Содержание к диссертации
Введение
1. Интегральные формулы и монодромия для алгебраических функций 16
1.1 Формулировка результатов Меллина и Биркелана 16
1.2 Решение уравнения (1.1) с помощью интеграла по отрезку 18
1.3 Монодромия решений триномиального уравнения 23
1.4 Амеба и коамеба дискриминанта алгебраического уравнения 27
1.5 О геометрии разрезов Е+иЕ 32
1.6 Геометрия разрезов Е+ и Е для тетраномиального уравнения 41
1.7 Решение уравнения (1.3) с помощью интеграла по контуру 52
2. О решении уравнения пятой степени методом Эрмита-Кронекера 58
2.1 Функция /(г) и общая схема решения уравнения пятой степени 58
2.2 Фундаментальная область для функции ф(т) = * /ІТ/? 60
2.3 О выборе знаков в выражении для/12 (г) 69
2.4 Решение модулярного уравнения с помощью гипергеометрических рядов 71
2.5 Представление решения уравнения (2.1) в виде сужения гипергеометрических рядов на сдвинутую однопараметри-ческую 75
Заключение 81
Список литературы 82
- Решение уравнения (1.1) с помощью интеграла по отрезку
- Амеба и коамеба дискриминанта алгебраического уравнения
- Решение модулярного уравнения с помощью гипергеометрических рядов
- Представление решения уравнения (2.1) в виде сужения гипергеометрических рядов на сдвинутую однопараметри-ческую
Введение к работе
Актуальность темы
Вплоть до середины 19 века поиски аналитического решения алгебраического уравнения степени выше чем четыре, были безрезультатными. Лишь в 1858 г. Эрмит [12], [13] и Кронекер [16], независимо друг от друга нашли решение для уравнения пятой степени. А именно, им удалось выразить решение уравнения
у5 + Ъу = а
(к которому сводится любое уравнение пятой степени с помощью преобразования Чирнгауза [20] (см. также [4], [5])) через модулярную эллиптическую функцию. Следующий успех в проблеме поиска решений уравнений высших степеней был достигнут в 20 веке. Так, в 1921 г. Мел-лином [17] было найдено решение для алгебраического уравнения
zn + xn-izn~l + ... + xxz - 1 = 0 (1)
с помощью гипергеометрических рядов переменных жі,..., жп_і, а также посредством кратных интегралов Меллина-Барнса. Отметим, что общее алгебраическое уравнение n-ой степени записывается в виде
XnZn + . . . + X\Z + Хо = 0.
Решением этого уравнения является многозначная алгебраическая функция z(x): обладающая свойством двойной однородности [18]. Следовательно, его решение фактически зависит лишь от п—\ переменных. Иными словами, достаточно рассмотреть уравнение вида
xnzn + ... + zq + ... + zp + ... + xiz + хо = 0, (2)
где коэффициенты при двух мономах zq7 zp "заморожены". В случае р = 0, q = п мы получаем уравнение вида (1), где знак "минус" перед
единицей взят для удобства. Биркелан [8], [9] распространил результат Меллина на уравнения (2) с произвольными парами (р, q). В 1984 г. Уме-мура [7] показал, что уравнение любой степени можно решить с помощью тэта-функций, тем самым, обобщив результат Эрмита-Кронекера.
Далее, в 2000 г. Семушева и Цих [6], и независимо от них, Штурм-фельс [19] предъявили аналитическое продолжение для решения уравнения (1), используя понятие гипергеометрических функций по Горну [14] и Гельфанду-Капранову-Зелевинскому [3]. Теория гипергеометрических функций и связанная с ней теория дискриминантов были глубоко изучены в конце прошлого века в статьях [3], [15] и книгах [2], [11]. С помощью этих теорий и понятия амебы алгебраического множества Пас-саре и Цих [18] описали области сходимости гипергеометрических рядов, представляющих решение уравнения (2).
К сожалению, арсенал степенных рядов и интегралов Меллина-Барнса не позволяет исследовать монодромию, т. е. всевозможные аналитические продолжения решений уравнений (1) или (2). К тому же, до сих пор не была выявлена связь между двумя подходами к решению алгебраических уравнений: подходами Меллина (на основе гипергеометрических функций) и Эрмита-Кронекера (с привлечением эллиптических модулярных функций).
Цель диссертации
Целью настоящей диссертационной работы является получение новых интегральных формул для решения общего алгебраического уравнения, исследование монодромии решения и установление связи между подходами Меллина и Эрмита-Кронекера.
Методика исследования
В работе используются результаты теории гипергеометрических функций многих переменных, с помощью которых доказывается новая интегральная формула для решения уравнения (1). На основе этой формулы исследуется монодромия решения, при этом в значительной мере используются понятия амебы и коамебы применительно к дискрими-нантным множествам. Во второй главе при решении модулярного уравнения применяется результат Семушевой-Циха об аналитическом продолжении гипергеометрических рядов, а также понятие параметризации Горна-Капранова.
Научная новизна
Основные результаты диссертации являются новыми. В частности, получена формула для решения общего алгебраического уравнения с интегрированием по компакту (отрезку) элементарной функции. С помощью полученной формулы описана монодромия решения триномиального уравнения, а также - решения общего алгебраического уравнения вблизи ближайших сингулярностей.
Практическая и теоретическая ценность
Результаты представляют теоретический интерес и могут быть применены в многомерном комплексном анализе и алгебраической геометрии.
Апробация работы
По материалам диссертации делались доклады на - Красноярском городском семинаре по многомерному комплексному анализу (2003- 2006);
- Международной конференции "Комплексный анализ и его приложения" (Краснодар, сентябрь 2005 г.).
Публикации
Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [22] -[25].
Структура и объем работы
Решение уравнения (1.1) с помощью интеграла по отрезку
Вплоть до середины 19 века поиски аналитического решения алгебраического уравнения степени выше чем четыре, были безрезультатными. Лишь в 1858 г. Эрмит [24], [25] и Кронекер [28], независимо друг от друга нашли решение для уравнения пятой степени. А именно, им удалось выразить решение уравнения (к которому сводится любое уравнение пятой степени с помощью преобразований Чирнгауза [34] (см. также [7], [12])) через модулярную эллиптическую функцию. Следующий успех в проблеме поиска решений уравнений высших степеней был достигнут в 20 веке. Так, в 1921 г. Мел-лином [29] было найдено решение для алгебраического уравнения с помощью гипергеометрических рядов переменных х\,..., xn-i, а также посредством кратных интегралов Меллина-Барнса. Отметим, что общее алгебраическое уравнение n-oft степени записывается в виде
Решением этого уравнения является многозначная алгебраическая функция z(x), обладающая свойством двойной однородности [31]. Следовательно, его решение фактически зависит лишь от п — 1 переменных. Иными словами, достаточно рассмотреть уравнение вида где коэффициенты при двух мономах zq, zp "заморожены". В случае р = 0, q = п мы получаем уравнение вида (0.1), где знак "минус" перед единицей взят для удобства. Биркелан [19], [20] распространил результат Меллина на уравнения (0.2) с произвольными парами (р, q). В 1984 г. Умемура [16] показал, что уравнение любой степени можно решить с помощью тэта-функций, тем самым, обобщив результат Эрмита-Кронекера.
Далее, в 2000 г. Семушева и Цих [14], и независимо от них, Штурм-фельс [33] предъявили аналитическое продолжение для решения уравнения (0.1), используя понятие гипергеометрических функций по Горну [26] и Гельфанду-Капранову-Зелевинскому [5]. Теория гипергеометрических функций и связанная с ней теория дискриминантов были глубоко изучены в конце прошлого века в статьях [5], [27] и книгах [4], [23]. С помощью этих теорий и понятия амебы алгебраического множества Пас-саре и Цих [31] описали области сходимости гипергеометрических рядов, представляющих решение уравнения (0.2).
К сожалению, арсенал степенных рядов и интегралов Меллина-Барнса вместе не позволяет исследовать монодромию, т. е. всевозможные аналитические продолжения решений уравнений (0.1) или (0.2). К тому же, до сих пор не была выявлена связь между двумя подходами к решению алгебраических уравнений: подходами Меллина (на основе гипергеометрических функций) и Эрмита-Кронекера (с привлечением эллиптических модулярных функций).
Целью настоящей диссертационной работы является получение новых интегральных формул для решения общего алгебраического уравнения, исследование монодромии решения и установление связи между подходами Меллина и Эрмита-Кронекера.
Методика исследования диссертации основана на теории гипергеометрических рядов и новой интегральной формуле для решения уравнения (0.1), доказанной автором; кроме того, важную роль играют понятия амебы и коамебы применительно к дискриминантным множествам алгебраических уравнений, а также понятие параметризации Горна-Капранова. Перейдем к изложению основных результатов диссертации. В первой главе приводятся новые интегральные представления (в элементарных функциях) для решения уравнений (0.1), (0.2) и на их основе исследуется монодромия решений.
Напомним интегральную формулу Меллина для решения z(x) уравнения (0.1). Рассмотрим несколько другую его запись, позволяя брать нулевыми некоторые коэффициенты:
Амеба и коамеба дискриминанта алгебраического уравнения
Поясним, что в соответствии с [6], здесь в скобках просуммированы со знаком "+" модули коэффициентов при z в аргументах гамма-функции в числителе интеграла (1.14) и со знаком "—" — коэффициент в знаменателе. Поскольку по Теореме 1 интеграл (1.13) сходится во всей плоскости переменного гс, кроме двух лучей, мы видим, что в случае триномиального уравнения область сходимости интеграла (1.13) значительно шире области сходимости интеграла Меллина-Барнса (1.14).
Не ограничивая общности будем считать, что тип взаимно просты (уравнение (1.12) сводится к этому случаю заменой z = yd, где d — наибольший общий делитель для т и п). В этом случае дискриминант уравнения допускает наиболее краткую запись и он равен (см. [31])
Таким образом, дискриминантное множество составляет следующая последовательность точек лежащих на одной окружности. Заметим, что точки яо и хп_т дискри-минантного множества — суть начала лучей Е_ и Е+, вне которых, по Теореме 1, z{x) голоморфна и однозначна. Поэтому, обозначив через js петлю, проходящую через х = 0 и окружающую лишь точку xs, мы приходим к следующему утверждению: Следствие 1.1. Главная ветвь ZQ{X) триномиального уравнения (1.12) переходит в себя при обходе каждой из петель o s, кроме сг0 и оп-т. Ima; дополнения к дискриминант-ному множеству триномиального уравнения Используя рассуждение симметрии и то, что остальные ветви имеют вид где Sj = є n г - первообразные корни из единицы, получаем Следствие 1.2. Касисдая ветвь Zj(x) имеет ветвление лишь в паре Покажем, что каждая из дискриминантных точек xs является точкой ветвления лишь двух ветвей из набора zo(x),..., zn-\{x) всех ветвей. Так как при 0 ji, 32 п — 1 уравнения e {±m-2h) = e (m-2j2)? i{±m-2j{) = e(-ro_2j2) имеют лишь решения 32 — (ii + rri)(modn), 32 — (ji — m)(modn), то каждая пара ветвей Zj и -+m)(TOodn), Zj и _m)(modn) имеет единственную общую точку ветвления. Обозначим ее xs и найдем 5. Для этого решим уравнения откуда получаем s\ = {—j — m)(modn), S2 = —j{modn). BeTBb Zj при Обходе ПЄТЛИ 0-(-j m)(modn) ПЄрЄХОДИТ В ВеТВЬ Z(j+m)(modn). Действительно, если предположить, что рассматриваемая ветвь переходит в отличную от ZQ+m modn) ветвь, то точка (-j-m)(modn) будет являться точкой ветвления бесконечного порядка, так как лишь две ветви Zj и zy+mjfjnodn) имеют ветвление в этой точке. Аналогично получаем, ЧТО ВеТВЬ Zj При Обходе ПеТЛИ 0 -j(rnodn) ПЄрЄХОДИТ В ВеТВЬ (j_m)(modn). Найдем порядок ветвления точек xs. Как было выше показано, ветвь Zj При Обходе ПеТЛИ 0-(-j-m){modn) ПЄрЄХОДИТ В ВЄТВЬ Z(j+m)(modn), В СВОЮ очередь, ветвь Z(j+m){modn) при обходе петли cr(_j_m)(rnodTl) переходит в ветвь 2(j+TO_m)(m0j„) = Zj. Таким образом, ветвь Zj при двукратном обходе петли cr(_j_m)(mojn) переходит сама в себя..Следовательно, порядок ветвления точек xs равен двум. Итак, доказана Теорема 2. Если тип взаимно просты, то всякая ветвь Zj{x) триномиального уравнения (1.12) имеет ветвление (причем второго порядка) лишь в паре точек При этом, ветвь Zj при обходе петли cr_j(modn) переходит в ветвь Z{j-m){modn), Я ПРи обходе Петли T(_j-m)(m0dn) — в ввтвЬ Z(j+m)(modn). 1.4 Амеба и коамеба дискриминанта алгебраического уравнения Степенные ряды и интегралы Меллина-Барнса (в частности, ряд (1.7) и интеграл (1.2)) сходятся вплоть до ближайших особых точек функций, которые они представляют. Аналогичным свойством обладает и интеграл (1.6). Поскольку особым множеством для алгебраической функции z(x) является дискриминантное множество V (множество нулей дискриминанта Д(я) уравнения (1.1)), весьма полезно знать информацию о взаимном расположении дискриминантного множества V и областей сходимости указанных функциональных объектов. Один из фундаментальных результатов теории степенных рядов от р переменных гласит [18], что их областями сходимости являются полные р-круговые логарифмически выпуклые области. Полнота области сходимости D С Ср данного степенного ряда с центром в нуле обеспечивается леммой Абеля и состоит в том, что вместе с каждой точкой (х\,..., х) Є D область D содержит полицилиндр Это обстоятельство позволяет характеризовать область D ее образом \D\ С R+ при сопоставлении точке {х\,..., хр) Є D вектора (\xi\y .. ,\хр\) из модулей ее координат. Образ D называется изображением D на диаграмме Рейнхардта. Картина становится более стройной, если D и V рассмотреть в логарифмической шкале. Поэтому мы начнем со следующего понятия. Определение [23]. Амебой полипома Лорана Q или алгебраической гиперповерхности называется образ V при логарифмическом проектировании Обозначаем амебу AQ или Ay- Таким образом, Ау - это подмножество вГ. Приведем два основных свойства амеб. Теорема А ([23]). Дополнение W \ AQ состоит из конечного числа связных компонент {Е} каждая из которых открыта и выпукла. При этом прообраз Log_1( ) каждой из компонент есть область сходимости соответствующего ряда Лорана для функции 1/Q(z).
В следующем утверждении через NQ обозначен многогранник Ньютона для полинома Q, т. е. выпуклая оболочка всех показателей мономов, входящих BQC ненулевыми коэффициентами. На рисунках 6, 7 изображены многогранники Ньютона линейного полинома Q(x) = Х\ + х — 1 и дискриминанта
Решение модулярного уравнения с помощью гипергеометрических рядов
Договоримся далее рассматривать лишь те г, для которых Imr 0. Выясним некоторые свойства функции /24(т). 1. Как показано в [12], /(г) = \/2, /24(0 = 64. Легко увидеть, что когда г пробегает вверх по мнимой оси от і до бесконечности, то /24(т) принимает действительные значения и возрастает. Следовательно, когда г пробегает вверх по мнимой оси от і до бесконечности /24(т) монотонно изменяется ОТ 64 ДО +00. 2. Пусть г пробегает по лучу т = 1 4- rji, (77 изменяется от 0 до +оо, г\ ф 0). В этом случае /24(т) монотонно изменяется от —со до 0 (не принимая при этом значение нуль). 3. Воспользовавшись тем, что преобразование т — р переводит дугу окружности T = e , (/7 7TB луч rji (rj 1), а также тождествами доказанными в [12], получаем, что в случае когда т = ег1р, (р монотонно возрастает от до 7Г, функция /24(т) монотонно убывает от 64 до 0, а при движении т по дуге единичной окружности от точки т = 0 к точке г = г, функция /24(т) монотонно возрастает от 0 до 64. 4. Из первых трех свойств следует, что на лучах Re г = ±1 и на полу окружности \т\ = 1, (Imr 0) функцией /24(т) принимаются все дей ствительные значения. Так как область D фундаментальная для функ ции /24(т), то ни в какой внутренней точке области D рассматриваемая функция не может принимать действительных значений. Далее выясним некоторые свойства функции /12(т). Сразу же отметим, что из двух значений функции /12(т) лишь одно будет лежать в D (в противном случае D не являлась бы фундаментальной областью для функции /24(т)). Итак, перейдем к основным свойствам рассматриваемой функции.
Аналогично первому свойству функции /24(т), нетрудно проверить, что когда г пробегает вверх по мнимой оси от і до бесконечности то /12(т) принимает действительные значения и возрастает. Следовательно, в этом случае /12(т) монотонно возрастает от 8 до +оо. 2а. В случае, когда Rer — 1, действительная часть функции /12(т) обращается в нуль. Причем Im/12(r) изменяется от 0 до —оо, когда Re г = 1 и ІЇЇ1Т изменяется от 0 до +со; 1т/12(т) изменяется от 0 до +00, когда Re г = — 1 и Imr изменяется от 0 до +оо (данное свойство следует непосредственно из определения функции /12(т)). За. Пользуясь равенствами (2.6) и (2.7) получаем, что в случае когда т = егір, р монотонно изменяется от 0 до (и от 7Г до ), функция /12(т) монотонно изменяется ОТ О до 8. Из свойств 2а, За следует Утверждение 2.1. Всюду в области D действительная часть функции /12 положительная (на границе D - неотрицательная).
Доказательство. Действительно, если в какой-то внутренней точке TQ области D реальная часть Re/12(г) 0, то соеденив отрезком, целиком лежащим в D, точку TQ С граничной полуокружностью получим, в силу непрерывности /(т) в D, что в какой-то внутренней точке отрезка Re/12(г) = 0. Но /12(т) принимает в D чисто мнимые значения лишь на граничных лучах. Таким образом, для каждого ненулевого значения а = /24(т), функция /12(т) принимает в D то из значений ±л/а, действительная часть которого положительная. Если же действительная часть ±\/а равна нулю, то значению /12(т) соответствует г, находящееся на граничных лучах (см. свойство 2а функции /12(т)). В дальнейшем нам понадобится результат следующего утверждения.
Представление решения уравнения (2.1) в виде сужения гипергеометрических рядов на сдвинутую однопараметри-ческую
Рассуждая как при доказательстве утверждения 2.4 и беря во внимание то, что ф(1 + г) = 3 2(1 — г), получим, что Кеф(т) = 0, 1тф(т) О (1тф(т) 0)прит- , 0 Rer l(r + \, -1 Rer 0), причем, при движении г по дуге т = ег р от точки т = і к точке г = 1 мнимая часть изменяется от 0 до —оо, а при движении от точки г = г к точке г = — 1 мнимая часть изменяется от 0 до -foo.
Что же касается поведения функции ф(т) на граничных к области D\ лучах, то с помощью действий, аналогичных с действиями при изучении функции (т) на этих лучах, получаем, что при т = 1 + гг\ (г = —1 + irj), где г] изменяется от л/2 до +0О, ф{т) принимает значения ф(т) = а — аг (а + аг), где а монотонно изменяется от 2 л/2 (в точке 1 + у/2г (—1 + л/2г)) до +оо. Точно также изменяется рассматриваемая функция, когда г\ изменяется от л/2 до 0. Что же касается граничных к D\ полуокружностей, то так как при преобразовании г — эти полуокружности переходят в граничные к D\ лучи, с помощью равенства (2.12) получаем, что при движении г по левой полуокружности от точки г = — \ + г как к точке т = — 1 так и к точке г = 0, ф(т) принимает значения ф(т) = —a-hai, где в каждом из случаев а монотонно изменяется от 2л/2 (в точке г = — + Ц і) до +оо. При движении же т по правой полуокружности от точки г = + г к точке т = 1иотт = + г к точке г = 0, ф{т) принимает значения ф(т) = —а — аг, где в каждом из случаев а монотонно изменяется от 2\/2 (в точке т = + г) до +оо. Итак, для решения уравнения уъ 4- Ъу = а, достаточно рассматривать те значения т, которые лежат в области D\, либо на ее границе (здесь а и г связаны соотношением а = 727т) ) При этом г Є D при Re а О, и г Є Д2 при Re а 0. Еще раз отметим, что г лежит на мнимой оси при а Є Е, и г лежит на единичной полуокружности при чисто мнимых значениях параметра а .
Речь пойдет о выборе знака перед радикалом в следующем представлении функции /12(т) (упомянутом в 2.1). Как следует из [12], при одном из двух значений радикала \/а4 + 256, где а = /27г) справедливо равенство (2.2). Опишем способ нахождения нужного значения радикала.
В утверждении 2.1 было показано, что во внутренних точках области D действительная часть Re/12(г) 0. Что же касается правой части (2.2), то так как то возможны следующие случаи: 1) оба выражения а ±у а2 +256 действительные, причем одно из них отрицательное, а другое положительное; 2) оба выражения а ±v +256 мнимые, причем действительная часть одного из выражений отрицательная, а другого - положительная, при этом мнимые части рассматриваемых выражений ненулевые; 3) рассматриваемые выражения чисто мнимые, при этом знаки мнимых частей совпадают. Следовательно, в первом случае одно из двух выражений в правой части (2.2) можно выбрать, взяв арифметический квадратный корень из выражения а4 + 256; во втором случае, действительная часть выражения, стоящего в правой части (2.2) должна быть положительной, в этом случае знак перед радикалом выбирается удовлетворением условию: (заметим, что при arg(a4 + 256) = 0 имеем первый случай, при arg(a4 + 256) = 7Г - третий случай). Что же касается третьего случая, то в этом случае выражения а ±1 д +25в принимают значения сі и г, либо — сі и — гі, с 6 К+. Как было показано выше, при т = — 1 + rji, 0 rj л/2, функция /12(г) принимает чисто мнимые значения и изменяется от 0 до 8г. При этих же значениях т, функция ф(т) принимает значения ф{т) = Ь + Ы, Ъ 2\/2- Следовательно, из двух значений радикала \/а4 + 256 нужно выбрать то, для которого Im Vа4 + 256 0. Аналогично показывается, что при г = 1 + rji, г\ л/2 из двух значений ра дикала у/а4 + 256 выбирается то, для которого Im \/а4 + 256 0; при из двух значений радикала л/а4 + 256 выбирается выражение с условием Im у/а4 + 256 0; при г = 1 + rji, 0 rj л/2 из вух значений радикала л/а4 4- 256 выбирается то значение, для которого
Пусть теперь г произвольное число, лежащее в замыкании области Di. Отображение г — — \ переводит область D L в область D. Равенства (2.7) и (2.12) показывают, что при замене г — — J обе части равенства (2.2) не изменятся. Таким образом, выбор знака ± перед радикалом в (2.2) в случае, когда г Є Di, можно осуществлять также, как и в случае, когда г Є D, т. е.
