Содержание к диссертации
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА I. О СПЕКТРЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ 16
§ I. О семействе операторов 17
§ 2. О спектре операторов 42
ГЛАВА II. О СПЕКТРАЛЬНЫХ ОСОБЕННОСТЯХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ГОМПЛЕКСНОЗНАЧ НЫМИ ДОЭШЦИЕНТАМИ 53
§ I. О проекторах оператора 54
§ 2. О спектральных особенностях оператора
§ 3. О спектральных особенностях оператора
ГЛАВА III. СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОМШГЕКСНО ЗНАЧШМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 76
§ I. О методике построения спектрального разложения 76
§ 2. Теоремы разложения 87
ЛИТЕРАТУРА 96
Введение к работе
Сингулярные несамосопряженные дифференциальные операторы до последнего времени не были предметом исследования Ввиду того, что абстрактная теория несамосопряженных операторов и теория самосопряженных операторов не дает никакого утверждения о спектральном разложении операторов с комплекснозначными коэффициентами, то такие операторы исследуются непосредственно. Одним из интересных случаев является случай дифференциальных операторов с периодическими комплекснозначными коэффициентами В настоящей диссертации исследованы спектр, спектральные особенности, а также построено спектральное разложение, отвечаю» замкнутому дифференциальному оператору / , который порож дается в пространстве Z l 00/ 0/ дифференциальным выражение сходится» Очевидно, что О Сое) является периодической функцией на (- со j оо) и допускает голоморфное продолжение на верхнюю полуплоскость. Оказывается, что спектр оператора А является чисто непрерывным и заполняет полуось і о7 оо) , а на непрерывном спектре могут быть спектральные особенности I порядка, которые обязательно совпадают с числами вида ( Цг \ » Для обобщенных собственных функций, отвечающих спектральным особенностям, можно ввести понятие обобщенных нормировочных чисел §п\ • Доказывается, что по ним можно эффективно восстановить а • Напомним некоторые определения, используемые в дальнейшем Определение I, Пусть S означает G -поле борелевских подмножеств комплексной плоскости» Пусть / - линейный оператор, область определения и область значений которого содержатся в /3 -пространстве X • Тогда оператор / называется спектральным, если он замкнут и существует такая регулярная счетно-аддитивная спектральная мера В » определенная на т , что если ограничена,
Теорема 1.5» При i DjT все собственные значения оператора L+ простые, иначе говоря, компоненты /ft спектра взаимно не пересекающиеся аналитические дуги»
Очевидно, что концы 4 есть Лп(.о) и 2„Ф • Собственные значения операторов LQ и 1 я могут оказаться двух- кратными. Тогда две кривые, скажем, Гп и fh+J , соединяются друг с другом концами. Соединение двух кривых мы не относим к пересечению.
Вторая глава диссертации посвящена исследованию епектраль » ных особенностей оператора
Спектральными особенностями назовем те точки спектра, в окрестностях которых нарушается равномерная ограниченность проекторов. Работа Гасымова [3] показывает, что существует достаточно широкий класс периодических коэффициентов, при которых оператор і имеет спектральные особенности.
Основные результаты второй главы диссертации следующие.
Теорема 2.2. Для того чтобы точка Л є S [ТЛ S If J была спектральной особенностью оператора / , необходимо и достаточно, чтобы оператор 7 в точке 2 имел присоединенную функцию Теорема 2.3. Оператор Т имеет конечное число спектральных особенностей, если
Третья глава посвящена спектральному разложению оператора Т7 . В работе Мак Гарвея [7]ф] , несмотря на глубокий анализ, не найдены условия на коэффициент, при которых одномерный оператор Шредингера L был спектральным. Поэтому оставался открытым вопрос, можно ли построить спектральное разложение для оператора L f а также для оператора с любыми периодическими комплексными коэффициентами.
Нетрудно видеть, что если и - I , то разложение (II) совпадав ет с разложением, предложенным в книге Титчмарша 16 . В самосопряженном случае (т.е. когда fyCx) действительная периода-ческая функция) несколькими методами получено спектральное раз » ложение оператора /г .
В работе Гельфанда [4] очень изящно доказывается теорема о разложении для самосопряженного уравнения любого порядка и даже для уравнения с частными производными.
Но при применении этого метода в несамосопряженном случае встречаются некоторые сложности. В первом параграфе третьей главы объясняется, что при прямом применении этого метода появляются трудности, которые невозможно преодолеть. Там же объясняется, как можно использовать этот метод. В дальнейшем, преодолевая технические трудности, получим спектральное разложение.
