Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Определение параметров среды по фазовой характеристике прошедшего поля 16
Глава 2. Определение параметров среды по амплитудной характеристике прошедшего поля 41
Глава 3. Определение параметров среды по двум фазовым характеристикам прошедших полей 62
Глава 4. Определение параметров среды по амплитудно-фазовой характеристике или по закону отображения и Фазовой характеристике прошедшего поля 76
Глава 5. Определение параметров среды по трем фазовым характеристикам прошедших полей 89
Заключение 104
Список литературы 106
Приложение 1 108
- Определение параметров среды по фазовой характеристике прошедшего поля
- Определение параметров среды по амплитудной характеристике прошедшего поля
- Определение параметров среды по двум фазовым характеристикам прошедших полей
- Определение параметров среды по амплитудно-фазовой характеристике или по закону отображения и Фазовой характеристике прошедшего поля
Введение к работе
Актуальность темы.
Первые экспериментальные исследования плавно-неоднородных (градиентных) линз с коэффициентом преломления, зависящим от радиуса в цилиндрической системе координат, были сделаны в оптическом диапазоне в работах Экснера, Матиссена, Шотта и Вуда в конце 19-го - начале 20-го века [1].
Первые экспериментальные исследования неоднородных линз в СВЧ диапазоне электромагнитных волн были проведены Микаэляном [2], Келехером и Гоатлеем [3] в середине прошлого века. Однако в СВЧ диапазоне неоднородные линзы с осевой симметрией не нашли пока широкого практического использования в отличие от линз с центральной симметрией (линз Люнеберга). Это объясняется наличием у линз с осевой симметрией аберраций при смещении источника по углу, в отличие от линз Люнеберга, где такие аберрации полностью отсутствуют. С другой стороны, реализация неоднородных линз в диапазоне миллиметровых и сантиметровых волн требует гораздо более сложной технологии, чем реализация однородных линз с асферическими поверхностями, которые находят применение в этих диапазонах волн.
Реальное внедрение градиентных линз началось в оптическом диапазоне в 70-е годы для различных видов объективов, в частности для оптических систем для считывания и записи информации, медицинских эндоскопов и т.д., в связи с прогрессом в технологии ионной имплантации [4].
Параллельно экспериментальным исследованиям развивалась геометро-оптическая теория анализа и синтеза градиентных линз с осевой симметрией. Точное решение задачи синтеза линзы с плоскими поверхностями, радиальным законом изменения коэффициента преломления среды, одним фокусом на поверхности и другим в бесконечности было получено в работах [5,6]. В ряде книг [7,8,9] приводится точное решение для произвольного положения одного
из фокусов. Однако, как показали наши исследования [10], это решение не является точным. К числу точных решений в рамках геометрической оптики относится полученное в [11] аналитическое решение для радиально-градиентного аксикона, который преобразует плоский падающий фронт в конический.
Начиная с 70-х годов, стали публиковаться работы, посвященные исследованию аберрационных свойств цилиндрических линз с радиальным градиентом [12-15, 21]. Рассматривались задачи расчета хода лучей и нахождения аналитических выражений для аберраций. Зависимость коэффициентов преломления задавалась в виде ряда по степеням расстояния от оси. Поверхности линз, как правило, предполагались плоскими или сферическими. В работах [14, 21] приведены выражения для аберраций 5 порядка, а в работе [15] - выражения для аберраций 7 порядка. Результаты этих работ позволяют находить до 4-х членов разложения коэффициента преломления по степеням расстояния от оси путем численной оптимизации.
В работах [16,17] получены частные численные решения задачи синтеза амплитудного и амплитудно-фазового распределения для двумерно-неоднородной среды с плоскими границами.
Другое направление применения геометрооптических методов для решения обратных задач связано с диагностикой неоднородных сред и структур (земной атмосферы, плазмы, градиентных волокон, линз и т.д. [18 - 20]).
Во всех этих работах использовалась непрерывная модель среды. Известны работы, где рассматривалось решение прямой задачи геометрической оптики для плоскослоистой среды, а для определения неизвестных параметров слоев использовались различные методы оптимизации [22].
Таким образом, в этих работах не описан метод, позволяющий находить по заданным преобразованиям фазы, амплитуды или закону отображения падающего и выходящего фронтов коэффициент преломления и (или) форму гра-
ниц радиально-неоднородной среды. Поэтому разработка таких методов является актуальной задачей.
Целью диссертационной работы является разработка методов решения обратных задач геометрической оптики для ограниченной радиально-неоднородной среды с осевой симметрией и применение этих методов для решения задач определения коэффициента преломления, формы границ или того и другого одновременно, по амплитудным, фазовым и амплитудно-фазовым характеристикам падающих и прошедших через среду электромагнитных полей или закону отображения их фронтов, в рамках геометрической оптики.
Научная новизна результатов.
Для решения перечисленных выше задач были разработаны два метода. Первый из них основан на представлении коэффициента преломления и границ среды в виде рядов по степеням расстояния от оси симметрии среды и рекуррентной процедуре определения заданного числа неизвестных коэффициентов этих рядов. Второй - на использовании слоистой модели среды с постоянным или меняющимся по линейному закону значением диэлектрической проницаемости внутри каждого слоя, замене гладких границ среды на кусочно-линейные и рекуррентной процедуре определения диэлектрической проницаемости (коэффициента преломления), а также границ среды для каждого слоя.
В диссертациии впервые описана рекуррентная процедура, позволяющая получить любое заданное число членов разложения коэффициента преломления и форм границ среды по степеням расстояния от оси по амплитудным, фазовым и амплитудно-фазовым характеристикам падающих и прошедших через среду электромагнитных полей или закону отображения их фронтов.
В диссертации впервые описана рекуррентная процедура, позволяющая получить массив коэффициентов преломления и градиентов диэлектрической проницаемости, а также точек, описывающих границы среды по амплитудным, фазовым и амплитудно-фазовым характеристикам падающих и прошедших через среду электромагнитных полей или закону отображения их фронтов.
В диссертации впервые решена задача синтеза радиально- неоднородной линзы с заданным фазовым распределением на выходе.
В диссертации впервые решена задача синтеза радиально- неоднородной линзы с заданным амплитудным распределением на выходе.
В диссертации впервые решена задача синтеза радиально- неоднородной линзы с заданным амплитудно-фазовым распределением на выходе.
В диссертации впервые решена задача синтеза радиально-неоднородной апланатической линзы с заданной формой одной из ее поверхностей.
Практическая ценность работы состоит в том, что полученные результаты могут быть использованы:
а) при решении задач синтеза градиентных линз с требуемыми амплитудно-
фазовыми характеристиками;
б) при решении задач минимизации аберраций градиентных линз с асфериче
скими поверхностями;
в) при решении задач восстановления параметров (коэффициента преломления
и формы границ) осесимметричных ограниченных радиально-неоднородных
сред по амплитудно-фазовым характеристикам падающих и прошедших полей;
г) при конструировании оптических и микроволновых систем, формирующих
изображение;
д) при конструировании оптических и микроволновых систем, обеспечиваю
щих заданное распределение мощности на выходе.
Достоверность полученных результатов подтверждена решением соответствующих прямых задач в рамках геометрической оптики.
Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на Международном симпозиуме по электромагнитной теории, С.-Петербург, 1995, Международной конференции «Математические методы в электромагнитной теории» ММЕТ-98 (Харьков), X Всероссийской школе «Волновые явления в неоднородных средах (Волны-2006)», Московском электродинамическом семинаре. По материалам диссертации опубликовано 8 печатных работ.
Основные положения диссертации, выносимые на защиту:
Метод решения обратных задач геометрической оптики для ограниченной радиально-градиентной среды с осевой симметрией, позволяющий получить любое заданное число членов разложения коэффициента преломления и форм границ среды по степеням отношения расстояния от оси к осевой толщине.
Метод решения обратных задач геометрической оптики для ограниченной радиально-слоистой среды с осевой симметрией, позволяющий получить массив коэффициентов преломления и градиентов диэлектрической проницаемости внутри слоев, а также точек, описывающих границы среды.
Структура и объем диссертации.
Диссертация состоит из Введения, пяти глав, Заключения, Списка литературы и двух Приложений. В ней содержится 113 страниц текста, включая 40 рисунков. Библиография включает 22 наименования.
В первой главе рассматривается задача определения одной из трех функций (коэффициента преломления или формы границы осесимметричной ради-ально неоднородной среды) по известному фазовому фронту на выходе. Сначала приводится первый способ - путем разложения коэффициента преломления
и функций, описывающих границы среды в ряды по степеням расстояния от оси. Рассматриваются две постановки задачи - задачи синтеза среды, обеспечивающей необходимое фазовое распределение и задача восстановления одного из параметров среды, когда известно фазовое распределение прошедшего фронта. Изложен метод нахождения заданного числа членов разложения коэффициента преломления или формы границы среды. Показано, что данная задача не имеет единственного решения. С использованием разработанного метода найдены два решения в виде разложений, содержащих 3 члена. Одно из них получено в предположении монотонного поведения лучей, а другое - для лучей, имеющих не более одного максимума. Приведены примеры двух решений на примере нахождения коэффициента преломления среды, ограниченной параболическими поверхностями, преобразующей сферическую волну в плоскую. Показаны графики отклонения фазы от заданной при задаче синтеза заданного фазового распределения и графики ошибки определения параметров среды по известному фазовому распределению. Показано, что можно улучшить точность найденных разложений с помощью аппроксимации Падэ.
Далее рассмотрен метод решения поставленной задачи для слоистых сред, коэффициент преломления которых в каждом слое постоянный. Описана рекуррентная процедура, позволяющая определить коэффициент преломления в каждом слое и толщину этого слоя, начиная от оси. Приведены графики синтеза заданного фазового распределения и ошибки определения параметров среды по заданному фазовому распределению. Показано, что при увеличении числа слоев вторая методика позволяет с достаточной точностью получать решения и для градиентной среды. Приводится сравнение точности решения двух методов.
Во второй главе рассматривается задача определения одной из трех функций (коэффициента преломления или/и формы границы осесимметричной ра-диально неоднородной среды) по известному амплитудному распределению
поля на выходе. Как и в первой главе рассматриваются две постановки задачи -задачи синтеза и задачи восстановления. Также приводятся две методики решения задачи - для градиентной и слоистой моделей среды. В первой методике решение ищется в виде разложения неизвестных функций в ряд по степеням расстояния от оси. С помощью уравнения энергетического баланса для лучевой трубки находится выражение для координаты точки выхода луча через координату точки входа луча в которое входят неизвестные коэффициенты разложений. Приведен алгоритм нахождения заданного числа членов разложения в ряд коэффициента преломления или формы границы среды. Как и в предыдущей главе показано, что поставленная задача может иметь два решения - для монотонных и немонотонных лучей. По разработанному алгоритму найдены разложения, содержащие 3 члена. Приведен пример синтеза среды с плоскими поверхностями, преобразующей сферическую волну с косинусоидальным амплитудным распределением в волну, имеющую на выходной границе среды равномерное амплитудное распределение.
Далее приводится решение задачи для слоистой среды с однородными слоями. При этом градиентная среда заменяется слоистой с постоянным значением коэффициента преломления внутри каждого слоя. Слои выбираются равной толщины. Описана рекуррентная процедура для нахождения величин коэффициентов преломления в каждом слое. Приведен пример восстановления коэффициента преломления в среде с плоскими поверхностями. Ошибка восстановления оказалась большой и не падала с увеличением количества слоев.
Получено решение той же задачи для слоистой среды с линейно-меняющейся диэлектрической проницаемостью в каждом слое. Приведена рекуррентная процедура для нахождения зависимости коэффициента преломления в произвольном слое начиная от оси. Точность метода проверялась на рассмотренных выше примерах задачи синтеза равномерного амплитудного распределения и задаче восстановления коэффициента преломления в среде с пло-
скими поверхностями. В последней задаче удалось уменьшить ошибку нахождения коэффициента преломления на порядок, по отношению к модели с однородными слоями.
В третьей главе рассматривается задача одновременного определения двух из трех функций (коэффициента преломления и форм границ осесимметрич-ной радиально неоднородной среды) по известным фазовым распределениям двух полей на выходе. Рассматриваются две постановки задачи - задачи синтеза среды, обеспечивающей заданные фазовые распределения и задача определения двух параметров среды, когда известны два фазовых распределения поля на выходе. Метод, использующий представления параметров среды в виде рядов по степеням расстояния от оси обобщается на случай двух полей - здесь необходимо решать совместно две системы уравнений - для первого и для второго полей. В результате решения этих систем можно получить любое число членов разложения двух неизвестных параметров среды. По разработанному алгоритму найдены разложения искомых двух параметров, содержащие 3 члена.
Метод, использующий слоистую модель среды применяется и для случая двух полей и двух неизвестных функциональных параметров среды. Здесь также можно использовать рекуррентную процедуру, описанную в главе 1. Отличие состоит в том, что здесь на каждом шаге рекуррентной процедуры необходимо определять две величины: коэффициент преломления в слое и координату границы. В отличие от первой главы здесь не удается получить явное выражение для искомых параметров. Каждый шаг итерации состоит из двух частей. Сначала мы идем по лучу, принадлежащему первому полю до попадания в искомый слой. Задаем некоторое значение неизвестному коэффициенту преломления в этом слое. По фазовому распределению первого поля на выходе однозначно определяется точка пересечения луча с границей среды и угол наклона касательной к границе в этой точке. Затем рассматриваем луч из второго поля, проходящий через эту точку и вычисляем его оптический путь до пересечения с
11 левой (известной) границей среды и соединяем с фокусом второго фронта. Приравнивая суммарную фазу значению фазы второго фронта на данном луче, мы получаем трансцендентное уравнение относительно неизвестной величины коэффициента преломления в искомом слое. Его решение проводится методом итераций Ньютона, в качестве начального приближения берется значение коэффициента преломления в предыдущем слое. В результате решения уравнения получаем также точку искомой границы среды и высоту определяемого слоя.
В случае, когда коэффициент преломления в среде задан, а искомыми являются две границы можно применить метод разложения в ряд и метод представления массивами точек с рекуррентной процедурой определения точек этих массивов.
Приведены графики ошибки синтеза заданного фазового распределения и ошибки восстановления параметров среды по заданному фазовому распределению. Приводится сравнение точности решения двух методов.
Задача, рассмотренная в первом разделе четвертой главы, это задача определения двух из трех параметров среды (коэффициента преломления и форм границ среды) по известному амплитудно-фазовому распределению поля на выходе. Эта задача объединяет задачи, рассмотренные в первых двух главах. Для случая градиентной среды и представления искомых функций степенными разложениями решение проводится по схеме, приведенной в главе 2 с использованием результатов главы 1. Используя знание фазового и амплитудного распределения на плоскости выходной апертуры, можно получить амплитудное распределение в виде разложения по степеням расстояния от оси на выходной границе среды, причем коэффициенты этого разложения будут выражаться через коэффициенты разложения второй границы среды. Таким образом, мы свели рассматриваемую задачу к задаче, рассмотренной в главе 2.
Подход, основанный на слоистой модели, при знании амплитудно-фазового распределения в данном случае проще, чем в задачах второй и третьей глав.
Здесь используется слоистая модель, где в каждом слое квадрат коэффициента преломления меняется по линейному закону. Строится рекуррентная процедура, на каждом шаге которой в явном виде определяется высота слоя, коэффициент преломления и координаты точки границы среды.
Приводятся результаты применения и сравнения двух методов на примере восстановления параметров среды с первой поверхностью плоской, второй -окружностью радиуса 2 и коэффициентом преломления, задаваемым обратным гиперболическим косинусом.
Задача, рассматриваемая во втором разделе четвертой главы, это задача определения двух из трех параметров среды (коэффициента преломления и форм границ среды) по известному фазовому распределению фронта на выходе и закону отображения падающего и прошедшего лучевых фронтов. Метод, использующий слоистую модель, описан в первом разделе 4 главы. В данном случае не требуется рассматривать уравнение энергетического баланса в лучевой трубке для получения зависимости точки выхода луча от точки входа.
В случае модели градиентной среды для определения коэффициентов разложения показателя преломления используются соотношения из главы 2, а для определения коэффициентов границы среды - соотношения из главы 1.
Точность обоих методов проверялась на примере синтеза неоднородной апланатической линзы, преобразующей сферический фронт в плоский и с законом отображения Y = /sin , где Y- координата точки выхода луча из линзы, 0 -угол выхода луча из источника, у = /0 +0.55 ,/о=\- расстояние от источника до
первой плоской поверхности линзы.
В третьем разделе четвертой главы приводится решение задачи определения двух границ среды по амплитудно-фазовому распределению или фазовому распределению и закону отображения двух полей, если профиль коэффициента преломления задан. Показано, что поставленная задача сводится к решению
обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка, не разрешенного относительно производной.
Пятая глава состоит из двух разделов. В первом разделе рассматривается задача определения всех функциональных параметров (коэффициента преломления и форм границ осесимметричной радиально неоднородной среды) по известным фазовым распределениям на выходе среды трех полей. В случае модели градиентной среды для решения поставленной задачи применяется алгоритм, изложенный в главе 1 одновременно к трем полям. Приводится система уравнений для определения вторых членов разложений функций, описывающих границы среды и профиль коэффициента преломления и система уравнений для определения третьих членов этих разложений.
В случае слоистой модели среды используется рекуррентная процедура, в которой на каждом шаге необходимо определять коэффициент преломления в слое и две точки обоих границ. Каждый шаг итерации состоит из трех частей. Сначала мы идем по лучу, принадлежащему первому полю до преломления на первой границе среды. Считаем, что часть первой границы, куда попадает этот луч, уже найдена на предыдущих шагах рекуррентной процедуры. Далее, луч проходит через уже известные слои и попадет в искомый слой. Задаем некоторое значение неизвестному коэффициенту преломления в этом слое. По фазовому распределению первого поля на выходе однозначно определяется точка пересечения луча с границей среды и угол наклона касательной к границе в этой точке. Затем рассматриваем луч из второго поля, проходящий через эту точку и вычисляем его оптический путь до пересечения с левой границей среды и соединяем с фокусом второго фронта. (Нужно так выбрать второе поле, чтобы этот луч пересек левую границу в известной части). Приравнивая суммарную фазу значению фазы второго фронта на данном луче, мы получаем трансцендентное уравнение относительно неизвестной величины коэффициента преломления в искомом слое. Его решение проводится методом итераций Ньютона, в
качестве начального приближения берется значение коэффициента преломления в предыдущем слое. В результате решения уравнения получаем также точку второй границы среды и высоту определяемого слоя. И, наконец, рассматриваем луч из третьего поля, который падает справа в найденную точку второй границы. Можно добиться выбором полей, чтобы этот луч шел выше первых двух лучей. Прослеживаем путь этого луча и вычисляем его фазу (он проходит через уже найденные слои) до такой точки, где его фаза в сумме с расстоянием до центра третьего фронта будет равна значению соответствующей фазы третьего фронта. Эта точка будет узлом первой поверхности на данном шаге итерации. После переходим к следующему шагу итерации.
Исследуется точность двух методов на примере восстановления среды, ограниченной двумя сферическими поверхностями и коэффициентом преломления, меняющимся по обратному гиперболическому косинусу.
Во втором разделе пятой главы рассматривается задача определения параметров линзы на основе градиентной среды путем минимизации аберраций. Сначала исследуется глубина резкости апланатической линзы. Выяснилось, что диаметр аберрационного пятна при смещении объекта из бесконечности на конечное расстояние от поверхности линзы вдоль оси не зависит от профиля коэффициента преломления и увеличивается по мере приближения к линзе. Так на расстоянии, равном 20 (толщина линзы вдоль оси принята за 1), фокусном расстоянии 2 и радиусе апертуры 2 диаметр аберрационного пятна оказался равным 0.03. Далее представим уравнение первой поверхности линзы и градиента коэффициента преломления в виде четных полиномов четвертого порядка с неизвестными коэффициентами. Будем искать коэффициенты, обеспечивающие минимальный размер пятна на оси для положения объекта на расстоянии, равном 20 толщинам линзы. Эта задача решалась для однородной и градиентной линз методом оптимизации Пауэлла. В результате удалось получить диаметр пятна равный 7,4x10" - для однородной линзы и 3,7x10" - для градиентной
линзы. После исследовалась величина пятна при помещении объекта на разные расстояния (от 20 до 1000 толщин, что соответствует интервалу фокусов от 2.3 до 2 в области изображения) и отклонении его на 5 от оси. Была рассмотрена задача минимизации аберраций для всего рассматриваемого интервала расстояний до объекта, соответствующих интервалу фокусов от 2 до 2.3.
Для однородной линзы была принята допустимой величина аберраций, равная 0.035 толщины линзы. Было найдено, что в этом случае допустимые значения фокусного расстояния в случае однородной апланатической линзы лежат в пределах 2.0-2.2 в области изображения. Это соответствует интервалу от 40 до бесконечности в области предмета. Допустимые значения фокусного расстояния для однородной оптимизированной линзы лежат в пределах 2.0-2.3 в области изображения, что соответствует интервалу от 20 до бесконечности в области предмета. Таким образом, однородная оптимизированная линза позволяет обеспечить в 2 раза большую глубину резкости, чем однородная апланати-ческая.
Неоднородная линза оптимизировалась для меньшей величины аберрации (0.025 толщины). Допустимые значения фокусного расстояния в случае градиентной апланатической линзы лежат в пределах 2.0-2.1 в области изображения. Это соответствует интервалу от 60 до бесконечности в области предмета. Допустимые значения фокусного расстояния для градиентной оптимизированной линзы лежат в пределах 2.0-2.3 в области изображения, что соответствует интервалу от 20 до бесконечности в области предмета. Таким образом, градиентная оптимизированная линза позволяет обеспечить в 3 раза большую глубину резкости, чем градиентная апланатическая.
Таким образом, возможно увеличение глубины резкости оптической системы за счет отказа от точного выполнения условия синусов Аббе. При этом однородная линза обеспечивает увеличение глубины резкости в 2 раза, а градиентная - в 3 раза.
Определение параметров среды по фазовой характеристике прошедшего поля
В случае слоистой модели среды используется рекуррентная процедура, в которой на каждом шаге необходимо определять коэффициент преломления в слое и две точки обоих границ. Каждый шаг итерации состоит из трех частей. Сначала мы идем по лучу, принадлежащему первому полю до преломления на первой границе среды. Считаем, что часть первой границы, куда попадает этот луч, уже найдена на предыдущих шагах рекуррентной процедуры. Далее, луч проходит через уже известные слои и попадет в искомый слой. Задаем некоторое значение неизвестному коэффициенту преломления в этом слое. По фазовому распределению первого поля на выходе однозначно определяется точка пересечения луча с границей среды и угол наклона касательной к границе в этой точке. Затем рассматриваем луч из второго поля, проходящий через эту точку и вычисляем его оптический путь до пересечения с левой границей среды и соединяем с фокусом второго фронта. (Нужно так выбрать второе поле, чтобы этот луч пересек левую границу в известной части). Приравнивая суммарную фазу значению фазы второго фронта на данном луче, мы получаем трансцендентное уравнение относительно неизвестной величины коэффициента преломления в искомом слое. Его решение проводится методом итераций Ньютона, в качестве начального приближения берется значение коэффициента преломления в предыдущем слое. В результате решения уравнения получаем также точку второй границы среды и высоту определяемого слоя. И, наконец, рассматриваем луч из третьего поля, который падает справа в найденную точку второй границы. Можно добиться выбором полей, чтобы этот луч шел выше первых двух лучей. Прослеживаем путь этого луча и вычисляем его фазу (он проходит через уже найденные слои) до такой точки, где его фаза в сумме с расстоянием до центра третьего фронта будет равна значению соответствующей фазы третьего фронта. Эта точка будет узлом первой поверхности на данном шаге итерации. После переходим к следующему шагу итерации. Исследуется точность двух методов на примере восстановления среды, ограниченной двумя сферическими поверхностями и коэффициентом преломления, меняющимся по обратному гиперболическому косинусу.
Во втором разделе пятой главы рассматривается задача определения параметров линзы на основе градиентной среды путем минимизации аберраций. Сначала исследуется глубина резкости апланатической линзы. Выяснилось, что диаметр аберрационного пятна при смещении объекта из бесконечности на конечное расстояние от поверхности линзы вдоль оси не зависит от профиля коэффициента преломления и увеличивается по мере приближения к линзе. Так на расстоянии, равном 20 (толщина линзы вдоль оси принята за 1), фокусном расстоянии 2 и радиусе апертуры 2 диаметр аберрационного пятна оказался равным 0.03. Далее представим уравнение первой поверхности линзы и градиента коэффициента преломления в виде четных полиномов четвертого порядка с неизвестными коэффициентами. Будем искать коэффициенты, обеспечивающие минимальный размер пятна на оси для положения объекта на расстоянии, равном 20 толщинам линзы. Эта задача решалась для однородной и градиентной линз методом оптимизации Пауэлла. В результате удалось получить диаметр пятна равный 7,4x10" - для однородной линзы и 3,7x10" - для градиентной линзы. После исследовалась величина пятна при помещении объекта на разные расстояния (от 20 до 1000 толщин, что соответствует интервалу фокусов от 2.3 до 2 в области изображения) и отклонении его на 5 от оси. Была рассмотрена задача минимизации аберраций для всего рассматриваемого интервала расстояний до объекта, соответствующих интервалу фокусов от 2 до 2.3.
Для однородной линзы была принята допустимой величина аберраций, равная 0.035 толщины линзы. Было найдено, что в этом случае допустимые значения фокусного расстояния в случае однородной апланатической линзы лежат в пределах 2.0-2.2 в области изображения. Это соответствует интервалу от 40 до бесконечности в области предмета. Допустимые значения фокусного расстояния для однородной оптимизированной линзы лежат в пределах 2.0-2.3 в области изображения, что соответствует интервалу от 20 до бесконечности в области предмета. Таким образом, однородная оптимизированная линза позволяет обеспечить в 2 раза большую глубину резкости, чем однородная апланати-ческая.
Неоднородная линза оптимизировалась для меньшей величины аберрации (0.025 толщины). Допустимые значения фокусного расстояния в случае градиентной апланатической линзы лежат в пределах 2.0-2.1 в области изображения. Это соответствует интервалу от 60 до бесконечности в области предмета. Допустимые значения фокусного расстояния для градиентной оптимизированной линзы лежат в пределах 2.0-2.3 в области изображения, что соответствует интервалу от 20 до бесконечности в области предмета. Таким образом, градиентная оптимизированная линза позволяет обеспечить в 3 раза большую глубину резкости, чем градиентная апланатическая.
Таким образом, возможно увеличение глубины резкости оптической системы за счет отказа от точного выполнения условия синусов Аббе. При этом однородная линза обеспечивает увеличение глубины резкости в 2 раза, а градиентная - в 3 раза.
Определение параметров среды по амплитудной характеристике прошедшего поля
В данном разделе рассматриваются задачи определения одного из параметров осесимметричной неоднородной среды по амплитудным характеристикам падающего и выходящего лучевых фронтов. Как и ранее падающий лучевой фронт предполагается сферическим с заданной диаграммой направленности по мощности D(6j), где 6г угол, отсчитываемый от оси облучателя, совпадающей с осью симметрии среды. Эта среда имеет три функциональных параметра: функция z=f(r) , описывающая первую фаницу среды (на которую падает сферический фронт), z=(p(r) - функция, описывающая вторую фаницу среды и п(г) -коэффициент преломления среды. Пусть на второй поверхности среды прошедшее поле имеет функцию распределения мощности Q(r). Требуется определить неизвестный параметр среды. Будут рассмотрены три варианта данной задачи: 1. Заданы/ и р(г), требуется найти п(г). 2. Заданы п(г) и (р(г), требуется найти f(r). 3. Заданы п(г) и/(г), требуется найти (р(г). Рассмотрим сначала первый вариант. Уравнение семейства лучей и вытекающее из него соотношение, а также законы преломления на фаницах сред полностью совпадают с соотношениями (1.1)-(1.5) из 1 главы. Вместо соотношения (1.6) будет соотношение которое назовем законом отображения падающего и выходящего лучевых фронтов и которое будет найдено ниже из условия энергетического баланса. Будем предполагать, что его можно представить в виде разложения Постановка задачи состоит в нахождении п(у), удовлетворяющего интегральному уравнению (1.2) или (1.2а) и условиям (1.3), (1.4), (1.5), (2.1) для всех лучей, прошедших через среду, причем fly) и (р(у) предполагаются заданными. Будем также предполагать, что выходящий лучевой фронт является регулярным (не образует каустик). Будем использовать две методики решения задачи. В первой методике решение ищется в виде разложения в ряд по четным степеням у . Вторая методика использует слоистую модель непрерывной среды, причем внутри каждого слоя диэлектрическая проницаемость предполагается либо постоянной либо меняется по линейному закону. Сначала будем искать решение, используя первую методику. Все соотношения, необходимые для преобразования левой и правой частей уравнения (1,2) или (1.2а) аналогичны приведенным в главе 1, кроме тех, которые входят в (1.12), в котором теперь Аг, В2,С2 выражаются так: ъ.А\,В\,С\ приведены после соотношения (1.10) . Окончательно, правая часть уравнения (1.2) или (1.2а) может быть представлена рядом (1.20) с такими же коэффициентами разложения, что и в 1 главе, а левая часть будет представлена рядом (1.19), но с другими коэффициентами. Так для класса монотонных лучей В приведенные выражения входят неизвестные коэффициенты / и Д разложения (2.2). Выразим их, используя уравнение энергетического баланса. Вычислим мощность, заключенную в элементарной лучевой трубке до и после прохождения среды. До прохождения среды она будет равна D(Qi)sin6ideidy/, где sin0id0]dy/- элемент телесного угла в сферической системе координат. В силу осевой симметрии можно перейти от цилиндрических координат г, y/,z к декартовым координатам х,у. Тогда мощность, заключенная в лучевой трубке после прохождения среды будет равна Q(y)yJ &2 + dy2 cosxdy/, где у - координата точки выхода луча из среды, х=(р(у), % - угол между касательной плоскостью к поверхности среды в точке выхода луча из среды и плоскостью, ортогональной к лучевой трубке. Используя геометрическое соотношение со + х + — -0г=я где /# у = — = , 02 - угол выхода луча из среды, полу 2 dx р(у) чаем Q(y)y Jdx2 +dy2 cosxdy/ = Q(y)y(cos02 + p (у) sin в2)dydу. Приравнивая выражения для мощности в лучевой трубке до и после прохождения среды и сокращая на dy/, получаем уравнение энергетического баланса Будем предполагать, что в некоторой окрестности оси имеют место разложения где D0, Qo константы, определяемые из условия нормировки. Имеет значение только отношение этих констант. Разложения содержат только четные степени в силу симметрии. С точностью до членов 2-го порядка малости соотношение (2.3) принимает вид:
Определение параметров среды по двум фазовым характеристикам прошедших полей
Введем в рассмотрение функцию рассогласования Fi(Q()=Qi-Qo , где Qo - угол наклона преломленного луча, полученного на первом шаге в результате линейной экстраполяции. Методом Ньютона находим следующее уточненное значение Q2=Qi-Fi/F] . Найдя Q2, вычисляем снова интеграл ЛІ,-и находим из уравнения (2.23) новое значение 6i. После чего повторяем описанную процедуру. На шаге итерации номер N:
Производную F (Q) находим приближенно, задавая малое приращение к Q. Процедура заканчивается, когда I QN-ON-I І т , где х - заданная малая погрешность. Полученное на данном шаге значение єі+і и будет искомым значением диэлектрической проницаемости в точке уі+і, а внутри слоя Б меняется по линейному закону. Далее по приведенной схеме определяем следующий і+1 слой и т.д. Результаты применения данной методики для синтеза среды, ограниченной двумя плоскими поверхностями, которая преобразует сферический фронт с диаграммой направленности D[9)=D0cos9 в выходной фронт с равномерным распределением мощности на выходной поверхности Q(y)-l приведены на рис.2.3. Кривые 1, 2 и 3 показывают получающееся распределение мощности в результате численного эксперимента со средой, синтезированной по последней методике при толщине слоя /г=0.05, 0.04 и 0.07 соответственно. Оптимальным является значение h=0.05. Требуемое распределение Q(y)=\ реализуется до значения 0.9 от толщины среды с точностью 0.02.
Для проверки точности определения по приведенной методике коэффициента преломления среды была рассмотрена среда с плоскими поверхностями и законом изменения коэффициента преломления как в линзе Мика-эляна. Предполагается, что падающий фронт формирует диаграмму D(9)=Docos9. На рисунке 2.4 приведен график разности п(у) полученного по данной методике и закона п(у) как в линзе Микаэляна. Найденная оптимальная величина слоя равна 0.05. Из сравнения с рисунком 2.2 видно, что дан 55 ная методика обеспечивает на порядок лучшую точность определения п(у). среды по амплитудной характеристике прошедшего поля.Требуется определить форму первой границы/ среды, которая преобразует сферический лучевой фронт в такой фронт, который имеет на выходе из среды заданное распределение мощности Q(y). Вторая граница среды р(у) и коэффициент преломления п(у) предполагаются заданными. Будем использовать методику разложения в ряд по степеням у. Поставленная задача решается по приведенной в разделе 2.1 схеме, с той разницей, что бесконечная система уравнений (1.22) служит для определения неизвестных коэффициентов разложения первой поверхности f2k (=1,2,3,..).
Как было показано в разделе 2.1 первое уравнение системы (1.22) в случае монотонных лучей имеет вид (2.19), а в случае немонотонных (2.19а). Путем тригонометрических преобразований оба эти уравнения сводятся одному уравнению, содержащему корни (2.19) и (2.19а):
Выбор знака в выражениях для S определяется подстановкой решения в уравнения (2.19) и (2.19а). Если удовлетворяется первое уравнение, то решение соответствует монотонному классу лучей, а если второе, то немонотонному Классу лучей. В процессе алгебраических преобразований могли быть приобретены лишние корни, поэтому необходима проверка полученных решений. Рассмотрим уравнение, описывающее закон преломления на левой границе:
Определение параметров среды по амплитудно-фазовой характеристике или по закону отображения и Фазовой характеристике прошедшего поля
Далее, находим на отстоящей плоскости точку Р2, такую, что луч из второго фронта, проходящий через Р2, проходит через найденную выше точку А. Зная угол наклона касательной в точке А, а также значения пк, hk , k i, и п\ на данном шаге итерации можно найти преломленный луч вплоть до пересечения с левой поверхностью среды в точке А] и вычислить оптический путь Е этого луча внутри среды. Потребуем выполнение условия
\ОЖ\ + Е + \АР2\ = Фг(Уп), означающего, что луч, соединяющий точки Р2 и центр второго фронта ( принадлежит второму фронту. Таким образом мы получаем трансцендентное уравнение относительно коэффициента преломления щ в искомом слое. Его решение проводится методом итераций Ньютона, в качестве начального приближения берется значение с предыдущего слоя щ.\. В результате решения уравнения получаем также точку искомой поверхности А и высоту /-го слоя h\. Далее переходим к нахождению по данной схеме г+1 слоя. Процедуру заканчиваем по достижении заданной величины апертуры, полученный массив точек искомой второй поверхности сглаживаем сплайном. Для начал рекуррентной процедуры первые несколько узлов п(у) и (р(у) можно найти из их квадратичных разложений.
На рисунках 3.3 и 3.4 приведены результаты применения и сравнения двух методов на примере восстановления параметров среды с первой поверхностью плоской, второй - окружностью радиуса 2 (нормировка на толщину в центре) и коэффициентом преломления, задаваемым формулой Щу) = \.6/сИ(лу/6)тю фазовым характеристикам двух прошедших через среду сферических фронтов с фокусами оі =0.5 и/о2=1 Кривая с цифрой 1 на рисунке 3.3 показывает ошибку определения коэффициента преломления среды, умноженную на 1000, как функцию расстояния от оси среды при использовании приведенной методики аппроксимации среды однородными слоями с числом слоев, равном 300 , а кривая с цифрой 2 - при использовании метода разложения решений по степеням расстояния от оси. Из рисунка 3.3 видно, что при расстояниях от оси, меньших 0.9 более точным является метод разложения по степеням расстояния от оси.
Кривая с цифрой 1 на рисунке 3.4 показывает ошибку определения второй поверхности среды, умноженную на 1000, как функцию расстояния от оси среды при использовании приведенной методики аппроксимации среды однородными слоями с числом слоев, равном 300 , а кривая с цифрой 2 - при использовании метода разложения решений по степеням расстояния от оси. Из рисунка 3.4 видно, что при расстояниях от оси, меньших 0.7 более точным является метод разложения по степеням расстояния от оси.
Решение задачи, когда искомыми являются обе поверхности среды /(у) и р(у), а коэффициент преломления п(у) задан, проводится по схеме, аналогичной приведенной в 3.2. Система уравнений (3.17) позволяет определить неизвестные коэффициенты Д ф2- Аналогично из из первого уравнения сиетемы (3.17) можно выразить А2\ формулой (3.23), откуда из определения А2\, приведенному после системы (3.17), можно выразить ф2 (3.24). В последней формуле выбор знака перед радикалом однозначно определяется рассмотрением условия преломления на правой границе монотонного луча. Далее, приведем второе уравнение системы (3.17) к виду (3.25), более удобному для нахождения корней. В уравнении (3.25) в А22 входит неизвестный коэффициент ф2, подставим вместо него выражение (3.24) и получим уравнение относительно . После нахождения всех корней (если они существуют) подставляем их в выражение (3.24) и определяем ф2. Так как в результате тригонометрических преобразований могли быть приобретены посторонние корни, все решения необходимо проверять подстановкой в исходные уравнения (3.17).
Приведем вторую пару уравнений системы (3.16) для определения fa, ф4 где Pj и D0j приведены в разделе 3.1. Система уравнений (3.11) является линейной системой относительно неизвестных J4, ф4 При этом каждой napejS, ф2 будет соответствовать пара А ф4 Рассмотрим теперь другой метод восстановления поверхностей среды, основанный на аппроксимации искомых поверхностей массивами точек и процедуре рекуррентного определения этих массивов. Как и везде в данной главе предполагаем, что на некоторой отстоящей плоскости известны фазовые распределения двух прошедших через среду сферических фронтов Фі(у) и Фг(у). Предположим, что мы уже знаем некоторый массив точек левой поверхности с координатами (уь fk), =1,2,...,/-1, y\c=kh. Получим систему уравнений для определения следующей точки массива (у,-, f\), а также соответствующей ей точки на второй поверхности.
