Введение к работе
j
-Актуальность теш. Начало систематического исследования линейных дифференциальных уравнений в банаховом пространства было положено в конце 40-ых годов работами Э.Хилле и К.Иосвды по теории полугрупп и М.Г.Крейна по теорш устойчивости.Даль -неіішєе развитие и выход в другие разделы математики связаны с именами С.Г.Крейна.Ф.С.Рофе-Бекетова,Б.М.Левитана,Ж.Л.йюнса, А.Пази.Г.Фатторини.Л.Америо и др.При этом почти во всех вопросах, касающихся изучения решений таких уравнений,априори пред -полагалась не только их гладкость внутри интервала,налагались тшясе определенные условия на поведение вблизи границы. Отличительной особенностью настоящей диссертации является тот факт, что в пей рассматриваются гладкие внутри интервала решения без каких бы то ни было ограничений возле концов.Основная ав задача состоит в доказательстве существования граничных значений /возмо.-хно.в обобщенном смысле/ таких решений,восстановлении решений по их граничным значениям и исследовании зависимости степени обобщенности граничного значения гладкого внутри ин -тервала решения от порядка его роста при приближении к границе* ііменно такая постановка была характерна для теории аналитических /гармонических/ функций, заданных в открытой области.Как "известно,вопрос об их граничных свойствах интересовал многих математиков /П.Фату,Ф.Рисе,И.И.Привалов,ГЛСУтеДіТильман,B.C. Владимиров,Г.Комацу и др./,что привело к создании стройной теории граничных значений аналитических /гармонических/ функций и появтешго таких новых понятий,как "классы Харди","гиперфункции", "ультрараспределения" и т.п. . В последнее время интерес к этой теории активизировался з связп с изучением граничных значенні: решений не только уравнения Лапласа > но и других уравнений в частных производных эллиптического и параболического типа.Об этом свидетельствуют многочисленные публикации в этом направлении,из которых преэде всего следует назвать работы Е.-Л.Лионса,В.Г.І/;азьи,В.П.І,іихаіІтова,А.К.Гуіі|Ина(ЯіА.Роптберга, С.,Ц.11васншена,И.М.Петру1шсо,НкЗ.Китараиу(Д'5:*Хабровского,Р.Эст-рады и Р.Копуэла,В.Ю.Шелепова и др. . В них устанавливаются
условия существования граничних аначеїшй решений эллиптических или параболических уравнений,главным образом,в пространствах Lp и обобщенных функций конечного порядка.Однако граничные значения такого сорта модно пршшсать не любому гладкому внутри области решению,а лишь тем из них,которые при приближении к границе имеют рост не выше степенного.Поскольку многие из уравнений в частных производных представляются в виде обыкновенных дифференциальных с неограниченными операторными коэффициентами, то построение теории граничных значений гладких внут-ри интервала решений дифференциально-операторных уравнешій, которая позволила бы каждому такому решению сопоставить его след на границе в некотором топологическом пространстве,что и делается в диссертации,на наш взгляд,актуально.С одной стороны,эта теория играет важную роль при постановке и исследовании граничных задач для таких уравнений,а с другой, - дает общий подход к изучению граничных свойств решений уравнений в частных производных, с помощью которого единообразно могло получить как уже известные,так и новые результаты.
Научные результаты, выносимые на защиту, и их новизна. Результаты, изложенные в диссертации, новы. В ней, в частности:
1. Введены и изучены некоторые классы пространств гладких
и обобщенных векторов нормального оператора в гильбертовом пространстве. Доказан абстрактный вариант теоремы Шли-Винера.
-
Для дифференциально-операторных уравнений первого порядка параболического типа и второго порядка эллиптического типа получено представлокие любого гладкого внутри интервала решения,
-
Найдено линейное топологическое пространство,в котором всякое гладкое внутри интервала решение рассматриваемых уравнений тлеет граничное значение.Оно является максимальным прост -ранством начальных данных для постановки задачи Коши в случае уравнения первого порядка'и задачи Дирихле для уравнения-второго порядка.
-
Построена теория граничных значении гладких внутри ин -тервала решений указанных уравнений,а именно,установлена вза -лмно однозначная связь между поведением решения в окрестности границы и степенью "гладкости" его граничного значения.
5. Конкретній реализации предыдущих пунктов приводят к следующим новым результатам: а) построена теорій граничных значений гарюническкх в полупространстве и и. -і.:ерном шаре функций в различных функциональных пространствах,существенно дополняющая и обобщающая пмзвскеся ранее результаты в этой области; б) развита теория суммируемости формальных разложений по мб -ственным функциям самосопряженного оператора с дискретль.. спектром и установлен принцип локализации для метода суммирования Абеля-Пуассона рядов йурье гиперфункций; в) предложен вариант построения операционного исчисления для некоторого класса носа-мосопрялешшх операторов на алгебрах неаналитических на спектре функция.
Методы псслодоваши. Используется и частично развизается спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве,теория обобщенных функций с заменой оператора диф-ференццровшшя произвольны.! нормальным оператором.
Теоретическая значимость. В диссертации разработаны новые теоретико-операторные методы исследования граничных значений решешгіі дифференциальных уравнении.
Аггообацпя работы и публикации. Основные результаты диссертации докладывались па мездупародных конференциях по обобщен -Ніл.» функциям и лх ирилохениям в математической физике /Поок -ва,І9В0 ; Дебрецен,1984/,Советско-чехословацком совещания по пригленешпо методов теории функции и функционального анализа к задачам математической физики /Донецк,1988/, 7-ой чехословацкой конференции по дифференциальным уравнениям и их применениям /Прага,1989/,Международной конференции,посвященной 90-летию со дня роздения Н.Г.Петровского /Москва,1991/,на совместных сессиях семинара ил. II.Г.Петровского и Московского математического-общества /Москва, 1986} 1989; ISSO/,республиканских конференциях по нелішеіінкм задачам математической физики /Донецк, 1987,1991/, на семінарах по функциональному анализу и дифференциальным уравнениям в частных производных їінстнтута математики АН Украины, на семинаре по фіушщиональноілу анализу /Одесса/.
Основное содержание диссертации опубліковано в [і - 23] .
Структура, и объем работы. Диссертация состоит из введения,-трех Главі описка литературы и содержит 226 страниц машинописного текота»
