Введение к работе
Актуальность темы. Геометрическая теория функций комплексного переменного является в настоящее время интенсивно развивающейся областью математического анализа, в которой изучаются регулярные и мероморфные ф"нкции, определяемые какими-либо геометрическими свойствами, а также различные геометрические свойства тех или иных классов функций. Геометряческая теория главное внимание концентрирует при этом на классах функций как на классах конформных отображений. С этой точки зрения наиболее простыми и важными является конформные отображения, осуществляемые однолистными в данной области функциями', т.е. регулярными, или мерсморфными функциями, отображающими данную область взаимно однозначно на другие области.
Центральное место в теории конформных отображений занимают вопросы о росте отображающих функций,их'-производных, коэффициентах их разложений в ряды и т.д. Болькое количество возможных конформных отображений заданной области затрудняет изучение, всех этих отображений; однако отдельные важные отображения могут быть выделены как решения некоторых экстремальных задач и могут быть списаны геометрически и аналитически именно в силу их экстремальных свойств. Остальные конформные отображения должны подчиняться всем результатам (в частности, неравенствам) /которые, получаются із- решений различных экстремальных задач, и, таким образом, ко-?ут быть до некоторой степени охарактеризованы.
При исследовании упо.,;днутых вопросов "в каком-либо классе функций особенно интересуются оценками различных, функционалов, імєющих тог или иной геометрический или физический смысл. Начало аким исследованиям в нашей стране'-'положили работы М.А.Лаврентье-а. Задачи об оценках функционалов на тех или -иных классах функції могут быть включены в более общую проблему, развиваемую в по-ледайе годы и состоящую в определении областей значении рассма;-иваемых функционалов. Актуальными и'интересными в настоящее вре-fi являются такие, задачи нахождения множеств .значенні: конечных нсгем функционалов в вещественных/или комплексных' евклидовых.-'' зостранствах. Указанные, задачи рассматривались во многочисленных іботах (См. напр. Гс-лузин Г.ї',1. Геометрическая геерня функций телексного переменного. - U.: "пука, IDtra.) Некоторые из упомя-'тых DC лосоц являются основными в дшіноі: д::ссо-тлц,:,:.
Цель работы. Настоящая работа пос: лщена изучению геометрических свойств регулярных и меромсрфных функций.Целью работы является пос троеняе пр.чбляненного метода решения экстремальных задач,рассмотрение, задач, связанных с обобщенной выпуклостью регулярных функций, изучение геометрических свойств линий уровня и их ортогональных траекторий, развитие методов'исследования'типично вещественных функций,решение проблемы коэффициентов в классе таких ограниченных функций.
Методы исследования. Основными методами исследования в диссертации являются вариационный метод, вариационно-параметрический метод и метод интегральных представлений.
Научная новизна. Результаты, полученные в диссертация,являются новыми. На основе классических теорем и методов теории однолистных функций (метод внутренних вариаций, метод площадей)построен обобщенный метод внутренних вариаций, позволяющий приближенно решать экстремальные (в частности, прикладные) задачи в различных классах однолистных функций; выделены и получили решение новые задачи, связанные с обобщенной выпуклостью; дан новый подход к указаны новые функционалы при изучении геометрических свойств линий уровня и их ортогональных траекторий, даны оценки этих функционалов, в частности, при помощи нетрадиционного применения вариационно-параметрического метода; построено новое,неинтегральное представление типично вещественных функций, с помощью которого дане более точное описание граничных функций некоторых систем .функционалов'; .предложен метод решения экстремальных задач в классе с раниченных типично вещественных функций, с помощью которого решена проблема коэффициентов в этом классе функций.
Теоретическая и практическая ценность. В работе получены результаты в основном теоретического характера. Некоторые из них . можно перенести на другие классы функций. Приближенный метод ис-слелокания экстремальных задач может найти применение при решении некоторых прикладных задач математической физики.Результаты дкесертацо могут быть использованы при чтении специальных курсов по геометрической теории функций'и подготовке учебных ПОСОСИ?. & ионогрз-;-яЯ.
Ai:ro's:uH ра?оти. Результати'диссертации неоднократно 'доклад; т.г.-;/.с;-, на з&сед-л.'кях Томского городского семинара по теории .'їуккці:?. .'луі-гл угл-гло пс, л:еннсгэ гл.-,. .Ч.П.КуфЕрева, на Итоговой ггу-нс? ::';с-<;іг.і!и по узТсі'ьїі'кс и т.чхпнике (Томок, 1270), на ''иь-. :с--2 >::;::
Ш. :ой научной конференции по математике и механике (Томск, 1975), на Донецких коллоквиумах по квазиконформным отображениям (1970, 1978, 1980, 1982, 1984), на Конференция по современным вопросам геометрической теории функций (Новосибирск, 1976), на УІ Научной конференции Заиьдно-Сибярского региона MB и ССО PCSCP по математике и механике (Томск, 1977), на Школе по теории операторов в функциональных пространствах -(Новосибйізск, I97?v, на П-ой Сибирской математической школе "Алгебра и Анализ" 'Томск, 1988), ка Всесоюзной конференции по геометрической теории функций (Новосибирск, 1988), на научной сессии Томского городского семинара по ТФКП, приуроченной к 80-летяв со дня рождения П.П.Куфарева (І989Х на заседании Томского отделения Сибирского математического общества (1989), на.объединенном семинаре отдела условно-корректных задач и отдела геометрии я анализа ИМ СО Е СССР (руководителя'академики М.М.Лаврентьев, Ю.Г.Рєшетш-..c; Ногэсябврск, 1990).
Публикации. Все результаты, представленные в диссертации, получены автором самостоятельно и опублякоЕ щ в работах [1-29], прячем из рабо- 7 [23J в диссертацию включены результаты, прикрч-лежащие автору.
Структура диссертация. Диссертация изложена на 223 страницах машинописного текста и состоят из введения и чет-.рех глав. Список литературы содержит названия 232 работ отечественных и зарубежных авторов.
