Введение к работе
":";! .
- .,г ; Актуальность проблемы. Задачи интегральной геометрии состоят
г„';в~оііределении функции или более сложной величины (диффэренщшль-
ной формы, тензорного поля и т.п.), определенной на некотором многообразии, через ее интегралы по подмногообразиям заданного семейства. Одной из наиболее распространенных ситуаций является такая, в которой это семейство состоит из геодезических заданной римановой метрики. В частности, это могут быть прямые евклидова пространства, Назовем такие задачи одномерными.
В работах М.М.Лаврентьева и В.Р.Кирейгова, посвященных математическим основаниям фотометрия,.был поставлен ряд обратных задач, заключающихся в определении тех или иных характеристик источников по результатам оптических измерений, произведенных на некотором удалении, от .них. Многие из: зтиь: задач имеют форму одномерных задач интегральной геометрии. Их специфика, по сравнений с общими задачами интегральной геометрии, обычно заключается в априорной информации'об этих источниках, их носителях, о весовых функциях, входящих в интегралы и т.п. Даяз в тех обратных задачах фотометрии, которые непосредственно не сводятся к задачам интегральной геометрии, интегрально-геометрические аспекты лроблемы обычно играют большую,роль. . Это обстоятельство обусловлено, в конечном счете, лучевой при-
- родой света.
Несколько особняком в математической фотокетрии стоит обратная задача определения оптической поверхности по конечному числу ее изображений.^Эта задача имеет.большое прикладное значение для фотограмметрии - технической' дисциплины, зани- . макщейся технологией создания топографических.карт и планов по аэроснимкам. С формальной; точки зрения она.может,раосмат-" рішаться как одномерная задача интегральной,геометрии. Ее специфика состоит в.том, что.имеется априорная информация об искомом источнике: его носитель есть некоторая поверхность. Благодаря этому, при переносе информации от источника к приемнику не происходит ее интегрирования; Это обстоятельство совершенно, меняет математический характер задачи по сравнений с-другими задачами интегральной геометрии, в связи с чем ее
исследование требует своих, специфических методов.
Перечислим еще некоторые естественно-научные и прикладные математические направления, к которым одномерная интегральная геометрия имеет непосредственное отношение.
Математическая геофизика. Многие вопросы, связанные с интерпретацией результатом сейсмических измерений, приводят к; постановкам, шещиад форму одномерных задач интегральной гео-, метрии. Эти вопросы оказали значительное влияние на развитие интегральной геометрии. ,
Томография. Эта дисциплина сейчас бурно развивается как в аппаратурной своей части, так и в части математического основания, быотро растет сфера ее приложений. В последнее время появились разделы томографии, занимающиеся диагностикой анизотропных сред, взаимодействие которых с зондирующим излучением существенно зависит от направления распространения последнего.
Обратные задачи для кинетических уравнений я уравнений переноса. При исследовании таких задач интегрально-геометрические аспекты играют существенную роль. С другой стороны, неко-торые hs наиболее результативных методов интегральной геометг-рии связаны с использованием кинетичеоких уравнений. : В настоящее,время интегральная.геометрия является обширной областью математического анализа, тесно связанной с функциональным анализом, математической физикой и другими разделами математики. Подавляющее большинство работ по интегральной геометрии посвящено исследованию задач для скалярных полей. В качестве исключения из этого правила отметим несколько работ И.М.Гельфаида, С.Т.Гиндикина.У.И.Грасва, З.Я.Шапиро, Ю.Е.Ани-конова и В.Г.Романова, посвященных интегральной геометрии ко-сосимметричных тензорных долей. До последнего времени совершенно без внимания оставалась интегральная геометрия симметричных тензорных полей. Мезду тем, подобные задачи возникают при исследовании некоторых геометрических проблем, а также в таких разделах томографии, как интегральная фотоупругость и .томография жидких кристаллов.
Цель работы. Дисоертавдя посвящена постановке и исследовании некоторых одномерных задач интегральной геометрии и обратных задач фотометрии. Основные из рассмотренных в диссертации
«І
проблем следующие:
задача определения источника, находящегося в однородной поглощающей среде, его инображениям;
задача интегральной .'еомегрии для симметричного тензорного поля вдоль геодезически. римэновой метрики;
задача интегральной геометрии для симметричного тензорного поля вдоль прямых евклидов-з пространства;
задача определения лэмбертовой оптической поверхности по конечному числу еа изображений.
Научная новизна и практическая ценность работы. Получим новые, существенно усиливающие ранее известные, результаты по обратным задачам фотометрии. Предложены новые постановка задач интегральной геометрии и обратных задач фотометрит.' В связи с исследованием этих з^дач построена теория лучевсго преобразования симметричных тензорных полей. '.Продемонстрировано , что она является содержательной математической теорией, связанной о алгеброй, римановой,геометрией, функвдо. эльшм анализом и уравнениями с частными, производными. Тем самим заложено новое направление.интегральной геометрии - интегральная геометрия симметричных тензорных полей. '.'-'
Результаты и методы работы могут быть ислользованы в таких прикладных областях, как геофизика, томография,, фотограмметрия. Практическую' ценность- имеют.предлозенные. численный методы решения задачи интегральной.фотоупругости и. эдачи определения ламбе, говой оптичеокой кривой по ;:двум изображениям. '
Апробация работы. Основные 'результата диссертации докладывались на I (Новосибирск, .1983), П.(Куйбышев, -1985), и Ш (Киев, 1987) Всесоюзных.симпозиумах 'по., вычислительнойтомографии, на двух Всесоюзных школах-семинарах,по.некорректно, посгавленнам задачам (Самарканд, 1983_и'.'Саратов-,. 1985), на УШ Всесоюзной конференции по,современным проблемам-дифференциальной геомет-р аи (Одесса, 1984),.' на Всесоюзной конференции. по' і-еометрии "з цело*Г (Новосибирск, 198?),'на I,н'П'Сибирски\ математических школах "Алгебра.и аналкз" (Кемерії-',:,,-198? и Томск, 1988), на - ивеоле-семинаре';- "Современные, проблемы теории функций" (Иркутск, .1987),' ш'Всесоюзном'/сештаре: їіо:оптической' томографии (Таллин- -1988);, на семинарах: академика А.С.Алек- v сеева. (ВЦ СО Ш СССР),- академика'- М.М.Лаврзнтьева-ИМ'СО АІГ СССР
'5 '-"--'.'-':
члена-корреспондента АН СССР С.К.Годунова (ИМ СО АН СССР), профессора А.В.Гончарского (МГУ), профессора В.П.Паламодова (МГУ), профессора Н.Г.Преображенского (ИТПМ СО. АН СССР).
Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, шести тле з и списка литературы из 89 наименований. Главы разбиты на параграфы и снабжены вводными разделами. Объем работы 339 страниц машинописного текста, 3 рисунка. -
Личный вклад автора. Все результаты диссертации, за исключением изложенных в главе 3, получены автором самостоятельно. Результаты третьей главы получены совместно с Л.Н.Пестовым.
