противоречит односвязности этой поверхности. Итак, семейство {Т }к допустимо. Аналогично определяется соответствующее семейство замкнутых множеств {}к, порожденное образом окружности \z\ = 1 при отображении w = f{z). На множествах семейства {Т }к определим функцию Uk{Z) равную единице на Є {}к

Рациональные функции

Пусть R(z) - рациональная функция степени р 1, а и b - комплексные числа. Предположим, что прямая или окружность 7 отделяет корни уравнения R(z) — а от корней R(z) = b. Рассмотрим задачу изучения свойств рациональной функции R(z), которые вытекают из данного ограничения. Достаточно рассмотреть случай, когда 7 действительная ось, а = 0 и b = 1. соответственно ks; r)s, s = 1,..., m - корни уравнения R(z) — 1 крат n m пости lS7 2 ks = 2 ls p. Предположим, что точки s лежат в верхней полуплоскости, а точки % - в нижней, и пусть Доказательство. Обозначим через G плоскость w, разрезанную вдоль отрезка [0,1], и пусть G - область G с присоединенными к ней достижимыми граничными точками. Пусть z — F(w) - та ветвь функции (—г/(27г)) \og[w/(l — w)]f которая конформно и однолистно отображает область G на внутренность полосы П так, что F(0) = гоо, F(l) = —гоо. Функция w — .ft() отображает верхнюю и нижнюю полуплоскости на две непересекающихся совместно р-листные рима-новы поверхности, лежащие над гу-плоскостью, ограниченные кусочно-аналитической кривой и имеющие лишь конечное число точек ветвления. Сужение этих поверхностей, лежащее над G, образует семейство открытых множеств, которое переходит с помощью отображения F(w) в допустимое семейство открытых множеств {Р}, лежащих над полосой П.

Как и при доказательстве предыдущих теорем отображение римановых областей обозначаем той же буквой. Аналогично определяется соответствующее семейство замкнутых множеств {(г)}, порожденное образами кругов \z — 3 rlfk% s — 1,..., n, \z — Г}3\ r1 », s = 1,... 7т. Легко видеть, что множество П+\Ср{(г)} содержится в прямоугольнике {z Є П : плоскости z, равную нулю на действительной оси, единице на указанных выше кругах с центрами в s и r]s, и гармоническую в остальной части плоскости z (здесь г 0 достаточно мало). Из теоремы 1 работы [9] следует, что і -і ности интеграла Дирихле, теоремы 1.3 и неравенства (1.4) имеем последовательно

Суммируя полученные соотношения и переходя к пределу при г -» 0, приходим к неравенству которое равносильно (2.3). Точность оценки проверяется непосредствен-но. Теорема доказана. Отметим частный случай неравенства (2.3), когда все нули функций R(z) и R(z) — 1 первого порядка: Знак равенства в первом неравенстве достигается, например, для функции R(z) = {т її) " I (р = 2). Описание всех случаев равенства здесь не приводится, т.к. требует привлечения техники обобщенных приведенных модулей [9] и теорем единственности для усредняющих преобразований [31], что существенно изменит объем работы. Полагая р R(z) = P[z) = П (z — s) получим следующую оценку для многочленов Данная оценка является, по-видимому, неточной в классе всех многочле Глава III. Неравенства для полиномов 1. Приведенные модули Пусть В - открытое множество расширенной комплексной плоскости CZ] zi, / = l,2,...,m- произвольные точки множества В; Si, I = 1,2,..., т - произвольные действительные числа, не все равные нулю, и пусть /І/, i [, I = 1,2,...,771- произвольные положительные числа. Введем следующие обозначения: Z = {zj}, A = {Si}, Ф = {фі}, Фі = Фі(г) = мг" , = 1,2, ...,m. Здесь и ниже, если не оговорено противное, символы {}, Y1 и П означают соответственно совокупность, суммирование и произведение по всевозможным индексам, указанным в контексте, за исключением тех, при которых слагаемое в либо равно оо, либо неопределено, а сомножитель в произведении равен либо нулю, либо оо. Замкнутое множество E(ZQ, Г) назовем почти кругом с центром в точке го ф оо радиуса г, если для достаточно малых г 0 существуют непрерывные положительные функции Tj{r) j = 1, 2 такие, что и гДг) r, r — 0, j = 1, 2. Почти круг с центром в бесконечности определим как Е(оо,г) — {z : 1/z Е(0,г)}, где 12(0,71) - некоторый почти круг с центром в начале. При достаточно малом г 0 обобщенным конденсатором называется упорядоченная совокупность с предписанными значениями соответственно 0,5i,..., 5т. Емкостью конденсатора С(г; В, Z, А, Ф) называется величина где нижняя грань берется по всем вещественнозначным функциям v(z), непрерывным в Cz, удовлетворяющим условию Липшица в некоторой окрестности каждой конечной точки и таким, что v(z) — 0 в окрестности множества С2 \ В и v(z) = Si на Е{х\,гфі{г)), і = 1,2,... ,m. Модулем конденсатора С(г; В, Z, А, Ф) называется соответственно величина

Ограничения на нули полинома

Всюду ниже под P(z) понимается полином вида Для произвольного невырожденного континуума 7 открытой г-плоскос-ти обозначим также через F(z) = F7(z) = d(y) l z-\- а + a\f z-\-... функцию Римана, конформно и однолистно отображающую связную компоненту множества Cz \у, содержащую бесконечность, на область [[ 1. Здесь d(y) - постоянная Чебышева компакта у. Теорема 3.3. Пусть у - некоторый невырожденный континуум в плоскости z, и пусть = F(z) соответствующая функция Римана. Предположим, что все нули полинома (3.5) лежат на у. Тогда для 1 ґ любой точки z такой, что \P{z)\ max -Р(-г) = М выполняется неравенство Доказательство. Фиксируем точку ZQ такую, что jP( o) М, и пусть о = F(ZQ). Введем следующие обозначения: Z — {0, 1/о Со» }» Д = {1, —1, —1,1}, Ф = {г, г/ 02, г, г}, и(С) - потенциальная функция конденсатора С {г; С , Z, Д, Ф), т.е. Считаем конденсатор C(r;C, Z, Д,Ф) и, следовательно, функцию u(Q симметричными относительно окружности С = 1. Пусть U) — /?(С) -одна из однозначных ветвей функции со = {Р [F l(Q]} "в односвязной области С 1. Рассмотрим вспомогательную функцию u(co)t заданную в плоскости Сш, симметричную относительно окружности о; = М1 ", и в точках ш М 1!п равную Функция и(ш) допустима для некоторого конденсатора вида C(r;Cw,Q, Д, Ф) с параметрами О = {О, М2/п/ P{z0fjn, P(z0)1/n, со}, где P{z0ftn - одно из значений корня, и ( По определению модуля конденсатора щ Далее, из соображений симметрии и конформной инвариантности интеграла Дирихле имеем что равносильно неравенству (3.6) при г = z0. Теорема доказана. Можно показать, что верхняя оценка в (3.6) неточная в случаях -у отличных от круга или им эквивалентных. Для круга у = {z : \z\ р} имеем d(j) р, F(z) — z/p и неравенство (3.6) принимает вид где Мр = maxP(z). Знак равенства в (3.7) достигается для полинома P(z) — CnZn, и любых z ф 0. Напомним, что (3.7) выполняется для всех полиномов (3.5) с нулями в круге \z\ р и любых точек z, удовлетворяющих условию

Понятно, что при больших \z\ условие (3.8) заведомо выполняется и, следовательно, интересно знать возможно лучшие нижние границы таких \z\. В связи с этим приведем следующее утверждение. Теорема 3.4. Если при некотором р 0 все нули полинома (3.5) лежат в круге \z\ р, то для любых точек z с модулем \z\ (3+2 /2)р выполняется неравенство (3.8) и, следовательно, неравенство (3.7) с равенством для P(z) = cnzn и любых z ф 0. Доказательств отеоремы можно получить с помощью емкостей конденсаторов и применения круговой симметризации (см. работу [13]). Однако по замечанию Л. Ковалева приведем элементарное доказательство более сильного результата. Теорема 3.5. Если при некотором р 0 все нули полинома (3.5) лежат в круге \z\ р, то для любых точек z с модулем \z\ Зр выполняется неравенство (3.8) и, следовательно, неравенство (3.7) с равенством для P(z) — CnZ11 и любых z ф 0. Доказательство. Учитывая, что для любых точек z с модулем \z\ Зр и нулей полинома (3.5) выполняется \z — Zk\ 2р, к = 1,..., п, имеем последовательно где Мр = maxjP(z). Что и требовалось доказать. \z\=p В дополнение к неравенству (3.7) приведем следующий результат. m Теорема 3.6. Если для полинома (3.5) в точке z0 ф 0 выполняется Р(г0) = max Р(г), а все нули этого полинома лежат в круге \z\ г=г„ \z \, то \P (z0)\ п \cn\ n\P{z0)\1- \z0\-W. (3.9) Знак равенства в (3.9) достигается для полинома P{z) = cnzn и любых Zo O. Доказательство. Рассмотрим симметричный относительно окружности \z\ = \z0\ конденсатор C{r\ С2, Z, Д, Ф) с параметрами Z = {z0, 0, со}, Д = {-1,1,1}, Ф = {y/r, \z0\2r r}. Пусть u{z) - потенциальная функция этого конденсатора.

Обозначим через и — (p(z) одну из мероморфных ветвей функции и = /P(z) в замкнутой области \z\ \Zo\- Введем вспомогательную функцию и(ш), симметричную относительно окружности \ш\ — \P(z0)\l/n и в точках ш l-Pf )]1 , равную U(LO) — mm{u{z) : (z) — LJ}. Функция U{UJ) допустима для некоторого конденсатора C(r;Cw,fi, Д,Ф) с параметрами Q {P(zoy/n,0, со}, где P{z0)lln одно из значений корня, Д как и выше иФ={ \P{z0)\lln l-i (zj VF, \P{z0)\2!n\cn\-llnr, \cn\-Vnr}. Аналогично доказательству предыдущей теоремы имеем \C(r; Cz, Z, Д, П 1 = 1(щ Сг) = 21(щ {z : \z\ \z0\})

Экстремальные задачи для мероморфных и P-листных функций Ким Виктория Юрьевна

Разделяющие преобразования областей

Теоремы покрытия для р-листных функций в круге и кольце

Рациональные функции

Ограничения на нули полинома

Похожие диссертации на Экстремальные задачи для мероморфных и P-листных функций