Содержание к диссертации
Введение
1 Сжатые состоянияиихсвойства 14
1.1 Канонические преобразования 14
1.2 Композиция сжатий 18
1.3 Средние значения квадратурных компонент и их ковариационные матрицы для сжатых состояний 20
1.4 Нормальный символ оператора сжатия 21
1.5 Приведенная форма сжатого состояния 27
1.6 Нормировка, координатное и импульсное представление сжатых состояний 30
1.7 Скалярное произведение сжатых состояний 35
1.8 Базис сжатых состояний 40
1.9 Диагонализация многомодовых сжатий с помощью факторизации Такаги 40
2 Нормальная факторизация операторов эволюции квадратичных гамильтониановиеёследствия 43
2.1 Канонические преобразования 44
2.2 Коммутационные соотношения матриц канонических преобразований и формула факторизации унитарного оператора 46
2.3 Матричное уравнение Риккати и канонические преобразования . 49
2.4 Обратные канонические преобразования 54
2.5 Скалярный член st и проблема индекса 56
2.6 Алгебраическое построение скалярного члена st 62
2.7 Скалярное произведение и нормальные символы композиции обобщенных сжатых состояний 66
2.8 Жорданова форма сжатия 70
2.9 Ковариационные матрицы квадратурных компонент, неравенство Шредингера-Робертсона и теорема Вилльямсона 72
2.10 Класс точно решаемых задач 76
3 Приложениякфизическим моделям 79
3.1 Квантово-оптические взаимодействия 79
3.1.1 Трехмодовое фотонное состояние в нелинейном оптическом кристалле 80
3.1.2 Генерация четырех-частотного сцепленного состояния . 83
Заключение 91
Приложение 92
Приложение A: Гауссовы состояния 92
Литература
- Средние значения квадратурных компонент и их ковариационные матрицы для сжатых состояний
- Скалярное произведение сжатых состояний
- Матричное уравнение Риккати и канонические преобразования
- Трехмодовое фотонное состояние в нелинейном оптическом кристалле
Средние значения квадратурных компонент и их ковариационные матрицы для сжатых состояний
Квазиклассические распределения (представление когерентных состояний (P-распределение), характеристические функции и функции Вигнера) являются, пожалуй, основными методами описания гауссовых (квадратичных) систем в современной квантовой оптике и квантовой теории информации [25,26,65,104]. В работе [109] Е. Вигнер (E. Wigner) впервые ввел квазиклассическое распределение, позволившее построить квантовую аналогию функций распределений классической теории вероятностей, и получившее в дальнейшем название функции Вигнера. Функция Вигнера была получена позднее Мойалем (J.E. Moyal) из характеристических функций [92]. Стоит отметить, что функция Вигнера не является функцией распределения в полном смысле этого слова, поскольку может быть отрицательной. В работах Г.С. Агарвала (G.S. Agarwal) и Е. Вольфа (E. Wolf) [30,31] были построены многомодовые обобщения квазиклассических представлений, их свойства для некоторых операторов плотности и нормально упорядоченные корреляционные функции операторов поля. Основываясь на представлении Вейля, исследование математических свойств характеристических функций и их вида в случае гауссовых состояний изложено в монографии А.С. Холево [26, Глава V]. Важную роль в методе характеристических функций играет ковариационная матрица системы и ее симплектический спектр, который позволяет вычислить энтропию фон Неймана системы и проанализировать ее сцепленность [34,68]. Тем не менее, вопрос о приведении оператора эволюции к нормально упорядоченной форме оказывается за рамками метода характеристических функций.
Метод канонических преобразований, рассматривавшийся К. Фридрихсом [61] и получивший продолжение в монографии Ф.А. Березина [6], с нашей точки зрения, является наиболее естественным инструментом для описания эволюции системы (1). Несмотря на то, что в монографии [6] рассматривались бесконечномерные системы, полученные результаты могут быть использованы в конечномерном случае. Метод позволяет обойти трудности связанные с поиском нормальной факторизации оператора эволюции, обладает устойчивостью при численных оценках, позволяет переходить к различным представлениям многомерных сжатых состояний, вычислять их композиции и скалярные произ ведения, а также средние значения и дисперсии явным образом исключительно через матрицы канонических преобразований. Цель диссертационной работы
Основной целью диссертационной работы является описание динамики и анализа свойств многомодовых сжатых состояний с использованием в качестве математического аппарата метода канонических преобразований для конечного числа взаимодействующих бозе-частиц как между собой, так и с внешними полями, а также анализ многомодовых связанных квантово-оптических параметрических взаимодействий: построение явного вида волновой функции в представление взаимодействия, ковариационных матриц, моментов и их энтропийных характеристик.
Основные результаты работы формулируются в терминах матриц канонических преобразований (2.2) состоят в многомерном обобщении формулы Киржница Боголюбова (Леммы 2, 4), вычислении скалярного произведения сжатых состояний (Теорема 4) и матриц ковариации наблюдаемых в сжатых состояниях.
На основе метода канонических преобразований в приближении поля классической накачки проведен анализ нелинейных оптических параметрических процессов, происходящих в апериодическом нелинейном фотонном кристалле. Построен явный вид волновых функций в случае генерации трех и четырех мод в кристалле.
Вычислены энтропийные и информационные характеристики оптических параметрических процессов и на их основе проведен анализ сцепленности (перепутанности) генерируемых в процессах многомодовых состояний.
Теоретическая и практическая значимость работы
Полученные в диссертации результаты могут быть использованы в различных практических приложениях таких, как описание динамики многомодовых оптических параметрических процессов, построения нормально упорядоченной формы оператора, построения ортонормированного базиса сжатых состояний.
Структура и объем работы
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы. Объем диссертации 103 страницы, включая 5 рисунков. Библиография содержит 117 наименований, в том числе 5 авторских публикаций.
Содержание работы
Во Введении дан обзор литературы и история вопросов, рассматриваемых в диссертационной работе, обоснована актуальность выбранной темы, сформулированы цели диссертационной работы, перечислены основные защищаемые положения, приведены ее структура и краткое содержание.
В первой главе рассматривается теория сжатых состояний, описываемых гамильтонианом (1) при отсутствие операторов числа частиц. Представлены явное аналитическое выражение для матриц канонических преобразований, нормально упорядоченная форма оператора сжатия, скалярное произведение сжатых состояний, представлена процедура построения базиса сжатых состояний. Описана процедура диагонализации многомодовых сжатий, основанная на факторизации Такаги симметричных матриц.
В главе 2 представлены некоторые обобщения результатов из первой главы, учитывающие вклад оператора числа частиц и линейной части по операторам рождения-уничтожения. Рассмотрена нормально упорядоченная форма унитарного оператора эволюции и введено понятие индекса нормальной факторизации сжатий, аналогичного индекса Маслова.
Глава 3 посвящена физическим применениям математического аппарата, изложенного в первых двух главах. Рассмотрены два примера связанных оптических параметрических взаимодействия. Первое взаимодействие включает в себя два процесса преобразования частоты вниз и один процесс смешения частот, протекающие в классическом поле двух волн накачки, которое может быть рассмотрено в качестве источника трех-частотного сцепленного (перепутанного) состояния. Для этого процесса построен явный вид волновой функции и приведены некоторые статистические характеристики.
Второе взаимодействие, состоит из одного процесса преобразования частоты вниз и одного процесса смешения частот и генерирует четырех-частотное сцепленное состояние. Вычислена волновая функция процесса, в предположении того, что система в начальный момент времени находилась в вакуумном состоянии. С помощью вычисления жордановой формы получены матрицы канонических преобразований, из которых следует выражение для ковариационных матриц, на основе которых вычисляются энтропийные и информационные характеристики взаимодействия, построены соответствующие графики.
Скалярное произведение сжатых состояний
В настоящей главе рассматривается многомерное обобщение формулы нормально упорядоченной факторизации унитарного оператора многомодовой системы, которая позволяет связать различные представления сжатых состояний, вычислять частичный след, средние значения наблюдаемых и их дисперсии. Основные результаты, как и в предыдущей главе, получены на основе метода канонических преобразований, представляющего удобный математический аппарат, обладающий устойчивостью при численных оценках.
Метод канонических преобразований позволяет свести построение нормальной факторизации к решению линейной системы ОДУ, фактически, к нахож rt І іВ А \ дению функций блочных матриц вида е = ехр - t, где А — симмет А гВ ричная, а В — эрмитова матрицы, задающие оператор многомодового сжатия. Преимущество этого подхода состоит в том, что при его использовании не требуется решать какие-либо задачи, кроме задач линейной алгебры.
Трудности, возникающие при прямом выводе уравнений для матричных коэффициентов, определяющих матричные элементы билинейной формы нормальной факторизации, связаны с необходимостью вычисления производных от экспонент неизвестных некоммутирующих операторов и решения нелинейного интегрального уравнения. Проблему можно обойти, выразив коэффициенты квадратичных и билинейных форм нормальной факторизации через матрицы канонических преобразований Ф ,Ф . Преимущество этого подхода состоит в том, что он позволяет вывести простое уравнение для St, решение которого в ряде важных случаев явно выражается через Ф , Ф и А, В.
В качестве модельного гамильтониана системы будет рассматриваться об щий вид квадратичного по операторам рождения и уничтожения самосопряженного оператора где Л является симметричной размера (n х п) матрицей, черта означает комплексное сопряжение, В эрмитова (п х п) матрица, а = (а{,... ,а}г)т и а = (di,... ,ап)т столбцы из операторов рождения и уничтожения соответственно со стандартными бозонными коммутационными соотношениями
В предыдущей главе коммутационные соотношения для матриц канонических преобразований (1.13) были выведены исходя из их определения для гамильтонианов без линейной части по операторам рождения и уничтожения. Аналогичную процедуру можно провести и в случае гамильтониана (2.1), в результате получим следующие канонические коммутационные соотношения (ККС):
В формулировке Леммы 4 остается неизвестной нормировочная функция Sf. Для поиска явного вида этой функции рассмотрим два подхода: первый — прямой, построенный на основе дифференциальных уравнений, и второй — алгебраический, основанный на коммутационных соотношениях. 2.3 Матричное уравнение Риккати и канонические преобразования
Получим систему уравнений для Rt, pt, Ct независимым способом, позволяющим проверить формулы (2.12) и вычислить остающийся неопределенным показатель экспоненты St в (2.9). Для этого понадобится вычисление производной операторозначной экспоненты ес. Для операторов Ct некоммутирующих со своей производной ([Ct, Ct] ф 0) Р. Фейнман [60] использовал формулу, связывающую Ct с правой производной С этого семейства (дальнейшее обсуждение проблемы можно найти в [18,93,110]):
Теорема 6. Пусть А = АТ - симметричная и В = В - эрмитова матрицы. Необходимым условием факторизации (2.9) являются следующие дифференциальные и интегральные уравнения для Rt, правой производной Cf матриц eCt, pt, а также интегральное выражение для нормировочной функции St:
Будем искать матрицы Ct и симметричные матрицы Rt, pt дифференцируя оператор эволюции системы (2.1) и приравнивая матричные элементы квадратичных и билинейных форм от операторов рождения и уничтожения:
Подставляя в правую часть (2.19) коммутационные соотношения (2.20) и собирая коэффициенты билинейных форм операторов рождения-уничтожения одного и того же типа (см. столбец в правой части формул (2.21)), получим систему уравнений относительно матриц
Покажем, что соответствующие матрицы в (2.9), выраженные через матрицы канонических преобразований Леммы 4, являются решениями системы уравнений (2.22).
Теорема доказана. Следует отметить, что по сравнению с подходом, предложенным в предыдущем параграфе из (2.22) вытекает явное выражение (2.17) для свободного члена St нормального упорядоченного разложения Ut .
Несмотря на внешнее сходство Теоремы 6 и Леммы 2 Главы 1 между ними существует одно важное отличие: в Лемме 2 оператор Ct коммутирует со своей производной, а в Теореме 6 это условие не обязательно выполнено, что потребовало использовать в доказательстве формулы Фейнмана для правой производной. По-видимому, именно математические трудности с вычислением производных семейств некоммутирующих операторов не позволили включить оператор типа числа частиц в определение сжатого состояния авторам [53,83,84,89,96,105] в 80е-90е годы.
Матричное уравнение Риккати и канонические преобразования
В этом разделе вводятся квадратурные компоненты, определяющиеся через операторы рождения и уничтожения следующим образом: х = j=- и р = q—i=-, и необходимые для анализа энтропийных и информационных характеристик многомодовой системы. Вычислим динамику их средних значений, а также ковариационной матрицы в течении времени t, предполагая, что система в начальный момент времени находилась в вакуумном состоянии. Из определения канонических преобразований (2.2) и равенства а\0) = 0 следуют выражения для средних значений квадратур:
В Главе 1 были получены явные выражения для матриц Фг,Фг (см. формулу (1.5)) в случае отсутствия в гамильтониане (2.1) операторов числа частиц и линейной части по операторам рождения-уничтожения. В общем случае это довольно сложная вычислительная задача, поскольку приходится искать матричную экспоненту от матрицы G (2.4). Но в некоторых случаях ее удается вычислить аналитически. О нетривиальном примере идет речь в настоящем параграфе.
Рассмотрим гамильтониан (2.1) такой, что матрица G имеет обратную и, таким образом, все матрицы в (2.45) могут быть записаны явным образом в терминах G и элементов спектрального разложения эрмитовой матрицы D = АА — В2.
Если же спектр АА вырожден (например, в случае А = АА = I) и В ф , то (2.84) очевидным образом не выполнено. С другой стороны, соотношение (2.84) справедливо для матриц А таких, что вырожденность спектра матрицы А А больше либо равно вырожденности спектра , поскольку в этом случае полиномиальное представление В = f{AA) остется корректно определенным и удовлетворяет равенству В А = АВ (см. [70, параграф. 4.4]).
Связь между сингулярным разложением эрмитовой матрицы А А = U \D\2U (матрица U унитарна, D произвольная диагональная матрица), и матрицей А следует из модифицированного разложения Такаги (см. [66]): А = U DU. Для выполнения (2.83) предположим, что В = U AU с той же унитарной матрицей U и произвольной диагональной матрицей Л с действительными коэффициентами. Таким образом А симметричная, а В эрмитова матрицы, АА и В коммутируют, оператор АА определяет А с точностью до фазового множителя диагональной матрицы D.
В качестве примера нетривиальных матриц, для которых может быть проведена процедура, описанная в текущем параграфе, приведем следующие матрицы А, В: В настоящей главе рассматриваются задачи квантовой оптики, допускающие точные решения с помощью методов вторичного квантования и связанные с оптическими параметрическими процессами. На базе метода канонических преобразований, описанного в предыдущих главах, строится явный вектор состояния в представлении взаимодействия квантовых оптических взаимодействий. Их статистические, энтропийные и информационные характеристики, которые дают возможность проанализировать свойства сцепленности (перепутанности), генерируемых в процессах, состояний.
Квантово-оптические взаимодействия
Предметом данного параграфа является применение подхода, основанного на канонических преобразованиях, для нахождения вектора состояния и оператора плотности многомодового электромагнитного поля, формируемого в связанных параметрических процессах. Такого рода процессы реализуется в задачах нелинейной и квантовой оптики (см., например, [16,24,44,59,85]) и являются источниками сцепленных (перепутанных) многофотонных состояний, которые рассматриваются в квантовой информации в связи с квантовыми телепортаци-онными сетями, сверхплотным квантовым кодированием и квантовым распределением ключей [62,113,115].
Вычисление вектора состояния в фоковском представлении, как правило, связанно с разложением оператора эволюции на более простые составляющие (в частности, приведение к нормально упорядоченному виду). Наиболее общим и традиционным подходом к этой проблеме является метод Вея-Нормана [106, 107]. К настоящему времени этот подход применен в квантовой оптике для анализа обычных, несвязанных параметрических процессов (см., например, [104]), для двух связанных процессов, включающих процесс параметрического преобразования частоты вниз и процесс генерации суммарной частоты [24,44,59] (результат работы [24] воспроизведен в [52]). Получение выражения для вектора состояния многомодового запутанного яркого поля для трех и большего числа связанных параметрических процессов сталкивается со значительными трудностями при использовании метода Вея-Нормана, что было указанно во Введении настоящей диссертации.
Задачи с большим числом взаимодействующих мод, в частности, возникают при реализации процессов спонтанного параметрического рассеяния в поле лазерной накачки сверхкороткой длительности [32] и в поле пространственно-модулированной накачки [47]. Как будет показано далее, эту проблему можно обойти, используя канонические преобразования.
Трехмодовое фотонное состояние в нелинейном оптическом кристалле
Рассмотрим следующие связанные нелинейно оптические взаимодействия [44]: частоты накачки, а частоты x i, x 2, з генерируемые в процессе частоты. В (3.1) первый и третий процессы являются невырожденными параметрическими преобразованиями частоты вниз, а второй процесс представляет смешение частот.
В [44] было показано, что этот процесс может быть осуществлен в нелинейном апериодическом фотонном кристалле в следующих предположениях: во-первых, взаимодействующие волны являются плоскими и монохроматическими, распространяющимися вдоль оси кристалла z; во-вторых, предполагается, что интенсивность волн накачек Ap(z), A2P(z) постоянными и классическими. Эти предположения приводят к тому, что гамильтониан взаимодействия рассматриваемой системы, может быть записан в следующем виде: операторы рождения и уничтожения фотонов с частотами Mj; А,2 – нелинейные коэффициенты связи соответствующие процессам преобразования частоты вниз, 7 – нелинейный коэффициент связи соответствующий преобразованию частоты вверх.
Гамильтониан взаимодействия (3.2) является частным случаем оператора (2.1) без линейной части по операторам рождения-уничтожения со следующими ненулевыми элементами матриц А и В: Используя систему аналитических вычислений, находим матрицы канонических преобразований
Результат полностью согласуется с работой [44], основанной на методе Вея-Нормана распутывания операторной экспоненты, требующего решения системы нелинейных дифференциальных в отличие от метода канонических преобразований. Как будет показано в следующем пункте, это преимущество значительно облегчает поиск эволюции системы в случае увеличения количества параметрических процессов.
Генерация четырех-частотного сцепленного состояния Рассмотрим квантово-оптический параметрический процесс, описываемый гамильтонианом взаимодействия
Взаимодействие (3.8), как и процесс из предыдущего пункта, может быть реализовано в апериодических нелинейных фотонных кристаллах (АНФК) [43] в поле одной волны накачки в квазисинхронном режиме и в газах [81] в поле двух разночастотных накачек. В АНФК речь идет о процессах где ujp частота накачки (накачка предполагается классической). Взаимодействия (3.9) включают один параметрический процесс преобразования частоты вниз и два процесса преобразования частоты вверх.
Гамильтониан взаимодействия (3.8) является частным случаем гамильтониана (2.1) со следующими ненулевыми элементами матриц А, В:
Однако, несмотря на то, что матрицы А и В являются вырожденными, существует обратная матрица С-1, которая определяет канонические преобразования (2.5), что значительно упрощает анализ рассматриваемого процесса.
С помощью системы аналитических вычислений находим матричную экспо ненту, определяющую динамику системы
Нас будут интересовать только действительные значения инкрементов, поскольку в этом случае реализуется режим экспоненциального роста взаимодействующих волн, а значит осуществляется эффективный энергетический обмен между взаимодействующими волнами. Действительно, интенсивности полей пропорциональны числу фотонов в моде Ik ос (щ) = (ak(ik) , тогда согласно формуле (2.67):
В случае действительных инкрементов функции Mij(t) растут экспоненциально за счет sinh (Г ) и cosh (Г ) (см. формулу (3.11)) и, следовательно, обеспечивают экспоненциальный рост интенсивностей; иначе гиперболические функции в формулах (3.11) заменяются на соответствующие тригонометрические, и экспоненциальный рост интенсивностей не реализуется. Таким образом, эффективный энергетический обмен возможен при выполнении следующего неравенства
Здесь стоит отметить следующее равенство (п\) + (пз) = (п2) + (щ). То есть оператор N = пі + щ — П2 — щ является интегралом движения системы, что неудивительно исходя из свойств симметрии eGt (см. (3.10)) и самого вида процессов (3.9).
Величина i— 2 уменьшает инкременты связанных параметрических процессов. Следовательно, для максимальной интенсивности генерируемых полей следует рассматривать случай i = 2 = , С [О, 2 ] (последнее следует из неравенства (3.13)).
Перейдем теперь к анализу энтропийных и информационных характеристик процесса. Как было показано в параграфе 2.9, для этого необходимо вычислить симплектические спектры ковариационных матриц.
