Введение к работе
Актуальность темы. Данная диссертация посвящена исследованию свойств обобщённых функций Шура и её унитарной реализации, построению алгоритма Шура на единичной окружности для обобщённой функции Ка-ратеодори, а также решению основной граничной интерполяционной задачи и задачи факторизации для обобщённой функции Каратеодори.
Классом Шура в комплексном анализе называют множество голоморфных функций, определённых и ограниченных единицей на единичном круге. Понятие функций Шура встречается как в интерполяционной теории и теории инвариантных подпространств, так и в приложениях. Некоторые ядра, индуцированные функцией Шура встречаются в теории наиболее часто. Это воспроизводящие ядра для функциональных гильбертовых пространств, которые сегодня понимаются как пространства состояний для канонических коизометрических, изометрических и унитарных операторных узлов, чьи характеристические функции совпадают с данной функцией Шура.
Операторное обобщение понятия класса Шура определяется множеством функций S(z), заданных и голоморфных на подобласти единичного круга содержащей нуль, и принимающих значения во множестве L($, (б) непрерывных операторов, где ^, 65 - гильбертовые, пространства Понтрягина либо пространства Крейна.
Каждой такой функции поставим в соответствие три ядра
/ - S(z)S(uj)* „ ( , I- S(z)S(uj)*
Ks{uJ,z)= = , Kg(u,z
1 — ZUJ 1 — ZUJ
( Ks{WiZ) W - ЗІШ) \
Ds(u,z)
~ ~ z — и
S(z) - S(W)
\ Z-ZJ K^'Z) I
где S{z) = S(z)* и I обозначает скалярную единицу или единичный оператор в зависимости от контекста. Когда эти ядра неотрицательны, они являются воспроизводящими ядрами гильбертовых пространств $) (S), $)(S), ^(S) векторно-значных функций. Данные пространства появляются в канонической модели сжимающих операторов для случая гильбертовых пространств в теории Л. де Бранжа и Дж.Ровняка.
В общем случае у данных трёх ядер предполагалось наличие х отрицательных квадратов, для некоторого неотрицательного целого числа к. Тогда мы говорим, что функция S(z) принадлежит обобщённому классу Шура Sx($, 65). Согласно теории Л.Шварца и П.Сорьонена, в случае обобщённого класса Шура пространства $) (S), $)(S), ^(S) также существуют, однако теперь как пространства Понтрягина с отрицательным индексом к. Заметим, что индефинитность появляется и тогда, когда пространства^ и 65 являются пространствами Понтрягина или Крейна. Данный подход впервые исследовался В.П.Потаповым.
Индефинитные случаи также были изучены в сериях работ Д.Алпая, Т.Я.Азизова, М.Г.Крейна и Г.Лангера и недавних работах Л. де Бранжа.
Теория Крейна-Лангера предполагает, что пространства $ и 65 гильбертовы, и необходимость такого подхода мотивируется спектральной теорией, классическими представлениями резольвент и вопросами теории функций.
Теория де Бранжа охватывает различные системы точек зрения и использует понятие дополнения для создания ключевой конструкции.
Однако, несмотря на то, что получено множество выдающихся результатов, индефинитная теория менее изучена, нежели гильбертов случай.
Своё развитие теория пространств с индефинитной метрикой и действующих в них операторов получила в работах М.Г.Крейна, И.С.Иохвидова, Р.Филлипса, М.А.Наймарка, Г.К.Лангера, П.Ионаса, Т.Я.Азизова, А.А.Шкаликова, в ряде совместных работ Д.Алпая, Т.Я.Азизова, А.Дайксмы и Г.Лангера и многих-многих других математиков.
В свете вышеизложенного исследование качественных свойств функций Шура представляет несомненный интерес.
В настоящей работе мы подробно остановимся на аналоге результатов исследования М.Г.Крейна и Г.Лангера, полученных в 1977 году и связанных с актуальными проблемами современной математики, а именно с теорией приближения и факторизации функций в пространствах с индефинитной метрикой. Также мы исследуем свойства функции Каратеодори, близкие к полученным в 2006 году Д.Алпаем, А.Дайксмой и Г.Лангером и касающиеся алгоритма Шура для функций Шура и Неванлинны, факторизации и ин-
терполяции матричных функций. В качестве результата, получен алгоритм построения преобразования Шура для обобщённой функции Каратеодори для точки, принадлежащей единичной окружности.
Цель работы. Исследование качественных свойств обобщённых функций Шура, построение преобразования Шура для обобщённой функции Каратеодори на единичной окружности, исследование вопросов факторизации и интерполяции обобщённых функции Каратеодори.
Методика исследований. В диссертации используются методы математического анализа, теории приближений, операторной теории, теории интерполяции функций.
Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми и приводятся с полными доказательствами. Основные результаты работы:
Приведён пример операторно-значной функции, для которой ядро и сопряжённое ядро имеют различное количество отрицательных квадратов.
Доказана теорема об аппроксимации обобщённой функции Шура в окрестности единицы и приведены условия её представления в некоторой области Kq.
Доказана теорема о принадлежности вектора области определения.
Получено преобразование Шура для обобщённой функции Каратеодори в точке принадлежащей единичной окружности.
Доказаны теоремы о факторизации и интерполяции рациональных матричных функций для случая преобразования Шура обобщённой функции Каратеодори на единичной окружности.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Её результаты представляют интерес для исследований в рамках теории инвариантных пространств, теории аналитических функций, теории приближений и интерполяции линейных операторов.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных "Ломоносовские чтения" 2006 года (Севастополь, 2006); Воронежской зимней математической школе С.Г.Крейна (Воронеж;, 2006); Воронежской весенней математической школе "Современные методы теории
краевых задач" "Понтрягинские чтения - XVII" (Воронеж, 2006); Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж, 2007); Международной конфренции "Шестая Международная Конференция по операторной теории в пространствах Крейна и операторным многочленам" (Берлин, 2006); Международной конференции "Современный анализ и его приложения" (Одесса, 2007); Международной научной конференции "Петровские чтения - 2007" (Москва, 2007); на семинаре "Спектральная теория операторов в индефинитных пространствах" (Воронежский государственный университет, руководитель проф. Т.Я. Азизов).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] - [10]. Из них по теме диссертации опубликовано 10 работ.
Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, объединяющих в общей сложности тринадцать параграфов, и списка литературы. Объём диссертации 107 стр. Библиография содержит 70 наименований. Нумерация формул организована по порядку, в соответствии с номером главы и параграфа.
