Введение к работе
Актуальность теш. При решении некоторых-задач электронной оптики возникает необходимость решения задачи Кош для уравнения Лапласа. Примерами таких задач могут быть: I. Бнеш-няя задача синтеза для интенсивных электронных пучков. Условия Коши задали на границе пучка. 2. Еадача синтеза электронно-оптических систем для "слаботочных" пучков. Условия Коши определены на оси системы, в общем случае криволинейной. 3'; Задача восстановления поля в пространстве по его распределению на оси сксієш, полученное путем экспериментальных измерений или расчета численным методом. Чаще всего встречается задача восстановления магнитного поля в пространстве по его осевому распределению, найденному экспериментально.
Задача Коши для уравнения Лапласа является некорректной.
Некорректность задачи проявляется в неустойчивости решения по
отношению к малнм изменениям начальных условий и к точности
применяемого для ее ресрния метода. Если начальные условия
заданы з аналитической форме и задача могет быть решена ана
литически, то неустойчивость решения по отношений к малым
изменениш начальных данных не имеет значения. Однако, если .
'начальные условия заданы приближенно С например, численно, в '
виде таблиц ), то при решении задачи и точними, и приближен- '
нами методами небольшая ошибка в величине начальных данных,
может привести к ошибке до бесконечности в нахождении реше
ния. -.
Задачи электронной оптики, -как правило, не решатся аналитически и по точным начальным условиям. Условия Коши . известны-обычно с некоторой.степенью точности, приближенно, так как являются результатом решения "задач численным методом. Например, при решении внешней задачи синтеза интенсивных электронных пучков эти значения подачаются из решения внутренней задачи синтеза ( обычно численным методом ).
В приложении к электронной оптике задача Коши для уравнения Лапласа решалась для случая аналитического задания начальных данных точными и приближенными методами. ; В
настоящее время в математике интенсивно разрабатываются метода решения некорректных задач. Многие задачи математической фазЕкн приводят к постановкам, некорректным в классическом сшсле ( некорректным по Адамару ). Один es > возмогших подходов к решению некорректной задачи состоит в изменении требований, предъявляемых к постановка задачи. Тихоновым А.Ы. был введен термин условно-корректной поста-новкг задачи и понятие рєгуляризацис. Полагают, что задаче математической физики, описывающие реальные явления, регу дяризируекш.
Целью диссертационной работы является регуляризировак-ное решение задачи Кош для уравнения Лапласа при приближенных, заданных численно начальных условиях б поглощении к задачам электронной оптике, т.е. применение /метода рагуля-рдзалЕН задачн Коде для уравнения ,/іаяласа к решению задач электронной оптики.
Ваучная новизна исследований
I. Решение задачи Коше для уравнения Лапласа при лрпб-
дгжеккоы { -чйслвннок ) "заданий начальных услоееё примени
тельно к" задачам электронное оятеки б плоском е простран
ственном случае проводится с применением регудярззгруицего
алгоритма ( без предварительной аппроксимации численно за»
данных начальных условии полиномами ) с использованием ме
тода Лаврентьева ii.M., 'что позволяет получить устойчивое
решение. -.--- . - ---
2. Проводится исследование -устойчивости"решения задачи по' отношению к изменениям различных паракетров, входящих в выракение для потенциала, получено выракение для потенплала в рассматриваемой области в плеском случае, проводится выбор оптимального значения параметра регуляризации. "
-
Доказывается, что решение устойчиво по отношение к сильной осшлляши начальных условий ( в плоском и пространственном случае ).
-
Получено выражение для функции Карлемана, проведе-
на аа опазва а получено выракенкз для потенциала в рассматриваемой области в трехмерном случав.
-
Проведено сравнение полученных результатов о точным решение» и верегуляризированвым решением. Решение задача проводится на <Щ:1 в плоском я вксиалъно-ошивтричвои случав. Повазано, что получаемое решение имеет точность задания начальных условий.
-
Повэзана зозг^ожность решения задачи путем сведения з решению интегрального уравнения первого родз глетодоа Лаврентьева Получены выражения для потоншала в рассматриваемых областях, совпадающие в частном случае с известным. д
Достоверность полученных результатов
Получаемое решение имеет точность порядка точности задаваемых начальных условий.
В частном случае полученные выражения совпадают с янвестнын.
Лгзвтдчаоуая значимость работы
Разработаны ыетодияз и составлены программы для опре-дедеззя эяЕадотвншалай поля я аахоядения формы фондирующих электродов в задачах синтеза элевгронно-оптичесзих сио--тем.
Апвобапия работа
Результати, пзлозенпне в диссертация, догладывались на научных семинарах яафедры FT3 з Сэннт-Пэтербургогоц государственном элевтротеханчесвом университете, на УШ ?.!єхвузовскоп конференции по электронике СШ, на научном семинаре ззйэдры электроники и волновых процессов СІУ ин.Н.Г.^ерзшевсяого. '
Публикапий
По материалам диссертации опубликовано 4 работа.
Стнузтугэ и обьег.', дисоертлпаи. Диссертация состоит аз зведення, четырех глав, заключения, списка литєратурн
и прилоненпя. ОбпнпЗ объем диссертации сссшавадеи 221 страницу маппнсппсного текста ( 161 страницу основного текста, 28 рисунков, 8 страниц приложения; список литературы изложен на 24 страницах, содер:еит 212 наименований ).
содереаші; -раеойі
Во введении обоснована актуальность диссертационных исследований, сформулирована гель диссертационной работы, показана научная и практическая значимость работы и описана структура диссертации.
В первом разделе диссертации проведен анализ исследований, посвященных решению различных типов электронкоопти-ческих задач, сводящихся к решению задачи Коши для уравнения Лапласа. Показано, что задача Кошт для уравнения Лапласе решалась для случая аналитического задания начальных услови: точными и приближенными методами. Однако чаще всего в элек-троннооптических задачах имеется приближенное ( численное ) задание начальных условий ( например, результаты машинного счета в виде-таблиц ). Для решения задачи в это;,! случае при-'меняется Предварительная аппроксимация начальных данных полиномами и-задача решается по аналитически заданным началь-.
НЫМ УСЛОВИЯ!,!.
Кроме того, в первом разделе диссертации проведен анал* разработанных в настоящее время в математике методов решения некорректно поставленных задач, в результате чего выбраны методы регуляризации задачи Коши для уравнения Лапласа, используемые в диссертационной работе.
Во втором разделе проведено регулярпзированпое решение задачи Коши для уравнения Лапласа применительно к решению задач электронной оптики в плоском случае.
Проводится построение регуляризированного решения задачи для случая, когда условия Коми заданы на кривой линии, с использованием метода Лаврентьева М.М. Решение задачи априори предполагаем существующим и принадлежащим классу
'раниченнкх фушшій. Доказательство единственности решения .дачи Кош для уравнения Лапласа известно.
Пусть надо решить одну из электрокнооптичоскнх задач, :одяэдпхся к задаче Коши для уравнения Лапласа, когда зна-:ння потенциала У и его нереальной производной заданн :сленно ( з виде таблиц ) на разомкнутой кривой АВ, такие данной численно ( з виде таблицы )
t с>П- / ^y^-S
е. значения Ugtacjvi. ( j[(:X1JJ известны с некоторой за-
:КН0Й СТ?ПенЬЮ ТОЧНОСТИ
/ V- Г/*)1- fa ,
1&-Г<*»1* fa.
і обходило определить значения потенциала в области &0 , істью гранянн которой является кривая АВ. ( В случае реше-га внешней задачи синтеза для интенсивных электронных пуч~ їв надо определить распределение потенциала вне пучка, 7(<) ж i'fx) - условия на гранило электронного потока, [едущие из решения внутренней задачи синтеза такой .элек-юннооптическей система ). Пусть известно также, что в іласти <& величина потенпиала ограничена'
/ и а) і < а\.
.а. необходимо найти гармоническую функцию If , опреде-
іннуїо и ограниченную в некоторой ограниченной области <0 ,
> заданным численно на части гванкпы области ' значена?-
, У и Э1Г/9П. ' .
Отлитие требований условно-корректной постановки зада-[ от классической состоит в том, что в условно—корректной істеновке решение априори предполагается существующим и при-щлежащпм заданному множеству %: функционального простран-ва, обычно компактному; непрерывную зависимость решения от .чальнкх данных надо установить на множестве корректности 2" , т.е. сколь угодно малим изменениям начальних данных
дол~ны соответствовать пз:,енеидя р.і/спня. ддоддде гот ер псрядої; малосте, и дріт этом редекдо делгдо осг~ватдся б множестве J?
Задача нахогдендя гармопдчесдоГ: суякпдд ї/ , опре
деленно!: к ограниченной в ограничение;1, области о? , до
заданна! на части гранты ( критая АВ ) об лес те о2? зна
чениям ТУ в dV/ сводится г. задаче отнекандя ана
литической фуЕдпдд 'f(z) - If ( z) + і- ~V~
ленной я ограниченно* д. то;': де области, z = сг-»^у_,
V (х,у) - сопряженная к Z/ (??;У) гармоническая фун
кция» Рассілатрдваоїлая область -подрьлздетея треудельнпдадп
А О S6J , в точках бпссєг.трнс которых аналитическая
функция у(g) r.:o-scT 6ms одр: де ге на до условиям Зонд
на кривой Ш дутої,; введендя в дн-тедреяьнуд ? ордуду Коде
"гасящей" ункшід, сводяїдед д ss-тю значення интегралов до
дряшгл 0(А)А и 0(Л)В . "Гасгая" дудддпя является унк-
пдєд величины /^-/ j которой ограничен?, по гдедулд; ана
литическая функция jff%) г данной обдаст д; велнчлнд :.:ак-
си.'ального отклонения ft" заданного значения JS&J да
крявой АВ от ее точного значения, длдкк L крпзо?*1 A3,
расстояний точки наблюдения ZV до точки О '^ д
до точкд Д;? ( j?3 = лг^ -г i-J/j - точка на крлвод АВ,
блднаЕшак к точке & ? ), расстояний точкд О до
точек А.В п точке ісг ( *^ - : +*/я. ~ тонка ДД1> '
вой АВ, б которо;" величина Я*.(я-з%,)/Ггг-Вс}1^2АВ
ді!еет иакедгадьное значене ), велнчннк угла А О &>}
'Следовательно, параметр реггдярдзаддн д паннод случае имеет слоеную структуру.
Был проведен впоор оптимального значения параметра
регулярпэалдп. -Получено внрадэнпо для потонднала в области
вне кривой АВ, на которой заданы условия Кодд; подучено
вкр^дєЕПє величины /1-/ через веддчднд, ::с торге могут
быть заданн апрнорд. Яадпенд вдраисндя для определения веддчдг
;лл нодуля анализи-лелс" "у::"::;::. Y через 3-^:/7:::.: ::ачалъ~
:лс отклонения глнлнлчесне^ г.уллли /_' я ?; .лллльноі
прспззсднон на приход A3 от зел;сл значения, і пзлестлзє заданное крило;; могло таяче пелзлъзгдзтъ зліг/ пз у-? нолученніл: і? результате зедєнля злзняетенгиален і:л;: пряму;-, - зялеелтрлер одного і!3 треугольников /5 С {13 , - точная потере;"; истек-ддал у:ее найден.
Для вычисления зізилотскіїііалє;" ПОЛЯ В 0СЛЛЄЗЯ ЛЛ? СГС-тагдена лзсгрл.з.:а счета на ЭЦ3.1.
Для сбєекп точности пслучаеглого данин:.: методом рєгенпя прозодкдось его сразненле с ведение:.;, получении.: точній.: мате— лої.: - аналитического продолжения - псе приОлплолчо:.: заданпи начадьннд: условий ( нерегуляризерозанни.: редендегл ) п точно;,; заданий начальная»; условий ( точним редепяе:.: ).
Реїлулярнзпрозгпное рсдєл:є задачи совпадает с точным с точностью задания начальний условен, а нерегулярпзирозав-ное реденне задачи очень сильно отличается от неге. Приводятся fop:.E зкЕїлотенплален, пелучяегльпе е результате репенля.
Показано, что долечини /Ч_, frrj fz :.;огут бить заданы априори. Редекпе задаче устойчиво по отноденшо и неоольипл измененля:.: величин /^ у Xі z X'*
При сильно;; ссннлляппн плчадллл длллч точность получаемого реиения остается порядка точности задаг;-с:::л: нзчад1--:дл: услелдй.
5 тлеться аелллле проьодлтея рот лярнзлроллнос рзкенле задачи Ъ'озеп для урлзкелля ллплясз пзлиелнтсльнс л зеленіло задач электронно"; оптнлл для тролчерного случая [.:3307,01.: Лаз— рептьєза '.'.І.'..
Проводится построение релллярпзпровлнноге ре:-:ения„ Узла-зла Кет: задзіл :л погярлчестп «л"/ с точность:? до Є На позерннезтн Z" , яздялтце^ся дополнение".: потриноот"
.Г ' дз замилите" достаточно пилил: :::: ~г~'-:'"~"-"-' п-огланнчн-"лл: зедзеть SD , ;- потере; плие гялллля зілчендя л л^лиленон (лгннппг "if (-*.) , rj\v:.:-vs иЛл-./ и ее нормальная прензлолнзя сграпичегл::
-Г/-Г- >' г I Л- ъ-1~}\ < At . -'и :: і
Т.е. задача решается в области о<> в классе ограниченных решений для функции U~{Xl) , Гармоническая функция Ъ^/сс) в любой точка замкнутой области ) может быть опре да лава по формуле Грнна. Если в качестве функции Гриш выбрать функцию Карлемана, то моеео "погасять" интеграл по поверхности 2"' Получено выражение для потенциала вне поверхности, на которой заданы условия Коии. Получено выражение для функции Карлемана и проведена ее опенка. Проводится решение задачи для аксиально-симметричного случая. Проводится его сравнение с точным решением.
Решение, полученное данным методом, имеет погрешность, не превышающую точность задания начальных условий ( также я для быстро осциллирующих начальных данных ).
В четвертом разделе проводится сведение задачи Коши для уравнения Лапласа для плоского криволинейного случая методом Лаврентьева ivi.M. к решению интегрального уравнения первого рода.
В данном методе интеграл по кривой /3 , дополняю-
щей заданную кризуэ Г' , на которой известны условия
Коши, до замкнутей кривой ( внутри области JZ? ), не
"гасится", а вычисляется, при этом и возникает задача реше
ния интегрального уравнения первого рода. Используется
формула Коши нахозденпя аналитической функции внутри области
до ее значениям на гранила области. ' '
Получены выражения для потенциала в области вне кривой, на которой заданы условия Коии, выбраны различные границы этой области.
В частном случае полученные выражения для потенциала совпадают с известным выражением.
В заключении приведены основные результаты диссертационной работы я выводы.
