Содержание к диссертации
Введение
I. Метод средних с произвольным функциональным параметром 9
1.1. Некоторые вспомогательные определения 9
1.2. Метод средних 14
1.3. Простые свойства обобщенного метода средних 20
1.4. Теорема двойственности 28
1.5. Теоремы о реитерации 35
1.6. Описание интерполяционных орбит идеалов Неймана-Шаттена, действующих в гильбертовых парах 37
II. Вещественные пространства-параметры для пространств Орлича 47
2.1. Описание пространства-параметра для пространства Орлича в невырожденных случаях 47
2.2. Аномальные пространства Орлича 58
III. Интерполяционные теоремы в парах пространств с функциональными параметрами 64
3.1. Совпадение весовых пространств последовательностей Орлича с весовыми пространствами 65
3.2. Еще о теоремах вложения для пространств 73
3.3. Интерполяционные теоремы 74
Список использованной литературы 80
- Простые свойства обобщенного метода средних
- Описание интерполяционных орбит идеалов Неймана-Шаттена, действующих в гильбертовых парах
- Описание пространства-параметра для пространства Орлича в невырожденных случаях
- Совпадение весовых пространств последовательностей Орлича с весовыми пространствами
Введение к работе
Пространства Орлича являются объектом внимания теории ин терполяции линейных операторов с самого момента их появления в анализе. Интерполяция в пространствах Орлича рассматрива лась в работах многих математиков, таких, как А.В.Бухвалов, Г.Густавсон, П.П.Забрейко, М.А.Красносельский, Г.Я.Лозановский, Г.Лоренц, Л.Малигранда, М.Мастыло, В.И.Овчинников,
Я.Петре, Е.И.Пустыльник, Я.Б.Рутицкий, Е.М.Семенов, А.Чианки, В.А.Шестаков и др. Первые результаты об интерполяции в пространствах Орлича были доказаны самим Орличем. В дальнейшем оказалось, что первый результат Орлича относится к более широкому классу перестановочно инвариантных пространств, которые точно соответствовали постановкам задач в теории интерполяции, и продолжительный период развития теории интерполяции был связан с перестановочно инвариантными пространствами или же с пространствами Lp и их модификациями.
Особая роль пространств Орлича стала ясна в 70 - е годы, когда в задачах об интерполяции в пространствах со смешанной нормой попытались интерполировать операторы по внутренней норме (работы А.В. Бухвалова [3] и [4]). Оказалось, что это возможно для — 5 — пространств Орлича и в ряде случаев только для них (см. [25]). Для решения задачи об интерполяции в пространствах Орлича в работе В.И. Овчинникова [18] были созданы специальные интерполяционные функторы (pi(X0, Xi), (pu(X0,Xi) и (pm(XQ,Xi), которые позволили доказать интерполяционность конструкции Кальдер она, а в случае пар пространств Орлича описать все интерполяционные пространства Орлича между пространствами Орлича (см. также [26]). Достоинством и одновременно недостатком этих функторов является то, что они не входят в число функторов вещественного метода (К-и J-методов). К числу достоинств относится то, что с их помощью можно доказать утверждения, которые не могут быть получены вещественным методом, например, точные теоремы для "ухудшающих" операторов (см. [18]). К недостаткам можно отнести то, что соответствующие теоремы нельзя применять к квазилинейным операторам.
Фундаментальный обзор результатов по теории интерполяции для пространств Орлича содержится в книге [37].
Если рассматривать интерполяционные пространства Орлича между пространствами Lp, то с одной стороны они описываются конструкцией Кальдерона, а с другой стороны, в силу теоремы, доказанной Спарром ([42]) они могут быть описаны вещественным К-методом. Следовательно, существуют интерполяционные функторы, которые являются вещественными и описывают пространства Орлича. Интерес к подобного рода функторам и пространствам, которые могут быть ими получены, вызван в частности тем, что такие пространства возникают при описании интерполяционных орбит — 6 — элементов при действии операторов из одной пары пространств Lp в другую (см. [40]). Подобные функторы также интересны и для исследования пространств гладких функций, поскольку они позволяют, оставаясь в принципе в классе пространств Бесова, расширить класс используемых пространств. Данная работа тесно примыкает также к серии работ В.И.Буренкова, М.Л.Гольдмана, Р.Кермана, В.Д.Степанова, Х.Хайнига и др. об оценках для интегральных операторов (см. [32], [33], [2]). Этим объясняется актуальность исследования пространств-параметров, которые порождают пространства Орлича.
В первой главе даются основные определения и изучаются свойства интерполяционных пространств ip(Xo, X\)Po,Vl с произвольным функциональным параметром (р, которые были введены Овчинниковым В.И. в [40]. Соотношение между пространствами ip(Xo,Xi)POjPl и пространствами (Xq,Xi)q}P аналогично соотношению между пространствами Орлича и пространствами Lp. Эти функторы в случае пар пространств {LPo, LPl} дают пространства Орлича (см. [40]), и как показано в параграфе 1.2 они являются вещественными интерполяционными функторами. Основными результатами этой главы являются теоремы двойственности и теоремы о реитерации для функторов ц>(Хо,Хі)РОіРі. В параграфе 1.6 полученные результаты о двойственности и реитерации применяются для описания интерполяционных орбит при действии операторов из идеалов Неймана-Шаттена, отображающих гильбертовы пары. Эти результаты в свою очередь позволяют получить в этом же параграфе нетривиальные теоремы вложения для пространств cp(Xo,Xi)Po^Pl. — 7 —
Во второй главе исследуется параметр К- метода для пространств Орлича между Loo и L\. Здесь показано, что в случае когда пространства Орлича отделены от краев пары, то в некотором смысле они могут служить пространствами-параметрами для самих себя. (Так, кстати, обстоит дело, если мы остаемся в классе пространств Lp.) Основной результат этой главы - это контрпример к гипотезе о том, что пространства Орлича всегда могут служить (в некотором естественном смысле) пространствами-параметрами для самих себя.
Анализ пространств-параметров для пространств Орлича, начатый во второй главе и продолженный в параграфе 3.1 третьей, позволил обнаружить и доказать цикл новых интерполяционных теорем в парах пространств Lp, которым посвящена третья глава. Подобные ситуации рассматривались ранее в работе В.И. Овчинникова [21]. От теорем, которые получены Овчинниковым в [21] их отличает то, что они относятся к пространствам, "близким к краям" пары. Техника работы [21] не позволяла рассмотреть такие ситуации ранее.
Основная идея доказательства состоит в том, что при некоторых условиях пространство Орлича совпадает не только с пространством Марцинкевича или Лоренца (что было известно уже давно, см. [36]), но и с пространствами конструкции Янсона (обобщенными пространствами Лоренца).
В параграфе 3.2 вновь рассмотрены теоремы вложения для пространств (p(Xo,Xi)PO:Pl, и на основе анализа пространств-параметров уточняется зависимость этих пространств от ро,рі- В частности, получены условия на
Сами интерполяционные теоремы доказываются в параграфе 3.3.
Заметим, что нумерация параграфов в работе двойная, где, как обычно, сначала указывается номер главы, затем номер параграфа. Внутри каждого параграфа все определения, теоремы и т.п. нумеруются заново и получают тройную нумерацию: (номер главы, номер параграфа, номер теоремы) и т.п. Формулы имеют такую же тройную нумерацию.
Основные результаты этой работы были апробированы на конференции "Понтрягинские чтения - XII", на Воронежских зимних математических школах, на семинарах проф. Овчинникова В.И. по теории операторов и на семинаре НИИМ ВГУ проф. Баскакова А.Г.
Также результаты были опубликованы в работах [8], [9], [10], [11], [12], [13], [14].
Автор искренне благодарит профессора В.И. Овчинникова за поставленную задачу, постоянное внимание и поддержку в работе. — 9 —
Простые свойства обобщенного метода средних
Пространства Орлича являются объектом внимания теории ин терполяции линейных операторов с самого момента их появления в анализе. Интерполяция в пространствах Орлича рассматрива лась в работах многих математиков, таких, как А.В.Бухвалов, Г.Густавсон, П.П.Забрейко, М.А.Красносельский, Г.Я.Лозановский, Г.Лоренц, Л.Малигранда, М.Мастыло, В.И.Овчинников, Я.Петре, Е.И.Пустыльник, Я.Б.Рутицкий, Е.М.Семенов, А.Чианки, В.А.Шестаков и др. Первые результаты об интерполяции в пространствах Орлича были доказаны самим Орличем. В дальнейшем оказалось, что первый результат Орлича относится к более широкому классу перестановочно инвариантных пространств, которые точно соответствовали постановкам задач в теории интерполяции, и продолжительный период развития теории интерполяции был связан с перестановочно инвариантными пространствами или же с пространствами Lp и их модификациями.
Особая роль пространств Орлича стала ясна в 70 - е годы, когда в задачах об интерполяции в пространствах со смешанной нормой попытались интерполировать операторы по внутренней норме (работы А.В. Бухвалова [3] и [4]). Оказалось, что это возможно для пространств Орлича и в ряде случаев только для них (см. [25]). Для решения задачи об интерполяции в пространствах Орлича в работе В.И. Овчинникова [18] были созданы специальные интерполяционные функторы (pi(X0, Xi), (pu(X0,Xi) и (pm(XQ,Xi), которые позволили доказать интерполяционность конструкции Кальдер она, а в случае пар пространств Орлича описать все интерполяционные пространства Орлича между пространствами Орлича (см. также [26]). Достоинством и одновременно недостатком этих функторов является то, что они не входят в число функторов вещественного метода (К-и J-методов). К числу достоинств относится то, что с их помощью можно доказать утверждения, которые не могут быть получены вещественным методом, например, точные теоремы для "ухудшающих" операторов (см. [18]). К недостаткам можно отнести то, что соответствующие теоремы нельзя применять к квазилинейным операторам.
Фундаментальный обзор результатов по теории интерполяции для пространств Орлича содержится в книге [37].
Если рассматривать интерполяционные пространства Орлича между пространствами Lp, то с одной стороны они описываются конструкцией Кальдерона, а с другой стороны, в силу теоремы, доказанной Спарром ([42]) они могут быть описаны вещественным К-методом. Следовательно, существуют интерполяционные функторы, которые являются вещественными и описывают пространства Орлича. Интерес к подобного рода функторам и пространствам, которые могут быть ими получены, вызван в частности тем, что такие пространства возникают при описании интерполяционных орбит элементов при действии операторов из одной пары пространств Lp в другую (см. [40]). Подобные функторы также интересны и для исследования пространств гладких функций, поскольку они позволяют, оставаясь в принципе в классе пространств Бесова, расширить класс используемых пространств. Данная работа тесно примыкает также к серии работ В.И.Буренкова, М.Л.Гольдмана, Р.Кермана, В.Д.Степанова, Х.Хайнига и др. об оценках для интегральных операторов (см. [32], [33], [2]). Этим объясняется актуальность исследования пространств-параметров, которые порождают пространства Орлича.
В первой главе даются основные определения и изучаются свойства интерполяционных пространств ip(Xo, X\)Po,Vl с произвольным функциональным параметром (р, которые были введены Овчинниковым В.И. в [40]. Соотношение между пространствами ip(Xo,Xi)POjPl и пространствами (XQ,XI)Q}P аналогично соотношению между пространствами Орлича и пространствами Lp. Эти функторы в случае пар пространств {LPo, LPl} дают пространства Орлича (см. [40]), и как показано в параграфе 1.2 они являются вещественными интерполяционными функторами. Основными результатами этой главы являются теоремы двойственности и теоремы о реитерации для функторов ц (Хо,Хі)РОіРі. В параграфе 1.6 полученные результаты о двойственности и реитерации применяются для описания интерполяционных орбит при действии операторов из идеалов Неймана-Шаттена, отображающих гильбертовы пары. Эти результаты в свою очередь позволяют получить в этом же параграфе нетривиальные теоремы вложения для пространств cp(Xo,Xi)Po Pl.
Во второй главе исследуется параметр К- метода для пространств Орлича между Loo и L\. Здесь показано, что в случае когда пространства Орлича отделены от краев пары, то в некотором смысле они могут служить пространствами-параметрами для самих себя. (Так, кстати, обстоит дело, если мы остаемся в классе пространств Lp.) Основной результат этой главы - это контрпример к гипотезе о том, что пространства Орлича всегда могут служить (в некотором естественном смысле) пространствами-параметрами для самих себя.
Анализ пространств-параметров для пространств Орлича, начатый во второй главе и продолженный в параграфе 3.1 третьей, позволил обнаружить и доказать цикл новых интерполяционных теорем в парах пространств Lp, которым посвящена третья глава. Подобные ситуации рассматривались ранее в работе В.И. Овчинникова [21]. От теорем, которые получены Овчинниковым в [21] их отличает то, что они относятся к пространствам, "близким к краям" пары. Техника работы [21] не позволяла рассмотреть такие ситуации ранее.
Основная идея доказательства состоит в том, что при некоторых условиях пространство Орлича совпадает не только с пространством Марцинкевича или Лоренца (что было известно уже давно, см. [36]), но и с пространствами конструкции Янсона (обобщенными пространствами Лоренца).
Описание интерполяционных орбит идеалов Неймана-Шаттена, действующих в гильбертовых парах
Доказательство. Очевидно, что равенство (2.2.3) справедливо для любой пары вида {LPO(UQ) , LPl(Ui) } с произвольными весами. Для этих пар Хо = Хо и X] = Х\. Далее рассуждаем как и в предыдущей теореме. Функторы vo{XQ,Xi)Po,Pl, (рг(Х0, X1)Po Pl и ( /?о + ipi)(Xo, Xi)Po Pl описываются К-методом для любых ро и р\. Функтор суммы пространств, очевидно, является К-монотонным, следовательно, по теореме 3.3.11 из [29] функтор щ{Хо, Xi)Po,Pl + (pi(Xo,Xi)POtPl тоже описывается К-методом. При этом (сро + (pijiXoiX poM и (ро(Х0, Xi)Po,Pl + (/?i(Xo,Xi)p0,Pl совпадают на KQ-полной паре вида {LPo(Uo), LPl(Ui)}. Следовательно, они совпадают на всех банаховых парах. Теорема доказана.
В этом параграфе теорема двойственности и теоремы о реитерации применяются для описания интерполяционных орбит орбит произвольных элементов относительно нормированных идеалов Неймана-Шаттена, действующих из одной гильбертовой пары в другую. Полученное описание орбит оказалось полезным для доказательства более содержательных теорем вложения для пространств р(Хо, Xi)POtPl.
Через {іїо,-Ні} и {Go,Gi} будем обозначать банаховы пары, где Но, Hi, Go, G\ гильбертовы пространства, и называть их гильбертовыми парами. Без существенного ограничения общности можно предполагать, что наши гильбертовы пары регулярны, то есть пересечение Но П Hi плотно в .Но и в Щ и Go П Gi плотно в Go и в Gi.
Если р со, через &Р(Н — G) как обычно обозначается множество линейных операторов, действующих из гильбертова пространства Н в гильбертово пространство G таких, что tr(T T)p/2 со, где tr - след оператора в пространстве Н. В данной работе мы через &оо{Н — G) будем обозначать пространство всех ограниченных линейных операторов, действующих из Н в G. Нас будут интересовать операторы Г, действующие из гильбертовой пары {Но, Hi} в гильбертову пару {Go,Gi} такие, что Г Є бРо(#о - G0) ПвРі(Яі - Gi). Как обычно интерполяционной орбитой элемента а Є HQ + Hi при действии операторов из идеала вРо(Но — GQ)D&PI(HI — Gi) мы будем считать множество ОгЪ(а,&Ро(Но - G0)nePl(Hi - Gi)) С G0 + Gu состоящее из элементов вида Та, где X &PO(HQ — Go) П ePl(Hi — с?,). Нашей целью и является внутреннее описание пространства ОгЪ{а,&Ро(Нъ — Go) П &Р1{Н\ — Gi)). Оказалось, что эта орбита в точности совпадает с некоторым пространством p(Go, Gi)POiPl. Прежде чем приступить к доказательству приведем описание функтора (p(Xo,Xi)Po,Pl из работы [40] в терминах К-функционала, которое нам понадобится в дальнейшем. Пусть p(s,t) как и в предыдущих параграфах интерполяционная функция. Теорема. Пусть {Хо, Х\} произвольная банахова пара, ір Є Фо и 1 РоїРі - Пространство р(Хо, Xi)Po Pl совпадает со множеством тех х Є Хо + Х\, для которых {К(1 ЙДіМе ./йК1)), г ?е um - заполняющая и равномерно разреженная последовательность для функции K(l,u,x,{Xo,Xi}), о, (p(lPo,lPl(u -)) конструкция Калъдерона-Лозановского для пространств 1Ро и lPl(u ). Теорема 1.6.1. Для любого а Є По + Ні м1 Po,Pi оо Orb(a,&Po(HQ - Go) П&Рі(Ні -+ Gi)) = p(G0, Gi)№)Pl, где p(s,t) = K(s,t,a,{Ho,Hi}) и пары {H0,Hi} и {Go,Gi} регулярны. Доказательство. Мы начнем с оценки снизу для орбиты, то есть покажем, что / (G0, Ga)P0,Pl С Orb(a, еРо(Н0 - G0) П 6ft(#i - Gi)). (1.6.1) Это вложение оказывается неожиданно простым ввиду работы [40]. Действительно, в [40] доказана следующее утверждение (Предложение 2). Если {ф(ит)} Є «pftto PiKn1))» где V є фо, заполняющая и равномерно разреженная последовательность функции ф(и), то существуют такие последовательности (3Q Є 1Ро и (3і Є lPl, что Пусть х Є (p(Go,Gi)PO)Pl, тогда по Теореме на стр.39 {K(l,um,x,{G0,Gi})} Є (p(lVo,lPl(u )) и для функции ф{и) = К(1,и,х, {Go, G\\) найдутся последовательности /? 1Ро и (3і Є lPl. Рассмотрим вложение h(lf(t) С kill А) С 12, (1-6.2) h{l/(3lnum) С h(ll(3lmum) С 12(и). (1.6.3) Оператор правого вложения в (1.6.2) очевидно принадлежит бРо, а оператор правого вложения в (1.6.3) принадлежит &Р1. (Эти вложения эквивалентны соответственно диагональным операторам в 12, порожденным последовательностями /3 и (З1.) Таким образом, последовательность {ф(ит)} из (V/O + 12{1J fi Um) переводится в себя с помощью оператора из 6ро№(1/А) - І2)П&рі(12{іІ(31тит) - kil/Um)). В силу левых вложений (1.6.2) и (1.6.3) и упомянутого предложения из [40] По теореме Седаева (см. [27]) найдется ограниченный линейный оператор U : {Н0, Hi} - {l2(lJ ),l2(l/PLum)}, такой, что Поскольку ит - заполняющая и равномерно разреженная последовательность для ф(и) = К(1,и,х, {GQ,GI}), то Вновь по теореме Седаева из (1.6.4) следует, что найдется оператор V : {Z2, М 1)} - {Go, Gi} такой, что F({ (wm)}) = ж. Очевидно, что суперпозиция U, правого вложения в (1.6.2-1.6.3) и оператора V переводит Й в яг, и этот оператор, в силу идеальных свойств классов ер, принадлежит бРо(Но — Go)DePl(Hi — Gi). Таким образом, вложение (1.6.1) доказано.
Описание пространства-параметра для пространства Орлича в невырожденных случаях
В работах [21] и [22] были найдены оптимальные интерполяционные теоремы для операторов, действующих из одной пары пространств Lp в другую пару такого же типа. Эти теоремы применялись к пространствам Лоренца Lpq, и в качестве образа этого пространства снова появлялось пространство вида Ьц с наименьшим возможным индексом q.
Техника доказательства самих теорем и проверка их оптимальности жестко требовали, чтобы промежуточные пространства имели вид упомянутых пространств Лоренца. На самом деле интерполяция в пространствах Лоренца сводилась к интерполяции в весовых пространствах 1Р со степенными весами, и там были найдены оптимальные интерполяционные теоремы. В частности в [21] доказана следующая теорема.
Теорема. Если линейный оператор Т действует из пары {ZPo,/Pl(2_n)} в пару {lqo,lqi(2 n)}, то он непрерывно действует из Ц2-п9) в k(2-n6), где обозначает max(a;,0) — положительная часть числа rr, 0 0 1, О s оо.
В настоящей главе мы, комбинируя технику [21] и анализ пространств - параметров в узком смысле пространств Орлича, находим новые интерполяционные теоремы. От теорем, которые получены Овчинниковым в [21] их отличает то, что они относятся к пространствам, "близким к краям" пары. Техника работы [21] не позволяла этого сделать ранее. Основная идея доказательства состоит в том, что при некоторых условиях пространство Орлича совпадает не только с пространством Марцинкевича или Лоренца (что было известно уже давно, см. [36]), но и с пространствами конструкции Янсона (обобщенными пространствами Лоренца). Определение 3.1.1. Пусть p(t) - квазивогнутая функция. Функ называетсл функцией растяжения функции p{i). Нижним показа телем растяжения называется число Верхним показателем растяоюения соответственно называется число Известно ([16]), что для квазивогнутых функций 0 jp 6Р 1. Неравенства 0 "ур 6Р 1 эквивалентны тому, что функция p{t) является квазистепенной (см. стр.55), а это, как уже отмечалось, эквивалентно тому, что узлы образуют последовательность, эквивалентную геометрической прогрессии, если функция p{t) линейно ступенчатая с разреженными узлами. Напомним, что через {tn} мы всегда обозначаем последовательность четных узлов линейно ступенчатой функции р. 1) если верхний показатель растяжения функции pit) строго меньше 1 (6Р \), то 2) если нижний показатель растяжения функции p{t) строго больше 0 (7р 0J, то для всех 1 р, г оо. Доказательство. В Лемме 2.1.1 главы 2 доказано, что где JV_1(t) = p(l,i) = p(t). Вложение (filcoJitt-1)) С /oo(l/p(tn)) верно всегда, поскольку Найдем функции p(t), для которых верно обратное вложение. Тогда n c\p(tn)\, а ар = {p(tn)} - "максимальный" элемент в /оо(1/р(п)). Проверим, попадает ли он в пространство bjvft"1]. По определению {,п} Є (7оо5 hitn1)) — iV n1]? если найдется такое положительное число Л, что Рассмотрим функции p(t), у которых 5Р 1. Тогда найдутся такие числа а и 6, что а Г2П/ 2п-1 b для всех целых п (см., например, [28]). Здесь а может быть равным q из условия разреженности узлов, а может быть и а q. По свойствам линейно ступенчатой функции p(tn)/p(tn-i) = г2п/г2п-і, а следовательно, а p{tn)/p{tn-i) Ь.
Совпадение весовых пространств последовательностей Орлича с весовыми пространствами
Таким образом утверждение теоремы выполняется для рассмотренных пар. Напомним, что пространство (p(Xo,Xi)POjPl описывается J-методом. Тогда, как показано в теореме 3.7.2 из [29], сопряженный функтор ( р(Хо, Хі)орі) описывается К-методом на категории пар вида {XQ , X }. С другой стороны функтор ір (Хо , Xi ) описывается К-методом по Теореме 1.3.2. Таким образом, два К-монотонных функтора совпадают на паре { , (2fc). Каждая из этих пар KQ-полна. Отсюда, как показано выше, следует совпадение функторов (y(X0,Xi)oVQVi) и ч (Хо ,Хі ) для произвольных регулярных пар {XQ,X\}. Теорема доказана. Теорема 1.5.1. Для любой невырожденной функции ф и степенных функций ipo(s,t) = s1 0 0 и cpi(s,t) = sl eitei верно равенство
Таким образом, утверждение теоремы доказано для пар {LPo, } Функторы (р0(Х0,Хі)р0?Рі и ( i(Xo,Xi)p0,Pl описываются К- методом и функтор ф(Хо, Х\)рв Рв тоже описывается ЕГ-методом, поэтому по теореме 3.3.11 из [29] функтор ф((ро(Хо,Хі)Ро,Рі, (рі(Хо,Хі)РО}Рі)Рво Рі)і описывается К-методом. С другой стороны, функтор р(Хо, Xi)Po Pl также описывается К-методом. Следовательно, два функтора описываются К- методом и совпадают на KQ-полных парах {1 Ро, LPl}. Отсюда следует совпадение этих функторов на произвольных парах {Xo,Xi}. Теорема доказана.
Утверждение этой теоремы говорит о том, что пространство y?(Xo,Xi)PO)Pl является интерполяционным между пространствами А) (Хо, Х\)Ро,Р1 и (рі (Х0, Хх)Ро,Р1.
Напомним, что пространство о(Хо, X\)POtPl совпадает с пространством средних Лионса - Петре S(9o,po,pi,Xo,Xi), пространство (рі(Хо,Хі)РО)Рі совпадает с S(9i,po,pi,Xo, Х{), которые, в свою очередь, совпадают с пространствами Хд0#во и ХвиРв , где р$ 1 = (1 — 0)/Ро + 0/рі Теорема 1.5.2. Для любых интерполяционных функций ц?о и fi и любой банаховой пары {Хо, XI} Ро(Х0, Xi)Po,Pl + cpi(X0, Хг)Ро Р1 = (щ -f v?i)(Xo,Xi)p0)39l, (1.5.1) где Xo и X\ относительные пополнения XQ и X\ в сумме XQ -f- X\. Доказательство. Очевидно, что равенство (2.2.3) справедливо для любой пары вида {LPO(UQ) , LPl(Ui) } с произвольными весами. Для этих пар Хо = Хо и X] = Х\. Далее рассуждаем как и в предыдущей теореме. Функторы vo{XQ,Xi)Po,Pl, (рг(Х0, X1)Po Pl и ( /?о + ipi)(Xo, Xi)Po Pl описываются К-методом для любых ро и р\. Функтор суммы пространств, очевидно, является К-монотонным, следовательно, по теореме 3.3.11 из [29] функтор щ{Хо, Xi)Po,Pl + (pi(Xo,Xi)POtPl тоже описывается К-методом. При этом (сро + (pijiXoiX poM и (ро(Х0, Xi)Po,Pl + (/?i(Xo,Xi)p0,Pl совпадают на KQ-полной паре вида {LPo(Uo), LPl(Ui)}. Следовательно, они совпадают на всех банаховых парах. Теорема доказана.
В этом параграфе теорема двойственности и теоремы о реитерации применяются для описания интерполяционных орбит орбит произвольных элементов относительно нормированных идеалов Неймана-Шаттена, действующих из одной гильбертовой пары в другую. Полученное описание орбит оказалось полезным для доказательства более содержательных теорем вложения для пространств р(Хо, Xi)POtPl.
Через {іїо,-Ні} и {Go,Gi} будем обозначать банаховы пары, где Но, Hi, Go, G\ гильбертовы пространства, и называть их гильбертовыми парами. Без существенного ограничения общности можно предполагать, что наши гильбертовы пары регулярны, то есть пересечение Но П Hi плотно в .Но и в Щ и Go П Gi плотно в Go и в Gi.
Если р со, через &Р(Н — G) как обычно обозначается множество линейных операторов, действующих из гильбертова пространства Н в гильбертово пространство G таких, что tr(T T)p/2 со, где tr - след оператора в пространстве Н. В данной работе мы через &оо{Н — G) будем обозначать пространство всех ограниченных линейных операторов, действующих из Н в G. Нас будут интересовать операторы Г, действующие из гильбертовой пары {Но, Hi} в гильбертову пару {Go,Gi} такие, что Г Є бРо(#о - G0) ПвРі(Яі - Gi).
