Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Базовые свойства линейных формосохраняющих операторов 19
1.1. Конус функций 19
1.2. Основные свойства линейных формосохраняющих операторов 22
Глава 2. Оценки линейных относительных поперечников множеств дифференцируемых функций 34
2.1. Определения и основные свойства линейных относительных -поперечников 35
2.2. Оценки линейных относительных поперечников для операторов, сохраняющих -выпуклость 46
2.3. Оценки линейных относительных поперечников для операторов, обладающих свойством формосохранения относительно пересечения конусов 87
2.4. Аппроксимативные свойства операторов, обладающих свойством формосохранения относительно конуса типа II 99
Глава 3. Оценка ошибки восстановления функционалов с ограничениями на алгоритм 146
3.1. Об ошибке оптимального восстановления функционалов линейными формосохраняющими алгоритмами 147
3.2. Ошибка приближения дифференцируемых функций многих переменных интерполяционными формосохраняющими операторами 159
3.3. Линейные операторы класса 164
Глава 4. Аппроксимативные свойства операторов, обладающих свойством формосохранения относительно конусов обобщен но выпуклых функций 183
4.1. Условия сходимости последовательности формосохраняющих операторов 183
4.2. Моментная задача для дискретных мер на конечном интервале 189
Глава 5. Оценка –ой минимальной погрешности линейных алгоритмов для некоторых задач аппроксимации 197
5.1. Обозначения 197
5.2. Оценка –ой минимальной погрешности линейных алгоритмов для одной задачи аппроксимации 198
5.3. Об оценке –ой минимальной погрешности линейных алгоритмов для одной задачи в линейном нормированном пространстве 204
5.4. Об оптимальном восстановлении линейных функционалов на множествах конечной размерности 215
5.5. Оптимальная интерполяция сходящихся алгебраических рядов 222
Литература 230
Приложение А. 247
- Основные свойства линейных формосохраняющих операторов
- Оценки линейных относительных поперечников для операторов, обладающих свойством формосохранения относительно пересечения конусов
- Ошибка приближения дифференцируемых функций многих переменных интерполяционными формосохраняющими операторами
- Моментная задача для дискретных мер на конечном интервале
Введение к работе
Актуальность темы исследования. Предметом исследования настоящей диссертационной работы являются линейные конечномерные методы формосохраняющего приближения функций и их аппроксимативные свойства.
Для многих прикладных задач теории приближений зачастую необходимо не просто аппроксимировать некоторую функцию, а приблизить ее с сохранением некоторых ее свойств, связанных с формой функции (положительность, монотонность, выпуклость и т.п.). Раздел теории приближений, посвященный такого рода задачам, называется теорией формосохраняющего приближения.
Одной из первых публикаций по данной тематике была работа Ю.Пала1, опубликованная в 1925 г., в которой доказывается, что произвольную выпуклую функцию можно равномерно приблизить на отрезке последовательностью выпуклых алгебраических полиномов. Конструктивное доказательство этого факта было предложено Т.Поповичу в 1937 г., который показал, что если функция является выпуклой порядка на [0,1], то многочлены Берн-штейна () := ( ) (1 - )- также будут выпуклыми порядка
=0
на [0,1].
Интерес к данной проблематике усилился в конце 60-х годов XX века, когда появились работы О.Шиша, Г.Г.Лоренца и К.Л.Целлера,. Они дали толчок работам Р.ДеВора по монотонному приближению и работам А.С.Шведова,, Д.Ньюмана, Р.К.Битсона и Д.Левиатана, Г.Г.Лоренца и К.Л.Целлера по комонотонной аппроксимации в 70-е и 80-е годы про-1 Pal J. Approksimation of konvekse Funktioner ved konvekse Polynomier // Mat. Tidsskrift. 1925. Vol. B. P. 60–65
2 Popoviciu T. About the Best Polynomial Approximation of Continuous Functions. Mathematical
Monography. Sect. Mat. Univ. Cluj, 1937. (In Romanian), fasc. III
3 Shisha O. Monotone approximation // Pacifc J. Math. 1965. Vol. 15, no. 2. P. 667–671
4 Lorentz G. G., Zeller K. L. Degree of approximation by monotone polynomials, I // J. Approx. Theory.
1968. no. 1. P. 501–504
5 Lorentz G. G., Zeller K. L. Degree of approximation by monotone polynomials, II // J. Approx.
Theory. 1969. no. 2. P. 265–269
6 DeVore R. A., Yu X. M. Pointwise estimates for monotone polynomial approximation // Constr.
Approx. 1985. Vol. 1. P. 323–331
7 Шведов А. С. Комонотонная полиномиальная аппроксимация функций // ДАН СССР. 1980. Т.
250, № 1. С. 39–42
8 Шведов А. С. Порядок ко-приближения функций алгебраичскими полиномами // Матем. за
метки. 1981. Т. 29, № 1. С. 117–130
9 Newman D. J. Efcient comonotone approximation // J. Approx. Theory. 1979. Vol. 25. P. 189–192
10 Beatson R. K., Leviatan D. On comonotone approximation // Canad. Math. Bull. 1983. Vol. 26.
P. 220–224
11 Lorentz G. G., Zeller K. L. Monotone approximation by algebraic polynomials // Trans. Amer. Soc.
1970. Vol. 149, no. 1. P. 1–18
шлого века. Обзор некоторых результатов теории формосохраняющего приближения можно найти в книгах12,,, а также в статьях,.
В последние 25 лет в этой области шли интенсивные исследования, появилось много новых результатов. Большинство из них касаются оценок величин наилучшего приближения функций различных классов алгебраическими или тригонометрическими полиномами с сохранением формы приближаемой функции. В настоящее время теория формосохраняющего приближения представляет собой сложившееся и актуальное направление теории приближения функций.
Интерес к теории формосохраняющего приближения вызван прежде всего тем, что ее результаты имеют множество приложений, большинство из которых связано с применением в компьютерном графическом дизайне (CAGD, computer-aided graphical design), для которого вопросы сохранения формы графических объектов являются существенными. В CAGD часто рассматривается задача создания поверхности тела сложной формы (например, фюзеляжа самолета, детали двигателя, архитектурного сооружения) как дискретного набора точек. Чтобы представить тело, необходимо расположить эти точки на некоторой кривой или поверхности. Отсутствие непрерывности производной или смена знака производной первого или даже второго порядка заметны для человеческого глаза. По этой причине интерес представляет гладкое приближение, которое сохраняет форму данных.
К настоящему времени сложились несколько основных направлений исследований в теории формосохраняющего приближения:
-
Изучение формосохраняющих свойств интерполяционных полиномов (в алфавитном порядке: Б.И.Квасов, F.Deutch, S.Gal, W.J.Kamme-rer, K.Kopotun, G. G. Lorenz, M.G. Nikolcheva, E. Passow, T.Popoviciu, J.A.Roulier, Z.Rubinstein, J.Szabados, W.Wolibner, S. W. Young, K. L. Zel-ler и др.);
-
Исследование формосохраняющих свойств сплайнов (в алфавитном порядке: Ю.С.Волков, Б.И.Квасов, Ю.Н.Субботин, В.Т.Шевалдин, И.А. Шевчук, R. DeVore, K. Kopotun, D.Leviatan, A.Shadrin и др.);
12 Gal S. G. Shape-Preserving Approximation by Real and Complex Polynomials. Dordrecht: Springer,
2008
13 Шевчук И. А. Приближение многочленами и следы непрерывных на отрезке функций. Киев:
Наукова думка, 1992
14 Квасов Б. И. Методы изогеометрической аппроксимации сплайнами. Второе издание. Москва:
Физматлит, 2006
15 Kopotun K. A., Leviatan D., Prymak A., Shevchuk I. A. Uniform and Pointwise Shape Preserving
Approximation by Algebraic Polynomials // Surveys in Approximation Theory. 2011. Vol. 6. P. 24–74
16 Kocic L., Milovanovic G. Shape preserving approximations by polynomials and splines // Computers
& Mathematics with Applications. 1997. Vol. 33, no. 11. P. 59 – 97
17 Gal S. G. Shape-Preserving Approximation by Real and Complex Polynomials. Dordrecht: Springer,
2008
-
Исследование формосохраняющих свойств полиномов типа полиномов Бернштейна (в алфавитном порядке: H. Berens, P. L. Butzer, J. M. Carni-cer, W. Dahmen, M. M. Derrienic, R. DeVore, A. D. Gadzijev, T. N. T. Goodman, I.I. Ibragimov, L. M. Kocic, I. B. Lackovic, C. A. Micchelli, F. J. Munoz-Delgado, R. J. Nessel, V. Ramrez-Gonzalez, I. Rasa, P. Sabloniere, D. D. Stancu, B. Wood и др.);
-
Результаты типа результатов Шиша. Метод основан на полиномах одновременного приближения функции и ее производных, при этом к ним прибавляются подходящие полиномы (равномерно стремящиеся к 0) таким образом, чтобы сумма сохраняла некоторые знаки производных приближаемой функции (G. A. Anastassiou, J. A. Roulier, O. Shisha и др.);
-
Результаты типа результатов Коровкина. Получение условий сходимости последовательностей линейных формосохраняющих операторов, т.е. аналогов теоремы Коровкина об условиях сходимости последовательностей линейных положительных операторов к тождественному оператору. (D.Cardenas-Morales, H.Gonska, H.-B.Knoop, F. J. Munoz-Delgado, P. Pottinger, V. Ramrez-Gonzalez и др.).
Пусть X есть линейное нормированное пространство. Тот факт, что функция / Є X обладает некоторыми свойствами формы, означает принадлежность элемента / некоторому конусу V в X (например, конусу монотонных или конусу выпуклых функций в С[0,1]). Если / Є У, то говорят,что / имеет форму в смысле конуса V.
В теории формосохраняющего приближения возникают и представляют интерес классические задачи теории приближения функций. Одной из таких задач является задача существования, единственности, характеризации элемента наилучшего формосохраняющего приближения. Пусть V есть некоторый конус в линейном нормированном пространстве X. Пусть Хп — произвольное n-мерное подпространство X такое, что Хп П V ф 0. Обозначим E(f,XnnV) величину наилучшего приближения элемента / Є V элементами множества Хп П У,
E(f,XnnV)x= inf II/- 9І\х-
geXnDV
Другой классической задачей теории приближений, интенсивно изучаемой в теории формосохраняющего приближения, является задача об уклонении множеств от заданного конечномерного подпространства. Пусть А С X, А П V Ф 0. Величина
Е(А П У, Хп П V)x = sup E(f,XnnV)x= sup inf ||/— g\\x
является уклонением А П V от Хп П V.
Оценке величины Е(А П V, Хп П V)x для различных конкретных множеств А и конечномерных подпространств Хп посвящено много работ. Обзор существующих результатов для полиномиального формосохраняющего приближения, т. е. когда Хп — множество алгебраических полиномов степени не выше п — 1, V — некоторые конусы (положительных, монотонных, выпуклых) функций в X = Lp[—1,1], можно найти в работе Д. Левиатана18 (см. также
,)
Дальнейшим развитием этого направления является задача оценки относительных поперечников множеств. Пусть X — линейное нормированное пространство, А и V есть непустые подмножества X, А П V ф 0. Тогда относительным n-поперечником по Колмогорову множества А в X с ограничением V называется величина
dn(A П У, V)x = inf Е(А П У, Хп П V)x = inf sup inf ||/ —5
Xn Xn feAnV 9^XnC\V
где левый инфимум ищется среди всех n-мерных линейных многообразий Хп пространства X, таких, что Хп П V ф 0.
Впервые понятие относительного поперечника было введено В.Н.Коноваловым в 1984 году. Хотя в этой работе решалась задача, непосредственно не связанная с формосохранением, тем не менее это понятие необходимо возникает при изучении свойств формосохраняющего приближения функций. Оценки относительных (не обязательно формосохраняющих) поперечников были получены в статьях ,,,,,.
18 Leviatan D. Shape-preserving approximation by polynomials // J. of Comp. and Appl. Math. 2000.
Vol. 121. P. 73–94
19 Kopotun K. A., Leviatan D., Prymak A., Shevchuk I. A. Uniform and Pointwise Shape Preserving
Approximation by Algebraic Polynomials // Surveys in Approximation Theory. 2011. Vol. 6. P. 24–74
20 Gal S. G. Shape-Preserving Approximation by Real and Complex Polynomials. Dordrecht: Springer,
2008
21 Коновалов В. Н. Оценки диаметров типа Колмогорова для классов дифференцируемых перио
дических функций // Матем. заметки. 1984. Т. 35. С. 369–380
22 Субботин Ю. Н., Теляковский С. А. Точные значения относительных поперечников классов
дифференцируемых функций // Матем. заметки. 1999. Т. 65. С. 871–879
23 Субботин Ю. Н., Теляковский С. А. Сплайны и относительные поперечники классов диффе
ренцируемых функций // Теория приближений. Асимптотические разложения. Сборник статей. 2001.
Т. 7,№1 из Тр. ИММ УрО РАН. С. 208–216
24 Субботин Ю. Н., Теляковский С. А. Относительные поперечники классов дифференцируемых
функций в метрике 2 // УМН. 2001. Т. 56, № 4. С. 159–160
25 Субботин Ю. Н., Теляковский С. А. Об относительных поперечниках классов дифференциру
емых функций // Исследования по теории функций и дифференциальным уравнениям. Сборник статей.
К 100-летию со дня рождения академика Сергея Михайловича Никольского. М.: Наука, 2005. Т. 248, №1
из Тр. МИАН. С. 250–261
26 Субботин Ю. Н., Теляковский С. А. К вопросу о равенстве колмогоровских и относительных
поперечников классов дифференцируемых функций // Матем. заметки. 2009. Т. 86. С. 456–465
27 Субботин Ю. Н., Теляковский С. А. Уточнение оценок относительных поперечников классов
Конечно, невозможно получить значения dn(AnV, V)x и определить оптимальные подпространства Хп (если они существуют) в общем случае, т.е. без учета специфики А, V, X. Тем не менее, некоторые оценки относительных формосохраняющих n-поперечников были в последнее время получены
в работах
Одной из классических задач теории приближений является также задача оценки линейных поперечников множеств. Пусть X есть линейное нормированное пространство, А есть некоторое подмножество пространства X. Напомним, что линейный п–поперечник множества А С X в пространстве X определяется следующим образом
$п{А)х '= inf sup ||(/ — Ln)/||x, (1)
где инфимум ищется среди всех линейных непрерывных операторов Ln : X —> X конечного ранга п, / есть тождественный оператор.
В теории формосохраняющего приближения представляет интерес задача оценки величин линейных поперечников вида (), где инфимум ищется среди всех линейных непрерывных операторов Ln : X —> X конечного ранга п, обладающих некоторыми дополнительными свойствами (свойствами формо-сохранения). Под формосохраняющим понимается оператор, отображающий конус, связанный с некоторыми свойствами формы приближаемых функций, в себя. Несмотря на естественность постановки такого рода задач, она не рассматривалась ранее. Мы введем определения таких поперечников (определения и ) и будем называть их линейными относительными поперечниками.
Интерес к оценке линейных относительных n–поперечников связан с тем, что зная величину такого поперечника, можно судить насколько «хорош» или «плох» (в смысле оптимальности) тот или иной конечномерный метод приближения, обладающий соответствующим свойством формосохранения.
Одним из наиболее изученных классов линейных операторов, обладающих свойствами формосохранения, являются положительные операторы. Классическими результатами для класса положительных операторов являются результаты П. П. Коровкина. Им были найдены условия сходимости
дифференцируемых функций // Теория функций и дифференциальные уравнения. Сборник статей. К 105-летию со дня рождения академика Сергея Михайловича Никольского. М.: Наука, 2010. Т. 269, №1 из Тр. МИАН. С. 242-253
28 Konovalov V., Leviatan D. Shape preserving widths of Sobolev-type classes of /г-monotone functions
on a fnite interval // Israel Journal of Mathematics. 2003. Vol. 133. P. 239-268
29 Gilewicz J., Konovalov V. N., Leviatan D. Widths and shape-preserving widths of Sobolev-type
classes of s-monotone functions // J. Approx. Theory. 2006. Vol. 140, no. 2. P. 101-126
30 Konovalov V., Leviatan D. Shape-Preserving Widths of Weighted Sobolev-Type Classes of Positive,
Monotone, and Convex Functions on a Finite Interval // Constructive Approximation. 2008. Vol. 19. P. 23-58
31 Тихомиров В. М. Поперечники множеств в функциональном пространстве и теория наилучших
приближений // УМН. 1960. Т. 15, № 3. С. 81-120
32 Коровкин П. П. О сходимости линейных положительных операторов в пространстве непрерыв-
последовательности линейных положительных операторов к тождественному оператору в X = С[0,1]. Кроме того, П. П. Коровкин показал, что порядок приближения линейными положительными полиномиальными операторами порядка п не выше чем п-2 даже на системе из трех функций 1, ж, ж2.
Несмотря на успешное и активное развитие рассматриваемой области теории приближений, в ней остается большое количество открытых вопросов и нерешенных задач. Так, проблемы, связанные с количественными оценками скорости сходимости линейных формосохраняющих методов приближения, не были достаточно исследованы. В частности, оставался открытым вопрос о существовании эффекта «насыщения» для линейных методов, обладающих свойством формосохранения, а также его количественной характеристике. Эта проблема впервые была сформулирована Р. ДеВором. Близкой к этой задаче является проблема оценки ошибки оптимальной линейной интерполяции с формосохраняющим ограничением на алгоритм.
Другое важное направление в рассматриваемой области связано с получением качественных результатов, развивающих идеи П. П. Коровкина для случая линейного формосохраняющего приближения. Ряд работ (в частности, работы''' и др.) посвящен данной проблематике. В связи с данными задачами теории приближений естественно возникает также проблема нахождения условий сходимости последовательности линейных операторов, обладающих свойствами формосохранения относительно конусов обобщенно выпуклых функций.
Цель работы. Класс всех р-выпуклых функций на [0,1] обозначим р[0,1]. Пусть 0 ^ h ^ к есть два целых числа и пусть и = (ap)t=0 есть последовательность чисел такая, что ар Є {-1,0,1} и сг^ (Jk = 0. Обозначим
' (а) := {/ Є С[0,1] : apf Є р[0,1], h ^ р ^ к}. (2)
Данная работа посвящена изучению аппроксимативных свойств формосохраняющих линейных операторов L, таких, что
L( ' (<т)) с ' (<т^),
ных функций // ДАН СССР. 1953. Т. 90, № 5. С. 961-964
33 Коровкин П. П. О порядке приближения функций линейными положительными операторами //
ДАН СССР. 1957. Т. 114, № 6. С. 1158-1161
34 DeVore R. A. Monotone Approximation by Splines // SIAM J. Math. Anal. 1977. Vol. 8. P. 891-905
35 Murioz-Delgado F. J., Ramirez-Gonzalez V., Cardenas-Morales D. Qualitative Korovkin-type results
on conservative approximation // J. Approx. Theory. 1998. Vol. 94. P. 144-159
36 Murioz-Delgado F. J., Cardenas-Morales D. Almost convexity and quantitative Korovkin type re
sults // Appl. Math. Lett. 1998. Vol. 94, no. 4. P. 105-108
37 Knoop H.-B., Pottinger P. Ein Satz vom Korovkin-Typ fur Ck Raume // Math. Z. 1976. Vol. 148.
P. 23-32
38 Gonska H. H. Quantitative Korovkin type theorems on simultaneous approximation // Mathematische
Zeitschrift. 1984. Vol. 186, no 3. P. 419-433
где h ^ г ^ к, о"М = ((т\: )f=o, где
Для данного класса операторов будут получены аналоги базовых свойств линейных положительных операторов; получены оценки порядка приближения операторами конечного ранга; получены оценки линейных относительных поперечников классов дифференцируемых функций; построены оптимальные конечномерные линейные операторы, для которых достигаются значения линейных относительных поперечников.
Кроме того, в работе будут получены оценки ошибки оптимальной линейной интерполяции с (формосохраняющим) ограничением на алгоритм; доказаны теоремы типа теорем Коровкина о сходимости последовательностей линейных операторов; получены оценки ошибки приближения конечномерных множеств конечномерными линейными методами.
Научная новизна. Все результаты являются новыми. Основные из них состоят в следующем.
-
Введены два определения линейных относительных поперечников, базирующихся на идеях В. Н. Коновалова и П. П. Коровкина. Найдены порядковые оценки значений линейных относительных поперечников для операторов Ln конечного ранга, обладающих свойством Ln(k) с к, некоторых классов дифференцируемых функций. Доказана справедливость гипотезы Р. ДеВора о том, что для линейных конечномерных операторов, сохраняющих /с-выпуклость, имеет место эффект «насыщения». Получены порядковые оценки значений линейных относительных поперечников для операторов Ln конечного ранга п, обладающих свойствами формосохранения Ln(h,k(a)) С h,k(a^), h ^ г ^ к.
-
Разработаны методы получения оценок величин ошибок восстановления функционалов с ограничениями на алгоритм. Найдены оценки ошибки задачи оптимальной линейной интерполяции алгоритмами, положительными на некотором конусе, описывающем свойства формы приближаемых функций как одной переменной, так и функций многих переменных. Найдены оценки ошибки приближения интерполяционными операторами с ограничением на число осцилляций ядра некоторых классов дифференцируемых функций.
-
Установлен ряд аппроксимативных свойств операторов, обладающих свойством формосохранения относительно конусов обобщенно выпуклых функций, в частности, доказаны теоремы типа теорем Коровкина об условиях сходимости последовательностей формосохраняющих операторов. Полученные результаты обобщают результаты работ ,.
-
Получены оценки ошибки конечномерного приближения конечномерных множеств. В частности, показано, что оценка линейного п–попереч-
ника по Колмогорову некоторых множеств размерности п+1 сводится к решению в этом пространстве чебышевской задачи о нахождении многочлена, наименее уклоняющегося от нуля, со старшим коэффициентом, равным единице. Получены обобщения этого результата.
Основные методы исследования. В работе используются методы действительного и функционального анализа, теории приближений, а также применяются методы оптимизации, включая методы конического и линейного программирования. При изучении аппроксимативных свойств линейных операторов, обладающих свойствами формосохранения, связанными с конусами Ah,k(a), также использовались идеи и методы теории линейных положительных операторов.
Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут применяться в теории формосохраняющего приближения, в других разделах теории приближений, а также при разработке алгоритмов и методов решения практических задач компьютерного графического дизайна.
Апробация работы. Основные результаты работы были представлены на следующих конференциях:
Саратовских зимних школах «Современные проблемы теории функций и их приложения», Саратов, Россия, 1998, 2000, 2002, 2004, 2006, 2008, 2010, 2012, 2014 гг.;
ежегодных конференциях механико-математического факультета Саратовского государственного университета «Актуальные проблемы математики и механики», Саратов, Россия, 1997-2012 гг.;
международной конференции «Fifteenth Crimean Autumn Mathematical School-Symposium (KROMSH-2004)», Симферополь, Украина, 2004 г.;
международных Казанских летних научных школах-конференциях «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы», Казань, Россия, 27 июня - 4 июля 2007 г., 1-7 июля 2009 г.;
международной конференции «Computational Methods And Function Theory», Анкара, Турция, 08-12 июня 2009 г.;
международной конференции «Constructive Theory Of Functions-2010», посвященной памяти профессора Борислава Боянова, Созополь, Болгария, 3-10 июня 2010 г.;
международной конференции «Теория приближений», посвященной 90-летию со дня рождения С.Б. Стечкина (1920-–1995), Москва, Россия, 23-26 августа 2010 г.;
международной конференции «II Jaen Conference on Approximation Theory», Убеда, Хаен, Испания, 26 июня – 1 июля 2011 г.
Результаты также докладывались на научном семинаре Саратовского математического общества (руководитель: профессор А.П.Хромов) в 2008 г.; в Институте математики и механики Уральского отделения Российской академии наук на совместном научном семинаре отдела теории приближения функций и отдела аппроксимаций и приложений под руководством члена-корреспондента РАН Ю.Н.Субботина и профессора Н.И.Черныха в 2009 и 2012 гг., научном семинаре математического департамента Fatih University (Стамбул, Турция) в 2009 г.; на научном семинаре Киевского национального университета под руководством профессора И.А.Шевчука в 2011 г.; на научном семинаре «Теория приближений и теория экстремальных задач» кафедры «Общих проблем управления» механико-математического факультета Московского государственного университета под руководством профессора В.М.Тихомирова и профессора Г.Г.Магарил–Ильяева в 2012 г.; на научном семинаре кафедры функционального анализа и теории функций Самарского государственного университета под руководством профессора С.В.Асташкина в 2013 г.; на научном семинаре по теории приближений Математического института РАН им. В.А.Стеклова под руководством С.А.Теляковского в 2013 г.; на научном семинаре Саратовского государственного университета «Теория приближений» под руководством профессора А.Л.Лукашова; на научном семинаре Саратовского государственного университета под руководством профессора А.П.Хромова. В целом работа доложена на объединенном семинаре кафедр вычислительной математики и вычислительной физики, дифференциальных уравнений и прикладной математики, математического анализа, теории функций и приближений Саратовского государственного университета.
Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в работах автора [1-20], из них 17 входят в действующий перечень ВАК [1-7, 10-18, 20].
Вклад автора в проведенное исследование. Все научные результаты диссертации получены автором самостоятельно. Из опубликованной в соавторстве с М.Ю.Калмыковым работы [16] в диссертацию включены только результаты автора.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и пяти глав, разбитых на параграфы. Общий объем диссертации – 249 страниц, список литературы содержит 133 наименования.
Основные свойства линейных формосохраняющих операторов
1. Введены два определения линейных относительных поперечников, базирующихся на идеях В. Н. Коновалова и П. П. Коровкина. Найдены порядковые оценки значений линейных относительных поперечников для операторов Ln конечного ранга, обладающих свойством Ln(Ak) с Ак, некоторых классов дифференцируемых функций. Доказана справедливость гипотезы Р. ДеВора о том, что для линейных конечномерных операторов, сохраняющих /с-выпуклость, имеет место эффект «насыщения». Получены порядковые оценки значений линейных относительных поперечников для операторов Ln конечного ранга п, обладающих свойствами формосохранения Ln(Ah,k(a)) С Ah k(a ), h г к.
2. Разработаны методы получения оценок величин ошибок восстановления функционалов с ограничениями на алгоритм. Найдены оценки ошибки задачи оптимальной линейной интерполяции алгоритмами, положительными на некотором конусе, описывающем свойства формы приближаемых функций как одной переменной, так и функций многих переменных. Найдены оценки ошибки приближения интерполяционными операторами с ограничением на число осцилляций ядра некоторых классов дифференцируемых функций.
3. Установлен ряд аппроксимативных свойств операторов, обладающих свойством формосохранения относительно конусов обобщенно выпуклых функций, в частности, доказаны теоремы типа теорем Коровкина об условиях сходимости последовательностей формосохраняющих операторов. Полученные результаты обобщают результаты работ [103], [102].
4. Получены оценки ошибки конечномерного приближения конечномерных множеств. В частности, показано, что оценка линейного п–попереч-ника по Колмогорову некоторых множеств размерности п+1 сводится к решению в этом пространстве чебышевской задачи о нахождении многочлена, наименее уклоняющегося от нуля, со старшим коэффициентом, равным единице. Получены обобщения этого результата.
Материал диссертационной работы структурирован следующим образом.
В главе 1 изучаются простейшие свойства линейных формосохраняющих операторов. В параграфе 1.1 определяются конуса функций, с которыми будут связаны формосохраняющие свойства операторов, рассматриваемые в данной работе. Будет определен конус, являющийся пересечением конусов р-выпуклых функций для некоторых р.
В параграфе 1.2 приводятся некоторые базовые свойства линейных операторов, обладающих формосохраняющими свойствами относительно конусов, определенных в параграфе 1.1. Получены аналоги хорошо известных свойств линейных положительных операторов для линейных формосохраняющих операторов.
Основные результаты диссертационной работы приведены в главе 2, которая состоит из четырех параграфов.
В параграфе 2.1 вводятся два различных определения линейных относительных поперечников, по Коновалову и по Коровкину, получены основные свойства линейных относительных поперечников как по Коновалову, так и по Коровкину, рассмотрен вопрос об отличии свойств таких поперечников от свойств (классических) линейных поперечников (1).
В параграфе 2.2 находятся значения линейных относительных поперечников для операторов Ln конечного ранга, обладающих свойством Ln(Ak) С Ак. Основной целью параграфа является доказательство гипотезы Р. ДеВо ра [74] о том, что для линейных конечномерных операторов, сохраняющих /с-выпуклость, имеет место эффект «насыщения».
Показано, что если конечномерный оператор сохраняет /с-выпуклость, то порядок приближения оператора дифференцирования к-го порядка производными оператора не может быть выше чем п 2 на некотором подмножестве span {1,ж,... ,хк+2}. Для этого доказывается одно точное неравенство, оценивающее порядок приближения производными формосохраняющих операторов конечного ранга, определенных в пространстве всех действительнозначных к раз непрерывно дифференцируемых функций одной действительной переменной. Приводится пример оператора, обладающего наилучшим порядком приближения.
Далее показывается, что если аппроксимационный процесс {Ьп}пещ является формосохраняющим относительно конуса всех к-раз дифференцируемых функций, чья производная порядка к неотрицательна на [0,1], и предполагая, что операторы Ln имеют конечный ранг п, тогда порядок сходимости DkLnf к Dkf не может быть лучше, чем п 2 даже на системе функций хк, хк+, хк+2, на любом подмножестве [0,1] положительной меры. Используя этот факт, находятся асимптотические оценки ошибок приближения оператора дифференцирования порядка к линейными операторами конечного ранга, сохраняющими /с-выпуклость, по норме пространства i/[0,1], р Є N
Из полученных результатов следует, что если линейный оператор конечного ранга п сохраняет /с-выпуклость, то порядок приближения производных порядка 0 і к непрерывных функций производными этого оператора не может быть лучше чем п 2 на некотором подмножестве span {1, х,..., хк+2}. Таким образом, свойство сохранения /с-выпуклости является негативным в том смысле, что ошибка приближения такими операторами не уменьшается с ростом степени гладкости приближаемых функций, т.е. для линейных конечномерных операторов, сохраняющих /с-выпуклость, имеет место эффект «насыщения». В работе [91] показано, что нелинейные аппроксимационные методы, сохраняющие /с-выпуклость, не обладают этим недостатком.
В параграфе 2.3 находятся значения линейных относительных поперечников для операторов Ln конечного ранга п, обладающих свойством формо-сохранения
Доказывается одно точное неравенство, оценивающее порядок приближения производными операторов Ln конечного ранга п, обладающих свойством фор-мосохранения (3), определенных в пространстве всех действительнозначных к раз непрерывно дифференцируемых функций одной действительной переменной.
Далее показывается, что если аппроксимационный процесс {Ьп}пещ обладает свойством формосохранения (3), и предполагая, что операторы Ln имеют конечный ранг п, то порядок сходимости DkLnf к Dkf не может быть лучше, чем п 2 даже на системе функций 1, х,... , хк+2, на любом подмножестве [0,1] положительной меры. Используя этот факт, находятся асимптотические оценки ошибок приближения оператора дифференцирования порядка к линейными операторами конечного ранга, удовлетворяющими (3), по норме пространства i/[0,1], р Є N.
Оценки линейных относительных поперечников для операторов, обладающих свойством формосохранения относительно пересечения конусов
Пусть о- = ( 7j)j o есть последовательность чисел, (ТІ є {-1,0,1}, и пусть /г, к два целых числа, таких, что 0 h к и о- (Jk = 0.
Перейдем к задаче нахождения значения линейных относительных поперечников для операторов Ln конечного ранга п, обладающих свойством формосохранения
Такие операторы обладают свойством для любого h р к. В данном параграфе рассматривается случай (2.110) с р = к. Случай h р к - 2, р G будет рассмотрен в параграфе 2.4. Напомним, /l fc(o" ) = сг . Оценки и значения линейных относительных поперечников для этого случая в целом получаются аналогично тому, как они получаются для случая операторов, сохраняющих /с-выпуклость. В связи с этим для некоторых результатов мы иногда приводим только их формулировки и опускаем доказательства. Отметим также, что при h = к оператор, удовлетворяющий условию 2.110, есть оператор, сохраняющий /с-выпуклость. В подразделе 2.3.1 доказывается одно точное неравенство, оценивающее порядок приближения производными операторов Ln конечного ранга п, обладающих свойством формосохранения (2.110) c р = к, определенных в пространстве всех действительнозначных к раз непрерывно дифференцируемых функций одной действительной переменной. В подразделе 2.3.2 оценивается ошибка приближения некоторых множеств линейными операторами Ln конечного ранга, удовлетворяющих (2.110) c р = к. В частности, показывается, что если аппроксимационный процесс {Ьп}пещ обладает свойством формосохранения (2.110) cр = к, и предполагая, что операторы Ln имеют конечный ранг п, то порядок сходимости DkLnf к Dkf не может быть лучше, чем п 2 даже на системе функций ео, Єї,..., е +2, на любом подмножестве [0,1] положительной меры. Используя этот факт, находятся асимптотические оценки ошибок приближения оператора дифференцирования порядка к линейными формосохраняющими операторами конечного ранга по норме пространства і/[0,1], р Є N.
Будет показано, что если линейный оператор Ln конечного ранга п обладает свойством формосохранения (2.1), то порядок приближения производных порядка 0 і к непрерывных функций производными этого оператора не может быть лучше чем п 2 на некотором подмножестве span {ео, Єї,..., Ckyz]. Таким образом, будет показано, что свойство сохранения (2.109) является негативным в том смысле, что ошибка приближения такими операторами не уменьшается с ростом степени гладкости приближаемых функций, т.е. для линейных конечномерных операторов, обладающих свойством формосохранения (2.109), также как и для операторов, сохраняющих /с-выпуклость, имеет место эффект «насыщения».
Порядок приближения оператора дифференцирования порядка к производными формосохраняющих операторов
В данном разделе будет показано, что если конечномерный оператор обладает свойством формосохранения Ln(Ah,k (а)) С Ah k(a ), то порядок приближения производными оператора является низким. Сначала мы докажем одно точное неравенство, оценивающее порядок приближения производными формосохраняющих операторов конечного ранга, определенных в пространстве всех действительнозначных к раз непрерывно дифференцируемых функций одной действительной переменной.
Сначала приведем два непосредственных следствия леммы 3.
Утверждение 6. Пусть линейный оператор Ln : Cfc[0,l] — fc[0,l] есть оператор конечного ранга п, такой, что DkLnek = Dkek и Ьп(Щ_і) С Щ_і. Если Доказательство. Утверждение есть прямое следствие леммы 3, поскольку F. J. Munoz-Delgado, D. Cardenas-Morales, продолжая исследования Knoop and Pottinger [87], показали [103], что предположения утверждения влекут Определение 9. Пусть V есть некоторое подпространство пространства С[0,1] и пусть к h 0. Говорят, что оператор L : V — [0,1] есть почти выпуклый порядка к — 1 (см. [102]), если существует конус А1,к(а), где Gi Є {0,1}; такой, что L отображает А1,к{о ) в Ah,k{a ).
В следующем утверждении мы приводим одно негативное свойство почти выпуклых линейных операторов конечного ранга.
Утверждение 7. Пусть линейный оператор Ln : Ск[0,1] — [0,1] конечного ранга п + 1 является почти выпуклым порядка к — 1, такой, что DkLnek = Dkek, тогда имеет место неравенство (2.10).
Ошибка приближения дифференцируемых функций многих переменных интерполяционными формосохраняющими операторами
Коровкин доказал [22] одно негативное свойство линейных положительных операторов, а именно, что порядок приближения полиномиальными линейными положительными операторами степени не может быть выше 2 в [0,1].
Учитывая этот отрицательный факт, П. П. Коровкин ввёл понятие операторов класса m ( - фиксированное натуральное число или ноль), которые могут иметь более высокий порядок приближения на классах дифференцируемых функций.
Следуя П. П. Коровкину [24], будем говорить, что линейный оператор , определенный в [0,1], со значениями в пространстве ограниченных функций [0,1] с нормой ІІЦ = supx[0 1] (), принадлежит классу m (-натуральное или ноль, фиксировано), если для любого Є [0,1] существует функция х Є [0,1], имеющая на [0,1] не более нулей с учетом кратности (ноль, в окрестности которого функция меняет знак, считается за один, ноль, в окрестности которого знак функции остаётся постоянным, считается за два), такая, что для любой Є [0,1] такой, что
Отметим, что o — класс линейных положительных операторов и o С \ С 2 С ....
П. П. Коровкин нашёл условия, при выполнении которых имеет место сходимость последовательности операторов класса m к тождественному оператору [24].
П. П. Коровкин установил [23] негативное свойство операторов класса m, согласно которому порядок приближения линейными полиномиальными операторами класса m степени не может быть выше, чем т 2, по норме пространства [0,1], уже на системе из + 3 функций 1, , 2,..., т+2.
Отталкиваясь от идеи В.С. Виденского [7], Р.К. Васильев показал [132], что свойство полиномиальности не является необходимым для доказательства этого результата П.П. Коровкина. Принципиальную роль играет ограниченность размерности пространства образов рассматриваемых операторов.
Теорема 39. (Р.К. Васильев, [132]) Пусть Ln : С[0,1] — [0,1] есть линейный оператор класса Sm конечного ранга п + 1, такой, что Ьпео = ео. Тогда
Конструкции операторов класса Sm с оптимальным порядком приближения
Приведём пример оператора ЛТО;П класса Sm конечного ранга п + 1 с оптимальным порядком приближения, установленным в теореме 39, и покажем, используя теорему 38, что для всякой / Є С[0,1] будет lim Лтп/ — / = 0.
п—т 00 Предварительно установим две вспомогательные леммы.
Воспользуемся теоремой 38. Покажем, что для последовательности операторов {ЛТО;П}пЄ , т - фиксировано, выполнены все условия этой теоремы. Выполнение условий 1), 2) теоремы 38 следует из равенств (3.33) и (3.35). Покажем, что нормы операторов ЛТО;П ограничены в совокупности. Имеем
В настоящем подразделе мы находим точное значение поперечника где Am+2 означает множество полиномов р = 2 І=О а х степени т + 2 таких, что ато+2І 1. Заметим, линейный поперечник (3.37) имеет «хороший» класс функций (функции бесконечно гладкие), в то время как класс операторов является «плохим» (операторы являются конечномерными и число осцилляций ядра оператора ограничено фиксированным числом).
Сначала мы докажем некоторые вспомогательные результаты алгебраического характера. Основными леммами этого подраздела являются лемма 28 и лемма 29.
Пусть No = NU{0}. Обозначим s (x) число смен знака в последовательности х = (ХІ)ЬІ=0 Є Rb+l (нули в расчет не принимаются).
Моментная задача для дискретных мер на конечном интервале
Многие задачи численных методов могут быть сведены к задаче восстановления некоторого функционала: на основе значений некоторых линейных функционалов требуется найти значение некоторого другого функционала, независимого от исходных.
В настоящем разделе оценивается ошибка восстановления функционала LQ на множестве Р, т.е. величина где инфимум берется по всем линейным алгоритмам, использующим информацию If = (Lif,..., Ln/), / Є Р. Приводятся несколько следствий этого результата, связанных с оптимальной интерполяцией и оптимальными квадратурными формулами.
Отметим, что если S - вещественный линейный функционал, а Z - уравновешенное выпуклое множество, то (см. [60], стр. 69) справедливо равенство Следуя [60, стр. 31], є–сложность задачи S с информацией X будем обозначать comp(X, S, є). Пусть X - линейное пространство, п Є N и {/І}"=О есть система линейно независимых элементов из X. Пусть линейные функционалы Li,...,Ln Доказательство. Если для некоторого 1 і п будет LQ = Li, то r{Xn, S) = 0. Исключим этот случай из рассмотрения, предположив, что LQ ф Li,і = 1,... ,п. Без ограничения общности можно считать, что X = span{/o,...,/п}. Из этого равенства непосредственно следует первое утверждение теоремы. Заметим, что существование линейного, оптимального по точности, почти оптимального по сложности алгоритма следует из теоремы С. А. Смоляка [51]. Если Lof = 0 для всех / Є Р, то таким алгоритмом является A(Inf) = 0, / Є P. Если существуют 7«, г = 1,...,?1 , такие, что LQ = i i=\ iiLin то линейным, оптимальным по точности алгоритмом будет алгоритм A(Inf) = где Skj есть символ Кронекера. Система (5.39), (5.40) есть система линейных алгебраических уравнений и имеет единственное решение, так как ранг расширенной матрицы системы совпадает с рангом матрицы системы и равен п{п + 1). Покажем, что алгоритм является линейным, оптимальным по точности, почти оптимальным по сложности алгоритмом. Отметим следующие свойства алгоритма Л: 1. если для некоторого 1 j п функционал Lo совпадает с Lj, то A(Inf) = Ljf; 2. для всех 1 j п — 1 имеют место равенства A(Infj) = Lofj. удовлетворяет соотношениям Другими словами, если некоторое множество из содержит класс , то ошибка восстановления функционала Q на этом множестве будет не менее величины Приведем несколько следствий теоремы 56, связанных с оптимальной интерполяцией и оптимальными квадратурными формулами. Для произвольной функции f Е W мы пытаемся восстановить значение /() в фиксированной точке ( Є (—1,1) с помощью алгоритма А, использующего информацию f(xi),...,f(xn). В данном параграфе мы находим ошибку восстановления Пусть nGN, — 1 Хі ... хп 1и рассмотрим класс функций W, определенный в (5.44). Рассмотрим задачу оптимального восстановления линейного функционала U на множестве W, заданного Uf = /(С), С (—1? 1), / Є VK, на основе информации If = (/(жі),..., f(xn)). Под алгоритмом мы понимаем любое отображение (не обязательно линейное или непрерывное) А : Шп — Ш. Алгоритм А обладает ошибкой EA(W,I) := sup Uf — A(If). Величина ec(W,I) := inf EA(W,I) называется ошибкой задачи. Алгоритм А , для которого EA (W,I) = e (W,I), 222 называется оптимальным алгоритмом. В настоящем параграфе мы находим оптимальный алгоритм для восстановления /(С), С Є (-1,1), на основе информации Xf равномерно для всех / Є W. Кроме того, мы оцениваем ошибку e (W,X) этой задачи. Отметим, что класс W, рассматриваемый в настоящей работе, состоит из аналитических функций с ограниченными производными всех порядков в точке х = 0, в то время как в статье [30] изучается класс аналитических функций, ограниченных на единичном круге.
