Содержание к диссертации
Введение
1. Построение интегральных представлений решения 12
1.1 Постановка задачи 12
1.2 Построение «вспомогательной» области и обобщенной функции геометрической оптики 14
1.3 Удовлетворение условиям краевой задачи 21
1.4 Особенности решения 25
2. Асимптотическое вычисление контурных интегралов при помощи метода стационарной фазы 28
2.1 Получение решения в общем виде 28
2.2 Решение задачи дифракции плоской и цилиндрической волны на клине при помощи метода обобщенного эйконала 32
3. Дифракция на рассеивателях с размерным параметром 45
3.1 Общие соображения 45
3.2 Дифракция на полупластине с конечной толщиной 46
3.3 Получение решения на заданной кривой 54
3.4 Нормировка по мощности 58
3.5 Получение решения методом последовательных дифракций (МВД) 67
3.6 Результаты расчета. 70
Выводы 78
Заключение 19
Литература 82
- Построение «вспомогательной» области и обобщенной функции геометрической оптики
- Удовлетворение условиям краевой задачи
- Решение задачи дифракции плоской и цилиндрической волны на клине при помощи метода обобщенного эйконала
- Получение решения методом последовательных дифракций (МВД)
Введение к работе
Актуальность проблемы
Исследование дифракционных процессов проводится при помощи аналитических, численных и численно - аналитических методов. К настоящему времени строгие аналитические решения краевых задач теории дифракции получены лишь для: небольшого числа простейших структур. Поэтому исследование дифракционных процессов проводится в основном при помощи численных и численно - аналитических методов. К численным методам, предусматривающим минимальную предварительную аналитическую обработку задачи,, относятся метод интегральных уравнений, метод конечных разностей, метод конечных элементов, метод автономных блоков и т.п. К численно — аналитическим методам, предусматривающим предварительную аналитическую обработку задачи, относятся метод коллокации, метод продолженных граничных условий и др.
Численные и численно - аналитические методы являются наиболее гибкими и универсальными. Однако, при больших размерах рассеивающих тел возможности численных методов резко ограничиваются объемом ресурсов ЭВМ. Кроме этого, к числу недостатков численных методов следует отнести невозможность их непосредственного применения для решения обратных задач и сложность физической интерпретации полученных результатов.
Для решения как прямых, так и обратных задач рассеяния на телах с кромками используются также асимптотические методы. Они в значительной степени свободны от недостатков численных методов, поскольку не зависят от ресурсов ЭВМ и допускают физическую интерпретацию полученных результатов. Однако, точность асимптотических методов уменьшается с уменьшением размеров рассеивающих объектов. Кроме того, невозможна точная оценка погрешности внутри самого асимптотического метода. Строгие аналитические методы решения краевых задач занимают в математической физике особое место. Несмотря на то, что они приложимы к сравнительно узкому классу модельных задач, полученные с их помощью решения представляют большую ценность, поскольку могут служить надежной основой для развития численных или приближенных методов расчета. При использовании аналитических методов решение краевой задачи выражается непосредственно через элементарные или специальные функции (точно или асимптотически). К аналитическим методам относятся метод разделения переменных, метод Винера - Хопфа, метод сшивания, квазистатический метод и др.
Метод разделения переменных пригоден для исследования рассеивате-лей, поверхности которых совпадают с одной из координатных поверхностей ортогональной системы координат. При этом ортогональная система координат должна удовлетворять определенным условиям, а решения получаются в виде рядов по специальным функциям.
Метод Винера - Хопфа пригоден для решения краевых задач для тел определенной формы, а именно - в тех случаях, когда форма тела может быть определена как сочленение двух полубесконечных подобластей, принадлежащих некоторой области, являющейся координатной поверхностью в разделяющейся системе координат [12]. В методе Винера — Хопфа отправной точкой является либо интегральное уравнение, либо уравнение в частных производных, которые преобразуются обычно в функциональное уравнение в пространстве преобразований Фурье, называемое уравнением Винера — Хопфа.
В методе сшивания неизвестное поле разлагается по собственным волнам или по пространственным гармоникам. Последующее сшивание полей приводит обычно к одной или нескольким системам линейных уравнений,
Квазистатические методы применимы при расчете дифракции на телах, размеры которых малы по сравнению с длиной волны. Наличие в задаче малого размерного параметра позволяет использовать прием, основанный на близости задачи дифракции к задачам электростатики и магнитостатики. Первое строгое решение задачи дифракции на полубесконечных телах было получено А. Зоммерфельдом в работах [1] и [2] при рассмотрении двумерного случая падения плоской волны на идеально проводящую полуплоскость. Это решение в авторском изложении можно найти также в [3, 4]. Свое решение Зоммерфельд распространил также на двумерную задачу падения плоской волны на клин при рациональных п (тт - внешний угол раствора клина, для полуплоскости п = 2). Зоммерфельд построил разветвленное решение волнового уравнения, однозначное на римановой поверхности с точкой ветвления в вершине клина, при помощи эвристического метода в виде интегрального представления. Этот метод получил название «метод разветвленных решений Зоммерфельда», а интеграл - «интеграл по плоским волнам». Позже для систематического обоснования результата Зоммерфельда были применены метод разделения переменных [10], метод Винера - Хопфа [11, 12] и метод сингулярных интегральных уравнений [17],
В работах [5 - 8] было получено обобщение решения Зоммерфельда для дифракционных задач, относящихся к случаям линейного источника и произвольного значения п. В работе [9] было получено решение, справедливое вблизи границ «свет - тень». Более поздние работы, связанные с описанием двумерной дифракции на кромках, лишь используют решение Зоммерфельда и описанные выше результаты.
Решение Зоммерфельда было использовано при построении эвристических методов для расчета дифракции на телах с кромками: физической теории дифракции П.Я. Уфимцева [10] и геометрической теории дифракции (ГТД) Дж.Б. Келлера [13 - 16]. Дальнейшие работы в этой области были направлены, главным образом, на применение асимптотических методов к решению конкретных задач.
Решение Зоммерфельда получено в виде интегралов по отрезкам контуров в плоскости комплексного переменного и выражается в виде хорошо известных специальных функций - интегралов Френеля. Сравнительно простой вид решения Зоммерфельда объясняется с физической точки зрения тем, что в задаче не содержится длин, сравнимых с длиной волны (протяженность полуплоскости бесконечно велика, радиус кривизны края бесконечно мал). В тех случаях, когда размеры дифрагирующего тела сравнимы с длиной волны, решения получаются существенно более сложными.
В связи со сказанным выше становится очевидной важная роль разработки новых аналитических методов теории дифракции. Во - первых, новые аналитические решения имеют самостоятельную ценность, поскольку позволяют непосредственно применять готовые формулы с целью решения других задач физики. Во — вторых, новые аналитические решения могут применяться при построении решений для более сложных задач, например, методом сшивания. В — третьих, новые аналитические решения могут быть использованы для проверки точности и эффективности работы разрабатываемых асимптотических и численных методов, а также использоваться в качестве ключевых задач при построении сложных вычислительных алгоритмов, требующих большого объема вычислений.
В данной работе получено интегральное представление аналитического решения задачи дифракции плоской и цилиндрической волны на рассеивате-лях, представляющих собой двумерные полубесконечные тела с огибающей в виде ломаной линии. Для случая клина интегральное представление полностью совпало с зоммерфельдовским. Результаты проверены на полупластине с конечной толщиной, для которой можно получить асимптотические решения, Сравнение показало хорошее совпадение результатов.
Цель и метод исследования
Целью диссертации является получение интегрального представления для аналитического решения задачи дифракции на двумерных полубесконечных идеально проводящих рассеивателях с кромками, а также применение его для решения конкретной задачи — дифракции на полупластине с конечной толщиной. Получение интегрального представления проводится при помощи метода обобщенного эйконала. Сущность метода состоит в использовании интегральных соотношений, полученных для функции, аналитической (и поэтому удовлетворяющей уравнению Лапласа) в некоторой области, в качестве решения краевой задачи уравнения Гельмгольца в другой области, пересекающейся с первой. Для этого геометро оптическая функция падающего поля путем добавления дополнительной ортогональной координаты преобразуется в особую функцию (обобщенную геометрооптическую функцию). Эта функция одновременно удовлетворяет уравнению Гельмгольца в области вне рас-сеивателя («физической» области) и является аналитической в специально построенных плоскостях комплексного переменного («вспомогательных» областях). Вспомогательные области пересекаются с «физической областью» вдоль окружностей, пересекающих точки заданной кривой, удовлетворяющей определенным свойствам. Форма кривой находится при помощи теории конформных отображений. Расположенные на этой кривой точка наблюдения и седловые точки обобщенной геометрооптической функции являются общими для «физической» и «вспомогательной» областей. При помощи теоремы Коши о вычетах значение обобщенной геометрооптической функции в точке наблюдения представляется в виде замкнутого контурного интеграла во «вспомогательной» области, из которого можно выделить ряд интегралов по участкам замкнутого контура, стремящихся к нулю при уменьшении длины волны. Сумма этих интегралов, асимптотически выражающихся с помощью координат седловых точек обобщенной геометрооптической функции, и представляет собой решение для рассеянной компоненты поля краевой задачи для уравнения Гельмгольца в «физической» области.
Краткое содержание
Диссертация содержит пять глав (включая Введение и Заключение). Во второй главе настоящей работы предложен метод обобщенного эйконала, позволяющий построить интегральное представление аналитического решения задачи дифракции на идеально проводящем полубесконечном рассеивателе. С этой целью осуществляется конформное отображение области, внешней по отношению к рассматриваемому рассеивателю, на верхнюю полуплоскость плоскости комплексного переменного. При этом граница «свет - тень», лежащая на поверхности рассеивателя, располагается в начале координат. Затем к этой полуплоскости добавляется нижняя полуплоскость. В полученной таким образом полной плоскости комплексного переменного размещаются значения функции падающего поля в приближении геометрической оптики. При этом в области тени эта функция принимается равной нулю, в верхней полуплоскости она равна функции падающего поля, а в нижней полуплоскости - функции отраженного поля. Далее, вводится «вспомогательная» плоскость комплексного переменного, пересекающаяся с построенной ранее вдоль окружностей с центром в начале координат. Такую операцию можно рассматривать как фиксацшо первичной радиальной координаты и введение дополнительной радиальной координаты при сохранении первичной угловой координаты. Затем такая же операция с координатами проводится в функции геометрической оптики, которая становится обобщенной функцией геометрической оптики. При этом обобщенная функция геометрической оптики удовлетворяет в первичной области комплексного переменного уравнению Гельмгольца с переменным волновым числом и уравнению Лапласа — во «вспомогательной» плоскости комплексного переменного. Затем во вспомогательной области строится представление обобщенной функции геометрической оптики в виде интеграла по замкнутому контуру при помощи теоремы Копій О вычетах. Далее, из интеграла по замкнутому контуру выделяются отрезки, на которых подынтегральная функция убывает при увеличении волнового числа. Затем доказывается, что сумма или разность интегралов по этим отрезкам удовлетворяет всем условиям краевой задачи для уравнения Гельмгольца. Во второй главе при помощи метода стационарной фазы проводится в общем виде приближенное вычисление интегралов, составляющих описанное выше интегральное представление краевой задачи для уравнения Гельм-гольца. В разделе 2.1 приведено приближенное выражение для подынтегральной функции общего вида, при этом лишь предполагается, что подынтегральная функция имеет седловые точки. В разделе 2.2 приведено решение для рассеяния плоской и цилиндрической волны на клине. Показано, что для задачи дифракции на клине вновь полученное интегральное представление совпадает с известным.
В третьей главе при помощи нового метода получено решение для задачи дифракции плоской волны на рассеивателе конкретного вида. В разделе 3.2 приведены конформное отображение и производная для полупластины с конечной толщиной. Этот вид рассеивателя был выбран потому, что он имеет размерный параметр (толщину), и для него имеются данные в литературе. Установлена связь между волновым числом и формой кривой, на которой ищется решение. В разделе 3.3 получено решение задачи рассеяния на заданной кривой. В разделе 3.4 проведена нормировка по мощности соответствующего решения. В разделе 3.5 получено приближенное решение задачи дифракции плоской волны на клине методом последовательных дифракций (МПД). В разделе 3.6 проведено сравнение результатов численного расчета для решения, полученного методом обобщенного эйконала, с решением, полученным методом последовательных дифракций и с данными из литературы. Сравнение показало хорошее совпадение результатов.
Основные результаты
1. Получено новое интегральное представление аналитического решения двумерной задачи дифракции цилиндрической и плоской волн для класса рассеивателей, который включает в себя полубесконечные рассеиватели с идеально проводящей линейно ломаной границей (в том числе , имеющие размерный параметр). Решение для рассеянного поля ищется на замкнутой плоской кривой, которая строится при помощи теории конформных отображений. Форма кривой определяется формой рассеивателя.
2. Интегральное представление решения для рассеянного поля получено в виде суммы интегралов по отрезкам замкнутого контура в плоскости комплексной переменной, причем подынтегральные выражения и расположение отрезков контуров в плоскости комплексной переменной известны заранее и не требуют проведения каких - либо численных процедур. Подынтегральная функция представляет собой функцию поля возбуждения в обобщенном виде, которая получается путем введения дополнительной радиальной переменной в первичную функцию поля возбуждения. Плоскость интегрирования представляет собой вспомогательную область, построенную на первичной угловой переменной и дополнительной радиальной переменной. При этом обобщенная функция поля возбуждения удовлетворяет волновому уравнению Гельмгольца в первичной двумерной области (при фиксации вспомогательной радиальной переменной) и является аналитической во вспомогательной области (при фиксации первичной радиальной переменной). Показано, что интегральное представление решения во вспомогательной области является решением краевой задачи для рассеянного поля в первичной области.
3. Показано, что для полубесконечного рассеивателя клиновидной формы (в том числе - для бесконечно тонкой полуплоскости) новое интегральное представление совпадает с известным.
4. При помощи метода перевала выражения для строгого интегрального представления получены в общем виде приближенные выражения, справедливые во всем диапазоне углов, в том числе - вблизи границы «свет - тень». Для случая дифракции плоской волны на клине эти выражения совпадают с известными.
5. В качестве иллюстрации решения задачи дифракции в рассматриваемом классе построено решение для дифракции плоской волны на полупластине с конечной толщиной. Именно этот вид рассеивателя был выбран из рассматриваемого класса рассевателей потому, что для него имеются данные в литературе, с которыми проводилось сравнение полученных результатов. Полученное интегральное представление может быть применено и к рассеивателям, выходящим за рамки рассматриваемого класса рассеивателей. Однако подробное исследование этого вопроса выходит за рамки настоящей работы. 6. Построено решение для рассеяния плоской волны на полупластине методом последовательных дифракций. Каждая из последующих дифракций рассчитывалась с использованием асимптотик, полученных при помощи нового метода. Эти асимптотики работают в более широком диапазоне значений размерного параметра (толщины полупластины), чем асимптотики, полученные методами, известными ранее. Решение, построенное методом последовательных дифракций, сравнивалось с данными из литературы, а также с решением, полученным при помощи нового метода непосредственно. Сравнение показало хорошее совпадение результатов на выделенной замкнутой кривой вблизи рассеивателя, а также в дальней зоне.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [34 - 43].
Построение «вспомогательной» области и обобщенной функции геометрической оптики
Получение интегрального представления проводится при помощи метода обобщенного эйконала. Сущность метода состоит в использовании интегральных соотношений, полученных для функции, аналитической (и поэтому удовлетворяющей уравнению Лапласа) в некоторой области, в качестве решения краевой задачи уравнения Гельмгольца в другой области, пересекающейся с первой. Для этого геометро оптическая функция падающего поля путем добавления дополнительной ортогональной координаты преобразуется в особую функцию (обобщенную геометрооптическую функцию). Эта функция одновременно удовлетворяет уравнению Гельмгольца в области вне рас-сеивателя («физической» области) и является аналитической в специально построенных плоскостях комплексного переменного («вспомогательных» областях). Вспомогательные области пересекаются с «физической областью» вдоль окружностей, пересекающих точки заданной кривой, удовлетворяющей определенным свойствам. Форма кривой находится при помощи теории конформных отображений. Расположенные на этой кривой точка наблюдения и седловые точки обобщенной геометрооптической функции являются общими для «физической» и «вспомогательной» областей. При помощи теоремы Коши о вычетах значение обобщенной геометрооптической функции в точке наблюдения представляется в виде замкнутого контурного интеграла во «вспомогательной» области, из которого можно выделить ряд интегралов по участкам замкнутого контура, стремящихся к нулю при уменьшении длины волны. Сумма этих интегралов, асимптотически выражающихся с помощью координат седловых точек обобщенной геометрооптической функции, и представляет собой решение для рассеянной компоненты поля краевой задачи для уравнения Гельмгольца в «физической» области.
Диссертация содержит пять глав (включая Введение и Заключение). Во второй главе настоящей работы предложен метод обобщенного эйконала, позволяющий построить интегральное представление аналитического решения задачи дифракции на идеально проводящем полубесконечном рассеивателе. С этой целью осуществляется конформное отображение области, внешней по отношению к рассматриваемому рассеивателю, на верхнюю полуплоскость плоскости комплексного переменного. При этом граница «свет - тень», лежащая на поверхности рассеивателя, располагается в начале координат. Затем к этой полуплоскости добавляется нижняя полуплоскость. В полученной таким образом полной плоскости комплексного переменного размещаются значения функции падающего поля в приближении геометрической оптики. При этом в области тени эта функция принимается равной нулю, в верхней полуплоскости она равна функции падающего поля, а в нижней полуплоскости - функции отраженного поля. Далее, вводится «вспомогательная» плоскость комплексного переменного, пересекающаяся с построенной ранее вдоль окружностей с центром в начале координат. Такую операцию можно рассматривать как фиксацшо первичной радиальной координаты и введение дополнительной радиальной координаты при сохранении первичной угловой координаты. Затем такая же операция с координатами проводится в функции геометрической оптики, которая становится обобщенной функцией геометрической оптики. При этом обобщенная функция геометрической оптики удовлетворяет в первичной области комплексного переменного уравнению Гельмгольца с переменным волновым числом и уравнению Лапласа — во «вспомогательной» плоскости комплексного переменного. Затем во вспомогательной области строится представление обобщенной функции геометрической оптики в виде интеграла по замкнутому контуру при помощи теоремы Копій О вычетах. Далее, из интеграла по замкнутому контуру выделяются отрезки, на которых подынтегральная функция убывает при увеличении волнового числа. Затем доказывается, что сумма или разность интегралов по этим отрезкам удовлетворяет всем условиям краевой задачи для уравнения Гельмгольца.
Во второй главе при помощи метода стационарной фазы проводится в общем виде приближенное вычисление интегралов, составляющих описанное выше интегральное представление краевой задачи для уравнения Гельм-гольца. В разделе 2.1 приведено приближенное выражение для подынтегральной функции общего вида, при этом лишь предполагается, что подынтегральная функция имеет седловые точки. В разделе 2.2 приведено решение для рассеяния плоской и цилиндрической волны на клине. Показано, что для задачи дифракции на клине вновь полученное интегральное представление совпадает с известным.
В третьей главе при помощи нового метода получено решение для задачи дифракции плоской волны на рассеивателе конкретного вида. В разделе 3.2 приведены конформное отображение и производная для полупластины с конечной толщиной. Этот вид рассеивателя был выбран потому, что он имеет размерный параметр (толщину), и для него имеются данные в литературе. Установлена связь между волновым числом и формой кривой, на которой ищется решение. В разделе 3.3 получено решение задачи рассеяния на заданной кривой. В разделе 3.4 проведена нормировка по мощности соответствующего решения. В разделе 3.5 получено приближенное решение задачи дифракции плоской волны на клине методом последовательных дифракций (МПД). В разделе 3.6 проведено сравнение результатов численного расчета для решения, полученного методом обобщенного эйконала, с решением, полученным методом последовательных дифракций и с данными из литературы. Сравнение показало хорошее совпадение результатов.
Удовлетворение условиям краевой задачи
Следовательно, интегральное представление (15), эквивалентное (16), также удовлетворяет первичному волновому уравнению. Однако, интерпретация (15) несколько иная. Она заключается в том, что поле первичной волны, взятое в точке наблюдения, записывается в виде интегрального представления по замкнутому контуру в некоторой комплексной области, а затем из этого интегрального представления выделяются участки, которые можно интерпретировать как рассеянное поле. Такая интерпретация позволяет задавать в более общем виде первичные поля возбуждения, а также более свободно оперировать с ними. Требуется лишь знать зависимость первичного поля от координат и осуществить замену координат таким образом, чтобы удовлетворялись условия (6).
Таким образом, мы показали, что решения (10) или (11) удовлетворяют волновому уравнению (2), поскольку функция Рс удовлетворяет в области щ2 тому же волновому уравнению, что и в точке наблюдения w0, а в этой точке она удовлетворяет первичному волновому уравнению (2), поскольку точка w0 находится на кривой rdQ. Решения (10) или (11) удовлетворяет условию излучения, поскольку интегрирование в формуле (9) проводится по участкам сходимости, где Рс убывает при увеличении волнового числа. Осталось доказать, что решения (10) или (11) удовлетворяют условию Мейкснера на ребре. Это сделать не очень просто, поскольку мы находим решение на кривой rdQ, которая всегда расположена на некотором расстоянии от ребра. Однако, в дальнейшем мы сможем, исследуя поведение решения, доказать удовлетворение его условию на ребре. Таким образом, мы нашли решения уравнения Гельмгольца при помощи подстановки переменной w в известную функцию Р и построения интегрального представления получившейся функции в соответствии с теоремой Копти о вычетах. Формулы (9), (10) и (11) представляют собой интегральное представления решения краевой задачи в общем виде. Для получения интегрального представления решения достаточно найти вид конформного отображения, определить границы тени во вспомогательной области и провести по ним интегрирование по участкам сходимости в соответствии с формулой (9). 1.4 Особенности решения. Рассмотрим функцию падающего поля в виде (13). Если искать для нее рассеянное поле в виде разложения по плоским волнам (18), то нужно заменить в (13) угол прихода плоской волны щ на комплексную переменную /?. Эта операция никак не отражается на координатах. Независимо от того, в какой области (z или w) мы ищем решение, волновое уравнение останется прежним, а удовлетворение решения граничным условиям будет определяться тем, насколько удачно подобрана или найдена подынтегральная функция амплитуды плоской волны Л{0). С другой стороны, если искать рассеянное поле в области w в виде (15), подставив в (13) w вместо w, то подынтегральный множитель получается автоматически, поскольку представляет собой простой полюс. Кроме того, в области w автоматически удовлетворяются граничные условия. Рассмотрим получающуюся при этом функцию Pc(w) Изучение интеграла (14) с функцией Pc(w) общего вида (19) (или более сложного) представляет собой математическое исследование, выходящее за рамки настоящей работы. Прежде всего, в рамках подобного исследования нужно выяснить условия соответствия функции Рс(м ) уравнению Лапласа в области w. Для клиновидных рассеивателей уравнение Лапласа выполняется, поскольку rz\rw0,(p )= const. Можно было бы попытаться использовать известное решение для поля, рассеянного на клине в задаче дифракции на рас-сеивателе с размерным параметром. Однако, непосредственная подстановка решения для клина в область w рассеивателя с размерным параметром и последующий перевод решения в область z при помощи конформного отображения приведет к неверному результату, поскольку будет соответствовать задаче дифракции на теле в неоднородной среде. Коэффициент преломления этой неоднородной среды будет равен отношению производных \dz\dy\ для клина и рассеивателя с размерным параметром. Однако если взять решение для клина не во всем пространстве, а на выделенной кривой, где отношение производных равно единице, а затем продолжить решение в оставшуюся область пространства, то можно получить правильное решение волнового уравнения для рассеянного поля. Такой подход согласуется с представлениями о квазистатическом приближении. Известно, что если размеры тела много меньше длины волны, то распределение поля в его окрестности такое же, как в статическом случае. В случае полубесконечного тела его размеры всегда больше длины волны, однако размеры выделенной кривой, на которой ищется решение, могут соответствовать указанному условию.
Продолжение решения с заданной кривой в оставшуюся область пространства можно осуществлять различными способами. В качестве точного способа можно предложить решение этой проблемы при помощи метода интегральных уравнений для среды с неоднородной диэлектрической проницаемостью [23]. В качестве приближенного способа можно предложить метод геометрической оптики. Зная амплитуду, фазу и характер расходимости поля при распространении его с контура в оставшуюся область пространства, можно найти решение во всех точках.
К достоинствам интегральных представлений решения, получающихся при помощи метода обобщенного эйконала, можно отнести общность подхода для рассеивателей разной формы и относительную простоту получающихся конечных выражений.
Решение задачи дифракции плоской и цилиндрической волны на клине при помощи метода обобщенного эйконала
Если теперь перейти к нормированной переменной wN, то конформное отображение следует брать в виде kz(wN) = w /ny при этом для нормированной производной будет выполняться = 1. То же самое выражение получится, если в (35) устранить зависимость коэффициента А от переменной w, положив w0 = 1. Отсюда получим А = \/п.
Таким образом, нормированные выражения для конформного отображения и производной в случае дифракции цилиндрической волны на клиновидном рассеивателе будут такими: Кривая г о в случае клиновидного рассеивателя представляет собой фрагмент окружности w = 1. Поскольку точка наблюдения w0 находится на окружности rdQ, то rw0" = w0 = l. В области z на этой окружности выполняется krz0 =1/и. Осуществим замену переменной w-±w(rw0) (или pw - pj): где rw0 = w0, o " точка наблюдения, которая всегда находится на кривой Преобразование вида (38) вводит дополнительную радиальную переменную rw, при этом первичная радиальная переменная фиксируется rw = rw0, a (pw остается неизменной. В системе полярных координат (rw, pw) образуется вспомогательная область w(rw0), в которой комплексная переменная (pcw действительна и равна pw на окружности rw = rw0. Функция обобщенного эйконала: Pc(w) = P(w) во всех точках окружностей rw0 = const, поскольку в этих точках rw = rw - rw0, pw = (p% и w = w(rw0). Таким образом, для утверждения о том, что преобразование (38) соответствует условиям (6), осталось доказать, что Дд,Рс = 0 в щ2 Последнее следует из того, что Рс является аналитической функцией от w(rw0), в отличие от функции Р, которая не является аналитической функцией от w или z. Функция Р зависит от переменных (rzi pz), причем rz=z[, (pz=arg(z). Преобразования такого рода не являются аналитическими, поэтому функция Р удовлетворяет волновому уравнению Гельмгольца (2), а не уравнению Лапласа. Однако, если в соответствии с (37) зафиксировать rz =rz0 =r Q/(kn), положив rw = rw(), то на этой окружности получим с учетом а это уже аналитическая функция, и функция Pc(w) удовлетворяет уравнению Лапласа (6). Поэтому для функции Pc(w) справедливы и дальнейшие рассуждения, относящиеся к интегральным преобразованиям. Вид вспомогательной области w(rw )) зависит от значения rw0, но не зависит от вида рассеивателя. Следовательно, найденное при помощи интегральных преобразований в области w(rw0) полное поле U(w0) также не зависит от вида кривой rdQ. С другой стороны, формула для производной (5) и вид кривой rd0 зависят от формы рассеивателя. Поэтому одно и то же значение U(wQ) в точке w0 области w переносится в область z с разными значениями z0 и j(fe)/W, которые зависят от вида рассеивателя, причем, как уже было сказано ранее, при переносе решения в область z оно сохранится неизменным лишь в точках Комплексная угловая переменная (р является действительным числом в точке наблюдения wQ, которая всегда находится на кривой rdQ. Поэтому на rd0: w = w0 urw=rw0. Если зафиксировать rw0 = const, то будет верно также и rzQ = const во всей области w. Кроме того, из (37) следует линейная связь между угловыми переменными (pz=nq w. Поэтому на rd0 (где в соответствии с (38) fw = rw = rw0 ) подстановка w вместо w в выражение для эйконала сводится к замене действительных угловых переменных (pw и pz на комплексные pcw и (pcz соответственно, причем q \ = п р ,. Выражение для w можно получить с помощью формальной подстановки в выражение для w вместо старых координат {rw,(pw) новых: \rwo, pw) где rw0 - постоянная, а - комплексная, выражающаяся с помощью pw и rw. Можно условно считать, что дополнительная ортогональная координата Fw направлена перпендикулярно как (pw, так и rw (т.е. перпендикулярно плоскости (rwi pw)). Таким образом, вместо пары действительных координат (rw,(pw) получаем тройку (rw,rw,(pw). Фиксируя (rwtrw = rw0,tpw), получаем область w, фиксируя (rw = rw0,rw,$?w), получаем область w. Подставив (р% вместо pw в P{rz (pz) из (30), получим обобщенную функцию геометрической оптики Ps{rw,rw,(pw), зависящую уже от трех действительных переменных.
Получение решения методом последовательных дифракций (МВД)
Сходство между методами (МОЭ и МПД) состоит в том, что в обоих случаях решение получается путем обработки первичного приближения, представляющего собой решение задачи дифракции на клине, вершина которого совпадает с освещенной кромкой. Однако, как сами первичные приближения, так и способы их обработки отличаются. МОЭ использует в качестве первичного приближения решение на эквивалентном клине с 3/2 пе 2, которое определено во всех точках кривой rdQ. Обработку первичного приближения МОЭ осуществляет путем интегрирования поля в дальней зоне. Приближенно эту операцию можно осуществить, продолжая поле в дальнюю зону в соответствии с законом, аналогичном тому, по которому поле уходит в дальшою зону в случае дифракции на клине, когда кривые rdQ представляют собой окружности (формула (70)). МПД использует в качестве первичного приближения клин с внешним углом тг - Ъя/!. Сигнал, рассеянный этим клином, испытывает последовательные дифракции на теневой и освещенной вершинах.
Для описания дифракции на клине в обоих случаях (МОЭ и МПД) используется первый член асимптотики, получающийся в результате применения метода стационарной фазы. Последующие члены уменьшаются пропорционально обратным степеням величины kR, где R - расстояние от кромки до точки наблюдения в области z. Кривая rrf0 находится вблизи от кромки, поэтому описание поля на ней будет неточным в обоих случаях (МОЭ и МПД). Однако, в большинстве практически важных задач интерес вызывает поведение поля на значительных расстояниях от рассеивателя. Поскольку при удалении от кромки поле будет все в большей степени соответствовать первому члену асимптотики, точность решения будет возрастать для обоих случаев (МОЭ и МПД).
При доказательстве удовлетворения решения условиям краевой задачи мы отложили доказательство удовлетворения решения условию Мейкснера на ребре. В этой связи уместно привести цитату из [17]: Необходимость задавать условие на ребре отпадает «или когда дифференциальное уравнение решается методом разделения переменных в некоторых координатах, выбранных в соответствии с формой дифрагирующего тела, или когда искомое решение строится из таких частных.решений, которые в отдельности заведомо удовлетворяют условию на ребре». Поскольку мы ищем решение в специальной области, построенной при помощи ортогонального преобразования координат, и выбираем в качестве базового известное решение задачи рассеяния плоской волны на клине, у нас имеются все основания полагать, что условие Мейкснера выполняется автоматически.
Можно показать, что интегральное представление, использованное в МОЭ, является обобщением классического интегрального представления, использованного Зоммерфельдом для построения решений задачи рассеяния электромагнитных волн на полуплоскости и клине. Рассмотрим сходства и различия между двумя решениями задачи дифракции на полубесконечных рассеивателях: решением Зоммерфельда и решением, полученным методом обобщенного эйконала.
К сходству между двумя рассматриваемыми решениями можно отнести то обстоятельство, что оба они построены при помощи интегрального представления на многолистной поверхности. В случае клиновидного рассеивате-ля интегральные представления совпадают.
Решение Зоммерфельда является эвристическим. Оно справедливо для клиновидного рассеивателя с внешним углом раствора клина тт на многоли-стной Римановой поверхности, причем п является рациональным числом п = Ijm, где / - число листов этой поверхности, а т - целое число. Например, для внешнего пространства прямоугольного клина /-3, т 4. Периодичность эвристического множителя подынтегральной функции равна 2тй. Дальнейшее развитие решения Зоммерфельда позволило распространить его на произвольное число / (также и не целое). Решение Зоммерфельда получило методическое обоснование, будучи воспроизведено при помощи метода разделения переменных. Тем не менее, оно может применяться лишь для рассеивателей клиновидной формы.
Решение МОЭ представляет собой сумму интегралов по отрезкам контура в плоскости комплексного переменного. Его интегральное представление строится с помощью самых простых математических и физических принципов. Оно естественно вытекает из самой простой формы теоремы Копій о вычетах (полюс первого порядка), выбор замкнутого контура обхода вокруг освещенной области понятен с физической точки зрения. Интегральное представление МОЭ для полубесконечных рассеивателей любой формы строится с в двухлистной вспомогательной области (полной плоскости комплексного переменного), связанной с формой рассеивателя при помощи конформного отображения. Граничные условия для полубесконечных рассеивателей строго удовлетворяются на всей границе (горизонтальной оси) и только на ней.
Таким образом, это решение обладает гораздо большей общностью, чем решение Зоммерфельда, оставаясь таким же простым по виду. Платой за общность и простоту является то обстоятельство, что решение МОЭ справедливо лишь на определенной кривой, в то время как решение Зоммерфельда справедливо во всем пространстве. Тем не менее, проведя несложные математические операции, решение МОЭ также можно использовать во всем пространстве (хотя и приближенно).
Кроме того, решение МОЭ имеет лучшее обоснование, чем решение Зоммерфельда. Более того, решение МОЭ может использоваться наряду с другими методами для методического обоснования указанного решения. При этом обоснование касается не итогового результата, а аспектов, предложенных Зоммерфельдом из эвристических соображений. В частности, можно обосновать вид подынтегральной функции,
МОЭ рассматривает с новой точки зрения физику процесса дифракции, вводя понятие кривой rd0, которая разделяет области «искривленного» и «прямолинейного» эйконала. Тот факт, что критическая окружность rd0 действительно существует и имеет в области z малый радиус (для полуплоскости fe = l/2, z = Л/(4тг)), косвенно подтверждается результатами, приведенными в [25]. Основное искривление линий плотности потока мощности в окрестности кромки происходит внутри круга, радиус которого приблизительно равен указанной величине.
Представляют интерес вопросы, касающиеся установления класса рас-сеивателей, решение задачи рассеяния на которых может быть получено предложенным методом, а также математического обоснования строгости полученного решения. Однако, подобные исследования выходят за рамки настоящей работы.
