Введение к работе
Актуальность темы. Предлагаемая работа посвящена вычислению представлений функций Лебега и констант Лебега в нормах C и L интерполяционных L-сплайнов с равномерными узлами формально-самосопряженного дифференциального оператора произвольного порядка с постоянными вещественными коэффициентами и формул констант Лебега в норме C интерполяционных L-сплайнов малых порядков, в том числе для дифференциального оператора третьего порядка, в общем случае не являющегося формально-самосопряженным.
Начало исследованию констант Лебега в C процесса сплайн- интерполяции было положено в 1968 году, когда Ф.Шурер и Е.В.Ченивычислили константы Лебега в C для интерполяционных периодических кубических сплайнов с равномерными узлами. Годом позже Ф.Шурервычислил константы Лебега в C для интерполяционных периодических сплайнов пятой степени с равномерными узлами. Одним из важных результатов классической теории интерполяционных полиномиальных сплайнов стало вычисление формул констант Лебега в C для интерполяционных полиномиальных сплайнов произвольной степени с равномерными узлами Ф.Ричардсом и независимо А.А.Женсыкбаевым для интерполяционных периодических полиномиальных сплайнов. Ф.Ричардс получил результат в виде матрицы из значений специальных сплайнов, а А.А.Женсыкбаев
-
в виде числового ряда. В 1975 году Ф.Ричардс нашел асимптотику констант Лебега в C для интерполяционных ограниченных на вещественной прямой полиномиальных сплайнов с равномерными узлами в зависи- мости от степени. Задача определения асимптотического поведения констант Лебега в C для интерполяционных периодических полиномиальных сплайнов с равномерными узлами в зависимости от степени и числа узлов была решена Ю.Н.Субботиным и С.А.Теляковским. Аналогичную задачу в L на всей вещественной прямой решили М.Дж.Марсден, Ф.Ричардс и С.Д.Рименшнайдер, а в 2003 году Ю.Н.Субботин и С.А.Теляковскийопределили асимптотику констант Лебега в L для периодических суммируемых на периоде полиномиальных сплайнов в зависимости от степени и числа узлов.
Естественным обобщением классической теории полиномиальных сплайнов является теория L-сплайнов, определяемых линейными дифференциальными операторами. Пусть далее D — оператор дифференцирования. И.Цимбаларио доказал, что если для последовательности формально-самосопряженных дифференциальных операторов
N-1
Ln(D) = D П (D - а), а є R, j = 1, N - 1,
j=1
существует число d > 0 такое, что
sup sup |aj | < d,
N ЄМ\{1} 1 то последовательность констант Лебега в C интерполяционных L-сплайнов с равномерными узлами по порядку этих операторов не ограничена. Х.Морше нашел асимптотику по порядку констант Лебега в C интерполяционных L-сплайнов с равномерными узлами для формально- самосопряженных дифференциальных операторов нечетного порядка C-2U+1 (D) = D ^(D2 - а), а > o,j = ITn. j=і Таким образом теория констант Лебега интерполяционных L-сплайнов с равномерными узлами на момент написания предлагаемой работы развита достаточно слабо, однако представляет большой теоретический интерес как обобщение теории констант Лебега интерполяционных полиномиальных сплайнов с равномерными узлами. Цель данной работы заключается в отыскании представлений функций Лебега и констант Лебега в нормах C и L интерполяционных L-сплайнов с равномерными узлами формально-самосопряженного дифференциального оператора произвольного порядка с постоянными вещественными коэффициентами и точных значений констант Лебега в норме C интерполяционных L-сплайнов малых порядков, в том числе для дифференциального оператора третьего порядка, в общем случае не являющегося формально- самосопряженным. Предполагается, что шаг сетки узлов интерполяции и узлов разрывов старшей производной интерполяционных L-сплайнов определяется параметром h > 0, который полагается произвольным. Представления функций Лебега и констант Лебега в нормах C и L интерполяционных L-сплайнов с равномерными узлами формально-самосопряженного дифференциального оператора произвольного порядка с постоянными вещественными коэффициентами найдены через BL-сплайны, а точные значения констант Лебега в норме C интерполяционных L-сплайнов малых порядка - через параметр сетки h > 0 и параметры дифференциальных операторов, определяющих интерполяционные L-сплайны. Методы исследования. В работе применяются методы математического и функционального анализа. С помощью теоремы Ю.Н.Субботина о решении бесконечных систем разностных уравнений удается построить представление интерполяционного L-сплайнов через BL-сплайны и значения интерполируемой функции в узлах интерполяции. Это представление применяется к отысканию вида фундаментального L-сплайна через BL- сплайны. Находятся представления искомых функций Лебега и констант Лебега с использованием фундаментального L-сплайна и его свойств. Научная новизна. В диссертации впервые найдены точные значения и представления констант Лебега в нормах C и L для интерполяционных L-сплайнов с равномерными узлами формально-самосопряженного дифференциального оператора произвольного порядка с постоянными вещественными коэффициентами. Впервые построены представления функций Лебега в норме C интерполяционных L-сплайнов с равномерными узлами формально-самосопряженного дифференциального оператора произвольного порядка с постоянными вещественными коэффициентами через BL-сплайны. Впервые найдены точные значения констант Лебега в норме C интерполяционных L-сплайнов с равномерными узлами дифференциального оператора, в общем случае не являющегося формально- самосопряженным. Основные положения, выносимые на защиту: Представления функций Лебега и констант Лебега в норме C интерполяционных L-сплайнов с равномерными узлами формально- самосопряженного дифференциального оператора произвольного порядка с постоянными вещественными коэффициентами Ln+M(D) = D^ ^(D2 - а2), а > 0, n Є N, M Є{1, 2}. i=i Формулы констант Лебега в норме C интерполяционных L-сплайнов с равномерными узлами формально-самосопряженных дифференциальных операторов третьего и четвертого порядков 2+M(D) = DM(D2 - а2), а > 0, м Є {1, 2}. Формулы констант Лебега в норме C интерполяционных L-сплайнов с равномерными узлами дифференциального оператора третьего порядка, в общем случае не являющегося формально-самосопряженным L3(D) = D(D - a)(D - в), а< 0, в> 0. Представления констант Лебега в норме L интерполяционных L- сплайнов с равномерными узлами формально-самосопряженного дифференциального оператора произвольного порядка с постоянными вещественными коэффициентами L2„+m(D) = D^ n(D2 - а2), ai > 0, n Є N, м Є {1, 2}. i=1 Практическая ценность результатов. Константы Лебега находят применение в численном анализе при оценке погрешности аппроксимации "зашумленных"данных, а именно справедливо неравенство Лебега: пусть функции f, fs : R ^ R таковы, что ||f — fs || < S для некоторого S > 0, S(f) и S (fg) — интерполяционные L-сплайны соответственно для функций f и fs, и ||Ll|| — константа Лебега для интерполяционных L-сплайнов, тогда ||f — S(fs)||<||f — S(f)|| + ||Ll|| S. Аппробации работы. Основные результаты диссертации докладывались на международных конференциях "Современные проблемы математики, механики, информатики" (Россия, Тула, 2006), "Международная конференция, посвященная 100-летию С. Л. Соболева" (Россия, Новосибирск, 2008), "2nd Dolomites workshop on constructive approximation and applications" (Italy, Alba di Canazei, 2009), "Методы-сплайн функций" (Россия, Новосибирск, 2011). Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка цитированной литературы, который содержит 37 наименований. Общий объем работы составляет 87 страниц. Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [1, 2, 3] в научных журналах из Перечня российских рецензируемых научных журналов, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученых степеней доктора и кандидата наук. Личный вклад соискателя. Диссертация является самостоятельным научным исследованием соискателя. В статьях [1, 2, 3] постановка задачи принадлежит Ю.Н.Субботину.Похожие диссертации на Константы Лебега L-сплайнов с равномерными узлами
