Введение к работе
Актуальность темы. Конструкции из стержней, соединённых шарнирами изучаются двумя инженерными дисциплинами: теорией механизмов, когда такие конструкции допускают непрерывное взаимное движение стержней (изгибаемы), и строительной механикой — в противном случае (неизгибаемости). Всплеск математических исследований, связанных с шарнирными конструкциями, приходится на девятнадцатый век, век паровых двигателей и ферм железнодорожных мостов. Тогда исследованием напряжений шарнирных ферм занимались такие учёные как Л.Кремона и Д.К.Максвелл. Первому принадлежит понятие верёвочного многоугольника, второму — известная теорема об условиях существования положительных внутренних напряжений в плоской шарнирной конструкции. Исходя из практической потребности получения наиболее точного прямолинейного движения с помощью простейших механизмов, знаменитым русским аналитиком П.Л.Чебышёвым была создана теория многочленов наименее уклоняющихся от нуля на заданном промежутке. П.Л.Чебышев также придумал множество различных механизмов, в том числе и механизм с парадоксальными свойствами. Из результатов общего характера следует назвать теорему А.Б.Кемпе (1876) о возможности вычерчивания по частям любой плоской алгебраической кривой с помощью плоского шарнирного механизма. Подобную же теорему относительно вычерчивания алгебраических поверхностей в трёхмерном пространстве несколько позднее установил Г.Кёнигс.
В двадцатом веке тема математического исследования шарнирных механизмов стала казаться чем-то устаревшим и перестала привлекать внимание математиков. Автор монографии "Кинематическая геометрия механизмов" (1978г.) К.Х. Хант в предисловии к этой книге даже сетует по этому поводу. Авторы книги1 в связи с проблемой "разных сборок" шарнирных механизмов также отмечают недостаток разработок общетеоретического характера. Во второй половине двадцатого века интерес к вопросам кинематической геометрии возродился в связи с развитием робототехники. При исследовании пространственных кинематических цепей были применены дуальные числа и так называемое винтовое исчисление, возникшее в 19 веке и развивавшееся в работах А.П.Котельникова и
"""Пейсах Э.Е., Нестеров В.А. Системы проектирования плоских рычажных механизмов. М.: Машиностроение. 1988.
Э.Штуди. Касаясь математических оснований науки о механизмах, К.Х. Хант 2 писал: "Сами по себе эти понятия и законы не обязательно дают непосредственные практические результаты, хотя подчас и дают; более важное их значение — в указании плодотворных путей для дальнейших исследований, и, с другой стороны, — в отсечении заведомо бесплодных направлений." Общие теоретические сведения о шарнирных механизмах в известной степени были подытожены в фундаментальной монографии О. Боттемы и Б.Рота "Теоретическая кинематика" (1979).
Начало математическому изучению явления неизгибаемости положила знаменитая теорема О.Копій (1813) об определённости с точностью до изометрии выпуклого многогранника, мыслимого составленным из жёстких граней, соединённых между собой рояльными петлями. Вехами в этом направлении являются открытие Р.Брикаром (1897) изгибаемых октаэдров. Доказательство А.В.Погореловым (1949) определённости с точностью до изометрии, а следовательно, неизгибаемости выпуклых замкнутых поверхностей с сохранением выпуклости. Построение Р.Коннелли (1978) примера изгибаемого многогранника, гомеоморф-ного сфере. Доказательство И.Х.Сабитовым (1996) неизменности объёма, ограниченного изгибаемым многогранником. Другим важнейшим понятием строительной механики является (статическая) жёсткость конструкции, то есть, возможность уравновешивания внутренними напряжениями в ней любых внешних нагрузок. Неизгибаемая конструкция не обязательно жестка. Доказательство жёсткости строго выпуклых многогранников связано с именами Г.Вейля, М.Дена, А.Д.Александрова. Исследование жёсткости многогранников и поверхностей естественным образом распостранилось и на шарнирные фермы, а также на вантовые конструкции ("tensegrity frameworks" по Р.Коннелли). В этом направлении начиная с работы Поллячек - Гейрингер (1927), впервые установившей необходимые и достаточные условия жёсткости плоских шар-нирников общего положения с данным графом, шарнирная конструкция рассматривается как точка многомерного пространства параметров, координатами в котором являются координаты всех свободных шарниров. Начиная с семидесятых годов предыдущего века этот подход был развит рядом канадских, американских и японских исследователей. В частности, результат Поллячек-Гейрингер был переоткрыт Ламаном (1970), одна-
2Hunt К.Н. Kinematic geometry of mechanisms. N.Y.: Clarendon Press, 1978.
ко, найти подобный критерий для графа шарнирника в трёхмерном пространстве до сих пор не удалось. Ключевую роль при исследовании метрических вложений графов в евклидово пространство играет отображение, сопоставляющее положениям свободных шарниров квадраты длин рычагов шарнирника. Этому отображению, названому Б.Ротом (1981) "edge function", а, впоследствии, Р.Коннелли — "rigidity mapping", автор присваивает термин "рычажное отображение", по его мнению более отвечающий природе объекта. Несмотря на то, что рычажное отображение на каждом шагу возникает в работах по жёсткости и неизгибаемости, работ посвященных систематическому его изучению в литературе автору не встречалось. На взгляд автора это объясняется малоизученностью квадратичных отображений в многомерном случае, а также сложностью получения достаточно содержательных общих утверждений. Примеры таких, пока ещё не доказанных утверждений, касающиеся устойчивости и связи устойчивости с однозначной собираемостью шарнирных ферм, приведены в данной диссертации. Стоит отметить, что некоторые общие результаты, касающиеся рычажных отображений были получены в рамках так называемой геометрии расстояний ("distance geometry"). В качестве примера приведём результат А.Барвинка 3 о том, что если незакреплённую шарнирную конструкцию с к рычагами можно собрать в каком либо J-мерном евклидовом пространстве, то её можно собрать и в евклидовом пространстве числа измерений равного ^8 t1"1.
В последнее время появился ряд работ: Б.Ягги (1993), Д.Звонкий (1995) , Г.Кинг (1998), М.Капович и Д.Миллсон (1998), И.В.Изместьев (2000), М.Фарбер (2008, монография "Введение в топологическую робототехнику" ) в которых с точки зрения топологии и алгебраической геометрии изучаются конфигурационные пространства шарнирных механизмов. В частности, в работах Кинга,а также М.Каповича и Д.Миллсона уточняется на языке алгебраической геометрии и усиливается старый результат Кемпе. Эти работы также связаны с анализом рычажного отображения, хотя какого либо особого названия авторы ему не присваивают. На самом деле, основным объектом изучения в этих работах является "конфигурационное пространство реализаций" ("moduli space"), в нашей терминологии — конфигурационное пространство кинематической шар-
3Barvinok A.I. Problems of Distance Geometry and Convex Properties of Quadratic Maps. Discrete & Computational Geometry. 13. 1995. P. 189-202.
нирной схемы .
В диссертации автор, отталкиваясь от понятия рычажного отображения, предлагает единый подход к изучению геометрии как шарнирных механизмов, так и ферм. Этот подход придаёт точный математический смысл понятиям структурной и кинематической схем шарнирного механизма из теории механизмов и позволяет использовать эти понятия и для шарнирных ферм. Из него вытекает общая классификация шарнирных устройств и их схем по геометрическим свойствам. На его основе получен критерий двумерных структурных групп Ассура, используемых в теории механизмов. В работах автора положено начало систематическому изучению рычажных отображений, поставлен ряд вопросов дискретно-геометрического характера относительно их свойств, некоторые из них решены. Впервые строго определены понятия устойчивости схем и устройств. Предложенный подход в перспективе позволит полностью изучить явление устойчивости шарнирных конструкций и их схем.
Цель работы. Изучение свойств шарнирных устройств, шарнирни-ков и шарнирных схем на основе дискретно-геометрического анализа отображений графов в евклидово пространство.
Основные задачи исследования.
-
Формализация и анализ основных понятий геометрии шарнирных устройств — то есть шарнирных механизмов и шарнирных ферм. Классификация шарнирных устройств и их схем с дискретно-геометрической точки зрения. Получение результатов как общего геометрического так и прикладного характера.
-
Математическая формулировка и изучение понятий устойчивости шарнирных устройств и шарнирных схем.
-
Определение понятий устойчивости шарнирника и порядка жёсткости шарнирника, и перенос этих понятий на произвольные отображения. Разработка методов изучения локальных свойств рычажных и квадратичных отображений.
-
Изучение распрямлённых шарнирников и шарнирных схем. Построение примеров шарнирных конструкций с необычными свойствами.
-
Постановка и исследование задачи о восстановимости шарнирной конструкции по её внутренним напряжениям. Изучение связи этой задачи со свойствами образа рычажного отображения.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации новы и принадлежат автору.
Разработана математическая модель шарнирных устройств и схем на основе отображений графов в евклидово пространство. Даны строгие определения понятий структурной и кинематической схем для рычаж-но шарнирных устройств. Разработана классификация этих схем и отдельных шарнирников, исследованы свойства множества кинематических схем, отвечающих данной структурной схеме;
Точно определены и исследованы понятия устойчивости кинематических шарнирных схем и шарнирников, Разработаны методы изучения локальных свойств рычажных и квадратичных отображений, связанных с геометрической устойчивостью;
Доказана теорема о чётности числа правильных ферм с заданной кинематической схемой;
Изучены распрямлённые шарнирные схемы и конструкции и соответствующие рычажные отображения. Исследованы свойства образа рычажного отображения, а также свойства множеств неполного и минимального его ранга;
Построены примеры рапрямлённых ферм с неожиданными свойствами. При построении этих примеров использовалось установленное автором достаточное условие геометрической устойчивости нежёсткой шарнирной фермы;
Поставлена и изучена задача о восстановимости шарнирных ферм по внутренним напряжениям. Найдены достаточные, а в случае шар-нирника, лежащего на прямой, и необходимые геометрические условия существования восстанавливающего напряжения. Исследованы множества шарнирников, допускающих внутренние напряжения, и множества их образов;
Получен критерий структурных групп Ассура в случае плоских шарнирно-рычажных механизмов.
Методы исследования. Используются методы теории графов, дискретной и выпуклой геометрии, топологии, многомерной евклидовой геометрии. Используются методы аналитических и численных расчётов в пакете аналитических вычислений Maple.
Практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Предложенная математическая модель объединяет и упорядочивает изучение геометрических свойств шарнирных механизмов и ферм. Она впервые позволила дать математический критерий структурной группы Ассура для плоских шарнирно-рычажных механизмов. Работа порождает важ-
ные и математически интересные дискретно-геометрические вопросы. Результаты и методы работы могут быть применены к исследованию жёсткости, изгибаемости и устойчивости шарнирных ферм и механизмов, к исследованию числа их различных сборок, а также к классификации шарнирных механизмов, ферм и их схем. Система понятий, разработанных в работе, должна найти своё место в теории шарнирных ферм и кинематической геометрии механизмов.
Обоснованность и достоверность результатов.
Численные и аналитические расчёты, входящие в диссертацию, многократно проверены различными способами.
Апробация работы. Результаты работы неоднократно докладывались на семинаре по дискретной и наглядной геометрии профессора С.С.Рышкова в МГУ;на семинаре по теории поверхностей и многогранников профессора И.Х.Сабитова в МГУ; на ежегодных научных конференциях в МЛТИ (МГУЛ) на научных конференциях в МГТУ им. Н.Э.Баумана. По результатам работы состоялись доклады: на IX - ой Всесоюзной Геометрической конференции, Кишинёв, 1988; на летней школе Геометрического института, Нортгемптон, Массачусетс, США, 1993; на международных конференциях по выпуклой и дискретной геометрии, Быдгощ, Польша, 1994, 1998; на международных конференциях по геометрии и топологии, Черкассы, Украина, 1997, 2001; на международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения Л.С.Понтрягина, Москва, 1998; на международных семинарах "Дискретная математика и её приложения", Москва, МГУ, 1993, 1999, 2001, 2004; на семинаре в институте машиноведения РАН 1994, 2004; на Чебышевских чтениях в МГУ 1995; на совместном семинаре ВЦ и МИР АН по теории сложности под руководством А.А.Разборова 1998; на международной конференции по дискретной геометрии и её приложениям, посвященной 70-летию С.С. Рышкова, Москва, МГУ - МИР АН, 2001; на семинаре МГУ Математические вопросы кибернетики (руководитель — О. Б. Лупанов) 2004, на VII и VIII научно-технической конференциях Вибрационные машины и технологии. Курск 2005, 2008; на первой европейской конференции по науке о механизмах (EuCoMeS) Обергургль, Австрия, 2006; на семинаре кафедры теоретической механики МГУ под руководством чл.-корр. РАН В.В.Белецкого 2006; на семинаре им. А.Ю.Ишлинского в Институте механики МГУ 2006; на IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике, Нижний Новгород, 2006; на семинаре кафедры
дифференциальной геометрии и приложений под руководством академика А.Т.Фоменко, МГУ, 2007; на 12-ом всемирном конгрессе ИФТОММ, Франция, Безансон, 2007; на второй европейской конференции по науке о механизмах (EuCoMeS) Кассино, Италия, 2008; на российско-японском семинаре Discrete Geometry and Statistics of Configurations. Москва, Математический ин-т им. Стеклова 1-3 июня 2009; на международной конференции "Метрическая геометрия поверхностей и многогранников" посвященной 100-летию со дня рождения Н.В.Ефимова, Москва, МГУ, 2010.
Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 32 работах, список которых приведён в конце автореферата.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав и приложения вычислений в системе Maple. Текст изложен на 234 страницах, имеется 39 рисунков.
