Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Вариант теоремы Гротендика и сильная факторизация операторов на подпространствах аналитических функций в решетках 26
1.1 Определения и уточнение рассматриваемых вопросов 26
1.2 Вариант неравенства Гротендика для оператора, действующего из подпространства аналитических функций в решетку 30
1.3 Оператор, действующий из подпространства аналитических функций пространства L(dtdn) в пространство, удовлетворяющее условию ограниченной аппроксимации 33
1.4 Вариант неравенства Гротендика для оператора, действующего из подпространства аналитических функций в факторпрострапство 36
1.5 Вариант теоремы В для оператора, заданного на подпространтве в решетке 44
1.6 Следствия из теоремы 3 и теорема о котипе для факторпространства Х/ХА 46
1.7 Сильная факторизация 50
Глава 2. Интерполяция в пространствах, связанных с двойными сингулярными интегралами 56
2.1 Определения и известные результаты 56
2.2 Формулировки теорем 60
2.3 Доказательство теоремы 1 для левой части шкалы 62
2.4 Доказательство теоремы 1 для правой части шкалы 65
2.5 Доказательство теоремы 2 70
2.6 Набор результатов о встречавшихся в доказательствах операторах 77
Литература 80
- Вариант неравенства Гротендика для оператора, действующего из подпространства аналитических функций в решетку
- Вариант неравенства Гротендика для оператора, действующего из подпространства аналитических функций в факторпрострапство
- Следствия из теоремы 3 и теорема о котипе для факторпространства Х/ХА
- Доказательство теоремы 1 для левой части шкалы
Введение к работе
Актуальность темы
Найденное Ж. Бургейном в 1981 г. доказательство аналога теоремы Гротендика для диск-алгебры дало толчок целой серии исследований пространств аналитических функций и операторов в них. Методы, разработанные для этих исследований, оказались применимы и к другим задачам. В частности, с их помощью удалось хорошо понять интерполяционные свойства пространств типа Харди. Несмотря на 25-летнюю историю, в этой тематике имеются нерешенные актуальные задачи.
Цель работы
Перенос на пространства типа Харди варианта теоремы Гротендика, гласящего, что всякий линейный непрерывный оператор из банаховой решетки X в банахову решетку Y естественным образом индуцирует оператор, действующий из Х(2) в Y(2).
Доказательство варианта теоремы о сильной факторизации операторов для пространств типа Харди.
Выяснение наличия котипа 2 у факторпространства Х/Ха, где X решетка измеримых функций на окружности (подчиненная минимальным условиям), а Ха ~ соответствующее пространство типа Харди.
Исследование интерполяционных свойств функциональных пространств, связанных с некоторыми классическими операторами
одномерного анализа Фурье, интерпретируемыми как двойные сингулярные интегралы (в частности, пространств, имеющих отношение к квадратичной функциии Литлвуда-Пэли).
Методы исследования
В работе применялись методы комплексного и гармонического анализа и теории сингулярных интегральных опеаторов. Важную роль сыграли также общие результаты функционального анализа.
Научная новизна
В диссертации впервые доказан вариант теоремы Гротендика о непрерывности оператора на пространстве вида Z(2) в случае, когда Z - аналитическое подпространство в решетке измеримых функций на окружности. Впервые установлены аналоги теоремы о сильной факторизации для подпространств аналитических функций 2-выпуклой решетки измеримых функций. Доказано, что если X - 2-вогнутая решетка измеримых функций на окружности, то при минимальных условиях (нужных лишь для того, чтобы гарантировать невырожденность пространства Хд) факторпространство Х/Хл имеет котип 2. В такой общности этот результат получен впервые. Впервые доказана if-замкнутость в шкале пространств на окружности с интегральными метриками, состоящих из функций с большими лакунами в спектре, а также аналогичный результат в шкале пространств векторно-значных функций, связанной с квадратичным оператором Литлвуда-Пэли.
Практическая и теоретическая ценность работы
Работа носит теоретический характер. Результаты и методы диссертации могут быть применены в смежных задачах гармонического анализа, теории функциональных пространств и теории сингулярных интегралов.
Аппробация работы
Результаты диссертации неоднократно докладывались на совместном семинаре ПОМИ-СПбГУ по линейному и комплексному анализу, а также в Институте им. Шредингера (Австрия, Вена) в рамках программы по анализу под руководством П. Джонса и П. Мюллера весной 2005 г.
Публикации
Результаты диссертации опубликованы в трех статьях [26,27, 28].
Структура и обьем работы
Диссертация состоит из введения и двух глав, разбитых в общей сложности на 13 парагафов и занимает 83 страницы. Библиография содержит 28 наименований.
Содержание диссертации.
Начнем с обзора результатов, из которых выросла тема диссертации.
Теоремы о сильной факторизации операторов восходят к статье Е. М. Никишина [7]; затем они были переосмыслены Б. Морэ [21]. Приведем одну из формулировок. Пусть /і конечная мера, Я - гильбертово пространство, а Т : Я —> Ь1{ц) - линейный непрерывный оператор. Тогда после замены плотности его значения попадают в 1?. Иными словами, найдется такая функция а Є Ь1(ц), а > О, что
(J(\Tf\/a)2ad,?j
Полагая b = у/а, видим, что оператор Т факторизуется следующим образом:
Т:Н±Ь2М%1}(ц), (1)
где Sf = b~lTf, причем оператор S ограничен из Я в Ь2(ц), а Мь - оператор умножения на функцию Ь.
Имеются и другие формулировки, относящиеся к операторам со значениями в пространствах LP. Позднее был найден вариант теоремы о сильной факторизации, относящийся к банаховым решеткам (см. теорему В ниже).
Неравенство Гротендика в одной из эквивалентных формулировок гласит, что всякий непрерывный оператор из С {К) в Ls(v) при 1 < s < 2 является 2-абсолютно суммирующим. Оно тесно
связано с теоремами о сильной факторизации (см. [21, 24]). Для удобства читателя мы приведем сейчас начальные сведения о р-абсолютно суммирующих операторах, из которых (а именно, из теоремы Пича) нетрудно усмотреть, что факторизация (1) - это, по существу, двойственная форма приведенной выше формулировки неравенства Гротендика при s = 2.
Пусть X и Y - банаховы пространства, Т : X —> Y - линейный непрерывный оператор , 1 < р < со. Оператор Т называется р-абсолютно суммирующим, если
||F||
для любого конечного набора векторов {^} в I с константой С, не зависящей от этого набора.
Такие операторы характерезуются теоремой Пича. Пусть пространство X вложено в С(К) (в качестве К можно взять еденич-ный шар пространства X*, но такой выбор оптимален не всегда). Оператор Т : X —> Y является ^абсолютно суммирующим тогда и только тогда, когда на К найдется такая вероятностная мера /і, что
\\Тх\\р <СР [ \х\Чц, хеХ (3)
(при этом в (3) константа С - та же что и в (2)).
Неравенство (3) говорит о том, что фактически оператор Т оказывается заданным и непрерывным на замыкании пространства X в LP{(jl). При р = 2 отсюда вытекает, что Т факторизуется через гильбертово пространство. В силу неравенства Гротендика так обстоит
дело с любым оператором, действующим из С(К) в Ls, 1 < s < 2.
Подробнее о р-абсолютно суммирующих операторах см., например, [24]. Неравенство Гротепдика допускает много эквивалентных переформулировок, одна из них воспроизведена ниже в виде теоремы А. Любопытно, что теорема А бывает полезна при проверке условий, наложенных на операторы в теореме В, то есть в решеточном варианте теоремы о сильной факторизации.
Операторы на диск-алгебре. Под диск-алгеброй понимается подпространство С а непрерывных функций на еденичной окружности, натянутое на мнимые экспоненты егЫ, к > 0. Следующий вопрос привлекал внимание исследователей на протяжении 2-ой половины 70-х годов 20 века: всякий ли оператор Т : С а —» Ls, 1 < s < 2, является 2-абсолютно суммирующим? Иными словами, можно ли в теореме Гротепдика заменить пространство С(К) диск-алгеброй? Утвердительный ответ был получен в 1981 г. Бургейном, см. [11, 12]. Позже были найдены более простые доказательства, которые позволили перенести на диск-алгебру многочисленные утверждения, родственные теореме Гротепдика; см. [23, 3]. Было осознано, что применяемые методы интерполяционны по своей природе. Это привело к ясному пониманию интерполяционных явлений в пространствах Харди аналитических функций см. обзор [18], а также работы [4], [22], [17], [19], [13] и др.
Несмотря на обширные исследования, в теме "аналоги теоремы Гротепдика для диск-алгебры и в более общем контексте про-
странств аналитических функций" остались важные нерешенные вопросы. Неясно было, например, как должен выглядеть аналог сформулированной ниже теоремы А. Другой существенный вопрос - это вопрос о котипе 2 в факторпространстве X/Ха, упомянутый выше. В контексте интерполяции область применимости методов, выросших из работы над "теоремой Гротендика для диск-алгебры", тоже еще далеко не исчерпана.
Именно таким задачам и посвящена диссертация. В главе 1 получена новая информация на тему аналогов различных форм теоремы Гротендика для диск-алгебры, в том числе новые результаты о сильной факторизации для подпространств аналитических функций в решетках. Глава 2 посвящена не исследовавшейся ранее интерполяционной задаче для функций с ограничениями на спектр.
Итак, мы приступаем к непосредственному изложению результатов диссертации. Исходным пунктом для построений главы 1 являются две известные теоремы теории банаховых решеток (см. [20, 1.1.14], [20, l.d.ll]).
Теорема А. Пусть X и Y - две банаховы решетки и пусть Т : X —> У ограниченный линейный оператор. Тогда
1/2
1/2
Ei7^
Л=\
.t=i
Xj,
(4)
для любого набора векторов {ajj}"=1 из X. Иными словами, оператор Т действует из пространства Х(2) в пространство Y(2).
Здесь Kg - универсальная постоянная (константа Гротендика). Эта теорема, как уже упоминалось, является переформулировкой классического неравенства Гротендика (см. [24, III.F.14]).
Теорема В. Пусть X - банахова решетка, W uV - банаховы пространства и 1 < р < со. Пусть даны два линейных оператора Т : V —» X и S : X —» W, причем первый из них р-выпуклый, а второй р-вогнутый. Тогда композиция ST факторизуется через пространство LP{ji) для некоторой меры ц: ST = S\T\, где Т\ Є C(V,LP(n)) и Si Є (1^(//),^). При этом можно обеспечить оценки \\Ti\\ < M^P\T) и \\Si\\ < Mb){S).
В теореме А ясен смысл выражения () \уі\2) (и более общих выражений вида <р{уі,...,уп), гДе Ч> ~ непрерывная функция, однородная степени 1), если мы имеем дело с решетками функций. Этому выражению можно также придать смысл в случае абстрактных решеток (см. [20]). Определения р-вьшуклых и р-вогнутых операторов приводятся ниже на стр. 13, а также с большими подробностями в 1.1 (Определения 5 и 6).
Если мы будем рассматривать оператор Т, заданный на замкнутом подпространстве решетки X, то величины, входящие в неравенство (4), также имеют смысл. Поэтому можно поставить вопрос о справедливости аналогичного утверждения (возможно, с другой константой в неравенстве) в такой ситуации. Простые примеры показывают, что, вообще говоря, оно неверно. Так будет, например, для пространства 1, вложенного в решетку L(T) = X таким об-
разом, чтобы стандартные базисные векторы перешли в лакунарные экспоненты {z2*}. В качестве оператора Т можно взять тождественный оператор на пространстве і1, а в качестве Y - тоже пространство І1, но со своей собственной решеточной структурой.
Мы будем рассматривать решетки измеримых функций и их аналитические подпространства. Будем пытаться обобщать упомянутые теоремы на эти обьекты. Приведем определения, необходимые для понимания результатов.
Пусть (E,z/) - пространство с сг-конечной мерой. Банаховой решеткой измеримых функций на Е называется любое банахово пространство (классов mod 0) измеримых функций на Е с поточечными линейными операциями, подчиненное условию
feX, \g\<\f\ и д измерима =ї д Є X и ||C\\f\\.
Обычно считают, что С = 1 (этого всегда можно добиться перенормировкой).
Основным пространством с мерой для нас будет произведение (Т, т) х (l,fi), где Т окружность {\z\ = 1}, т нормированная мера Лебега на Т, а (Г2, /л) - еще одно пространство с с-конечной мерой. В частности (если мера // дискретна), в круг нашего рассмотрения входят решетки последовательностей измеримых функций на окружности, важные во многих вопросах анализа. Если X решетка измеримых функций на Т х Q, то ее аналитическое подпространство состоит из функции х Є X, для которых функция x(-,uj) принадлежит (граничному) классу Смирнова N+ при п.в. и Є 1
(подробнее см. в [16, б]). В применении к решетке X = LP(T) это определение дает класс Харди Нр. Вообще же здесь возможны вырождения, и, чтобы их избежать, на решетку X накладывается следующее (в общем, необременительное) условие:
если х Є Х,х j^O, то существует функция у
(*)
из X такая, что у > \х\, \\у\\ < С\\х\\ и
bg |2/(-,а,)| Є ОД
ДЛЯ П.В. 1х> Є О,-
Это условие влечет, в частности, что носитель решетки X есть все пространство Т х Q. Напомним определение свойства Фату в решетке X: дп -> д п.в., \\дп\\х < С => д Є X и \\д\\х < С. Основные результаты первой главы содержатся в теоремах 1-5.
Теорема 1. Пусть Ха - подпростанство аналитических функций в решетке измеримых функций X со свойством Фату, Y -произвольная банахова решетка и пусть Т : Ха —» Y - ограниченный линейный оператор. Тогда
1/2
1/2
Е 1^-
1С Iх*
,г'=1
для любого набора векторов {хі}?=і из Ха- Иными словами, оператор Т действует из пространства Ха{2) в пространство Y(2).
Эта теорема, как видно, является непосредственным обобщением теоремы А на операторы, заданные на подпространстве Ха- Можно
рассмотреть операторы, действующие не в решетку, а в факторпро-странство У/Уд. В этом случае оказывается также верна следующая теорема.
Теорема 2. Пусть Ха,Уа ~ подпространства аналитических функций для двух решеток X и У измеримых функций. Предположим, что обе решетки имеют свойство Фату и Т : Хл —> Y/Ya - ограниченный линейный оператор. Для любого конечного набора векторов Х{ Є Ха, і = 1, .., п, положим у = (г/г)"=і> где уі = Т{хі). Тогда
M\y{P)Iya{P) ^ const||T||
где постоянная не зависит от {xi}f=l и от п. Иными словами, оператор Т действует из ХА(2) в Y{2)/YA{f) = (Y/YA)(f).
Таким образом, и в этом случае, при должном определении пространства (У/Уд)(^2) (см. в формулировке теоремы), мы получаем обобщение теоремы А. Теорема 1 будет использована впоследствии при доказательстве теоремы о котипе факторпространства Х/Ха-
Для вопросов, связанных с обобщениями теоремы В, нам понадобятся определения /^-выпуклости и ;>-вогнутости.
Пусть 1 < р < со. Линейный оператор Т : V —> X (V банахово пространство) называется р-выпуклым, если
ll(DW)1/P|l<
М{ЕіМр)1/р (при р < со) или || suPi |7^||| < AfsupJi/iH (при р = со) для любого конечного набора {vi} векторов в V. Наименьшая постоянная М обозначается через
Линейный оператор S, отображающий некоторое подпространство Y решетки X в банахово пространство W, называется р-вогнутым, если (. ||&Гг||р)1/р < М||(^ ЫрУ/р\\ (пРи Р < ) или supi \\Sxi\\ < М\\ зир^ \хі\\\ (при р = со) для любого набора {#;} векторов из Y. Наименьшая постоянная М обозначается через M^(S).
Решетка X называется р-выпуклой (р-вогнутой), если таков тождественный оператор idx- Мы пишем в этом случае М^\Х) — M^(idx) и Af(p)(X) = M(p)(idx). Если решетка X р-выпукла, на ней можно ввести эквивалентную монотонную норму ЦІ ЦІ так, чтобы М<р)(Х, НИЦ) = 1 и НИЦ < У < М^(Х)|||.||| (см. [20]). Таким образом, без потери общности можно рассматривать лишь р-выпуклые решетки с единичной константой р-выпуклости, в этом случае пространство Хр = {у : \у\1'р Є X} (для простоты мы считаем, что X решетка функций; см. [20] но поводу общего случая) с нормой \\у\\хр = ИЫ^Нх будет банаховой решеткой.
Появляющееся в теореме В пространство LP{n) состоит из функций, мало связанных с элементами решетки X. Эта связь становится более тесной, если предположить, что сама решетка X р-выпукла, V = X, а оператор Т - тождественный. В этом случае возможен вариант теоремы В, в котором оператор S задан не на всей решетке X.
Теорема 3. Пусть 1 < р < со, X - р-выпуклая банахова решетка, Y замкнутое подпространство в X, aW - банахово пространство. Если S : Y —» W - р-вогиутый оператор, то суще-
ствует такой линейный непрерывный неотрицательный функци-онал / на X?, что ||/|| < УМЬ\Х) и \\Sy\\ < М^ ()(/(1^))1^ при всех у eY.
В отличие от теоремы В отсюда не выводится (кроме тривиальных случаев Y = X или р — 2), вообще говоря, что оператор S фак-торизуется через пространство LP. Тем не менее, будет показано, что это так, если 1 < р < оо, X - решетка измеримых функций,
Y = Ха, а на оператор S наложены небольшие дополнительные
условия.
Из теоремы 3 выводится следствие о факторизации через гильбертово пространство в случае р — 2.
Следствие. Всякий 2-вогиутый оператор на подпространстве
Y 2-выпуклой решетки X продолжается на X; норма продол
эюения не превосходит величины 2M^(S)P'М^>(X). Та же кон
станта оценивает сверху наилучшую факторизацию продолэюения
через гильбертово пространство.
Полезно сравнить это следствие с классической теоремой Ква-пеня. Определения банаховых пространств типа или котипа 2 воспроизведены ниже, в 1.1.
Теорема Квапеня. Пусть Е и F - банаховы пространства, соответственно, типа 2 и котипа 2, Е\ - замкнутое подпространство в Е, a U : Е\ —* F - линейный непрерывный оператор.
Тогда U продолоісается до оператора на Е, факторизующегося через гильбертово пространство.
Предположим, что Е и F здесь - банаховы решетки. Тогда условие котипа 2 для F трансформируется в 2-вогнутость (см. [20, l.f.16]). С другой стороны, бывают 2-выпуклые решетки, не обладающие типом 2 (например L00; можно еще упомянуть что-нибудь вроде Ь2() или L(2) и т.п.). В этом аспекте в случае решеток область применения следствия 1 несколько шире, чем у теоремы Квапеня. В другом аспекте она несколько уже, ибо в следствии 1 оператор S заранее предполагается 2-вогнутым, а в теореме Квапеня никаких условий на оператор U не накладывается.
Используя приведенное выше следствие, можно получить такую теорему.
Теорема 4. ЕслиХ -2-вогнутая решетка измеримых функций па пространстве (Т х Q, т х fi), удовлетворяющая условию (*); то пространство Х/Хд имеет котип 2.
Когда это утверждение нетривиально и когда ново? Утверждение теоремы очевидно, если X* - пространство типа 2 (в этом случае сопряженное пространство (Х/Хд)* является подпространством X*, следовательно также имеет тип 2, отсюда следует, что (Х/Хд)** имеет котип 2), а также если пространство Хл дополняемо в X. Самый знаменитый из известных ранее нетривиальных случаев, - это пространство X = Ll(T) (меры /л нет, или, эквивалентным образом, она сводится к точечной нагрузке). Тогда Хл = Я1; то, что
пространство L1 /Н1 имеет котип 2, было доказано Бургейном в начале 80-х годов 20 века как следствие его общих результатов об аналоге теоремы Гротепдика для диск-алгебры (см. [11, 12], а также монографию [24] и обзоры [3, 15]). Информация, содержащаяся в указанных источниках, позволяла получить утверждение теоремы 4, например, для пространства X — 1^(1,1/(^)), 1 < р < 2 (мера [L теперь произвольна). Однако, насколько можно судить, оно ново для пространств вроде 1^(1,17(11 (а), и)), 1 < р < 2. Во всех указанных случаях тривиальные соображения, упомянутые в начале абзаца, неприменимы.
Нетривиальны также и экзотические примеры следующего сорта. Пусть, для определенности, мы работаем с окружностью Т с мерой Лебега. Разобьем Т в объединение двух непересекающихся множеств А и В, тА > 0, тВ > 0, и положим
x = {f:J \f\dm+(/ \№)1/я < }-
А В
Эта решетка 2-вогнута при 1 < q < 2. Не вдаваясь в детали, заметим, что при q > 1 эта решетка не является ВМО-регулярной. По поводу ВМО-регулярности см. [16, б, 15]. Это условие тесно связано с интерполяцией пространств типа Хд, а через нее - с аналогом теоремы Гротепдика для диск-алгебры и родственными результатами. Мы видим, однако, что к наличию котипа 2 в пространстве Х/Ха оно отношения не имеет.
Наконец, последняя теорема и ее следствие дают утверждение о факторизации р-вогнутого оператора, заданного на аналитическом
подпространстве р-выпуклой решетки.
Теорема 5. Пусть 1 <р < со и X — р-выпуклая решетка измеримых функций, в которой выполенено свойство Фату. Пусть W - банахово пространство, а оператор Т : Хд —» W удовлетворяет следующему условию:
\\Тх\\ < Ит||Тжп||, если х,хпєХа, \%п\ < N и хп—>х п.в.
Тогда, если оператор Т р-вогнутп, то найдется такая функция <р из (XP)', что \\<р\\ < 2Р и
\\Тх\\ < М{р\Х)М(р){Т) f \x\pifdmdn
Vxfi
1/р
, х Є ХА.
Следствие. В теореме 5 функцию р можно выбрать так, что оператор Т продолжается до оператора Т,
Т:Х ^ Lp(ipdmdfi) -^ LpA{pdmdfi) -^ W,
где Q некоторый проектор, і - естественное вложение, a S оператор, непрерывность которого выраэюается неравенством из заключения теоремы 5. Оценка ||2Р может не сохраниться, но можно добиться неравенства ||<>|| < (1 + є)2р.
В частности, мы видим, что оператор Т факторизуется через LP.
Переходим к описанию результатов главы 2. Как уже отмечалось, все доказательства аналогов теоремы Гротендика для диск-алгебры интерполяционны по своей сути: они требуют уметь интерполировать в шкале пространств Харди в сложных ситуациях. Например, достаточно знать, как интерполируются весовые пространства Харди в случае более или менее произвольного веса. Остановимся чуть подробнее на этом. Весовые пространства L%,(T) удобно ввести формулой Ци{Т) = {/ : fw Є LP(Т)}, 0 < р < со (от веса требуется лишь суммируемость логарифма). Когда при переходе к пространствам Харди Я(Т) сохраняются интерполяционные формулы, стандартные для пространств L^(T)? Выяснилось, что вместо конкретных интерполяционных формул естественно проверять некое фундоменталыюе свойство - так называемую /^-замкнутость. Дадим общее определение.
Определение. Подпара (Fq,Fi) интерполяционной пары (Eq,E\) называется К-замкнутой, если для всякого элемента / Є Fq + F\ и всякого его разложения / = eo + ei, где ео Є Eq, е\ Є Е\, существует другое разложение / = /о + /і, где /0 Є F0, /і Є F\ и \\/{\\ < С\\е{\\, і = 0,1 (константа С не зависит от участвующих векторов).
В приведенной выше ситуации оказывается, что пара (Яо, Я^1) /С-замкнута в паре (-).) тогда и только тогда, когда \og(wo/wi) Є В МО; см. [17]. Этот результат получен методами комплексного анализа. Однако в случае, когда Wo = w\ = 1, возможен чисто вещественный подход с далеко идущими обобщениями.
Это обстоятельство было обнаружено Бургейном [13] и развито в статье [4] (см. также обзор [18]).
Пусть Р - ортогональный проектор пространства L2(T) на #2(Т): Р/ = X)n>o f(n)zn {проектор Рисса). Хорошо известно, что проектор Р ограничен в LS(T) при 1 < s < со и неограничен ни в L\T), ни в L(T). Однако формула Hs = {/ Є Ls : Р/ Є Ls} верна при всяком 5, 5 Є [1, со]. Далее, из непрерывности проектора Р /^-замкнутость пары (НРо,НРі) в (I/0, LP1) вытекает тривиальным образом, если 1 < po,pi < со, так что она интересна, лишь если ро или р\ принимает крайние значения 1, со. Мы будем интересоваться более общей ситуацией того же рода. Именно, рассмотрим шкалу пространств Хр = {/ Є Ьр(ц) : Qf — /}. Здесь /і -это некоторая мера, оператор Q действует во всех пространствах 1/(/1) при 1 < р < со и является в каждом из них проектором. Если выражению Qf можно придать смысл и при / Є Ll(fi) или / Є Ь(ц) (разумеется, в интересных случаях функция Qf, вообще говоря, покидает указанные "крайние" пространства — например, она может быть распределением), то пространство Хр определено и при р — 1,оо, и можно задаться вопросом о том, до какой степени шкала Хр, включая одну или обе концевые точки, наследует свойства шкалы LP.
Нас будет интересовать, можно ли интерполировать между пространствами Хр по тем же формулам, каковые имеют место для пространств LP. Как мы уже отмечали, для этого мы будем изучать
вопрос о if-замкнутости. Для того, чтобы интерполяционные формулы вещественного метода наследовались шкалой Хр, нужно еще соотношение Хр = {Х\ +Х00)ПЬР, 1 < р < со, однако в конкретных примерах оно обычно выполнено.
Итак, мы хотим выяснить, при каких условиях пара (ХРо,ХР1) if-замкнута в (If0, LP1), если ро < pi и хотя бы один из показателей принимает крайнее значение 1 или со. Упомянутый выше "чисто вещественный подход", найденный в [13] и развитый в [4, 18] показывает, что это так, если Q — сингулярный интегральный оператор типа Кальдерона-Зигмунда (CZO). Мы отсылаем в 2.1 за точным определением оператора типа Кальдерона-Зигмунда. Заметим, что встречавшийся ранее проектор Р есть CZO.
По причинам, которые скоро станут ясны, нам нужно работать с операторами типа Кальдерона-Зигмунда в пространствах LP (A, ц) векторнозначных функций (А - банахово пространство). Если проектор Q в пространстве LP(A) является оператором Кальдерона-Зигмунда то, как известно, он автоматически действует из Lr(A) в себя при 1 < г < р и из Ll(A) в Ll,0(A), так что определение
Xr,Q = Xr = {fe П{А) :Qf = f]
имеет смысл при 1 < г < р. Если Q* — тоже оператор Кальдерона-Зигмунда, то Q действует в Lr(A) при р < г < со, и для таких г пространство Xr>g тоже можно определить приведенной выше формулой. Естественно положить в этом случае
Это не вполне соответствует предварительному обсуждению, приведенному выше. Однако включение / Є Х^д эквивалентно равенству Qf = /, если функция / лежит в Ь(А)ПЬ3(А) для некоторого S < со.
В приведенных условиях справедлива теорема о if-замкнутости (см. [18] для скалярного случая; векторный случай аналогичен).
Теорема. I. Если Q — оператор Калъдеропа-Зигмунда, то пара (Хп,ХГ2) К-замкнута в (Lri(A), U2{A)) при 1 < r\ < r
Если Q* — оператор Кальдерона-Зигмупда, то пара (ХГ1,ХГ2) К-замкнутости в (Lri(A), U2(A)) прир < г\ < т^ < оо.
Если Q и Q* операторы Калъдеропа-Зигмунда, то пара (ХГ1,ХГ2) К-замкнута в (Ьп(А), 1/2{А)) при 1 < г\ < Г2 < оо.
Таким образом, вопрос о шкале пространств, определяемых с помощью операторов Кальдерона-Зигмупда, оказывается решенным. Мы же хотим рассмотреть примеры операторов, которые не являются CZO. Модельным примером такого оператора является проектор Q, определенный формулой
Q/= f(k,i)zi4.
k,l>0
Здесь функция / задана на двумерном торе Т2 с мерой Лебега, f(k, I) - ее коэфициенты Фурье. Норма у такого оператора в //(Т2) растет как р2 (при р —» оо), а следовательно, он не является оператором Кальдерона-Зигмупда. Пространства Хр, построенные по
Q, — это просто классы Харди ЯР(Т2). Следующая теорема была доказана в [4].
Теорема о двумерном торе. Каковы бы ни были показатели 0 < pi < Р2 < оо, пара (ЯР1(Т2),#Р2(Т2)) К-замкнута в (^(Т2),№(Т2)).
При ограничении Р2 < оо теорема была известна и до работы [4], причем для торов любой размерности; см. [25]. До сих пор неясно, можно ли допустить бесконечные показатели даже в случае размерности 3.
Оператор Q является двойным синугулярным интегральным оператором (тензорным произведение двух проекторов Рисса, действующих по разным переменным): Q = РР, где g = Y^n>o9(n)z71 Для функций д на окружности. В доказательстве теоремы о двумерном торе это соображение послужило руководством к действию. Однако рассуждение из [4], позволившее охватить случай рг = со для двумерного тора, использует довольно специфические соображения из комплексного анализа и поэтому не очень приспособлено для обобщений. Говоря очень приблизительно, это рассуждение можно надеяться перенести лишь на такие двойные сингулярные интегралы, в которых один из образующих операторов— это нечто вроде проектора Рисса.
Наша цель - показать, что некоторые важные операторы из одномерного анализа Фурье (на прямой и окружности) можно интерпретировать как"двойные" сингулярные интегралы именно такого типа.
В этой ситуации нет разделяющихся переменных (как было в случае тора), однако ограниченность интересующих нас операторов в LP при р Є (1,оо) тоже сводится к ограниченности композиции пары CZO и некоторых простых преобразований. Мы рассмотрим два примера. Первый - это квадратичная функция Харди-Литлвуда. Для случая окружности (мы фиксируем его для определенности) она выглядит так:
1/2
2 2\
Е /w*B
-2*+1<п<-2*
Е /w*f
2к-Кп<2к+1~1
+
"НЕ"
fc>0
Второй - это проектор Q, заданный формулой
= Е Е А»)*"
fc>0 22fc-l
Все,
(Легко выписать аналоги операторов сг и Q для прямой I сказанное ниже, переносится на случай прямой.)
Для формулировки результатов нам понадобятся некоторые обозначения. Для функции / на окружности положим
f(n)zn, к>1-
Mkf =
2k~1-l
f(n)zn, к<0.
2-к<п<2~к+1
( V/2
Так как af = I \Mkf\2) , мы можем вместо квадратичной функции а рассматривать линейное отображение / i-> {Au./}jteZ, значениями которого являются /2-значные функции. Далее, в пространстве If(l2) = {{fj}jez : (Е |//)1/2 Є ЩТ)} выделим подиро-
странства Ур = {{fj}jez Msf0 = fs при s ^ 0} и yPfA = {{fj}jez Є Ур ' /о Є Нр). (Таким образом, fj = 0 при j < 0, если {/_,} Є ^>,л-
Теорема 6. При любых п,Г2 Є [1,оо], г\ < ті, пары {УГі,Уг2) и (Угил,Уг2,л) К-замкнуты в (І7'(/2), 27»(Z2)).
Отметим, что в совместной работе [26] из теоремы 6 были выведены теоремы об исправлении, подобные классической теореме Меньшова, но связанные с квадратичной функцией а (эти результаты не вошли в диссертацию).
Наконец, положим Zp = {/ Є LP{T) : / = Q/}, где 1 < p < со.
Теорема 7. При любых 1 < р\ < Р2 < оо пера (ZPl,ZP2) if-замкнута в (#"(Т), №(Т)).
Автор глубоко благодарен своему научному руководителю чл.-корр. РАН С. В. Кнслякову за постановку задач, всестороннюю поддержку и помощь в исследованиях и постоянное внимание к работе.
Вариант неравенства Гротендика для оператора, действующего из подпространства аналитических функций в решетку
В частности, мы видим, что оператор Т факторизуется через LP. Переходим к описанию результатов главы 2. Как уже отмечалось, все доказательства аналогов теоремы Гротендика для диск-алгебры интерполяционны по своей сути: они требуют уметь интерполировать в шкале пространств Харди в сложных ситуациях. Например, достаточно знать, как интерполируются весовые пространства Харди в случае более или менее произвольного веса. Остановимся чуть подробнее на этом. Весовые пространства L%,(T) удобно ввести формулой Ци{Т) = {/ : fw Є LP(Т)}, 0 р со (от веса требуется лишь суммируемость логарифма). Когда при переходе к пространствам Харди Я(Т) сохраняются интерполяционные формулы, стандартные для пространств L (T)? Выяснилось, что вместо конкретных интерполяционных формул естественно проверять некое фундоменталыюе свойство - так называемую / -замкнутость. Дадим общее определение.
Определение. Подпара (FQ,FI) интерполяционной пары (EQ,E\) называется К-замкнутой, если для всякого элемента / Є FQ + F\ и всякого его разложения / = eo + ei, где ео Є EQ, е\ Є Е\, существует другое разложение / = /о + /і, где /0 Є F0, /і Є F\ и \\/{\\ С\\е{\\, і = 0,1 (константа С не зависит от участвующих векторов).
В приведенной выше ситуации оказывается, что пара (Яо, Я 1) /С-замкнута в паре (-).) тогда и только тогда, когда \og(wo/wi) Є В МО; см. [17]. Этот результат получен методами комплексного анализа. Однако в случае, когда Wo = w\ = 1, возможен чисто вещественный подход с далеко идущими обобщениями. Это обстоятельство было обнаружено Бургейном [13] и развито в статье [4] (см. также обзор [18]).
Пусть Р - ортогональный проектор пространства L2(T) на #2(Т): Р/ = X)n o f(n)zn {проектор Рисса). Хорошо известно, что проектор Р ограничен в LS(T) при 1 s со и неограничен ни в L\T), ни в L(T). Однако формула Hs = {/ Є Ls : Р/ Є Ls} верна при всяком 5, 5 Є [1, со]. Далее, из непрерывности проектора Р / -замкнутость пары (НРо,НРі) в (I/0, LP1) вытекает тривиальным образом, если 1 po,pi со, так что она интересна, лишь если ро или р\ принимает крайние значения 1, со. Мы будем интересоваться более общей ситуацией того же рода. Именно, рассмотрим шкалу пространств Хр = {/ Є Ьр(ц) : Qf — /}. Здесь /І -это некоторая мера, оператор Q действует во всех пространствах 1/(/1) при 1 р со и является в каждом из них проектором. Если выражению Qf можно придать смысл и при / Є Ll(fi) или / Є Ь(ц) (разумеется, в интересных случаях функция Qf, вообще говоря, покидает указанные "крайние" пространства — например, она может быть распределением), то пространство Хр определено и при р — 1,оо, и можно задаться вопросом о том, до какой степени шкала Хр, включая одну или обе концевые точки, наследует свойства шкалы LP.
Нас будет интересовать, можно ли интерполировать между пространствами Хр по тем же формулам, каковые имеют место для пространств LP. Как мы уже отмечали, для этого мы будем изучать вопрос о if-замкнутости. Для того, чтобы интерполяционные формулы вещественного метода наследовались шкалой Хр, нужно еще соотношение Хр = {Х\ +Х00)ПЬР, 1 р со, однако в конкретных примерах оно обычно выполнено.
Итак, мы хотим выяснить, при каких условиях пара (ХРо,ХР1) if-замкнута в (If0, LP1), если ро pi и хотя бы один из показателей принимает крайнее значение 1 или со. Упомянутый выше "чисто вещественный подход", найденный в [13] и развитый в [4, 18] показывает, что это так, если Q — сингулярный интегральный оператор типа Кальдерона-Зигмунда (CZO). Мы отсылаем в 2.1 за точным определением оператора типа Кальдерона-Зигмунда. Заметим, что встречавшийся ранее проектор Р есть CZO.
По причинам, которые скоро станут ясны, нам нужно работать с операторами типа Кальдерона-Зигмунда в пространствах LP (A, ц) векторнозначных функций (А - банахово пространство). Если проектор Q в пространстве LP(A) является оператором Кальдерона-Зигмунда то, как известно, он автоматически действует из Lr(A) в себя при 1 г р и из Ll(A) в Ll,0(A), так что определение Xr,Q = Xr = {fe П{А) :Qf = f] имеет смысл при 1 г р. Если Q — тоже оператор Кальдерона-Зигмунда, то Q действует в Lr(A) при р г со, и для таких г пространство Xr g тоже можно определить приведенной выше формулой. Естественно положить в этом случае Это не вполне соответствует предварительному обсуждению, приведенному выше. Однако включение / Є Х д эквивалентно равенству Qf = /, если функция / лежит в Ь(А)ПЬ3(А) для некоторого S со.
Вариант неравенства Гротендика для оператора, действующего из подпространства аналитических функций в факторпрострапство
Итак, будем рассматривать оператор Т : L (dtdfi) і-» Ll(dv). Мы докажем, что такой оператор на самом деле 2-абсолютно суммирующий. (Этого достаточно, поскольку тогда Т продолжается до оператора из L{dtdji) в Ьг(и), и можно сослаться на цитированный во введении результат для операторов в решетках.) Мы сформулируем и приведем схему доказательства более общего утверждения в виде отдельной леммы в следующем параграфе.
Оператор, действующий из подпространства аналитических функций пространства L(dtdfi) в пространство, удовлетворяющее условию ограниченной аппроксимации Лемма 1. Пусть оператор Т действует из пространства L(dtdn) в пространство Y. Если пространство Y удовлстворяет условию ограниченной аппроксимации и имеет котип 2, то оператор Т является 2-асболютно суммирующим.
Напомним что банахово пространство X удовлетворяет условию ограниченной аппроксимации, если существует константа С такая, что для любого набора векторов х\,...,хп Є X и любого числа є 0 существует оператор S : X — X такой, что его образ SX является конечномерным пространством и выполнены неравенства 5 - е, = 1,...,пи5 а
Утверждение леммы, по существу, известно в более сильной форме. Здесь мы приведем только схему доказательства. Надо проверить, что для всяких векторов Х\,...,хп Є L (dtdpi) выполняется неравенство где С зависит лишь от постоянной, характеризующей котип 2 в Y, и от постоянной из условия ограниченной аппроксимации. Это последнее условие позволяет свести дело к случаю, когда пространство Y конечномерно. Действительно, фиксируем набор векторов х\,...,хп. Используя условие ограниченной аппроксимации, мы можем по заданному числу є 0 найти оператор U : Y — У с нормой, не превосходящей константы, такой что его образ конечномерен и \\UTxi — 7 є, і = 1,... ,п. Таким образом, оператор V = UT действует в конечномерное пространство. Если мы докажем неравенство (1) для оператора V, то легко видеть, что мы докажем утверждение теоремы. Пространство L (dtdfi,) сопряжено с пространством обозначает проективное тензорное произведение). Согласно одному из вариантов принципа локальной рефлексивности (см., например, [8, Е.3.2]), для любого конечного набора векторов х\,...,хп (dtdfi) и любого є О можно найти такой оператор S : Y — Z, что 5 (1 + є)Т п S (xi) =Т(ХІ), і = 1,...,п. Это позволяет считать без потери общности, что сам оператор Т в (1) сопряжен с некоторым оператором S : Y т.е. представляется в виде в. В пространстве {Ll/HQ)L1{H) ПЛОТНЫ линейные комбинации элементов f h, где функция / взята из пространства L1 /Н$, а функция h из пространства L1 ). Тогда, имея в виду неравен м ство (1), можно считатать, что Fj = J2 fm 8 hm, где элементы fm и hm принадлежат пространствам L1 /НІ и L1 (//) соответственно. Далее, так как в пространстве L1 плотны тригонометрические полиномы, а в пространстве Ь1(ц) плотны ступенчатые функции, то мы можем ограничиться случаем, когда Fj = иц g) д , где Ukj fc=i классы в L1/HQ, порожденные тригонометрическими полиномами степени не выше некоторого большого числа М, а ду - ступенчатые функции в Ь1{ц), все измеримые относительно некоторой конечной (j-алгебры Л. Обозначим через г оператор свертки с ядром Валле-Пуссена с номером 1000М, а через 7Г - оператор усреднения относительно сг-алгебры Л. Тогда, очевидно, Т((т g тт)(х)) = Т(х) для всякой функции х из L(dtdii,), откуда видно, что достаточно проверить аналог неравенства (1) для операторов Т : Сд(Т; ) — Y с константой С, зависящей лишь от постоянной, характеризующей котип 2 в У (в частности, не зависящей от К). Напомним, что С л это диск-алгебра.
Следствия из теоремы 3 и теорема о котипе для факторпространства Х/ХА
Утверждение про оператор S стандартно получается двукратным применением леммы 1. Прежде всего, заметим, что пространство L1(w)/LlA(w) изоморфно Ll{dtdix)/LA(dtdii). Это следует из того, что \ogw(-,uS) Є Ll(T) для н.в. ш. А следовательно, определена внешняя функция W, взятая по первой переменной для веса w: W — exp(log«; + iH(log«;)) (здесь Н - оператор гармонического сопряжения, действующий но первой переменной), и оператор умножения на эту функцию индуцирует изоморфизм пространств Ll(dtdn)/L\{dtdii) и L1(w)/LA(w). Теперь воспользуемся тем, что пространство Ll(dtd[i)/LA(dtdfi), а значит и Ll(w)/LA(w), имеет котип 2 (это - следствие аналога теоремы Гротендика для диск-алгебры, доказанного Бургейном; напомним, что в 1.6 будет доказано более общее утверждение). Ниже мы покажем, что это пространство обладает свойством ограниченной аппроксимации. По лемме 1 оператор S является 2-абсолютно суммирующим и, значит, факторизуется следующим образом:
Отсюда видно, что оператор А действует из пространства LA в гильбертово пространство. Гильбертово пространство, очевидно, имеет котип 2 и оно имеет свойство ограниченной аппроксимации. Поэтому мы можем применить еще раз лемму 1 к оператору А . Следовательно, оператор А поднимается в Ll{w): где ф - фактор-отображение. Таким образом, S факторизуется через некий оператор S из L(i ) в Ll{w): LA(v) - L(v) — Ll(w) А L1(w)/L1A(w), где і - каноническое вложение, а 7г - каноническое факторотображение. К оператору S применима теорема про решетки, с которой начинается глава, что и решает дело.
Пространство L1(dtdfi)/ L dtdfi) действительно обладает свойством ограниченной аппроксимации. Для того, чтобы это понять, нам нужно найти соответствующий конечномерный оператор (см. определение свойства ограниченной аппроксимации). Возьмем оператор Фк 8 т, где Ф/г - это оператор свертки с ядром Фейера, а г - оператор усреднения, как в предыдущем параграфе. Такой оператор переводит пространство L\(dtdfi) в себя, а значит он индуцирует некий оператор Ф& т на пространстве Ll(dtd/j,)/LA(dtdfi). А именно, значение индуцированного оператора (Ф . Е т)(ж) равно факторклассу, содержащему элемент (Ф& 8 т)(х), где вектор х принадлежит факторклассу х. По заданному числу є 0 и конечному набору элементов из пространства Ll(dtdfi)/LA(dtdfi) можно подобрать индекс к и оператор усреднения г такие, что будет выполнено нужное условие из свойства ограниченной аппроксимации. Норма определенного нами оператора ограничена константой, не зависящей от индекса к и выбора оператора т.
Утверждения, аналогичные теоремам 1 и 2, можно сформулировать для оператора, действующего из пространства Х/Хд в пространства Y или Y/YA- ОНИ легко сводятся к уже рассмотренным двум случаям.
В этом параграфе мы докажем вспомогательную теорему, которая по существу является обобщением теоремы В, сформулированной во введении. Теорема 3. Пусть 1 р оо, X - р-выпуклая банахова решетка, Y - замкнутое подпространство в X, aW - банахово пространство. Если S : Y — W - р-вогнутый оператор, то существует такой линейный непрерывный неотрицательный функци-опал f на X?, что / 2П&\Х) и \\Sy\\ М ХДЫ»))1/? при всех у Є У. Доказательство. По существу, будет с небольшими изменениями повторено стандартное доказательство теоремы В. Итак, пусть X - р-выпуклая банахова решетка, для простоты состоящая из функций. Мы можем и будем считать, что М(р){Х) = 1. Пусть Y - замкнутое подпространство в X, W - некоторое банахово пространство, a S : Y — W - р-вогнутый оператор. Рассмотрим банахову решетку Хр и выделим в ней два выпуклых множества F\ и F2: а F2 - это выпуклая оболочка множества таких г из Хр, что существует вектор у Є Y, удовлетворяющий неравенствам \у\р z и НЗД M{P)(S). Множество F2 непусто: достаточно выбрать у Є Y так, чтобы \\Sy\\ M(p)(S), а тогда z = \у\р Є F2. Докажем, что F\ П F2 = 0. Действительно, если х Є 2, то ж = /?i i + ... + /?nzn, где Pi О, X) А = 1 и существуют векторы уі Є Y такие, что Z{ \yi\p, а % M{P)(S).
Доказательство теоремы 1 для левой части шкалы
Как и в доказательстве теоремы 1, в теореме 2 достаточно отдельно рассмотреть случаи pi со и р\ 1 (см. замечание о "склейке"). Первый из них прост. Действительно, мы должны надлежащим образом исправить разложение / = д+h, где спектр функции / расположен в объединении интервалов Д = [22к — 1,22к+1 — 1), k 0,a,gnh — произвольные измеримые функции, д Є L1, h Є IP2. Из / -замкнутости в шкале Нр вытекает, что мы можем сразу считать, что д Є Я1, he IP2. Далее, пусть щ = o +i+ +i (см- Рис-1; ф есть тождественная единица на Д- и тождественный ноль на Ij ири j ф к). Так как оператор х ь- {х /?&} есть CZO (см. 2.6), отображающий, в частности, Я1 в Я:(/2), мы переходим к равенствам которые в силу леммы 1 можно пере-делать в равенства f Рк = 9к + hk, где supp t, supp/i С h и И(Ы2)1/21 С\\д\\ь (EI 2)1/2IU C\\h\\pr Осталось вое-пользоваться тем, что оператор {г/к} -» J2k Ук Vfc ограниченно действует из Я1 (/2) в Я1 и из НР2{12) в №.
Теперь проверим, что пара (Zp,Zoo) if-замкнута в (1 (1),1/ (1)) при 1 р оо. Воспользуемся леммой о двойственности и сведем дело к аннуляторам, которые состоят из функций со спектром в Z \ UkLo Ik — Л. Итак, пусть / — функция со спектром в Л, представленная в виде / = д + h, где д Є 1 (1), h Z/(T) ( = p ). Требуется изменить это разложение так, чтобы спектры слагаемых тоже оказались в Л, а нормы возросли несущественно. Пусть 0і = , /if = Г].
Основные вычисления будут делаться с квадратичными функциями и будут очень похожи на то, что делалось в предыдущем параграфе. Рассмотрим функции 6 и т к (см. рис. 1; сумма их преобразований Фурье равна 1 на интервале Ik, на котором у / нет спектра). Применим к д процедуру Кальдерона-Зигмунда с параметром А = т/ 1- (то же значение, которое фиксировалось в 2.4): 9 = 9о+ді, І9о\ СХ и т. д. Вспомнив обозначение Мк, введенное в 2.1, запишем следующие равенства для частей функций д\ и до + h, "подлежащих обнулению":
Ясно, что функция в правой части формулы (7) не имеет спектра правее точки 22к г — 1, а функция в правой части формулы (8) левее точки 22к — 1. Новое разложение функции /, которое мы ищем, будет иметь вид / = [#i — 7] + [ 7о + + 7І ГДС поправку 7 предстоит выбрать. Это будет сделано в два этапа. Сначала мы подберем специальным образом антианалитическую функцию Ф и аналитическую функцию Ф и положим Заметим, что на отрезке Д преобразования Фурье функций (рк и фк совпадают с преобразованиями Фурье соответственно функций 0 д\ и Т2к 9\, см. (7), (8). Действительно, функция Ф аналитическая, функция (?2к / не имеет спектра левее промежутка Д, следовательно, произведение Ф (0 /) тоже не имеет там спектра и т. д. Функции Ф и Ф будут выбраны так, что Отложив ненадолго доказательство оценки (9) (а также выбор функций Ф и Ф), опишем следующий шаг построения. Рассмотрим свертки ipk = (pk (а2к + т) и Фк = Фк (о"2 + Т2к) и заметим, что среди интервалов Ij имеется только один, на котором их преобразования Фурье могут быть отличны от нуля, а именно Ik- Далее, Если можно придать смысл функциям р = Ylk o Рк и Ф — Y k 0 Фк, из этих равенств и (6) видно, что функции ді — ((р+ф) и gQ+h+ip+ф не имеют спектра на интервале Ij, т. е. в качестве кандидата в поправки 7 можно взять р + ф. Функции (р н ф действительно корректно определены и удовлетворяют неравенствам \\(р\\\, \\ф\\\ С", t, V С ц (так что слагаемые д\ - 7 и до + h + 7 будут удовлетворять не только спектральному, но и нужному метрическому условию: напомним, что !1 7i II1 j WdoWt Ц-, см- 2.4). Это вытекает из неравенств (9) и сведений, приведенных в 2.6. Оператор Тз, определенный в том параграфе с помощью последовательности функций (рп = а2п + т2п, является оператором Кальдерона-Зигмунда. Отсюда вытекают I}-оценки. Для функции ф Ь1-оценки получаются из сведений, относящихся к пространству Н1. Для функции р применить теорему напрямую нельзя, так как умножение на антианалитическую функцию не дает функцию из Я1. Однако здесь мы поступим следующим образом:
