Содержание к диссертации
Введение
1 Преобразование Шура для функции Каратеодори 19
1.1 Классическое определение преобразования Шура 19
1.2 Алгоритм Шура для функции Каратеодори . 21
1.3 Проблема интерполяции 31
2 Алгоритм Шура для обобщенной функции Каратеодори 34
2.1 Пространства Понтрягина с воспроизводящими ядрами 34
2.2 Матрица Пика 38
2.3 J-унитарные матричные функции и пространства V(Q) 39
2.4 Обобщенная функция Каратеодори 42
2.5 Преобразование Шура для обобщенной функции Каратеодори 49
3 Аппроксимация обобщенной функции Каратеодори 66
3.1 Предварительные сведения и постановка задачи . 66
3.2 Аппроксимация обобщенной функции Каратеодори в специальной области 69
Литература 80
- Алгоритм Шура для функции Каратеодори
- Матрица Пика
- Аппроксимация обобщенной функции Каратеодори в специальной области
Введение к работе
В начале двадцатого века И. Шур опубликовал две работы (см.[54, 55]), где он решает несколько важных проблем интерполяции для классов аналитических функций, заданных на единичном круге. Одна из них — ставшая в последствии знаменитой проблемой Шура: по заданным комплексным числам со, с\,..., сп найти функцию
п оо
j=0 j-n+l
являющуюся аналитической в круге \z\ < 1 и ограниченную единицей: \s(z)\ ^ 1. Такую функцию позднее назвали функцией Шура. Метод решения этой проблемы и других похожих проблем (например, проблемы Каратеодори-Теплица) основан па идее, которая впоследствии получила название алгоритма Шура. Дробно-линейное преобразование
w к ' zl-s{0)*s(z)
называется преобразованием Шура, а его повторяющееся применение
к функциям Шура и есть указанный алгоритм. Алгоритм Шура нашел применение в решении широкого круга задач как в фундаментальной, так и прикладной математике, к примеру, в теории операторов и вычислении сигналов [53],[46]. Он служит началом новой области математики, называемой анализом Шура.
В дальнейшем алгоритм Шура был применен к более общим классам функций, к таким как класс обобщенных функций Шура и класс
обобщенных функций Неванлинны. Преобразование Шура для обобщенных функций Шура было представлено в работах К. Шамфи [35] и Д. Дуфресной [45], а также в монографии М.Г. Бертин, А. Декомпс-Гьюлокс, М. Грандет-Хьюгот, М. Пасиаукс-Делефоссэ, Д. Шрейбер [31]. Далее оно изучалось в статьях таких авторов, как Д. Алпай, Т.Я. Азизов, А. Дайксма, X. Лангер [20, 21, 22], в их совместных работах с Г. Ваняла [23, 25]. Большое внимание этому же вопросу уделено в статье Е. Депретер, П. Девилд [39],Т. Ваняла [56], Т. Константинеску [36], в его совместной публикации с А. Геондэ [37] и с М. Баконый [30], а также в совместных работах Д. Алпая и X. Дыма [13, 17], Р. Акнер, Г. Лев-Ари, Т. Кайлас [12]. Введение алгоритма Шура для обобщенных функций Неванлинны и применению его к решению различных задач представлены в ряде работ Д. Алпая, А. Дайксмы, Г. Лангера [26, 28, 24], их общей статье с Ю. Шондиным [29] и А. Лугер [42], статье М.С. Деревягииа [40, 41].
Настоящая работа посвящена изучению обобщенных (индефинитных) функций Каратеодори и их интерполяционных свойств. Одна из основных целей работы — введение корректного понятия алгоритма Шура для обобщенной функции Каратеодори. При этом будет показано, что алгоритм Шура зависит от того, является ли вещественная часть значения функции / в некой точке открытого единичного круга z\ положительной, отрицательной или нулевой. Основными инструментами, примененными в исследовании, являются свойства пространств Понтрягииа с воспроизводящими ядрами (напр. [19]), связанные с обобщенной функцией Каратеодори. С помощью найденного алгоритма решена простейшая задача интерполяции для функции Каратеодори.
Целью работы является нахождения алгоритма Шура для функции Каратеодори и решение задачи интерполяции для нее; опреде-
ление преобразования Шура для обобщенной функции Каратеодори; исследование поведения последней в специальной области 0,$; решение задачи аппроксимации.
Методика исследования. В работе использовались методы теории функций, функционального анализа, теории операторов в пространствах с индефинитной метрикой, а также методы и подходы теории пространств Понтрягина с воспроизводящими ядрами.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Среди них можно выделить следующие, наиболее важные:
Введен в рассмотрение алгоритм Шура для классической функции Каратеодори. С его помощью решена проблема интерполяции для функции Каратеодори. Данный результат расширяет возможности применения алгоритма Шура.
Посредством использования теории пространств Понтрягина с воспроизводящими ядрами введено определение преобразования Шура для обобщенной функции Каратеодори. Доказана теорема о количестве отрицательных квадратов у преобразования Шура обобщенной функции Каратеодори.
Изучено поведение обобщенной функции Каратеодори в специальной области 1 и решена задача ее аппроксимации в этой области.
Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы в учебном процессе, спецкурсах и монографиях, в научных исследованиях, основанных на теории операторов в пространствах с индефинитной метрикой и ее приложениях, проводимых в Воронежском, Московском, Югорском университетах, в институте математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, в ма-
тематическом институте им. Стеклова Российской академии наук, в научно исследовательском институте математики Воронежского государственного университета.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на семинаре проф. Т.Я. Азизова в Воронежском государственном университете, на семинаре по функциональному анализу в государственном университете штата Джорджия, г. Атланта, США, на семинаре кафедры высшей математики Воронежского государственного архитектурно-строительном университета, под руководством проф. А.С. Лободы; Воронежских зимних математических школах - 2006, 2007; Воронежских весенних математических школах "Понтрягинские чтения - XVII", "Понтрягинские чтения - XVIII", Воронеж, 2006, 2007; международной летней школе и конференции по операторным алгебрам, теории операторов и их приложениям WOAT
Лиссабон, Португалия; на международной конференции по теории операторов в пространствах Крейна и операторным полиномам, Берлин, 2006, Германия; на международной конференции "Современный анализ и приложения"МАА 2007, Одесса, Украина; на международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", Москва, 2007; на международной конференции по теории операторов в пространствах Крейна и спектральному анализу, Берлин,
Германия.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [5]-[11], [49]-[51]. Этот список также приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, включающих десять параграфов, и списка литературы. Объем диссертации 87 страниц. Библиографический список содержит 56 наименований. Текст иллюстрируют 2 рисунка.
Краткое содержание работы
Во введении обосновывается актуальность темы, приводятся исторические сведения, методика исследования и дан краткий обзор содержания диссертации по главам.
Первая глава посвящена классическому определению преобразования Шура для функции Шура, а также введению алгоритма Шура для функции Каратеодори и решению проблемы интерполяции для нее.
В параграфе 1.1 дается определение функции Шура s, голоморфной функции, переводящей открытый единичный круг В в себя, и вводится класс данных функций, обозначаемый S. Далее рассматривается дробно-линейное преобразование, отображающее весь класс функций Шура, тождественно не равных по модулю единице, в S:
ф) ^ ад = I'W-'W .
w w zl-s{z)s(0)*
Функция s~ называется преобразованием Шура функции s. Если 's(z) не является константой, по модулю равной единице, то преобразование можно повторить, заменив s(z) на 's(z). Повторяя эту процедуру, исходной функции Шура s ставятся в соответствие конечные или бесконечные ПОСЛеДОВатеЛЬНОСТИ фуНКЦИЙ И КОМПЛеКСНЫХ ЧИСеЛ СТі є В,
называемых коэффициентами Шура, такие, что:
soOO = SW> ^0 = so(0),
и для j = 0,1,...
^.. 1 Sj(z) — Sj(0) . .
Данные рекуррентные соотношения называются алгоритмом Шура.
В параграфе 1.2 определяется множество голоморфных в открытом единичном круге О функций, вещественная часть которых является положительной — множество функций Каратеодори Со- Акцент
делается на исследование свойств этих функций, с помощью которых вводится алгоритм Шура с центром в точке z = 0. Алгоритм заключается в том, что фиксируется функция / Є Со и определяются последовательность функций {/п} и последовательность чисел {п} следующим образом:
/о = /, &> = /»(0), п>0,
/.М + + ^Ч±
Мг)+&-щ*т-
Основные результаты параграфа сформулированы в последующих двух теоремах.
Пусть Ф — множество конечных или бесконечных последовательностей комплексных чисел = {о, i,..., n,...} со свойством Ren ^ 0, п ^ 0. Такой набор бесконечен, если Re^j > 0 для любого j ^ 0, и
конечен длиною по, если /?ej > 0, j = 1, щ и -Reno = 0.
Теорема 1.2.1 Алгоритм Шура осуществляет взаимно-однозначное соответствие между множеством функций Каратеодори Со и описанным мнооїсеством Ф. Если функции, к которой применяется алгоритм Шура, соответствует конечный набор комплексных чисел, то она имеет вид f(z) = jZf(ZJ) > г^е s(z) ~ конечное произведение Бляшке степени щ.
Теорема 1.2.2 Для любой функции f Є Со существует последовательность функций {pn{z) = i+l(z)}> г^е isn(z)} ~ последовательность конечных произведений Бляшке, сходящихся к функции f на компактном подмножестве множества D.
В заключении параграфа определяется преобразование Шура, имеющее центр в любой точке единичного круга z\ Є D:
J{z) + c0+ bc{z) 1+co
/W =
j{z)+cQ- b{z) j—
где bc(z) = ? *\ — множитель Бляшке.
В параграфе 1.3 описывается решение простейшей задачи интерполяции для функции Каратеодори (Задача 2), заключающаяся в следующем: дано комплексное число cq Є С; найти все функции Каратеодори f такие, что /(0) = cq.
Решение этой задачи интерполяции находится в зависимости от знака вещественной части значения функции / в точке z = 0 и сформулировано в следующей теореме.
Теорема 1.3.1
Если Re cq < 0, то задача 2 не имеет решений.
Если Re cq = 0, то задача 2 имеет единственное решение, а именно: f(z) = Cq.
Если Re cq > 0, то существует бесконечно много решений поставленной задачи:
f(z) = *=o(i + cp)(i - f(z)) - cq(i + c;)(i + №)
*(1 + с„)(-1 + /(*)) - (1 + с5)(1 + Д») '
где f — функция Каратеодори.
Вместе с тем показывается, как с помощью алгоритма Шура решается рекурсивная проблема интерполяции (Задача 3): по заданным комплексным числам со, ...,cn_i найти все (если существуют) функции Каратеодори такие, что:
f(z) = с0 + zci + ... + лп-1сп_і + 0(zn), z-+0.
Вторая глава посвящена нахождению алгоритма Шура для обобщенной (индефинитной) функции Каратеодори.
Параграф 2.1 носит вспомогательный характер. В нем напоминаются необходимые в работе определения пространств Крейна и Понт-рягина.
Определение 1 Пространство Н с Q-метрикой Q(#, у) — (х, у), допускающее разлооїсение в Q-ортогональную прямую сумму:
в котором Н+ и Н~ являются полными, то есть гильбертовыми пространствами по отношению к нормам \\х\\ = (х,х)^, (х Н+) и \\х\\ = (— (ж, ж)2), (х Є Н~), соответственно, называется пространством Крейна.
Определение 2 Пространство Крейна Н = Н+(+)Н~ с конечным рангом индефинитности к = min{dimH+, dimH~} называется пространством Понтрягина и обозначается Пх.
Далее вводится понятие ядра с к отрицательными квадратами K(z, w): в соответствие которому специальным образом ставится пространство Понтрягина Р(К).
Рассмотрим натуральное число р ^ 1 и обозначим через <СР комплексное векторное пространство, состоящее из векторов, размером р х 1.
Определение 3 р х р матричная функция К двух переменных, определенная на множестве Г2 х 7, где АсС, называется эрмитовым ядром, если
K(z, w) = K*(w, z), z,wQ.
Определение 4 Пусть множество Q — открытое множество на комплексной плоскости. Тогда эрмитово ядро K(z, w) называется аналитическим, если оно апалитично по z при фиксированном w и анали-тично по w* при фиксированном z.
Определение 5 Говорят, что эрмитово ядро K(z, w) имеет к отрицательных квадратов (sq~K(z, w) = к), где к — целое неотрицательное число, если для любого натурального т ^ 1, любых конечных наборов векторов {сі} Є Ср и точек {wi} Є Г2 эрмитова т х т
матрица
((K{wi,Wj)ci,Cj)P)j=il
имеет не более к отрицательных собственных значений, а хотя бы для одного набора их ровно х, с учетом кратности.
Говорят, что ядро K(z, w) — неотрицательно, если условие выполнено при к — 0, то есть матрица {{K{wi^Wj)ci^Cj)P)1Ji.l является неотрицательной.
Определение 6 Ядру K(z,w) с и отрицательными квадратами ставится в соответствие пространство Понтрягина V(K), состоящее из вектор-функций, определенных на Q и со значениями в Ср. Важным является выполнение следующих двух свойств:
1. Для любого фиксированного элемента w Є Q и вектора с Є Ср
функция (Kwc)(z) принадлеоісит V(К), где
(Kwc)(z) = K(z,w)c, z G ft.
2. Для любой функции f Є V(K)
{f,Kwc)v(K) = c*f(w).
Также в данном параграфе рассматриваются некоторые необходимые свойства пространств Понтрягина с воспроизводящими ядрами.
Параграф 2.2 посвящен изучению необходимых свойств матрицы Пика для данного ядра с х отрицательными квадратами K(z, w).
Определение 7 Матрица коэффициентов в разложении
K(z,w)=Y.~fii(z-zi)\*-4Y,
i,j=0
то есть матрица Г = (7ij)ij=o называется матрицей Пика данного ядра в точке z\.
Параграф 2.3 посвящен определению J-унитарных матричных функций и напоминанию их необходимых в дальнейшем свойств.
Определение 8 Рациональная матричная функция 0 называется J-у нитарной на окружности, если
в(еи)*№(е{*) = J, t Є [0, 2тг), elt Є hol(Q),
J = J\ J2 = I2.
В параграфе 2.4 рассматривается обобщенная функция Каратео-дори и доказываются теоремы, посвященные нахождению явного вида матрицы Пика для ядра
f(z) + /М* chUf\
KAz>w) = —і 1—> ^> є ^oh/)
1 — ZW*
и изучению свойств этой матрицы.
Определение 11 Функция f называется обобщенной (или индефинитной) функцией Каратеодори, если она мероморфна в открытом единичном круге Ш и ядро Kf(z, w) имеет конечное число отрицательных квадратов.
Обозначим через Ск — класс обобщенных функций Каратеодори с х отрицательными квадратами, а через С = (Jx>o ^ ~ множество всех обобщенных функций Каратеодори.
Для точки z\ Є Р обозначим через (1 (С21) — множество функций, принадлежащих Сх (С соответственно), которые являются голоморфными в этой точке.
Приводится результат о принадлежности функции / к классу С^, являющийся прямым следствием известной теоремы о связи количества отрицательных квадратов ядра с количеством отрицательных собственных значений соответствующей ядру матрицы Пика.
Следствие 1 Функция f является обобщенной функцией Каратеодори с х отрицательными квадратами тогда и только тогда, когда
число отрицательных собственных значений соответствующей ей матрицы Пика равняется к:
Теорема 2.4.1 Матрица Пика функции f Є CZl в точке z\ мооїсет быть найдена из соотношения:
Г = Г + Г*,
где — теплицева матрица коэффициентов в разложении Тейлора обобщенной функции Каратеодори f = Y^oci{z ~~ ziY:
/со 0 0 0 -\
с\ со О О
— (cj_fe)^Jb_o —
с2 сі со О
сз с2 Сі с0
/
аГ — матрица Пика для ядра
K(z,w)
в точке z\ Є О.
1 — zu>*
Обозначим через &о(Г) наименьшее положительное число j, такое, что главная подматрица Г^ матрицы Г обратима:
k0(T) = min{j : detYj ф 0}.
Теорема 2.4.2 Для функции f Є CZl, не являющейся чисто мнимой константой, и для ее матрицы Пика выполнено:
co + cJ^O ^ Ай(Г) = 1.
Еслп со + Cq = 0, то ко — 2к, где к ^ 1 — наименьшее целое число, такое что с& ф 0.
Основным результатом параграфа 2.5 является нахождение пре-образования Шура / для обобщенной функции Каратеодори / с помощью использования теории пространств Понтрягина с воспроизводящими ядрами:
Здесь матричная функция 0 находится в зависимости от вещественной части числа со = f(z\), z\ Є D, отображенной в следующей теореме: Теорема 2.5.3 Если вещественная часть числа cq = f(z{), ^iGD отлична от нуля: Ref(z{) ф О, то матричная функция G имеет вид:
~ _ 1 ( cQbc(z) + c$c(z0) bc(zQ) - bc(z) \
" (со + 4)ЪсЫ \c0c*0{bc{z0) - bc(z)) c*0bc(z) + c0bc{z0)J '
b^z) = Ї П7> zo є т.
Если же Ref(zi) = 0, mo
в{2) (1 - zz^4c(z0)k X
_ (z - zi)k(l - zz{)k - c0p(z) p(z)
*\k l)
2^(-,\ (-, ~ \к(л ~~*\k
-c2oP(z) (z - Zl)k(l - zz{f + c0p(z)/
где p — многочлен, удовлетворяющий следующим свойствам:
pW = o, К*) + я2V (-^) = 0.
z Преобразование Шура для обобщенной функции Каратеодори / находим следующим образом. Если
ft А 1 і (* - *і)*(1 - **!)*
/W~c0 + egp(z)
то преобразование не определено. В случае, когда
С0 ф(2г)
преобразование Шура зависит от того, является ли вещественная часть со нулевой или нет. В связи этим рассматриваем следующие две возможности:
1. Если /бСгіис0 + с^ 0, то
п 12 _ (1--z4)(1-jZ0zl)c0+c0(z-^l)(zQ--zl) f(~\
/(*)
(l-^Xl-Z!**)
-/ч _ (l-ZZ*)(l-^gzi)cQ+cg(z-Zl)(z^-4)
(1-^)(1-^4)
2. Если / Є С21 и со + 4 = 0, то
col2 - (^ - *)/(,)
/(*)
p{z)
/W-(«^ + co)
р(з)
где fc ^ 1 — наименьшее целое число, такое, что Ск ф О, bc(z) = /~Zl.. ар — многочлен степени 2к, определяемый следующим об-разом. Рассмотрим многочлен г, степени не превышающей к — 1, удовлетворяющий равенству:
r(z)(f(z) - со) = c0(z - Zl)k(l - zzl)k + 0((* - Zl)2k), Z -> ^
и положим p{z) = r{z) — z2kr*(^).
Далее доказывается теорема о количестве отрицательных квадратов у преобразования Шура обобщенной функции Каратеодори.
Теорема 2.5.4 Пусть функция / Є С^1 допускает разложение в ряд Тейлора
/м = 5>(* -1)'
г=0
и пусть f — преобразование Шура данной обобщенной функции Ка-ратеодори. Тогда f Є С~, где ггрм іїесо ф 0 :
х, Десо > О,
к — 1, і?есо < 0.
При Reco — 0 :
>с = к — к,
где к ^ 1 — наименьшее натуральное число, такое, что в разложении функции f в ряд Тейлора с& ф О.
Третья глава посвящена решению задачи аппроксимации для обобщенной функции Каратеодори в специальной области 2$.
В параграфе 3.1 напоминается, что в работе М.Г. Крейна и Г. Лан-гера [48] была решена задача об аппроксимации обобщенной функции Неванлинны в некоторой области W$ = {а Є С+, — || ^ #}, где 0 ^ -д < |, а С+ — верхняя полуплоскость комплексной плоскости. Область W.Q представляет собой угол в верхней полуплоскости, градусная мера которого зависит от параметра #.
Определение 12 Функция g называется обобщенной функцией Неванлинны, если она мероморфна в верхней полуплоскости С+ и ядро
имеет конечное число отрицательных квадратов, где hol(g) — область голоморфности функции д.
Обобщенная функция Каратеодори связана с обобщенной функцией Неванлинна с помощью преобразования Кели-Неймана. Эта связь дает возможность найти аппроксимацию для обобщенной функции Каратеодори в специальной области Г^, которая является пересечением двух единичных кругов в комплексной плоскости и имеет вид:
Q.0 = {Л : Л = , а Є WA.
а + г
В параграфе 3.2 сформулирована и доказана теорема об аппроксимации обобщенной функции Каратеодори в области W^. Ей предшествует лемма о представлении обобщенной функции Каратеодори в этой области, которая, на наш взгляд, носит не только вспомогательный характер, но и представляет независимый интерес.
Определение 13 Элемент v Є UK называется порождающим элементом для унитарного оператора V : Пх —> TLX, если
Пх = lpan{(V - Х)~гу, aeU>\ap(V)}.
Известно, что функция / принадлежит классу Сх тогда и только тогда, когда существует пространство Понтрягина П^, унитарный оператор V : Пх —> Пх и его порождающий элемент v Є Пх такие, что эта функция имеет следующее представление:
/(А) = /(0) + 2Х[(У - А)"V v\ (Л Є О \ ap(V)).
Лемма 3.2.1 Функция f удовлетворяет свойствам:
ДА) Є Ся;
Ihn" ЩШ < оо;
A->1 l1-AJ
3. lim /(А) = 0
А->1 Aefl,?
тогда и только тогда, когда порождающий элемент v Є Пх в представлении
/(А) = /(0) + 2X[(V - А)" V v], (А Є В \ ap(V))
принадлежит области определения оператора (V~I)~1:v Є с/от(У— 7)"1 и представление функции f принимает вид:
/(А) = -2(А - 1)[(V - А)-1^, (У - 1)-4] (А Є fi* \ (7P(V)).
Теорема 3.2.1 Для функции f следующие свойства: 1. fe Сж,
2. Для целого числа п ^ О существуют 2п чисел sq, s\, ..., S2n-i таких, что
2п-1
да) + Y, sv{x - iy+1 = о((л -1)2-+1) (л -> і, л є ад
выполнены тогда и только тогда, когда существуют 7ГХ- пространство Понтрягина П^, -к-унитарный оператор V : Пх —> Пх и порождающий для V элемент v Є dom({V - /)-("+!)) такие, что
/(А) = -2(А - 1)[(у - ЛГУ (V - I)~lv] (А є fi* \ ap{V)).
При этом
h[{V - I)~(u+%, {V ~ I)-^], 0<и<п sv = <
I {-iy-n2[(V - I)-(n+lh, Vv~n(V - I)-u+n-lv\, n
Алгоритм Шура для функции Каратеодори
В начале двадцатого века И. Шур опубликовал две работы (см.[54, 55]), где он решает несколько важных проблем интерполяции для классов аналитических функций, заданных на единичном круге. Одна из них — ставшая в последствии знаменитой проблемой Шура: по заданным комплексным числам со, с\,..., сп найти функцию п оо j=0 j-n+l являющуюся аналитической в круге \z\ 1 и ограниченную единицей: \s(z)\ 1. Такую функцию позднее назвали функцией Шура. Метод решения этой проблемы и других похожих проблем (например, проблемы Каратеодори-Теплица) основан па идее, которая впоследствии получила название алгоритма Шура. Дробно-линейное преобразование к zl-s{0) s(z) называется преобразованием Шура, а его повторяющееся применение к функциям Шура и есть указанный алгоритм. Алгоритм Шура нашел применение в решении широкого круга задач как в фундаментальной, так и прикладной математике, к примеру, в теории операторов и вычислении сигналов [53],[46]. Он служит началом новой области математики, называемой анализом Шура.
В дальнейшем алгоритм Шура был применен к более общим классам функций, к таким как класс обобщенных функций Шура и класс обобщенных функций Неванлинны. Преобразование Шура для обобщенных функций Шура было представлено в работах К. Шамфи [35] и Д. Дуфресной [45], а также в монографии М.Г. Бертин, А. Декомпс-Гьюлокс, М. Грандет-Хьюгот, М. Пасиаукс-Делефоссэ, Д. Шрейбер [31]. Далее оно изучалось в статьях таких авторов, как Д. Алпай, Т.Я. Азизов, А. Дайксма, X. Лангер [20, 21, 22], в их совместных работах с Г. Ваняла [23, 25]. Большое внимание этому же вопросу уделено в статье Е. Депретер, П. Девилд [39],Т. Ваняла [56], Т. Константинеску [36], в его совместной публикации с А. Геондэ [37] и с М. Баконый [30], а также в совместных работах Д. Алпая и X. Дыма [13, 17], Р. Акнер, Г. Лев-Ари, Т. Кайлас [12]. Введение алгоритма Шура для обобщенных функций Неванлинны и применению его к решению различных задач представлены в ряде работ Д. Алпая, А. Дайксмы, Г. Лангера [26, 28, 24], их общей статье с Ю. Шондиным [29] и А. Лугер [42], статье М.С. Деревягииа [40, 41].
Настоящая работа посвящена изучению обобщенных (индефинитных) функций Каратеодори и их интерполяционных свойств. Одна из основных целей работы — введение корректного понятия алгоритма Шура для обобщенной функции Каратеодори. При этом будет показано, что алгоритм Шура зависит от того, является ли вещественная часть значения функции / в некой точке открытого единичного круга z\ положительной, отрицательной или нулевой. Основными инструментами, примененными в исследовании, являются свойства пространств Понтрягииа с воспроизводящими ядрами (напр. [19]), связанные с обобщенной функцией Каратеодори. С помощью найденного алгоритма решена простейшая задача интерполяции для функции Каратеодори.
Целью работы является нахождения алгоритма Шура для функции Каратеодори и решение задачи интерполяции для нее; опреде ление преобразования Шура для обобщенной функции Каратеодори; исследование поведения последней в специальной области 0,$; решение задачи аппроксимации.
Методика исследования. В работе использовались методы теории функций, функционального анализа, теории операторов в пространствах с индефинитной метрикой, а также методы и подходы теории пространств Понтрягина с воспроизводящими ядрами. Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Среди них можно выделить следующие, наиболее важные: 1. Введен в рассмотрение алгоритм Шура для классической функции Каратеодори. С его помощью решена проблема интерполяции для функции Каратеодори. Данный результат расширяет возможности применения алгоритма Шура. 2. Посредством использования теории пространств Понтрягина с воспроизводящими ядрами введено определение преобразования Шура для обобщенной функции Каратеодори. Доказана теорема о количестве отрицательных квадратов у преобразования Шура обобщенной функции Каратеодори. 3. Изучено поведение обобщенной функции Каратеодори в специальной области 1 и решена задача ее аппроксимации в этой области.
Матрица Пика
Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы в учебном процессе, спецкурсах и монографиях, в научных исследованиях, основанных на теории операторов в пространствах с индефинитной метрикой и ее приложениях, проводимых в Воронежском, Московском, Югорском университетах, в институте математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук, в ма тематическом институте им. Стеклова Российской академии наук, в научно исследовательском институте математики Воронежского государственного университета.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на семинаре проф. Т.Я. Азизова в Воронежском государственном университете, на семинаре по функциональному анализу в государственном университете штата Джорджия, г. Атланта, США, на семинаре кафедры высшей математики Воронежского государственного архитектурно-строительном университета, под руководством проф. А.С. Лободы; Воронежских зимних математических школах - 2006, 2007; Воронежских весенних математических школах "Понтрягинские чтения - XVII", "Понтрягинские чтения - XVIII", Воронеж, 2006, 2007; международной летней школе и конференции по операторным алгебрам, теории операторов и их приложениям WOAT 2006, Лиссабон, Португалия; на международной конференции по теории операторов в пространствах Крейна и операторным полиномам, Берлин, 2006, Германия; на международной конференции "Современный анализ и приложения"МАА 2007, Одесса, Украина; на международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", Москва, 2007; на международной конференции по теории операторов в пространствах Крейна и спектральному анализу, Берлин, 2007, Германия. Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [5]-[11], [49]-[51]. Этот список также приведен в конце автореферата. Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, включающих десять параграфов, и списка литературы. Объем диссертации 87 страниц. Библиографический список содержит 56 наименований. Текст иллюстрируют 2 рисунка. Краткое содержание работы Во введении обосновывается актуальность темы, приводятся исторические сведения, методика исследования и дан краткий обзор содержания диссертации по главам. Первая глава посвящена классическому определению преобразования Шура для функции Шура, а также введению алгоритма Шура для функции Каратеодори и решению проблемы интерполяции для нее. В параграфе 1.1 дается определение функции Шура s, голоморфной функции, переводящей открытый единичный круг В в себя, и вводится класс данных функций, обозначаемый S. Далее рассматривается дробно-линейное преобразование, отображающее весь класс функций Шура, тождественно не равных по модулю единице, в S: ф) ад = I W- W . w w zl-s{z)s(0) Функция s называется преобразованием Шура функции s. Если s(z) не является константой, по модулю равной единице, то преобразование можно повторить, заменив s(z) на s(z). Повторяя эту процедуру, исходной функции Шура s ставятся в соответствие конечные или бесконечные ПОСЛеДОВатеЛЬНОСТИ фуНКЦИЙ И КОМПЛеКСНЫХ ЧИСеЛ СТі є В, называемых коэффициентами Шура, такие, что: soOO = SW 0 = so(0), и для j = 0,1,... .. 1 Sj(z) — Sj(0) . . Данные рекуррентные соотношения называются алгоритмом Шура. В параграфе 1.2 определяется множество голоморфных в открытом единичном круге О функций, вещественная часть которых является положительной — множество функций Каратеодори Со- Акцент делается на исследование свойств этих функций, с помощью которых вводится алгоритм Шура с центром в точке z = 0. Алгоритм заключается в том, что фиксируется функция / Є Со и определяются последовательность функций {/п} и последовательность чисел {п} следующим образом: /о = /, & = /»(0), п 0, /.М + + Ч± Мг)+&-щ т Основные результаты параграфа сформулированы в последующих двух теоремах. Пусть Ф — множество конечных или бесконечных последовательностей комплексных чисел = {о, i,..., n,...} со свойством Ren 0, п 0. Такой набор бесконечен, если Re j 0 для любого j 0, и конечен длиною по, если /?ej 0, j = 1, щ и -Reno = 0.
Аппроксимация обобщенной функции Каратеодори в специальной области
Теорема 1.2.1 Алгоритм Шура осуществляет взаимно-однозначное соответствие между множеством функций Каратеодори Со и описанным мнооїсеством Ф. Если функции, к которой применяется алгоритм Шура, соответствует конечный набор комплексных чисел, то она имеет вид f(z) = jZf(ZJ) г е s(z) конечное произведение Бляшке степени щ. Вместе с тем показывается, как с помощью алгоритма Шура решается рекурсивная проблема интерполяции (Задача 3): по заданным комплексным числам со, ...,cn_i найти все (если существуют) функции Каратеодори такие, что: f(z) = с0 + zci + ... + лп-1сп_і + 0(zn), z-+0. Вторая глава посвящена нахождению алгоритма Шура для обобщенной (индефинитной) функции Каратеодори. Параграф 2.1 носит вспомогательный характер. В нем напоминаются необходимые в работе определения пространств Крейна и Понт-рягина. Определение 1 Пространство Н с Q-метрикой Q(#, у) — (х, у), допускающее разлооїсение в Q-ортогональную прямую сумму: в котором Н+ и Н являются полными, то есть гильбертовыми пространствами по отношению к нормам \\х\\ = (х,х) , (х Н+) и \\х\\ = (— (ж, ж)2), (х Є Н ), соответственно, называется пространством Крейна. Определение 2 Пространство Крейна Н = Н+(+)Н с конечным рангом индефинитности к = min{dimH+, dimH } называется пространством Понтрягина и обозначается Пх. Далее вводится понятие ядра с к отрицательными квадратами K(z, w): в соответствие которому специальным образом ставится пространство Понтрягина Р(К). Рассмотрим натуральное число р 1 и обозначим через СР комплексное векторное пространство, состоящее из векторов, размером р х 1. Определение 3 р х р матричная функция К двух переменных, определенная на множестве Г2 х 7, где АсС, называется эрмитовым ядром, если K(z, w) = K (w, z), z,wQ.
Определение 4 Пусть множество Q — открытое множество на комплексной плоскости. Тогда эрмитово ядро K(z, w) называется аналитическим, если оно апалитично по z при фиксированном w и анали-тично по w при фиксированном z. Определение 5 Говорят, что эрмитово ядро K(z, w) имеет к отрицательных квадратов (sq K(z, w) = к), где к — целое неотрицательное число, если для любого натурального т 1, любых конечных наборов векторов {сі} Є Ср и точек {wi} Є Г2 эрмитова т х т матрица ((K{wi,Wj)ci,Cj)P)j=il имеет не более к отрицательных собственных значений, а хотя бы для одного набора их ровно х, с учетом кратности. Говорят, что ядро K(z, w) — неотрицательно, если условие выполнено при к — 0, то есть матрица {{K{wi Wj)ci Cj)P)1Ji.l является неотрицательной. Определение 6 Ядру K(z,w) с и отрицательными квадратами ставится в соответствие пространство Понтрягина V(K), состоящее из вектор-функций, определенных на Q и со значениями в Ср. Важным является выполнение следующих двух свойств: 1. Для любого фиксированного элемента w Є Q и вектора с Є Ср функция (Kwc)(z) принадлеоісит V(К), где (Kwc)(z) = K(z,w)c, z G ft. 2. Для любой функции f Є V(K) {f,Kwc)v(K) = c f(w). Также в данном параграфе рассматриваются некоторые необходимые свойства пространств Понтрягина с воспроизводящими ядрами. Параграф 2.2 посвящен изучению необходимых свойств матрицы Пика для данного ядра с х отрицательными квадратами K(z, w). Определение 7 Матрица коэффициентов в разложении K(z,w)=Y. fii(z-zi)\ -4Y, i,j=0 то есть матрица Г = (7ij)ij=o называется матрицей Пика данного ядра в точке z\. Параграф 2.3 посвящен определению J-унитарных матричных функций и напоминанию их необходимых в дальнейшем свойств. Определение 8 Рациональная матричная функция 0 называется J-у нитарной на окружности, если в(еи) №(е{ ) = J, t Є [0, 2тг), elt Є hol(Q), J = J\ J2 = I2. В параграфе 2.4 рассматривается обобщенная функция Каратео-дори и доказываются теоремы, посвященные нахождению явного вида матрицы Пика для ядра f(z) + /М chUf\ KAz w) = —І 1— є OH/) 1 — ZW и изучению свойств этой матрицы. Определение 11 Функция f называется обобщенной (или индефинитной) функцией Каратеодори, если она мероморфна в открытом единичном круге Ш и ядро Kf(z, w) имеет конечное число отрицательных квадратов. Обозначим через Ск — класс обобщенных функций Каратеодори с х отрицательными квадратами, а через С = (Jx o множество всех обобщенных функций Каратеодори. Для точки z\ Є Р обозначим через (1 (С21) — множество функций, принадлежащих Сх (С соответственно), которые являются голоморфными в этой точке. Приводится результат о принадлежности функции / к классу С , являющийся прямым следствием известной теоремы о связи количества отрицательных квадратов ядра с количеством отрицательных собственных значений соответствующей ядру матрицы Пика.
