Введение к работе
Актуальность темы Системы аналитических вычислений играют важную роль во многих областях науки, и со временем их актуальность только возрастает Научное программирование постоянно претерпевает трансформацию развиваются интегральные среды, основанные на алгоритмических языках, и растет применение универсальных математических систем, таких как Maple, Mathematica, MatLab, MathCad, Mupad, Derive и других Эти системы предоставляют широкие возможности для специалистов разных профилей, с их помощью проще и быстрее решать исследовательские и прикладные задачи Для написания программ с помощью математических систем не требуется глубоких знаний алгоритмических языков программирования, пользователь освобождается от монотонных вычислений и концентрирует свое внимание на теоретической стороне решаемой задачи Системы аналитических вычислений привлекают многих своих пользователей удобными и хорошо реализованными возможностями отображения графической информации Многие из рассматриваемых систем позволяют сохранять результаты вычислений в различных форматах (LaTeX, Excel, RTF и др ), что существенно облегчает написание научных статей
Современная геометрия, также как и другие области математики, использует компьютерные технологии для решения своих задач Существуют примеры, доказывающие эффективность математических систем не только при решении численных задач, но и при доказательстве теорем Например, хорошо известно доказательство гипотезы четырех красок, осуществленное К Аппелем и В Хакеном Также в работе О Ковальского и 3 Влаше-ка, о классификации инвариантных метрик Эйнштейна на пространствах Алоффа-Уоллача, применение компьютера подсказало путь к аналитическому доказательству утверждений В работе Ю Сакане [15] при помощи пакетов аналитических вычислений доказывается существование инвариантных метрик Эйнштейна на некоторых флаговых многообразиях Кроме того, в работе [4] с помощью системы Maple найдены новые примеры эйнштейновых метрик на три-локально-симметрических пространствах с использова-
ниєм метода Штурма Также при решении систем алгебраических уравнений с применением компьютерных вычислений широко используются базисы Гребнера, с помощью которых в ряде случаев удается найти точное аналитическое решение Можно отметить работы Ю В Никоноровой [5, б], в которых используются пакеты символьных вычислений для решения задач евклидовой геометрии, работу Л Н Чибриковой [11] в области (псевдо)римановой геометрии и многие другие
Данная диссертация посвящена исследованию некоторых задач дифференциальной іеометрии при помощи систем аналитических вычислений В частности, рассматривается задача поиска коэффициентов формулы символа произведения двух дифференциальных операторов, имеющая важное значение в рамках основанной и развиваемой В А Шарафутдиновым теории псевдодифференциальных операторов на многообразиях со связностью [12] С помощью применения компьютерных вычислений к решению этой задачи удалось получить некоторые новые результаты Также в данной работе использование математических систем применено к исследованию задачи поиска новых инвариантных метрик Эйнштейна на некоторых однородных пространствах классических групп Ли Эта задача имеет важное значение при классификации однородных многообразий Эйнштейна
Цель работы Целью диссертационной работы является создание новых алгоритмов и программ в среде пакета Maple для решение некоторых задач дифференциальной геометрии Таким образом можно показать эффективность применения аналитических систем для решения таких задач
Решаемые задачи
Разработка алгоритма вычисления коэффициентов формулы символа произведения двух псевдодифференциальных операторов
Реализация программного обеспечения в системе Maple для получения коэффициентов формулы символа произведения двух псевдодифференциальных операторов
Создание пакета программ, позволяющего получить определяющие коэффициенты формулы символа произведения дифференциальных опе-
раторов с использованием двойного экспоненциального отображения на пространствах постоянной кривизны
Разработка алгоритма поиска новых инвариантных метрик Эйнштейна на некоторых однородных пространствах классических групп Ли и доказательство на основе этого алгоритма теорем существования таких метрик
Создание Maple-программы для поиска новых инвариантных метрик Эйнштейна на некоторых однородных пространствах классических групп Ли
Научная новизна В данной диссертационной работе разработаны новые алгоритмы и программы для решения некоторых задач дифференциальной геометрии
Работа содержит новые результаты в теории псевдодифференциальных операторов, в частности, указан алгоритм вычисления определяющих коэффициентов формулы символа произведения двух псевдодифференциальных операторов, на основе этого алгоритма разработано программное обеспечение в системе Maple, и с его помощью получены формулы для определяющих коэффициентов до пятого порядка включительно Также найдены явные формулы определяющих коэффициентов на пространствах постоянной кривизны с использованием двойного экспоненциального отображения (на евклидовых сферах Sn постоянной положительной кривизны и на пространствах Лобачевского Ln постоянной отрицательной кривизны)
Также в работе, при помощи системы аналитических вычислений Maple, найдены новые инвариантные метрики Эйнштейна и доказаны теоремы существования таких метрик на некоторых однородных пространствах классических групп Ли
Теоретическая и практическая значимость Результаты диссертации имеют теоретическое и практическое значение и могут быть использованы для дальнейшего развития теории псевдодифференциальных операторов и теории однородных эйнштейновых многообразий Алгоритмы и программы, разработанные при решении указанных задач, могут быть использованы
для решения аналогичных задач дифференциальной геометрии Положения, выносимые на защиту
Разработан алгоритм, на основе которого написана программа для вычисления коэффициентов формулы символа произведения двух псевдодифференциальных операторов
Создан программный пакет, позволяющий получить определяющие коэффициенты формулы символа произведения дифференциальных операторов с использованием двойного экспоненциального отображения на пространствах постоянной кривизны
Найден алгоритм, используя который реализовано программное обеспечение для поиска новых инвариантных метрик Эйнштейна на некоторых однородных пространствах классических групп Ли и доказаны теоремы существования таких метрик
Методы исследования. Методика исследования ориентирована на использование стандартных методов линейной алгебры, анализа, дифференциальной геометрии, теории псевдодифференциальных операторов, тензорного анализа, теории групп и алгебр Ли Для решения поставленных задач использовались методы символьных и численных вычислений в системе Maple V Release 4
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на следующих конференциях и семинарах межрегиональная научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Проблемы социального и научно-технического развития в современном мире" (Рубцовск, РИИ, апрель 2005 г), всероссийская научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Проблемы социального и научно-технического развития в современном мире" (Рубцовск, РИИ, апрель 2006 г), международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н В Ефимова (Абрау-Дюрсо, РГУ, сентябрь 2006 г), всероссийская научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Проблемы социального и научно-технического развития в современном мире" (Рубцовск,
РИИ, апрель 2007 г), семинар лаборатории обратных задач математической физики (Новосибирск, ИМ СО РАН, июнь 2005 г), городской геометрический семинар г Барнаула под руководством Е Д Родионова (Барнаул, БГПУ, март 2007 г), семинар "Однородные пространства" под руководством В Н Берестовского и В М Гичева (Омск, ОмГУ, май 2007 г) Кроме того, все результаты работы в разное время докладывались на семинаре кафедры прикладной математики Рубцовского индустриального института Алтайского государственного технического университета имени И И Ползунова
Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 05-01-00611-а) и частичной поддержке Совета по грантам Президента Российской Федерации для поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ Российской Федерации (грант НШ-8526 2006 1)
Публикации. По теме диссертации опубликовано 14 работ Одна из работ опубликована в журнале из списка ВАК Некоторые результаты получены в соавторстве с Ю Г Никоноровым и А Арванитоеоргосом
Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, двух приложений и списка литературы Каждая глава в свою очередь разбита на несколько разделов Нумерация каждого утверждения в диссертации состоит из трех чисел, первое из которых обозначает номер главы, второе - номер раздела, третье - номер утверждения данного типа Аналогично нумеруются формулы, для таблиц используется сплошная нумерация Общий объем диссертации составляет 108 страниц, библиография состоит из 41 наименования
