Содержание к диссертации
ВВЕДЕНИЕ 2
§ 1 ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА К - И 3 - МЕТОДОВ 15
§ 2 ТЕОРЕМА РЕИТЕРАЦИИ И ПРОБЛЕМА К -ДЕЛИМОСТИ 28
§ 3 КОНТРПРИМЕР К К - ДЕЛИШСТИ 50
§ 4 УСЛОВИЯ, НЕОБХОДИМЫЕ ДЛЯ К- ДЕЛИМОСТИ И.ДОСТАТОЧНЫЕ ДЛЯ СЛАВОЙ К - ДЕЛИМОСТИ 62
§50 СЛАГОЙ К - ДЕЛИШСТИ ( vi+ 1 ) - НАЮРОВ ИДЕАЛЬНЫХ БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВ 81
§ 6 ИНТЕРПОЛЯЦИЯ АБСТРАКТНЫХ ПРОСТРАНСТВ МАРЦИНКЕВИЧА 98
§ 7 О ПРОБЛЕМЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ И ЮРМУЛЕ ХОЛМСТЩТА 108
§ 8 ИНТЕРПОЛЯЦИЯ КВАЗИНОРМИРОВАННЫХ АБЕЛЕВЫХ ГРУПП ( К - И Е - МЕТОД) 117
§ 9 ОБ ОДНОМ СВОЙСТВЕ АППРОКСИМАЦИОННЫХ ПРОСТРАНСТВ 134
СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ 139
ЛИТЕРАТУРА 140
Введение к работе
Настоящая„работа посвящена изучению теории вещественного метода интерполяции наборов, состоящих из конечного числа ба- наховых пространств (банаховых ( К ч-1) _ наборов, Vu і ). В ряде задач анализа применение этой теории имеет существенное значение; к ним относятся вопросы разрешимости уравнений гиперболического типа [45] , изучение Соболевских пространств с доминирующей старшей производной и аналогичных пространств Никольского-Бесова [43] , задачи аппроксимации функций с помощью квазимногочленов [2] и др. Отметим,однако, что в отличив от теории интерполяционных пространств, развитой для случая банаховых пар, ситуация при \Ь І. существенно более трудная. Так оказывается, что ряд основных фактов теории интерполяции банаховых пар уже не имеет места в общей ситуации. В частности, Есикава [45] и Спарр [43] показали, что при Vv і не верна теорема эквивалентности К - и У - методов. Отметим также работы Фернандеса [ 24-26 ] в которых сделана попытка доказать обобщенную теорему реитера- ции Лионса-Питре [ 32 ] для набора из jL Q k і) банаховых пространств; однако, приведенное там доказательство не корректно и, как показано в работе [48] сформулированная им теорема не верна. Распространение комплексного метода интерполяции на ( К. - - і ) - наборы банаховых пространств { Yb L) также сталкивается с существенными трудностями (см., например, работу Крейна и Николовой [ 13 ] ).
В связи с указанными обстоятельствами естественно возникают следующие две задачи.
1) Выделить из класса банаховых ( +1 ) наборов под класс "допустимых", то есть тех, для которых сохраняется возможно большее число фундаментальных результатов, доказанных для случая KL = 1.
2) Найти конструктивные условия, позволяющие проверить будет ли тот или иной набор "допустимым".
В литературе имеется не много результатов, направленных на решение этих двух задач. Так, в работе Спарра [43] выделен подкласс банаховых ( И + І ) - наборов, удовлетворяющих "условию " (мы опишем его ниже) и показано, что на этом подклассе справедливы аналоги теорем эквивалентности и реитерации Лионса-Питре [32] Отметим, однако, что "условие " носит неконструктивный характер и его проверка даже для случая простых наборов затруднительна. Спарру удалось с помощью некоторых косвенных соображений установить, что і" - условию удовлетворяет набор где л - банахово пространство, векторы 0; llv (І = СИ) таковы, что (R является линейной оболочкой векторов Q± &07 х ®о - • ®пГ®оі а норма в c-q аХ) определяется формулой здесь ж Однако, уже и этот результат дал ему возможность установить некоторые интересные факты об интерполяции и теоремах вло- , жения для пространств Соболева с доминирующей старшей производной.
Настоящая работа посвящена изучению указанных выше двух задач, а также некоторым применениям полученных результатов.
Перейдем к обзору содержащихся в диссертации результатов. Работа состоит из 9 параграфов.
В § 1 приводятся основные определения и устанавливаются некоторые свойства К - и 3 - методов. Для дальнейшего изложения нам понадобятся следующие определения (см. [43] ).
Определение 1. Банаховы пространства Х0? 1 »- • ки образуют ( Jt+1 ) - набор X , если они линейно и непрерывно вложены в некоторое линейное отделимое топологическое пространство % .
Как и в случае ки = і модно образовать банаховы пространства ZcT) X0+X r.. X и ЛсХ)- Х0(\Х±Г\ .(\Х .
Для элементов ОС X с X ) определяется К - функционал Питре:
где -Ь = ft i.-fca., .- ,+ Є R X » 0: = l.
Пусть Ф - идеальное пространство измеримых функций, определенных на 1R.+ . Через К сХ) обозначим совокупность элементов OS- ХсХ) для которых конечна норма
И 05- II , v» ; = u К ССХ» • T)W . КсрсХ) Ф
Будем говорить, что Ф параметр К - метода, если
х) Здесь и далее fi =. Н і гО к °, k=-f,n,}.
В § 2 изучается вопрос о справедливости теоремы реитера-ции для К - метода. Пусть "C L , ... 1 ) )
Определение 2» Скажем, что для ( и -vi ) - набора X справедлива теорема реитерации, если для любых параметров К - метода Ф, То Ф .,.. -, т m с точностью до эквивалентности норм имеет место изоморфизм
К9чК (Хп= К сТ), (1)
где т : - К р я Ц ) и константа эквивалентности норм У = У(УУІ) не зависит от Ф, Ф ( j = О, m ).
Это определение мотивировано работой Брудного и Кругляка [5] 9 в которой показано, что для случая кь - Кп - 4. вышеприведенная формула (і) всегда имеет место.
С теоремой реитерации тесно связано понятие К - делимости.
Определение 3. ( Н.+1) - набор X называется К - делимым, если для любого элемента ос е- 2_ ( X) и любых вогнутых неотрицательных функций Q± , , определенных на (icV , из неравенства
К О,Ой; 7) i. gt+ СЛЄДУЄТ Существование ЭЛемеНТОВ ОС; сг "Z-CX) ( = 4, ,)
таких, что
36 Здесь и далее для идеального пространства Е через Ь будем обозначать пространство измеримых по мере (И функций, для которых конечна норма п я- и р w • - и u7 Р •
причем постоянная 2ґ не зависит от яе. и Q і, j, •
Следующая теорема показывает, что классы ( H-vl ) - наборов, удовлетворяющие определению 2 и, соответственно 3, совпадают.
Теорема 1 (3). х Для того, чтобы для ( к,+1 ) -набора X была справедлива теорема реитерации необходимо и достаточно, чтобы набор X был К - делим.
В § 3 построен пример, показывающий, что при Уь L даже совсем простые ( ft +1 ) - наборы могут не быть К - делимыми. Тем самым ситуация при V -L резко отличается от того, что имеет место при vv = і . Напомним, что как показано в работе [б] любой 2-набор является К - делимым.
Теорема 2(5). Набор LL (, L L 1-,..., l\ ) не является К - делимым.
Из доказательства этого результата также следует, что аналог теоремы Седаева-Семенова (см. [1б] ) о К - монотонности
L = С L °., 1_ ) для случая И 1 места не имеет
(см. теорему б).
Как известно, для многих приложений теории интерполяционных пространств достаточно иметь теорему реитерации не в общей ситуации, а лишь для семейства степенных параметров. При Vv = і такой результат был получен Лионсом и Питре [ 32]. Чтобы рассмотреть соответствующее обобщение на случай къ 4_ нам понадобится
Определение 4. (ft-ьі)- набор X назы Здесь и далее в скобках указан номер результата в тексте работы.
— вается слабо К - делимым,если для любого элемента ос II (Л) и любых неотрицательных вогнутых функций g1? Q из неравенства
К 1 ;ХЧ $1 + 0 следует существование элементов ОС; Z С А) С j - Л,1) таких, что г 0( 0 и К ( 0 • 7) То. (j - 4, 1); здесь I - оператор, определенный на ZlcL1) и заданный формулой
iR + где Упік і j) = ТУКИЛ і, , - % Нетрудно установить справедливость следующего факта Предложение 1. Если в Ф? 0 = 0,111) ограничен оператор слабо К - делим, то
где Y : = К ср С К ф С Гсь).
В связи с предложением 1 представляет существенный интерес вопрос о достаточннх условиях слабой К - делимости; соответствующий результат приведен в § 4. Прежде чем его сформулировать отметим некоторые свойства К - делимых и слабо К -делимых наборов.
Будем называть ( Vb+i ) _ набор X относительно полным, если Aj С j О, w) относительно полно В И С X ).
Теорема 3. Пусть X - ( И+1) - набор, Ф
і Vrv±l ) - набор; тогда
1. если X и «-ео К - делимы, то набор Кф4 с X } также К - делим;
2. если X слабо К - делим, а
делим и в Я : ограничен оператор Т , то К- с X ) К делим;
3. если X К - делим и является относительно полным, то любой набор вида cX X 1) _ X ): O i- Vb, также К - делим.
Из этой теоремы следует, в частности, что набор из абстрактных пространств Марцинкевича
является К- делимым,если выполнено одно из условий:
а) X К - делим ;
б) л слабо К - делим и оператор I ограничен
в LJ (J =4 0;
здесь
К CS, X; X )
и СО : 1к + — \\1 вогнутая неотрицательная функция. В частности М с X ) является К - делимым для любого 2-набора X
Для изложения необходимых условий для К - делимости и достаточных условий для слабой К - делимости введем следующие обозначения и определения. Пусть векторы Ц Ь IK + ;
m bo J 1"1
условимся также считать Д0 ( л) •. -2-Сл) 9 а Ъл, L 0 , обозначает пространство X , рассматриваемое с новой нормой
Определение 5. ( KU + 1 ) - набор л удовлетворяет условию согласования (условию А ) если для любого множества -Л. С 1к.+ справедливы утверждения:
1. для любого yvu-Ofn-$L и любого 4- имеет место изоморфизм
2. для тех же Иг- и любых t?"t K+ имеет место изоморфизм
А " (?)Пі\Х)=І АІД)П ХІ) .
При этом константы в неравенствах для норм не зависят от , І и П- . Имеет место
Теорема 4 (7). Пусть л - относительно полный набор. Тогда условие А является необходимым для его К -делимости и достаточным для его слабой К - делимости.
В работе Спарра [43] для доказательства теоремы эквивалентности К - и У - методов было введено,так называемое,
1 - условие, по существу являющееся обобщением фундаментальной леммы на случай к. і ,
Определение 6. Набор X удовлетворяет 7 - условию, если любой элемент Od , для которого С I Ксх , X )) сії оо представим в виде
Х= J 4Ш) ф (сходимо сть в
in _ _ и У С "WCS) ; X ) YKu,X;X)j здесь Ui сильно измеримая функция.
Отметим, что для относительно полного набора X А условие обеспечивает выполнение « - условия Спарра (см. лемму 9).
Так как условие А является трудно проверяемым, то представляет интерес получение конструктивных достаточных условий для установления К - делимости или слабой К - делимости. Некоторые условия такого рода получены в § 5. Приведем два следствия из полученных результатов.
1. Для любого 2-набора X ( K+L ) - набор ( Х , XX) слабо К - делим: здесь
2. Для любого идеального банахова пространства Ь набор С Е Шо, Е ..., Е4 слабо К - делим.
§§ 6-7 посвящены приложениям сформулированных ранее результатов. Так, в § 6 дано полное описание абстрактных пространств Марцинкевича, являющихся интерполяционными для заданно
го ( И + і ) - набора п j- С л ) (см. (2)). Для формулировки соответствующего результата нам понадобится
Определение 7. (W+i ) - набор X удовлетворяет условию К0- полноты, если для каждого "Ь 1R + найдется элемент 0 і , для которого
с константой эквивалентности, не зависящей от t .
Теорема 5(12). Для того, чтобы пространство IM (j ( X ) было интерполяционным для набора М } (. X") достаточно, а в случае, когда X удовлетворяет условию V\Q -полноты и необходимо, чтобы для любых «S, т к __ выполнялось неравенство
ил-h V naaot ІІ2 .
Отметим, что эта теорема дает новые результаты уже и для 2-на- боров X . В качестве простого примера укажем на полное описание тех вогнутых функций (л) при которых пространство Lipid является интерполяционным для набора С Lipo6.0 , 1_лр ±),
0 oio- ° ± i . Первым результатом такого рода была теорема Шарпли об описании пространств Марцинкевича Мц; = К u;(1-. ,
L о } , являющихся интерполяционными для фиксированного 2-на-бора таких пространств.
В § 7 дано другое применение полученных результатов, связанное с поставленной Питре проблемой пересечения для вещественного метода. В общем виде она состоит в описании тех ф и 3-наборов X Х 0 Х±УХ%), Для которых справедлива фор мула пересечения
fc® (Вопрос Питре относится к случаю когда - -р ). Как оказывается, эта проблема тесно связана с К - делимостью X ; именно верна
Теорема 6 (13). Пусть X = Х Х Х ) относительно полный и К - делимый набор; тогда для любого параметра К - метода ф имеет место формула (З).
Наконец, в этом же параграфе дано обобщение известной формулы Холмстедта (см.[28]). Для формулировки результата нам понадобятся следующие обозначения и определения. Пусть Q- • Н - «Н. + функции, определяемые формулой
Определение 8. Будем называть т П - набором, если для каждого -L fR1 . существуют такие множества А0с-Ь), A t), ... , Ажс-Ь ), для которых выполнены условия: УК, 1. U Д. i-fc) = ft , 2. для всех j, k -0/ -, для которых J k -fct № x i КФ L ) здесь, как обычно, 0 : = і . Пусть X - К - делимый ( Vl +d ) - набор банахо вых пространств. Теорема 7 (14). Если набор Ф является Н -набором, то имеет место обобщенная формула Холмстедта: Приведем следствие этой теоремы. Пусть Л - ( Оэ 1 ) j Справедлива формула ж где L -iS l iik/i;; k = 0 /_ — і/ У\ а через Л обозначено, как обычно, пространство K. M). В приложениях [40, і] важную роль играет вариант вещественного метода, отличный от К - и f - методов. Это, так называемый, Е - метод (аппроксимационный метод).
В § 8 изучается связь Е - метода с К - методом теории интерполяции операторов. На основе полученных результатов и работы Ю.А.Брудного о приближении функций квазимногочленами 12] установлен следующий результат
Теорема (17). Набор пространств Никольского ( Нр сТ""), HpA\T% , ... , Нр Т ) ) является К -делимым; здесь \ - p C5°,A IR+ 1 - И,-мерный тор.
В § 9 изучаются некоторые свойства общих аппроксимационных пространств, полученных с помощью Е - метода.
Несколько слов об организации материала диссертации. Все определения нумеруются с помощью двух чисел. Так, определение 2.3 есть определение 3 параграфа 2. Все утверждения (предложения,теоремы и т.д.) имеют сквозную нумерацию. В конце диссертации приводится список основных обозначений.
Основные результаты, изложенные в диссертации, опубликова-ны в статьях [46-5l]
Пользуясь случаем, автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору Ю.А.Брудному за постановку задач и большое внимание к работе.
