Введение к работе
Актуальность темы. Настоящее исследование относится к теории интегральных преобразований, которая в последнее время особенно интенсивно находит свое развитие в математическом анализе. Интерес к ней обусловлен широкими применениями интегральных преобразований как в самой математике, так и за ее пределами.
Однако крут исследований в настоящей работе ограничен построением теории так называемых интегральных преобразований по индексу (параметру) специальной функции ядра и разработкой сверточного метода, позволяющего как аффективно изучать классические свертки, так и конструировать новые операторы сверточного типа для многих известных интегральных преобразований.
Использование интегральных преобразований в теории дифференциальных и интегральных уравнений, операционном: исчислении, теории краевых задач позволяет находить их решения в замкнутой форме и изучать их структурные свойства. В то время как наиболее изученные интегральные преобразования Фурье, Лапласа, Меллина, Ханкеля, Гильберта, Стилтьеса, операторы дробного интегро-дифферендирования Римана - Лиувилля находят свое успешное применение в различных областях математики, теория интегральных преобразований по индексу и их приложения находятся на стадии становления и развития.
Свое начало данная тематика берет из работ F.G. Mehler, В.А. Фока, Н.Н.Лебедева, М.И. Конторовича, М.Н. Олевского, где были введены интегральные преобразования по индексу специальных функций математической физики, а именно функций Лежандра, Бесселя и гипергеометрической функции Гаусса. Впоследствии введенные операторы были названы преобразованиями Мелера- Фока, Кон-горовича - Лебедева и Олевского. Для них рассматривались вопросы описания пространств образов, асимптотических разложений, применений к различным за-цачам математической физики, решений интегральных уравнений и вычислений индексных интегралов. Это, в частности, относится и к работам Н.А. Беловой, H.-J. Glaeske, Н.Я. Виленкина, Н.А. Вирченко, И.П. Вовкодава, А.Т. Улитко, By Ким Туана, A.M. Гомилко, В.А. Литкияа, А.Г. Земаняна, А.С. Зильберглейта, Л.В. Исаевой, А.И.Мошинского, С.Б.Якубовича, Ю.М.Раппопорта, И.П.Скаль-:кой, М.В. Федорюка, Я.С. Уфлянда, M.M.Crum, D.S.Jones, N.Hayek, J.S. Lowndes, f.Wimp и др. В некоторых работах предпринимались попытки обобщения интегральных преобразований по индексу на общие специальные функции гипергеоме-срического типа, такие как G - функция Мейера и И - функция Фокса.
Что касается исследований в области свергочных операторов и преобразо-»аний, а также их приложений к задачам операционного исчисления и теории пггегро- дифференциальных уравнений, то наряду с классическими исследованиями Н.И.Хиршмана, Д.В.Уиддера, J.Mikusmski, N. Wiener, И.Ц.Гохберга, М.Г.Крей-іа, Н.И.Ахиезера упомянем работы М.М.Джрбашяна, В.А.Диткина, А.П. Пруд-гикова, В.А. Какичева, Нгуен Тхаяь Хая, О.И. Маричева, А.А. Килбаса, Ю.Ф. Яучко, L. Beig, I.H. Dimovski, N. Bozhinov, B.L.J. Braaksma, A. Schuitman, M. Saigo, 1. Gorenflo, P.G. Rooney, H.M. Srivastava, R.G. Buschman, R. Wong и др.
Полученные результаты применимы только к отдельным интегральным опера-тарам и не дают полной картины рассматриваемых проблем. Поэтому одной из
актуальных, задач теории интегральных преобразований по индексу является создание методов, которые позволят изучать в совокупности различные индексные преобразования несверточного типа и строить для них общие сверточные алгебры в различных функциональных пространствах.
Связь работы с крупными научными темами. Диссертационная работа выполнена в научно-исследовательской лаборатории "Прикладных методов математического анализа" при кафедре теории функций Белгосуниверситета в рамках научно-исследовательских тем Министерства Образования и Науки Республики Беларусь "Краевые задачи комплексного анализа: линейные, нелинейные, для обобщенных функций, с бесконечным индексом. Специальные функции, свертки, интегральные и дифференциальные операторы и их реализация методами компьютерной алгебры", "Специальные и обобщенные функции и операторные уравнения" и "Нелинейные проблемы теории обобщенных функций".
Цель и задачи исследования. Разработка структурных и композиционных свойств интегральных преобразований по индексам специальных функций. Описание образов весовых ,- пространств преобразований Конторовича - Лебедева, Мелера - Фока, Лебедева - Скальской. Локазательство аналога теоремы Пэли - Винера для преобразования Конторовича-Лебедева в банаховых пространствах аналитических функций. Разработка метода построения интегральных сверток для преобразований меллиновского типа в виде двойных интегралов Меллина -Барнса и композиционных интегральных сверток для индексных преобразований. Введение сверточных гильбертовых пространств, построение операционного исчисления типа Микусинского для оператора свертки Конторовича - Лебедева и его применение для получения явных решений одного класса интегральных уравнений типа свертки первого и второго рода с неподвижной особенностью на конце промежутка интегрирования.
Научная новизна. На основе предлагаемых алгоритмов впервые получены описания пространств образов весовых Lf- пространств преобразований Конторовича- Лебедева, Мелера - Фока и Лебедева - Скальской. Композиционная структура преобразований но индексу и свойства их ядер как функций гипергеометрн-ческого типа позволили вывести общие формулы их ядер и сверток и, тем самым существенно расширить класс индексных преобразований. Впервые удалось систематизировать и обобщить ранее известные результаты, предложив метод исследования совокупности интегральных преобразований по индексу в различных функциональных пространствах. Разработан метод построения интегральных сверток в виде двойных интегралов Меллина - Барнса и композиционных сверток для преобразований по индексу. Установлен аналог теоремы Пели - Винера в банаховых пространствах аналитических функций для преобразования Конторовича - Лебедева, Построено операционное исчисление типа Микусинского для свертки типа Конторовича - Лебедева и получены явные решения одного класса сверточных уравнений с неподвижной особенностью.
Практическая значимость. Методы и результаты диссертации могут быть использованы в теоретических исследованиях в таких математических дисциплинах как интегральные преобразования, свертки, операционное исчисление, дифференциальные и интегральные уравнения, при решении интегральных, дифференциальных уравнений, уравнений типа свертки, а также при решении конкретных задач математической физики, в частности задач диффракции для клиновидных
эластей, теории теплопроводности, краевых задач теории потенциала для полу-ространства в теории упругости.
Результаты диссертации могут быть использованы в научных коллективах, задающихся исследованиями в областях интегральных преобразований, специаяь-ых функций, операционного исчисления в Вычислительном центре РАН, в Ве-эрусском, Новгородском, Казанском, Красноярском университетах, в Киевском элитехническом институте, в Санкт-Петербургском институте теоретической фи-оси РАН, в Самарском педагогическом институте.
Некоторые идеи, методы и результаты диссертации уже нашли отражение в онографиях (Нгуен Тхань Хай, С.Б.Якубович [33], С.Б.Якубович, Ю.Ф.Лучко 4], С.В.Якубович [36]) и использованы в отдельных работах по интегральным эеобразованиям, сверткам и их приложениям.
Основные положения, выносимые на защиту.
Применяемые в диссертации методы позволили решить некоторые задачи тески интегральных преобразований и специальных функций, а также на базе новых зерток построить операционное исчисление типа Микусинского. Таким образом і защиту выносятся следующие результаты:
- получены теоремы типа Плашпереля и найдены композиционная структура
формулы обращения общих интегральных и дискретных преобразований по ин-
гксу; композиционный метод успешно применен и для известных преобразований
онторовича-Лебедева, Мелера- Фока и Лебедева-Скальской;
-даны описания пространств образов весовых /^-пространств индексных пре-Зразовапий. В банаховых пространствах аналитических функций доказан аналог юремы Пвли-Винера для преобразования Конгоровича-Лебедева;
-дано описание классов сверток для преобразований по индексу. Введены свер->чные гильбертовы пространства, построено операционное исчисление типа Ми-Ясинского для свертки типа Конторовича-Лебедева. На основе сверточного ме-зда даны решения в замкнутой форме одного класса уравнений типа свертки со гениальными функциями и неподвижной особенностью на конце промежутка нитрирования;
- дано описание класса сверток в терминах двойных интегралов Меллина-
арнса для преобразований меллиновского типа. Для ядер гипергеометрического
ша установлены теоремы существования и действия введенных сверточных кон-
:рукций и их связь со специальными функциями двух переменных.
Апробация результатов. Отдельные части диссертации докладывались на сесоюзной конференции "Классические и неклассические краевые задачи для іфференциальньїх уравнений с частными производными, специальные функции, ггегральные уравнения и их приложения" (Куйбышев, 1987 г.), на Междуна-здной конференции "Символическое и алгебраическое исчисление", (Германия, они, 1991), на Международной конференции "Методыпреобразований и специаль-лх функций", (Болгария, Варна, 1991 г.), на Международной конференции "Диф-эренциальные и интегральные уравнения. Математическая физика и специальные дикции" (Самара, 1992 г.), на конференции математиков Беларуси (Гродно, 1992 ), на научно-технической конференции "Памяти академика М.П.Кравчука" (Укра-іа, Киев, 1992 г.), на Международной конференции "Различные аспекты диффе-щцируемости", (Польша, Варшава, 1993), на конференции Японского магемати-:ского общества (Япония, Кобе, Токио, 1994 г.), на Международной конференций)
посвященной 90-летию академика Ф.Д.Гахова (Беларусь, Минск, 1996 г,).
С сообщениями о результатах диссертации автор выступал на семинаре Бі лорусского математического общества (руководитель- академик И.В.Гайшун), н семинаре по функциональному анализу и дифференциальным уравнениям (руке водители - профессора А.Б.Антоневич, П.П.Забрейко, Я.В.Радьшо). Результат: диссертации многократно докладывались и обсуждались на Минском городско семинаре по краевым задачам имени академика Ф.Д.Гахова (руководитель- прс фессор Э.И.Зверович).
Опубликованносгь результатов в личный вклад. Основные результаты дис сертации опубликованы в работах [1]-[35] и отражены в трех монографиях [33]-[35 Часть результатов пп. 1.2, 3.3, 4.2-4.3 получены в совместных работах [3], [14], [20 [26]-[27], [30)-[31] и в равной мере принадлежит автору диссертации и соавторам.
Структура в объем работы. Диссертация состоит из введения, общей хв рактеристики работы, четырех глав, включающих 13 разделов, выводов и списк использованных источников. Объем диссертации - 198 страниц машинописног текста, Список использованных источников на 18 страницах содержит 256 найме новании, при атом работы автора по теме диссертации приведены в конце списке
