Некоторые задачи интегральной геометрии с неполными данными Сысоев, Сергей Егорович

Введение к работе

Актуальность темы. В общем виде задача интегральной геометрии формулируется так: пусть задано дифференцируемое многообразие X размерности п и на нем - семейство k-мерных многообразий / (-}< К. = vu-4 ) Пусть на каждом подмногообразии Я 6 У задана гладкая положительная мера «ч . Данной функции Р на-многообразии X сопоставляются интегралы от нее по подмногообразиям:

12,^) = ^60.

Функция iN-ir-x^) называется k-мерным обобщенным преобразованием Радона. Требуется по известной функции гчк восстановить исходную функцию _ .

Если )(. является аффинным пространством Ш. , / - множество всех гиперплоскостей в іл , a ^- евклидова мера на гиперплоскости н , то рассматриваемое преобразование является классическим преобразованием Радона. В этом случае имеются формулы обращения И.Радона и иона.

Одномерное обобщенное преобразование Радона называют лучевым преобразованием. Для семейства прямых в #с имеются аналогичные формулы обращения ( см. [1]).

Задача обращения лучевого преобразования появляется во многих приложениях, в первую очередь в компьютерной томографии, в радиоастрономии, в сейсмологии и т.д. Например, в однофотонной эмиссионной компьютерной томографии требуется найти распределение Р радиоактивного медицинского препарата в сечении тела по интенсивности излучения, измеренной вне этого тела. Если ft - коэффициент поглощения излучения биотканями, то интенсивность излучения, измеренная вне тела детектором, принимает вид

где А(Х) - отрезок прямой L между точкой X и детектором. Требуется восстановить функцию по линейным интегралам с весовой функцией, которая определяется коэффициентом поглощения /^

Соответствующее интегральное преобразование в //^ имеет вид

1. Хелгасон С. Преобразование Радона. - М.: Мир, 1983.

где 0 : S> направляющий вектор прямой ? , Cgi-* — X— (Х'&)@ проекция точки XdffL на гиперплоскость & ^(u^.H^-iw.q-qX , 4 евклидова мера на прямой , /^ - непрерывная неотрица тельная функция, заданная на ІК. , веерное преобразование

представляет собой'интеграл функции Н по лучу с началом >($_ и направлением

Оператор rL называется лучевым преобразованием с учетом поглощения. Известно [2], что если коэффициент поглощения jA—tU'H.'xt в выпуклой области yZ-C/^¹" содержащей носитель функции . , то оператор /Л., может быть сведен к более простому преобразованию Р/^4- "^' ' ^где известная положительная фуекция, а

_ jo

Оператор vy^ называется экспоненциальным лучевым преобразованием с постоянным поглощением.

При п=2 формула обращения для экспоненциального лучевого преобразования была получена в [3].

Экспоненциальное лучевое преобразование с поглощением, зависящим от направления, является обобщением преобразования ь/,- Считается, что коэффициент поглощения И—ИС&У , &zSⁿ~ есть неотрицательная непрерывная функция на сфере. П.Кучмент и И.Шней-берг [4] при п=2 получили формулу обращения для преобразования(Ji-в этой ситуации.'

Однако во всех полученных формулах обращения предполагается знание значений преобразования Wu-f- ^на множестве всех прямых. Б то же время понятно, что для однозначного восстановления исходной функции по данным Q _ достаточно гораздо меньшего объема

1. Наттерер S. Математические аспекты компьютерной томографии. -М.: Мир, 1980.

2. Tretiak О., Mets С. The exponential Eadon transform.// SIAM J Appl. Math., v. 39, 1980, 341-354.

3. Kuchment P.A., Shneiberg I. Some inversion formulas in the single photon emission computed tomography.//Applicable Analysis, v. 53, 1994, 221-231.

данных. Во многих практических задачах функция V.,4- известна

г ' лишь на некотором подмножестве её области определения. В этой ситуации говорится о восстановлении исходной функции по неполным данным.

К проблеме обращения по неполным данным относится задача об
отыскании функции J/\$j-—=, Щ_ , исходя из значений её экспонен
циального лучевого преобразования, известных для некоторого
n-мерного семейства прямых. В классическом случае Н~=0 явные

формулы, решающие эту задачу, были получены в [5-8]. В.П.Паламо-дов поставил задачу найти явную формулу обращения экспоненциального лучевого преобразования с коэффициентом поглощения, зависящим от направления, в случае, когда данные этого преобразования известны лишь для семейства прямых в Jjc і пересекающих бесконечно удаленную кривую, имеющую непустое пересечение с каждой гиперплоскостью Н ~ иС .Им была рассмотрена эта задача в трехмерном пространстве [9] и был предлоясен метод обращения экспоненциального лучевого преобразования в этой ситуации.

К проблеме обращения лучевого преобразования по неполным данным относится и задача с неполным угловым диапазоном. Эта задача возникает в рентгенологии, а в классическом случае (HBO в компьютерной томографии, в геофизике, в оптике, в радиофизике. Для её решения в классическом случае можно применять различные методы: метод Д. Слепяна [10], использующий разложение по вытянутым сфероидальным функциям, метод моментов [11], метод, основанный на явной формуле интерполяции значений целой функции экспо-

5. Денисюк А.С. Исследование по интегральной геометрии в вещес
твенном пространстве. Диссертация, МГУ, мех-мат ф-т, 1990.

6. Finch D.V. Cone beam reconstruction with sources on a
curve.// SIAM J. Appl. Math., v. 45, 1985, 665-673.

7. Palamodov V.P. Inversion formula for three-dimensional ray transform, in "Mathematical problems of Tomography", Proceedings, Oberwoifach, 1990. Herman G.T., Louis A.K., Natterer F. ( Eds.). Lect. Notes in Math., v. 1497, 1991, 53 -fi2.

8. Tuy H.K. An inversion formula for cone-beam reconstruction.// SIAM J Appl. Math., v. 43, 1983, 546-552.

9. Palamodov V.P. An inversion method for attenuated X-ray transform in space.// Inverse problems, 1996. .

10. Slepian D., Pollack H. Prolale spheroidal vawe functions, Fourier analysis and uncertainty, 1.// Bell. Syst. Techn. J., v. 40, 1961, 43.

11. Камзолов А.И., Лукашенко Т.П., Никишин Е.М. Нахождение момен-

- 4 -ненциального типа [12,13]. В. диссертации приводится метод решения задачи обращения экспоненциального лучевого преобразования в случае неполного углового диапазона и получена оценка, характеризующая устойчивость этого метода относительно возможных ошибок в данных.

Ещё один источник задач интегральной геометрии - ультразвуковая томография, где требуется определить показатель преломления \\, изучаемого объекта. Фиксируется время прохождения ~Ь (*,J/) звукового сигнала между точками X и У , лежащими на поверхности объекта. Траектория сигнала представляет собой геодезическую линию Я^М) ^в метрике е/5^—Vbdii , соединяющую Л и Я , где c/s евклидова метрика. Получается нелинейное интегральное уравнение

ОТНОСИТеЛЬНО VI,

.Нужно найти )v , зная ~L [Х_гч) для многих пар излучатель-приёмник .Х-/ % В результате линеаризации по формуле /г,^-Ьь_ат- , где К_а . известно, а _. мало, получается приближённое равенство

и нужно восстановить %- по криволинейным интегралам вдоль $<-(^кі)і)-В частности, если с — ^ц, есть линейная функция глубины,то геодезическими будут дуги окружностей. На практике серьёзной трудностью для нахождения _. является недостаток данных: интегралы известны, как правило, для конечной и неполкой выборки геодезических дуг, обычно лишь для тех, которые опираются на дневную поверхность. В [14] приведён анализ степени достоверности восста-

тов функции по её преобразованию Радона. Тезисы симп. по вычислительной томографии, СО АН СССР, Новосибирск, 1983, 91-92.

12. Паламодов В.П. Некоторые сингулярные задачи томографии. Б сб. Вопросы кибернетики. Математические проблемы томографии. - М.: 1990, 132-139.

13. Palamodov V.P., Denisjuk A. Inversion de la transformation de Eadon d'apres des donnees incompletes.//С. E. Acad. Sci. Paris, t. 307, Serie 1, 1988, 181-1S3.

14. Паламодов В.П. О достоверности восстановления поля скоростей по годографу. В сб. Теория и практика сейсмических исследований

новления в ситуации, когда действует только один фактор, за
трудняющий восстановление - область на дневной поверхности, в ко
торой расположены источники и приёмники сейсмических волн, огра
ничена. Показано, что восстановление сильно неустойчиво, что
обусловлено геометрией дуг Цо В [15] приведена теорема един
ственности решения задачи восстановления функции по её интегралам
вдоль окружностей с центрами на фиксированной прямой в Ш- в

классе непрерывных функций, четных по одной переменной. В диссер--тации получена теорема единственности для функций, суммируемых в" полосе.

Цель работы. Целью работы является получение формулы обращения экспоненциального лучевого преобразования в случае, когда данные этого преобразования известны лишь для некоторого n-мерного семейства прямых ^в &. і и для данных в неполном угловом диапазоне; а также исследование задачи восстановления функции по её интегралам по дву-параметрическому семейству дуг окружностей на плоскости.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми. Основные результаты заключаются в следующем:

1. Исследована единственность восстановления функции по неполным данным о её экспоненциальном лучевом преобразовании в случае, когда коэффициент поглощения зависит только от направления.

2. Получена формула обращения экспоненциального лучевого преобразования для семейства прямых, направляющие вектора которых образуют центрально симметричную связную кривую на .S*^1-' . Формула получена с точностью до оператора свёртки, ядро которого равно

ОСн²) і где И - коэффициент поглощения.

3. Предложен метод обращения экспоненциального лучевого преобразования в случае неполного углового диапазона, основанный на явной формуле интерполяции целой функции. Получена оценка, характеризующая устойчивость этого метода относительно возможных ошибок в данных.

4. Доказана теорема единственности восстановления суммируемой в полосе функции по её интегралам вдоль дуг окружностей с центрами на фиксированной прямой.

литосферы. Сборник докладов. Камчатская геофизическая станция И53

АН СССР. Петропавловск-Камчатский, 1991, 63-71.

15. Курант Р. Уравнения с частными производными.- М.:Мир, 1964.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации имеют теоретический характер и могут быть использованы в интегральной геометрии и томографии.

Методы исследования. Используются методы математического анализа, функционального анализа, теории функций многих комплексных переменных, теории обобщенных функций.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре по интегральной геометрии на механико-математическом факультете МГУ, на семинарах механико-математического факультета филиала МГУ в г. Ульяновске, на международной конференции по алгебре и анализу (Казань, 1994г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах, список которых приводится в конце автореферата.

Структура диссертации. Работа состоит из введения, трёх глав и списка литературы, содержащего 63 наименования. Общий объём диссертации 87 страниц.