Введение к работе
Настоящая работа посвящена вопросам интерполяции билинейных операторов в симметричных пространствах.
Рождение теории интерполяции линейных операторов связывают, прежде всего, с теоремами М. Рисса (1926 г.) и Ж. Мар-пинкевича (1939 г.). В конце 50-х начале 60-х годов в работах Ж.Л. Лионса, Б. Гальярдо, А.П. Кальдерона, С.Г. Крейна появились общие интерполяционные теоремы для семейств абстрактных гильбертовых и банаховых пространств, по сути, утверждения, устанавливающие непрерывность оператора из одного пространства в другое на основании информации о его поведении в "крайних" парах пространств. В последующие годы эта теория интенсивно развивалась и нашла глубокие, важные применения в теории функциональных пространств, уравнениях с частными производными, теории рядов Фурье, теории приближений. В 80-е годы были изданы монографии, посвященные изложению основ теории интерполяции - "Интерполяция линейных операторов" С.Г. Крейна, Ю.И. Петушша, Е.М. Семёнова и "Интерполяционные пространства. Введение" Й. Берга, ft. Лёфстрёма, а также кнпга X. Трибеля "Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы", в которой наиболее полно отражен прикладной аспект этой теории.
Среди разделов математики, испытывающих наиболее сильное влияние интерполяционных методов, с полным правом можно назвать теорию симметричных пространств (с.п.). Одно из направлений изучения с.п. - решение задач описания поведения в них как конкретных операторов (Гильберта, Харди-Лнттльвуда, перехода к сопряженной функции), так и их классов. Однако, в последнее время возникла необходимость рассмотрения ряда новых операторов, в частности, оператора тензорного произведения. Интерес к исследованию этого оператора объясняется, прежде всего, тем, что он естественным образом возішкаег при решении многих задач теории симметричных пространств, связанных с их
геометрическими свойствами (при изучении ортогональных рядов в СП-, структуры подпространств с.п.). Нахождешпо условий непрерыввГОСТН оператора тензорного произведения в конкретных классах с.п.: в пространствах Лоренца, Марцинкевича, Орлича и некоторых других, посвящены работы М. Мильмана, Р. О'Нейла, СВ. Асташкпна. С нашей точки зрения, представляет интерес получение подобных результатов для пространств Лоренца-Зигмунда ЬРіаіЧ , являющихся естественным обобщением двух известных классов LPiq и L(\oga L).
С исследованием оператора тензорного произведения связано введение понятия мультипликатора с.п. относительно тензорного произведения.
К первым утверждениям теории интерполяции билинейных операторов в с.п. относятся теоремы А.П. Кальдерона (1964 г.) и Ж.Л. Лионса, Я. Петре (1964 г.) для комплексного н вещественного методов интерполяции соответственно. Результаты второй из этих работ были в дальнейшем развиты в исследованиях ряда авторов, среди которых отметим М. Зафрана и Л. Малигранда. Из публикаций последнего времени назовем статьи С. Янсона и СВ. Асташкина. В первой уточняется результат Лионса-Петре, во второй - исследуется связь функторов вещественного метода, интерполирующих билинейные операторы, со сверткой в параметрах этого метода. Однако многие возникающие в этом направлении задачи еще остаются нерешенными.
Цель работы
Настоящая работа посвящена исследованию поведения в симметричных пространствах как конкретного билинейного оператора тензорного произведения (нахождение условий непрерывности этого оператора в пространствах Лоренца-Зигмунда, описание мультипликаторов пространств Орлича, Лоренца, Лоренца-Зигмунда), так и классов билинейных операторов (доказательство билинейной интерполяционной теоремы для функтора Петре-Густавссона и изучение ее приложений к функциональным пространствам и пространствам последовательностей).
Методы исследования
В работе используются методы теории банаховых пространств, теории интерполяции линейных операторов.
Научная новизна
Все основные результаты диссертации являются новыми. Изучено тензорное произведение в пространствах Лоренца-Зигмунда Lp,a,q ' получены необходимые и достаточные условия непрерывности оператора тензорного произведения в Lp>aiq, а также описаны мультипликаторы этих пространств.
Доказана билинейная интерполяционная теорема для функтора Петре-Густавссона п представлены ее приложения к функциональным пространствам и пространствам последовательностей.
Практическая и теоретическая ценность
Диссертационная работа носит теоретический характер. Ее результаты представляют интерес для исследований в рамках одного из важных направлений функционального анализа - теории интерполяции линейных операторов. Они могут быть использованы в процессе подготовки спецкурсов и спецсеминаров для университетов и пединститутов.
Апробация работы
Основные результаты диссертации опубликованы в статьях : "Об одном типе мультипликаторов в симметричных пространствах" в межвузовском сборнике "Мера и интеграл" (Самара,1995 г.), "Интерполяция билинейных операторов в пространствах Мар-цинкевича" в соавторстве с СВ. Асташкиным в журнале "Математические заметки" (1996 г.,т.60, вып.4), "Оператор тензорного произведения в пространствах Лоренца-Зтмунда" в сборнике "Вестник Самарского государственного университета" (Са-мара,1996 г.). Основные положения диссертационной работы докладывались на заседании Воронежской зимней математической
школы "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж, янпарь 1997 г.) и международных семинарах 'Дифференциальные уравнения и их приложения" (Самара, июнь 1995 г., июнь 1996 г.).
В статье "Интерполяция билинейных операторов в пространствах Марщшкевича" постановка основной задачи,а также ргізра-ботка методов ее решения принадлежит С.В.Асташкину. Ю.Е.Ким доказала общую теорему об интерполяции билинейных операторов методом Петре-Густавссона. В тезисах докладов международного семинара "Дифференциальные уравнения и irx приложения" (Самара, июнь 1995 г.) сообщение "Билинейные интерполяционные теоремы для весовых /ео-пространств" посвящено приложениям теоремы для функтора Петре, доказанной СВ. Асташкиным. Билинейные интерполяционные теоремы для весовых со- II 1-00-пространств, для пространств Марщшкевича получены Ю.Е.Ким. Вклад соавторов в этих работах равноценен.
Объем и структура работы
Диссертация состоит из введения и четырех глав. Библиография содержит 44 наименования.
