Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕШ. На отрезке Функций из класса iV^to.b) при fc>f из-за оо диффореї тируемости и непрерывности автоматически принадлежит классу Ь [a,ol ,q>0); сплайн с конечним количеством узлов токе из L (а,Ь1, так как он по крайней море кусочно непреривон и ограничен. По втой причино гфи приближении на отрезке дифферонцируомше Функций сплайнами не возникает всп;іс о конечности приближений. При приближешш на неограниченном мно-
костве - полуоси, приближаемая функция f(x)iY:''tilO,a>) может на принадлежать пространству L Ш,») , а уклонение класса If "[0,<») = =(/(): |/(к (ЯрЮ.а))^ 1} от пассов 5',}^ шш Sy г нозізт оказаться бесконечном. Поэтому естественно встает вопрос о конечности приближений. То есть, пусть дан ісласс 17 [0,си), метрика приближения Ь_, степень сплайнов I, при каюк условиях на параметри p,q,k,l, гаюкэство узлов Т или на ограничивающую функцию Я (и) величины
/(x)»petOt») at'4(I W.I=%.l(f?pfe[0-w)'SW.l)q= sHPfe 'in[ I/-s!qlO,»)
/(x)ff fe[0.«>) ас4,г
конечны? Ясно, что при атом для f{x)fLLQ(I) аішриксіїмирущио сплаШш ішо доліши обладать свойством и(х)10(1). Если указание о воличшш конзчіш, то следует дать оцоісаі этих величин 'через параметри задачи и исследовать возмоалоеть совместного приблинь-іш>і функции и ее производи;'-.. Эти вопроси рассматривал 11.11. Черных [3,4]. Рассматривалась фушсщш 1!{и), и основном, ътепгн-ного роста: !1{и)~ иа, фушсцнп //(и) х иа1іАдіп In и)Т...; конечность н сцошсп приближений в зависимости от показателей а, р,
7 порядки прпбл;і2:ошій с U{u)=l!ua+L при увеличении !! и I. Км
были даны оценки для совместного приближении фушсции и ео производных, получены условия конечности Е0Л1Г-Г.ПШ ff г в терминах сравнения функции Н(и) с функциями уїсазаішого вада, її был поставлен вопрос о получении необходимых и достаточных условий конечности приближений для Фушсции iV(u) произвольного вида.
При изучешш этих вопросов возникают специальные конструкции сплайнов, поэтому их. рассмотрение может дать указания
для построения численных алгоримов приближения функций. ,
і - /, -
-
Установить нообходга.шс и достаточные условия на шюгостпо узлов или ограничив Біхчую Функцію //(и) для конечности приближения.
-
Дать оценки приближений для функций и их производных.
-
Установить порядки приближений при увеличонш количество узлов.
1. Установить побудки совместішх приближений функций и их
ІГрОИЗВОДШХ.
МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИИ. Доказательства jiv.out конструктивній характер. Используется способ приближения сплайнами с нефиксированными узлами, лрэдложятшй Ю.Н. ' СуСботшшм и Н.И. Чершиом [11, их оценки прибліг-яішя по атому способу. При получении условий конечности приближения сплайнами с нефикскровашшш узлами применяется неравенство Харда-Ландау для рядов, сосгивлошшх из частичных сум.'.!. Применяются теореми дифференциального и интегрального исчисления, тооріш рядов, Факти из теории функций, постоянно используется норавонство Гольдера.
НЛТЧН/Ш НОВОМ. Ранее, ц раодтах'Н.И. Черниха, рассматривались фушцта Щи), ограничивающие копгюстпо узлов, только степенного и правильного роста. В настоящей диссертации получопи необходимые и достаточные условия конечности приолигюїзій для функций И (и) с минимальными и рстєсг&сшшкїі ограничениями на ее
ВИД, В ЭТОМ СШІСЛ9 ЛІЗЛЯЩНОСЛ ОКГ 'ЧаТС-ЛЫШМи. ПОЛУЧОІШ ОЦОЫШ
приближений в виде, вытекающем из этих условий. При изучении вопросов конечности оказалось целесообразным ввести ограничение на количество узлов но только с помощьп функции U(u)i па и с помощь» "огршпггипвецого множества". В терминах характеристик отого мшкоства естественна записываются условия конечности
приближении и их оценки. Такоо измененио первоначальной задачи позволило снять многие технические трудности, возникающие при ее исследовании, и том самим решить задачу до конца.
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Работа имеет теоретический характер. Результаты могут использоваться в теории функций, в конструкции . аппроксимирующих сплайнов - в вычислительной математике.
АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Результати диссертации обсуждались на семинарах отдела теории приближений Института математики-и механики УрО АН СССР в г. Свердловске, на Всесоюзних летних школах по теорші приближения функций под руководством профессора СБ. Стечкшш (Мг.еес, 1989 ; Свердловск, 1ЭЭ0), па 5-й Бессоюзной Саратовской зимней школе (19Э0), на кафедро математического анализа и теории функций Уральского госуниверситета.
СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка цитированной литературы. Общий объем - 73 страницы. Библиография содержит II наименований.
ПУБЛИКАЦИИ. По результатам диссертации опубликовано- три статьи.
