Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Локальные -сплайны с равномерными узлами, со храняющие ядро линейного дифференциального оператора 20
1. Операторы четного порядка 22
2. Операторы нечетного порядка 28
3. Оценка погрешности аппроксимации 31
4. Частные случаи общей схемы 36
Глава 2. Локальные -сплайны третьего порядка с произ вольным расположением узлов 40
1. Построение -сплайна и его свойства 42
2. Поточечная и равномерная оценки погрешности аппрокси мации 49
Глава 3. Аппроксимация локальными параболическими сплайнами функций по их значениям в среднем 56
1. Построение и свойства параболического сплайна 57
2. Оценки погрешности аппроксимации функций и их производных 67
Список литературы 84
Список работ автора 87
- Операторы нечетного порядка
- Оценка погрешности аппроксимации
- Поточечная и равномерная оценки погрешности аппрокси мации
- Оценки погрешности аппроксимации функций и их производных
Введение к работе
Диссертация посвящена исследованию аппроксимативных свойств локальных полиномиальных и -сплайнов, построенных по значениям аппроксимируемой функции в точках или ее значениям в среднем.
Актуальность темы. В настоящее время основным аппаратом автоматизированного геометрического проектирования при описании сложных кривых и поверхностей являются методы сплайн-функций. Одномерные полиномиальные сплайны в их простейшей форме представляют собой кусочные многочлены, гладко состыкованные между собой в заданных точках. Наряду с полиномиальными сплайнами в вычислительной математике хорошо известны и активно применяются их обобщения, названные -сплайнами (см., например, [1,23]). Дадим необходимые определения.
Пусть С и Lp, 1 < р < оо - пространства функций /, заданных на отрезке числовой прямой или на всей прямой R с обычным определением нормы.
Пусть г = СГ{Т>) (Т> - оператор дифференцирования, г Є N) - произвольный линейный дифференциальный оператор порядка г с постоянными действительными коэффициентами (старший коэффициент полагаем равным 1). Символом S г или S Г(Д) обозначим множество всех -сплайнов порядка г минимального дефекта (т.е. дефекта 1) с узлами на сетке Д : а = хо < х\ < ... < ждг = Ъ, т.е.
S^ =S^(A)=
= {S eCr-2[a,b]: Cr{V)S{x) = 0, xe{xj,xj+l), j = 0,N-l}.
Ясно, что если оператор Cr(D) является оператором взятия г-ой производной, т.е. СГ(Т>) = Т>г, то множество S г совпадает с множеством Sr полиномиальных сплайнов порядка г (степени г — 1) с узлами на сетке Д. Аналогичным образом определяются -сплайны и на всей числовой оси R.
Для функции / : R —> R обозначим через
Aif(x) = J2(-ir-sC*rf(x + sh), Сг= Г! (1)
z—' s\(r — s)\
s=0 v >
конечную разность r-го порядка с шагом h > 0. Полиномиальным В-сплайном (см., например [3]) порядка г (степени г — 1) называется функция
(ж_т) ) ' (2)
где t_|_ = таж{0, t}. Нормирующий множитель Cr{h) > 0 выбирается так, чтобы имело место равенство ^ Br{x — jh) = 1 (ж Є К).
В 1975 году Т.Лич и Л.Шумейкер [22] (см., также [3,5]) построили локальные полиномиальные сплайны г-го порядка вида Sr(x) =
Sr(f, х) = J2 J2 Ъ1(и + s)h)Br(x - jh) (х Є R) для любой функ-
j s = — k
ции / : R —> R, где к = \j-^\ и действительные коэффициенты 7s выбраны из условия точности формулы Sr(f,x) = /(ж) для многочленов степени г — 1. В книге Ю.С. Завьялова, Б.И. Квасова, В.Л. Мирошниченко [3] было показано, что в ряде случаев построенные локальные полиномиальные сплайны Sr обладают наилучшими аппроксимативными свойствами на классах функций
W;-1 = %r->,6] = {/ : /(г-2) Є AC, \\f<-r-V\\Lp[aM < 1} (3)
(1
oo, r > 2)
на отрезке [a, b], обеспечивая по порядку h такую же точность, какую дает соответствующий колмогоровский поперечник указанного класса функций. Здесь АС - класс функций, абсолютно непрерывных на отрезке [a, b]. Аналогичные построения локальных полиномиальных сплайнов были выполнены в [3,22] также для полиномиальных сплайнов с неравномерными узлами. Этот аппарат успешно применялся в вычислительной математике для решения прикладных задач, поскольку он имел очевидные преимущества перед интерполяционными сплайнами на оси R, значения которых зависели от значений аппроксимируемой функции / во всех точках равномерной сетки на оси R (см., например, [6,10]).
С точки зрения создания простых вычислительных схем для аппроксимации быстро растущих и разрывных функций большой интерес представляет построение локальных -сплайнов, аналогичных по своей конструкции выше описанным полиномиальным сплайнам. Этим вопросам посвящена первая глава диссертации.
В настоящее время имеется значительное число работ (см., например, [2,4,8,9,13,19]), посвященных численным аспектам аппроксимации полиномиальными сплайнами функций одного переменного, связанных с локальным наследованием сплайном свойств монотонности и выпуклости (обобщенной выпуклости, ковыпуклости, к-монотонности и т.д.) исходных данных. Однако, сохранения монотонности и выпуклости для интерполяционных сплайнов удается достичь только при дополнительных, довольно жестких ограничениях на исходные данные и сетки узлов (см., например, [2,8,9]).
В 1993 году Ю.Н. Субботин [13] на классе функций W^ с ограниченной почти всюду второй производной и заданных на отрезке на равномерной сетке построил локальный неинтерполяционный метод аппроксимации, сохраняющий локально геометрические свойства (монотонность и выпуклость) исходных данных - значений приближаемой функции / в узлах равномерной сетки. В периодическом случае этот метод оказался оптимальным в смысле поперечников по А.Н. Колмогорову и по В.Н. Коновалову. В.Т. Шевалдин и К.В. Косто-усов [7,21] развили этот метод применительно к экспоненциальным и тригонометрических сплайнам с равномерными узлами, соответствующим линейным дифференциальным операторам третьего порядка вида Т>(Т>2 ±/32). Вторая глава диссертации посвящена развитию отмеченных результатов.
Если аппроксимируемая функция / не является непрерывной, а только интегрируемой, то неестественно рассматривать вопросы приближения такой функции, исходя из ее значений в узлах сетки, т.к. значения в отдельных точках несущественны для таких функций. Обычно в задачах теории приближения функций используют интерполяцию в среднем. Полиномиальный сплайн Sr с равномерными узлами Xj = jh (j Є Z) называется интерполяционным в среднем для функции /, если он удовлетворяет следующим равенствам
f(Jh + t)dt = Sr(Jh) (jeZ,fei>0).
Вопросы существования, единственности, аппроксимативные и экстремальные свойства интерполяционных в среднем полиномиальных сплайнов изучались в работах Ю.Н.Субботина [12,14,15].
Для функций /, определенных и интегрируемых на всей числовой оси R, рассмотрим функционалы вида
b3(f) = { ьі іх^~ ">-, -—> . (4)
Представляет интерес изучение аппроксимативных и формосо-храняющих свойств локальных полиномиальных сплайнов г-го порядка вида Sr(x) = Sr(f,x) = J2bj(f)Br(x — jh) [x Є R).
Эти сплайны не являются интерполяционными в среднем
(несмотря на то, что при hi > 0 они построены по значениям функции
f в среднем). Важной задачей является вычисление явной зависимости величины погрешности аппроксимации такими сплайнами на соболевских классах \(Ж) (т < г — 1) не только от величины шага сетки h, но и от величины шага усреднения h\. Решению этой задачи в случае г = 3 (т.е. в случае параболических сплайнов) посвящена третья глава диссертации.
Цель работы. Построение и изучение аппроксимативных свойств локальных -сплайнов с равномерными узлами, сохраняющих базисные функции из ядра линейного дифференциального оператора г порядка г с постоянными действительными коэффициентами. Построение и изучение аппроксимативных свойств локальных -сплайнов третьего порядка с произвольным расположением узлов, обладающих формосохраняющими и сглаживающими свойствами. Изучение аппроксимативных и формосохраняющих свойств параболических локальных сплайнов, построенных на основе интерполяции в среднем.
Методы исследования. В работе используются методы математического анализа и теории приближения функций, в частности, теории сплайнов.
Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми. Основные из них заключаются в следующем.
Результаты диссертации, полученные в первой главе, развивают, но не обобщают отмеченные выше результаты Т. Лича, Л. Шу-мейкера [22], Ю.С. Завьялова, Б.И. Квасова, В.Л. Мирошниченко [3]. Построены локальные -сплайны г-го порядка S{x) = S(f, х) с равномерными узлами, сохраняющие базисные функции из ядра линейного дифференциального оператора r = СГ{Т>) с постоянными действительными коэффициентами, корни характеристического многочлена которого попарно различны. Приведена оценка погрешности аппроксимации некоторых соболевских классов функций (зависящих от оператора г) построенными -сплайнами в терминах ядра интегрального представления разности /(ж) — S{x).
Построены локальные формосохраняющие экспоненциальные и тригонометрические сплайны на оси и на отрезке с произвольным расположением узлов, соответствующие линейным дифференциальным операторам третьего порядка вида С$(1У) = Т>(Т>2 ± /З2). Получена поточечная оценка погрешности приближения указанными -сплайнами. Данные результаты являются продолжением аналогичных исследований Ю.Н. Субботина [13], К.В. Костоусова и В.Т. Ше-валдина [7,19,21].
На классе функций W^(R) с ограниченной почти всюду вто-
рой производной точно вычислена величина погрешности аппроксимации функций / и их производных локальными параболическими сплайнами, построенными на основе интерполяции в среднем.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Построенные в диссертации локальные С-сплайны могут быть использованы в вычислительной математике для создания пакетов программ формосохраняющей аппроксимации.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на следующих математических конференциях и научных семинарах: совместный семинар отдела теории приближения функций и отдела аппроксимации и приложений Института математики и механики УрО РАН под руководством члена-корреспондента РАН Ю.Н.Субботина и профессора Н. И.Черныха; научный семинар под руководством члена-корреспондента РАН В. И. Бердышева в Институте математики и механики УрО РАН; научный семинар под руководством профессора В.В.Арестова в Уральском госуниверситете им. А. М. Горького; научный семинар под руководством В.Л.Мирошниченко и Ю.С.Волкова в Институте математики СО РАН (г. Новосибирск); научный семинар под руководством профессора К.Еттера в г. Штутгарте (Германия); Международная конференция "Прикладной анализ, теория аппроксимации и вычисоительная математика"(17. Rhein-Ruhr-Workshop) (г.Боркен, Германия, 2007 г.); Международная летняя научная Школа СБ. Стечкина по теории функций ( г. Миасс, 2007 г.); 37-я, 38-я и 40-я Региональные молодежные конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики" (г. Екатеринбург, 2006г., 2007г., 2008г.)
Публикации. Результаты диссертации опубликованы автором в работах [30]- [36].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Главы разбиты на параграфы. Объем диссертации - 88 страниц. Список литературы содержит 36 наименований.
Операторы нечетного порядка
Пусть к = 0,1,...; Т - оператор дифференцирования и 2к+1 C2k+1(V) = Y[(V - (3j) J=l - линейный дифференциальный оператор порядка 2к +1 с постоянными действительными коэффициентами, все корни pj характеристического многочлена которого попарно различны. Вначале для простоты изложения будем также считать, что (3j Gl(j = l,2fe + 1). В- -сплайн с уз-лами в точках { — -\- jhj .__к определим формулой (см., например, [23]) Здесь t+ = max{, 0} и Cc2k+l {h) - нормирующий множитель, который для дальнейшего изложения удобно взять равным 1. В силу опреде-ления разности Ah2k+1 и функции р (см. начало 1) имеем: носитель supp В(х) = [— — &/i, + kti\ , Б Є C2fc_1(]R) с разрывами 2к-п производной В — -сплайна в точках {- + jh} .=_к . Для функции / : R -» Ж положим /j = /(і/і) (і Є Z) и где сі, С2, ...,C2fc+i - пока неизвестные действительные коэффициенты. Способ выбора функционалов (1.11) такой же, как и в полиномиальном случае [3,22]. Локальный -сплайн, соответствующий функции /, определим следующей формулой: з При ж Є [(/ — ) /г, (і + \) h] (І Є Z) сумма (1.12) в силу определения В (ж) содержит ровно 2fc + 1 слагаемых, а именно, к (1.13) S{x) = Y; Ii+8B(x -(1 + s)h), х Є S= — k Числа cs (s = 1, 2k + 1) будем определять таким образом, чтобы выполнялись равенства т.е. мы требуем, чтобы построенная формулой (1.12) схема локальной аппроксимации была точна на всех базисных функциях из ядра оператора С2к+і- Равенства (1.14) приводят к системе 2к + 1 линейных алгебраических уравнений относительно 2к + 1 неизвестных cs (s = l,2fc + 1) с основной матрицей, определитель которой отличен от нуля. Пусть А - матрица вида - характеристический многочлен разностного оператора Ah2k+1. Напом 2&+1 ним, что коэффициенты Aj в формуле (р(х) = 2 Aje jX условиями 3=1 ( 0 )(0) = 5jk U — 0, 2к) определяются однозначно. Определим числа eh(2kh-\) dn (І = 1,2Л + 1), 3 Ajp (e h) и пусть d = {di, c?2,..., c?2fc+i}T - соответствующий вектор-столбец. Теорема 1.2. Пусть действительные числа (3j попарно различны. Тогда система линейных алгебраических уравнений Ac = d относительно с = {ci, С2, ...,C2fc+i}T однозначно разрешима и ее решение обращает в тождества равенства (1.Ц). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО теоремы 1.2 почти дословно повторяет доказательство теоремы 1.1с заменой числа г = 2к на число г = 2к + 1. г ЗАМЕЧАНИЕ 1.1. Пусть СГ(Т ) = \\{Т - (3j) - линейный дифферен циальный оператор r-го порядка с постоянными действительными коэффициентами, характеристический многочлен которого имеет попарно различные корни, среди которых могут быть и комплексные числа. Заметим, что если число - мнимая единица) является корнем этого многочлена, то число /3j = 7j — ictj - также его корень. Для того, чтобы определитель det А в теоремах 1.1 и 1.2 был не равен нулю, нужно требовать, чтобы и числа e jh были также попарно различны. Это условие будет заведомо выполнено, если для числа а = таха/ (максимума из модулей мнимых частей корней характе з ристического многочлена оператора Сг) будет выполнено неравенство ah 7г. При выполнении этого требования для оператора Сг также будут иметь место утверждения теоремы
Оценка погрешности аппроксимации
МС ИСО 10014 ориентирован на высшее руководство организации и дополняет меры по улучшению деятельности, изложенные в стандарте МС ИСО 9004 [81]. В нем представлены примеры достижимых выгод и показаны методы и средства управления, которые имеются для оказания помощи с получением этих выгод. В нем изложены указания по получению финансовых и экономических выгод путем эффективного применения восьми принципов управления качеством, изложенных в стандарте МС ИСО 9000:2005. Предусмотрены следующие принципы управления: ориентация на потребителя, лидерство руководителей, вовлечение работников, процессный подход, системный подход к управлению, постоянное улучшение, основанное на фактах принятие решений, и взаимовыгодные отношения с поставщиками. Принятие этих принципов управления является стратегическим решением на высшем уровне. В документе подтверждается связь между эффективным управлением и получением финансовых и экономических выгод. Развертывание соответствующих методов и средств содействует реализации согласованного системного подхода для рассмотрения финансовых и экономических целей. В целом экономические выгоды достигаются путем эффективного использования ресурсов и реализации соответствующих процессов для повышения общего благополучия и процветания организации. Финансовые выгоды достигаются в результате организационного совершенствования в денежной форме и применения экономически эффективных методов управления в организации. Успешная интеграция принципов управления опирается на применении процессного подхода и методики: планирование, исполнение, проверка и принятие необходимых мер (PDCA). Этот подход дает возможность высшему руководству оценивать требования, планировать мероприятия, распределять соответствующие ресурсы, осуществлять меры по постоянному улучшению и измерять результаты для определения эффективности. Он позволяет высшему руководству принимать обоснованные решения, будь то определение коммерческих стратегий, разработка новой продукции или осуществление финансовых соглашений. «Золотой Меркурий» — ежегодный конкурс на соискание Национальной премии в области предпринимательской деятельности. Ее цель - придать новый импульс развитию бизнеса в России на основе лучших традиций отечественного предпринимательства и призвана: - способствовать динамичному развитию российской экономики; - представить лучшие образцы отечественных бизнес-моделей; - пропагандировать идеи социальной ответственности бизнеса; - укреплять традиции российского предпринимательства; - формировать уважительное отношение общества к бизнесу. В качестве показателей конкурса «Золотой Меркурий» могут быть установлены: годовой доход (прибыль); справка об экспортной деятельности; доля рынка по независимой экспертной оценке; новизна методов ведения бизнеса; новизна производимых товаров (услуг); конкурентоспособность (экспорт товаров по мировым ценам); деловая репутация; квалификация руководства; лидерство в своей отрасли; деловая активность на внешнем рынке; социальная политика предприятия. Таким образом, участие в конкурсе на региональном и федеральном этапах дает предпринимателям России значительный стимул для развития производства, внедрения новых технологий, разработок, дает возможность влиять на формирование и совершенствование законодательной базы для отечественного малого бизнеса, что непосредственным образом способствует решению социальных проблем населения. В основе ФМОМ лежат шесть основных функций управления: прогнозирование/планирование, организация, мотивация, контроль, координация и коммуникация [74, 78, 79]. Первые пять функций менеджмента соответствуют пяти оценочным критериям модели и формируют структуру управления, которая, в свою очередь, определяет характер взаимосвязей организации, т.е. ее коммуникацию. Самооценка системы менеджмента организации на основе функциональной модели проводится методом анкетирования. Вопросы анкеты экспресс-оценки разделены на пять групп в соответствии с Критериями модели. 25 вопросов соответствуют 25 оценочным категориям (рис. 5). Экспертный анализ каждой из 25 категорий предполагает пять вариантов оценки управленческой деятельности в организации (таблица 2). Разрешается выбрать только один вариант, который максимально точно характеризует текущее состояние данного направления. Таким образом, эталонный показатель по каждому из пяти критериев может достигать 20 баллов, а эталонная оценка системы управления в целом -100 баллов. Уровень развития системы управления организации определяется общей оценкой текущего состояния менеджмента. В рамках методологии нашей функциональной модели выделены пять уровней развития (зрелости) менеджмента организации (таблица 3).
Поточечная и равномерная оценки погрешности аппрокси мации
Системный подход — это подход к многоуровневому изучению предмета: изучение самого предмета - (собственный) уровень; изучение этого же предмета как элемента более широкой системы - (вышестоящий) уровень; изучение этого предмета в соотношении с составляющими данный предмет элементами — (нижестоящий) уровень. Системный подход требует рассматривать проблему не изолированно, а в единстве связей с окружающей средой, постигать сущность каждой связи и отдельного элемента, проводить ассоциации между общими и частными целями. Системный подход помогает установить причины принятия неэффективных решений, он же предоставляет средства и технические приемы для улучшения планирования и контроля. Таким образом, системный подход позволяет комплексно оценить любую производственно-хозяйственную деятельность и деятельность системы управления на уровне конкретных характеристик. Это поможет анализировать любую ситуацию в пределах отдельно взятой системы, выявить характер проблем входа, процесса и выхода. Применение системного подхода позволяет наилучшим образом организовать процесс принятия решений на всех уровнях в системе управления [100]. Одним из основных направлений реализации системного подхода, в рамках которого рассматриваются исследовательские и управленческие проблемы, связанные с обоснованием и принятием решений в области экономики, политики, техники является системный анализ. Это направление использует как формально-математический аппарат, так и неформальные методы эвристического характера, существенно учитывает факторы неопределенности [23]. Основные принципы системного анализа: 1. Целостность, позволяющая рассматривать одновременно систему как единое целое и в то же время как подсистему для вышестоящих уровней. 2. Иерархичность строения, т.е. наличие множества (по крайней мере, двух) элементов, расположенных на основе подчинения элементов низшего уровня — элементам высшего уровня. Реализация этого принципа хорошо видна на примере любой конкретной организации. Как известно, любая организация представляет собой взаимодействие двух подсистем: управляющей и управляемой, в которой одна подчиняется другой. 3. Структуризация, позволяющая анализировать элементы системы и их взаимосвязи в рамках конкретной организационной структуры. Как правило, процесс функционирования системы обусловлен не столько свойствами ее отдельных элементов, сколько свойствами самой структуры. 4. Множественность, позволяющая использовать множество кибернетических, экономических и математических моделей для описания отдельных элементов и системы в целом [23]. Основные элементы системного анализа 1 Цели. Целевой подход занимает в системном анализе центральное место. Обычно целевой анализ начинается с формулировки так называемой глобальной. Глобальная цель конкретизируется путем указания подчиненных ей главных целей. Далее главные цели развертываются в соответствующие им решаемые задачи. Вся совокупность целей и задач получила название — дерево целей и задач. 2. Ограничения (ресурсы). Задачи системного анализа решаются в условиях различного рода ограничений. Важнейшими из них являются ресурсные ограничения, одним из видов которых является стоимость. 3. Альтернативы (варианты курса действий). В процессе системного анализа необходимо уходить от принятия решений только по одному варианту действий. Методология системного анализа требует просмотра ряда альтернатив в построении системы, алгоритма функционирования в выборе конкретной реализации элементов системы. 4. Критерии (предпочтения, показатели) - это правило, по которому осуществляется выбор или сравнение альтернатив. В качестве критерия выбора часто выдвигаются условия принадлежности альтернативы к множеству, обладающему определенными свойствами. В обобщенном системном анализе определение состава критериев (предпочтений, показателей) и определение правила их согласования (нахождение компромисса между ними) является одной из основных задач. 5. Модели. Исследование альтернатив и соответствующих им про цессов функционирования производится на моделях. Типичной задачей анализа является исследование эффективности определенного варианта (альтернативы), а типичной задачей синтеза — задача выбора эффективной
Оценки погрешности аппроксимации функций и их производных
Модель премии Правительства Российской Федерации в области качества гармонизирована с критериями Европейской премии по качеству. Это дает возможность российским компаниям строить свою деятельность на принципах, которыми руководствуется большинство зарубежных фирм. Критерии присуждения премий устанавливаются в Руководстве для участников конкурса, утверждаемом ежегодно Советом по присуждению премий Правительства РФ в области качества [101]. Однако российская премия — не копия европейской и имеет отличия, обусловленные национальной спецификой. Так, оценка группы «возможности» в российской модели выше, чем в модели EFQM, что отражает большую значимость для современной России потенциала компании, чем скромных и зачастую не всегда объективных результатов. При оценке категорий из группы «возможности» экспертами учитываются совершенство подхода, его полнота, а также оценка и пересмотр подхода (эталонного сопоставления). Для категорий группы «результаты» оцениваются достижения и полнота охвата. Конкурс также предполагает экспертизу отчетов по самооценке и дальнейшее обследование на местах. В российской версии существует два варианта модели - для организации численностью менее 250 чел. и для организации численностью свыше 250 чел. Отличаются они тем, что во втором случае в каждом критерии больше составляющих. Модель оценки организации, претендующей на Российскую премию в области качества (рис. 2) характеризуется девятью критериями, которые дают возможные направления (совершенствования) деятельности организации и ориентиры для ее улучшения. Цифры у каждого критерия модели оценки показывают максимальное число баллов, которое может получить организация по этому критерию, и какой процент это составляет от общей суммы баллов. Необходимо отметить, что составляющие каждого критерия (например, 1а, 16, 1в, 1г) имеют одинаковую весомость, за исключением критериев 5, 6, 7 и 8, в которых баллы распределены следующим образом: 5а - 30 баллов, 56 - 25 баллов, 5в - 25 баллов, 5г - 25 баллов, 5д - 26 баллов; 6а - 135 баллов, 66 - 25 баллов; 7а - 65 баллов, 76 - 25 баллов; 8а - 15 баллов, 86 — 45 баллов.
