Введение к работе
Актуальность темы. Изучение пространств операторов и изучение свойств треугольных матриц взаимодействуют, по-видимому, с самого начала возникновения этих понятий в теории операторов. Один из важнейших результатов, касающийся этих объектов - знаменитая теорема В.И. Мацаева, доказавшего, что преобразование треугольного усечения действует во всех идеалах Нейман а-Шаттена Sp при 1 < р < оо. Этот результат был дополнен исследованием треугольных усечений в пространствах вблизи краев шкалы Sp: что привело к введению и изучению идеалов операторов, отличных от идеалов Неймана-Шаттена, аналогов функциональных пространств Лоренца и Марцинкевича. Преобразование треугольного усечения является частным случаем мультипликаторов Шура, которые, в частности, подробно изучались в виде трансформаторов, задаваемых двойными операторными интегралами в работах М.Ш. Бирмана и М.З. Соломяка1. Содержательные результаты о подпространствах треугольных матриц в симметрично-нормированных идеалах были получены в работах Ж.Пизье2. В работах В.И. Овчинникова 3 было замечено, что при изучении интерполяции между пространствами операторов, действующих в разных гильбертовых пространствах, естественно возникают подпространства треугольных матриц. С их помощью описываются пересечения пространств операторов, сумма и тому подобные преобразования пространств. Помимо этого, в 4 были найдены формулы для іС-функционала в парах пространств всех ограниченных операторов, а в 5 вычислены пространства конструкции Лионса-Петре для этой же пары операторных пространств. Оказалось (и это один из главных
1 Бирман М.Ш. Оценки сингулярных чисел интегральных операторов / М.Ш. Бирман, М.З. Со-ломяк // Успехи математических наук.- 1977. Т. 32, в.1 (193). - С.17-84
2Pisier G. Interpolation between Нр spaces and non-commutative generalization I / G. Pisier // Pacific Journal of Mathematics. - 1992. - Vol. 155. - N 2. - P. 441-368.
3 Овчинников В.И. Некоммутативные пространства В МО, когерентная ядерность и ограниченные расширения матриц / В.И. Овчинников // Докл. РАН - 1998. - Т. 363, N 1. - С. 17-19, Овчинников В.И. Интерполяция в симметрично-нормированных идеалах операторов, действующих в различных гильбертовых пространствах / В.И. Овчинников // Функциональный анализ и его приложения. - 1994. - Т. 28, N 3. - С. 80-82.
4Овчинников В.И. Когерентно ядерные операторы в парах гильбертовых пространств / В.И. Овчинников // Математические заметки. - 1988. - Т. 63, N 6. - С. 886-872.
5Ovchinnikov V.I. Lions-Peetre Construction for Couples of Operator Spaces / V.I. Ovchinnikov // Russian Journal of Mathematical Physics. - 1995. - Vol. 3. - P. 407-410.
результатов данной работы), что упомянутые результаты В.И. Овчинникова могут быть использованы для вычисления if-функционалов и пространств вещественного метода для более сложных пар ограниченных операторов, действующих в гильбертовых парах, таких как пары алгебр Неймана или пары пространств вполне непрерывных операторов. Расширение семейства пар операторных пространств, для которых удается вычислить традиционные интерполяционные конструкции, является актуальной задачей интерполяции линейных операторов. Основным инструментом при этом оказалось изучение преобразований блок-матриц.
Цель работы. Основными целями предлагаемой работы являются:
Изучение вещественного метода интерполяции для пар пространств ограниченных операторов, действующих в различных гильбертовых пространствах. В частности, изучение пар алгебр Неймана и вычисление if-функционалов в таких парах операторных пространств.
Изучение мультипликаторов в пространствах матриц.
Продолжение неполных матриц до ограниченных и вполне непрерывных операторов.
Методы исследования. В диссертации используются методы теории операторов в гильбертовом пространстве, теории операторных пространств и алгебр операторов, общей теории интерполяции линейных операторов.
Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми и приводятся с полными доказательствами.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты представляют интерес для теории интерполяции линейных операторов и ее приложений в исследовании операторных пространств.
Основные результаты диссертации:
Найден новый класс мультипликаторов матриц, действующих в идеалах Неймана-Шаттена Sp при 1 < р < оо.
Вычислен if-функционал в парах алгебр Неймана, действующих в различных гильбертовых пространствах.
3. Описаны пространства вещественного метода интерполяции для
пар алгебр Неймана, действующих в различных гильбертовых пространствах.
Найдено необходимое и достаточное условие расширения верхнетреугольной неполной матрицы до вполне непрерывного оператора.
Установлено, что пара пространств вполне непрерывных операторов, действующих в различных гильбертовых пространствах, является іС-подпарой пары соответствующих пространств ограниченных операторов.
Найдено как необходимое, так и достаточное условие существования ограниченного и вполне непрерывного продолжения для специального класса неполных матриц, значительно расширяющего класс треугольных неполных матриц.
Апробация работы. Материал диссертации докладывался на Воронежской зимней математической школе (Воронеж, 2004 г.), на международной конференции "Современные проблемы математики, механики и их приложений" (Москва, 2009 г.), посвященной 70-летию В.А. Садовни-чего, и на семинаре ВГУ по теории операторов (рук. проф. А.Г. Баскаков).
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 10 работах. В совместных публикациях [3],[4] соавтору принадлежит постановка задач. Работа [10] соответствует списку ВАК РФ для кандидатских диссертаций.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, разбитых на параграфы, и списка цитируемой литературы из 46 наименований. Общий объем диссертации — 77 стр.
