Содержание к диссертации
Введение
1. Магнитные характеристики и магнитные параметры сред
1.1. Определение понятий магнитной характеристики и магнит ол ных параметров сплошной среды тг
1.2. Магнитная характеристика и магнитные параметры изотропной ферромагнитной среды
1.3. Эквивалентирование слоистых ферромагнитных сред сплошными средами
1.4. Преобразование магнитных параметров сред при изменении системы координат
1.5. Алгоритм расчета магнитной характеристики шихтованной стали
1.6. Анализ магнитных характеристик
1.7. Анализ магнитных параметров
2. Сущность дифференциального сеточного метода расчета статических магнитных попей в нелинейных средах
2.1. Дифференциальная краевая задача расчета статического магнитного поля в кусочно-однородных нелинейных средах/3
2.2. Разностная краевая задача (г
2.3. Общий алгоритм решения разностной краевой задачи итерационным методом Ньютона .
2.4. Общий алгоритм решения разностной краевой задачи безытерационным методом
2.5. Сущность общего подхода к составлению разностных уравнений
2.6. Алгоритм определения коэффициентов разностных уравне для произвольной плоской криволинейной ортогональной до системы координат
2.7. Построение разностных уравнений в декартовой прямоугольной системе коорцинат
2.8. Построение разностных уравнений в полярной системе координат
3. Расчет статического магнитного поля в неяшополюсной элекгрическш машине возвратно-поступательного движения
3.1. Дифференциальная краевая задача расчета статического магнитного поля в асинхронной машине возвратно-поступательного движения
3.2. Разностная краевая задача 1.9
3.3. Решение разностной краевой задачи итерационным методом Ньютона
3.4. Практическая реализация алгоритма
4. Расчет статического магнитного поля в неяшополюсной электрической машине вращательного движения
4.1. Дифференциальная краевая задача расчета статического магнитного поля в асинхронной машине вращательного движен
4.2. Разностная краевая задача
4.3. Решение разностной краевой задачи безытерационным методом
4.4. Анализ результатов расчета магнитных полей и сравнение с экспериментальными данными
4.5. Уточненная методика определения потерь в стали ярма статора асинхронной машины
Заключение
Список использованных источников
Приложения
- Эквивалентирование слоистых ферромагнитных сред сплошными средами
- Общий алгоритм решения разностной краевой задачи итерационным методом Ньютона
- Решение разностной краевой задачи итерационным методом Ньютона
- Анализ результатов расчета магнитных полей и сравнение с экспериментальными данными
Введение к работе
В программных документах КПСС, определяющих направления и перспективы развития народного хозяйства СССР, подчеркивается, что создание материально-технической базы коммунистического общества немыслимо без дальнейшего интенсивного развития электровооруженности промышленности и сельского хозяйства. Повышение электровооруженности производства на современном этапе технического прогресса неразрывно связано с совершенствованием существующих электромеханических преобразователей энергии на базе их оптимального проектирования, а также с созданием преобразователей новых видов.
Класс устройств, объединенных общим понятием электромеханического преобразователя энергии, весьма широк. Он охватывает все виды электрических машин - постоянного тока, синхронные и асинхронные машины общепромышленного назначения, вентильные, криогенные, специальные (например, ударные и импульсные генераторы, машины возвратно-поступательного движения, электрические машины систем автоматики, совмещенные), электромагнитные механизмы (тяговые электромагнитные аппараты), а также статические ферромагнитные устройства - трансформаторы (силовые, измерительные, импульсные, параметрические, регулируемые пэдмагничиванием), преобразователи частоты, магнитные усилители, электромагниты ускорителей элементарных частиц и т.д. Соответственно, весьма многообразны и требования, предъявляемые к различным конкретным типам преобразователей. Наряду с требованиями общего характера (минимум веса, стоимости, габаритов, потерь) для большинства современных электромеханических преобразователей должны удовлетворяться различные дополнительные условия и ограничения, например, ограничения по виброакустической активности, по уровню интенсивности внешних магнитных полей, по качеству переходных процессов, у словиям обеспечения заданных эксплуатационных характеристик и по- , казателей и т.п. Удовлетворение этих требований, как правило, оказывается невозможным на базе методик проектирования, использующих традиционные интегральные закономерности, связывающие между собой основные режимные величины преобразователя и полученные на основе приближенного анализа его магнитного поля. Цель может быть достигнута только с использованием методик проектирования, предусматривающих выполнение многовариантных расчетов электромагнитных полей с учетом реальной геометрии границ раздела сред, пространственного распределения токонесущих проводников и нелинейных свойств сред.
В развитие методов расчета магнитных полей электромеханических преобразователей и, в особенности, электрических машин, большой вклад внесли Апсит В.В., Аркадьев В.К., Важнов А.И., Веников В.А., Вольдек А.И., Гринберг Г.А., Данилевич Я.Б., Демирчян К.С, Домб-ровский В.В., Иванов-Смоленский А.В., Копылов И.П., Сипайлов Г.А., Счастливый Г.Г., Терзян А.А., Тозони О.В., Шумилов Ю.А., S.V.AhafUed, M.V. К. Chart, E.A.Erde P.Siivester и др. /4-6,7, 16-18, 19, 21, 29, 31, 35-37, 47-50, 55-57, 84, 93-95, 97-98, 114, II6-II9, I2I-I32, 138-140/.
В существующих методах исследования электромагнитных полей удобно выделить следующие основные направления:
а) физическое моделирование;
б) аналоговое математическое моделирование;
в) приближенные расчетные методы, основанные на использовании априорной информации о характере распределения поля;
г) аналитические методы;
д) численные методы.
Физическое моделирование /19, 24, 36, 50, 95/ принадлежит к универсальным методам исследования, однако его практическое применение в области определения магнитных полей ограничивается трудностями обеспечения критериев подобия, особенно остро ощутимыми при наличии нелинейных сред. Поэтому в настоящее время оно все более часто уступает место расчетным методам.
Методологической основой аналогового математического моделирования является использование аналогии количественных соотношений для полей различной физической природы. Эта аналогия вытекает из того, что при определенных ограничениях дифференциальные уравнения (д.у.), описывающие магнитное поле, удовлетворяются также и для электростатического поля или поля постоянных токов, для которых выполнение физических моделей оказывается сравнительно реализуемым. Среди методов этого направления для плоских магнитных полей наибольшее распространение получило моделирование на электропроводной бумаге и на резис-торных сетках, а для трехмерных магнитных полей - моделирование в электролитических ваннах /36/. Моделирование на электропроводной бумаге и в электролитических ваннах позволяет решать только линейные задачи, тогда как резисторные сетки обладают более широкими возможностями, т.к. они позволяют исследовать поля с учетом нелинейности характеристики намагничивания среды /44, 60/. Недостатком применения резисторных сеток является ограниченная точность и трудоемкость перенастройки модели при вариациях геометрии исследуемой области поля и при изменении магнитных свойств среды.
В инженерной практике проектирования электромеханических преобразователей весьма широкое распространение получили приближенные методы расчета полей, основанные на так называемых вероятных путях силовых линий /I, 27, 42, 55, 79, 80, 82, 83, ИЗ/. Основным их преимуществом является простота расчетных формул и малый объем необходимых исходных данных. Однако их точность, как правило, невысока, поэтому для ответственных расчетов их применять нельзя.
В последние годы был предложен и получил значительное развитие так называемый метод проводимостей зубцовых контуров /47, 49/. По математическому содержанию его можно отнести к методам, использующим априорную информацию о характере распределения искомого магнитного шля. Этим методом успешно решен ряд задач в области теории электрических машин с учетом двухсторнней зубчатости магнитопровода как в линейной постановке, так и с учетом нелинейности характеристик намагничивания среды. В настоящее время он еще находится на стадии становления, что затрудняет оценку перспектив его применения как универсального расчетного метода.
Среди расчетных методов исследования магнитных полей в линейных средах наиболее полно разработаны аналитические методы /12, 14, 18, 21, 25, 29, 31, 46, 48, 85, 89, 99, 112/. Их математическая сущность основана, как правило, на методе разделения переменных. В ряде случаев существенного упрощения задачи удается достигнуть применением математического приема, называемого методом зеркальных отображений, а при более сложных конфигурациях границ раздела сред -применением конформных преобразований.
Основным преимуществом аналитических методов является возможность получения явных аналитических зависимостей для пространственного распределения поля (скалярного или векторного магнитного потенциала, вектора магнитной индукции или вектора напряженности магнитного поля) от параметров сред, от геометрии контактных и граничных поверхностей и от возбуждающих поле токов. Следует, однако, отметить,
что по мере усложнения геометрии рассматриваемой области наглядность аналитических решений быстро падает, а трудоемкость вычислений по
этим аналитическим решениям прогрессивно увеличивается. При весьма сложных реальных конфигурациях магнитопроводов электромеханических преобразователей решения аналитическими методами не удается довести до явных выражений потенциала как функций пространственных координат. Для нелинейных же сред аналитическими методами удается решить только простейшие задачи, не представляющие сколь-нибудь серьезного практического интереса. Поэтому в настоящее время при проектировании электромеханических преобразователей аналитическим методом отводится, как правило, лишь вспомогательная роль: они используются для опреде ления магнитных полей только в подобластях простейшей конфигурации и заполненных линейными средами. В подобластях со сложной конфигурацией граничных поверхностей и, тем более, заполненных нелинейными средами, магнитные поля рассчитывают численными методами.
Численные методы расчета магнитных полей получили значительное как теоретическое, так и практическое развитие только на протяжении двух последних десятилетий благодаря широкому внедрению в практику проектирования и научных исследований цифровых вычислительных машин. По содержанию математического аппарата они могут быть разделены на два больших класса: непосредственные и вариационные. Первые основаны на непосредственной замене описывающих магнитное поле дифференциальных или интегральных уравнений конечными уравнениями, а вторые сводят задачу расчета поля к эквивалентной в математическом отношении вариационной задаче, состоящей в минимизации некоторого функционала.
В методах первого из названных классов, в свою очередь, можно выделить три крупных направления, охватывающие соответственно методы конечных разностей (МНР), или, как их иначе называют, сеточные, методы коллокации и методы интегральных уравнений (МИУ).
Среди методов конечных разностей наибольший резонанс как в зарубежной, так и в отечественной литературе получил метод, предложенный впервые в работах E.A-ErdeEyL /II6-II8, 125-132, 134/ч Его математическая сущность состоит в следующем.
Как известно, статическое магнитное поле в области и , заполненной средой с постоянной магнитной проницаемостью JUL , при заданном распределении плотности тока описывается системой уравнений ditrB-0) rotH= ; B-JlH, (В.Іа,б,в) где В , И , б векторы магнитной индукции, напряженности магнитного поля и плотности тока, соответственно. Для двумерной задачи решение этой системы значительно упрощается путем введения вспомогательной переменной - векторного магнитного потенциала А как вектора, позволяющего определить вектор В на основе дифференциальной операции Е=ЫА . (в.2) С учетом (В.2) система (ВЛ) для двумерной задачи в прямоугольных декартовых координатах UXLJ сводится к одному скалярному д.у. второго порядка -g + W= M (в-3) которое является уравнением Пуассона. Для нелинейной изотропной среды, т.е. среды, магнитная характеристика НХ=НХ(ВХ,ВУ); Ну-Ну(Вх,Ву) (в.4) которой имеет вид Нх-1 8х;НгЩ; І-ЩВУВ-тКВ), (в.5) где V - так называемое статическое удельное магнитное сопротивление среды, определяемое по ее характеристике одномерного намагничивания Н-Н(В), (в.б) система (В.І), (В.2) в двумерном случае также сводится к одному скалярному, но уже нелинейному д.у. второго порядка, имеющему вид дх\ дх) ду\ ду I которое иногда называют уравнением Пуассона. Согласно методу EAErdePyl » решение уравнения (В.7) совместно с уравнениями 5 =W ВУ=-Ш В=ІВ + В« • T- W (В.8а,б,в,г) сводится к его аппроксимации на принятой сетке N узлов системой /V конечно-разностных уравнений, каждое из которых составляется в предположении, что в пределах шаблона (т.е. совокупности узлов, участвующих в одном разностном уравнении) изменение потенциала А вдоль координат X и у с достаточной степенью точности описывается полиномом второй степени. Получаемая в результате аппроксимации нелинейная система Н конечных уравнений решается одним из релаксационных методов.
На базе метода E-A.Erd.eEyL решался ряд задач расчета магнитного поля для основных типов электрических машин - явнополюсных синхронных, турбогенераторов и машин постоянного тока с учетом реальной конфигурации элементов магнитопровода, в частности, зубчатости его структуры /9, 28, 32, 38, 53, 115, 125, 126, 129, 130, 131, 132, 134 / . Это, очевидно, потребовало использования сравнительно густой сетки (N 2000 на полюсном делении) и, как показал опыт, натолкнулось на трудности, связанные со сходимостью итерационного процесса. Их преодоление потребовало разработки для каждого вновь исследуемого типа конструкции магнитопровода специальных приемов, ускоряющих сходимость (в виде дополнительных уравнений, составленных по закону полного тока для некоторых контуров интегрирования).
Подробный анализ метода и известных его модифи каций позволяет сделать следующие выводы общего характера:
1) решение нелинейной системы конечных уравнений выполняется релаксационными методами, которые, как известно, характеризуются медленной сходимостью (число итераций имеет порядок /V ), и нигде не применяется столь мощный итерационный метод, которым является метод Ньютона, обеспечивающий сходимость за несколько итераций независимо от числа А/ /II, 33, 34, 58, 64, 75/;
2) аппроксимации зависимости /4 ( ,{/) на шаблоне полиномом второй степени соответствует аппроксимация зависимостей /5X (#,(/) »
Ву(х,у) полиномами первой степени, которая характеризуется наинизшей из всех возможных точностью, что влечет за собой необходимость применения весьма густой сетки;
3) для анизотропных нелинейных сред понятие статического удельного магнитного сопротивления теряет смысл /102/ и, следовательно, рассматриваемый метод не может быть применен для расчета полей в таких средах.
К сеточным методам, сводящим задачу расчета двухмерного магнитного поля к решению относительно потенциала, принадлежит цикл работ Тенетко Н.И. и Черемисова И.Я. /90-92, I06-II0/. Предложенные в этих работах алгоритмы обладают, в основном, теми же недостатками, которые были отмечены для метода Е.А E.rcLeE.UL , но к ним добавляется еще один: предложенные конечно-разностные выражения при нерегулярной четырехугольной сетке не вытекают из общей теории аппроксимации и, как показал анализ, вносят без необходимости дополнительную погрешность.
В работе Бодякшина А.И. /13/ предложен вариант сеточного метода, в котором аппроксимированию конечно-разностными уравнениями д.у. магнитного поля, представленные непосредственно в виде (B.I). Для решения полученной нелинейной системы конечных уравнений предложен частный релаксационный алгоритм. Математическая сущность в целом не вызывает возражений, но в его практической реализации для неоднородных сред автором не были учтены контактные условия на поверхностях раздела сред (непрерывность тангенциальных составляющих вектора напряженности и нормальных составляющих вектора магнитной индукции) и для шаблонов пересекаемых границей раздела сред, использовались те же разностные уравнения, что и для шаблонов, находящихся полностью в однородной среде, т.е. реальная кусочно-однородная среда в пределах шаблона заменялась резко неоднородной сплошной средой. Это приводит к резкому ухудшению устойчивости решения, что явилось основным препятствием на пути практической реализации метода.
Впоследствии аналогичный подход для однородных изотропных ферромагнитных сред рассматривался в работе /4/,
Метод коллокации предполагает, что аналитические выражения для распределения магнитного поля в области G известны, и тогда задача сводится к вычислению коэффициентов этих выражений на основе заданных граничных условий и распределения плотности тока внутри области. Этим методом решались некоторые несложные линейные задачи 121. Однако последовательное его применение к нелинейным задачам затруднено тем обстоятельством, что аналитические решения д.у. магнитного поля для нелинейных сред, вообще говоря, не известны.
Метод интегральных уравнений основан на использовании понятий вторичных источников поля. Их сущность состоит в следующем.
Для линейной изотропной среды, характеризуемой магнитной проницаемостью IX , зависящей от координат точки, уравнения (В.1а,б) путем простейших преобразований могут быть представлены в виде rotB-/i ( f- -jp Bxgrad/ij; divB-0 св.9а,б) j либо в виде rotH=5\ divH - Hgradji. (в.юа,б) Уравнения (В.9), (В.10) отличаются от уравнений для однородной среды наличием дополнительных членов 6n=--S qrad/i; pm-—Hgnd/i, (в.ііа.б) которые формально можно интерпретировать как фиктивные источники поля, называемые соответственно плотностью токов намагниченности и плотностью магнитных зарядов. Определение пространственного распределения этих фиктивных источников поля может быть сведено к решению линейного интегрального уравнения Фредгольма второго рода. В случае, если среда является кусочно-однородной, фиктивные источники поля имеют смысл соответственно плотности поверхностных токов намагниченности и плотности поверхностных магнитных зарядов, располагаемых на поверхностях раздела сред с различными свойствами. Решение интегральных уравнений при сложных конфигурациях раздела сред выполняется численными методами путем предварительной замены интегралов конечными суммами.
После вычисления распределения фиктивных источников в пространстве искомое магнитное поле определяется интегрированием по реальным и фиктивным источникам.
Этот метод, впервые предложенный Гринбергом Г.А. /29/, получил значительное развитие в трудах Тозони О.В. /97, 98/ и им были решены многие практические задачи (в том числе - трехмерные), характеризуемые умеренным уровнем сложности поверхностей раздела сред. К расчету полей в электрических машинах он пока-что не применялся.
Расчет магнитных полей в нелинейных средах на основе метода интегральных уравнений приводит к необходимости решения нелинейных интегральных уравнений, что намного усложняет структуру алгоритмов и трудоемкость расчетов.
Для нелинейных анизотропных сред ввиду неоднозначности понятия магнитной проницаемости само представление д.у. магнитного поля в виде (В.9), (В.10) становится проблематичным, поэтому возможности метода интегральных уравнений такого рода задач остаются в принципе неясными.
Наиболее широкое развитие среди вариационных методов расчета магнитных полей получил метод конечных элементов (МКЭ). Впервые он был применен для решения краевых задач математической физики в механике сплошных сред /45, 73, 74, 87, 88/. В области электротехники он начал применяться на рубеже 60-тых и 70-тых годов и на протяжении последнего десятилетия получил значительное развитие и широкое применение в практике /5, 35, 37, 68-72, 78, 94, 114, 120, 135-137, 139, 140, 143/.
Математическую сущность МКЭ рассмотрим на примере двумерной задачи.
В области От расчета поля на плоскости Оху выделяют К неперекрывающихся конечных элементов произвольной конфигурации, плотно покрывающих всю область. На каждом конечном элементе выделяют некоторое число узловых точек и внутри элемента представляют зависимость А(х,у) полиномом с неопределенными коэффициентами, число членов которого равно числу узловых точек этого элемента. В результате подстановки координат узловых точек элемента в выражение полинома к{х,ц) получают выражения потенциалов узловых точек в виде линейных однородных функций коэффициентов полинома. Из полученной системы уравнений находят обратные зависимости, т.е. выражения коэффициентов полинома в виде линейных однородных функций потенциалов узлов с коэффициентами, определяемыми координатами этих узлов. Подставив эти выражения коэффициентов полинома в исходное выражение полинома к(х,у) получают выражение потенциала в любой точке конечного элемента как заданную функцию координат, коэффициенты которой определяются линейно через потенциалы узлов элемента.
Ко энергия магнитного поля в области 0- есть функционал, определяемый выражением в W=f[dS(JHdB-fA) (в.і2) где о - площадь области Ь . Заменив интегрирование го площади О суммированием по площадям всех Л конечных элементов, имеем В (в.із) SK о о,/ - плошадь А -і W-Lf/d jHdB-M где - площадь м -го конечного элемента.
Как известно, решение системы д.у. магнитного поля представляет собой такую функцию п[Х,у) , которая обеспечивает минимум энергии магнитного поля /112/, а следовательно и минимум его коэнергии. Поэтому потенциалы узлов должны быть такими, чтобы частная производная функционала W по потенциалу любого из L узлов была равна нулю, т.е.
S (В. 14)
С учетом вышеизложенного и согласно равенствам (В.8а,б) проекции ftc » By внутри каждого конечного элемента являются линейными функциями потенциалов узлов этого элемента, поэтому производные дВх/дАї , dBy/dAt в пределах элемента постоянны, и выражаются только через координаты его узлов. Для треугольных элементов первого порядка (т.е. треугольников, в которых в качестве узловых точек принимаются только его вершины) функция А(Х,у) является линейной; при этом магнитная индукция, а следовательно и параметр і) среды в пределах элемента постоянны. Это позволяет выполнить в уравнении (В.14) интегрирование в общем виде, в результате чего оно приобретает вид К N L L ІЇнс„еАі + bnift)-0, (в.і5) где Оці - коэффициенты, определяемые геометрией сетки. Система (В.15) состоит из Л/ уравнений и содержит N неизвестных потенциалов внутренних узлов сетки. Параметр V среды обычно определяют в виде V-WbiYf ). (в.іб)
Ввиду зависимости Ц(В) система (В.15) нелинейна. Для ее решения используется итерационный метод Ньютона. Матрица Якоби левых частей системы (В.15) является слабо заполненной и, как следует непосредственно из сущности МКЭ - симметричной, поэтому возникающую на каждой итерации по Ньютону линейную систему алгебраических уравнений удобно решать методом Гаусса по специальной программе, учитывающей слабую заполненность и симметрию матрицы коэффициентов, либо итерационным ме тодом Зейделя, который ввиду упомяну матрицы коэффициентов является сходящимся с любого нулевого приближения. Число итераций по Ньютону обычно не превышает пяти.
Из сопоставления ЖЭ и МНР в варианте /125 - 132/ видно, что эти методы отличаются не только по способу формирования системы ко нечных уравнений, но и по способу ее решения, причем с обеих точек зрения преимущество находится на стороне МКЭ. Вместе с тем, МКЭ обладает по сравнению с МНР двумя существенными недостатками.
Во-первых, как следует из математического содержания МКЭ, условия непрерывности на поверхности раздела сред удовлетворяются точно только для нормальной составляющей вектора магнитной индукции, тогда как для тангенциальной составляющей вектора напряженности поля они, вообще говоря, выполняются лишь "в среднем" /5/.
Во-вторых, применение треугольных элементов первого порядка (соответствующих предположению о неизменности проекций вх И By в промежутке между соседними узлами) при прочих равных условиях (и в первую очередь - при одинаковом уровне дискретизации области, т.е. при одинаковом числе узлов), приводит к менее точному решению задачи, чем в МНР /125/, в котором в пределах двух соседних узлов Bc и
By являются линейными функциями координат. Такой вывод вытекает непосредственно из того факта, что погрешность дискретизации определяется остаточным членом разложения функции А(х, у) в ряд Тейлора. С этой точки зрения предпринимавшиеся в начале 70-х годов "обоснования" преимуществ МКЭ путем сопоставления расчетов по МКЭ и МНР /124/ нельзя считать достоверными - скорее всего, приводимые с этой целью численные результаты носят частный характер.
Второй из отмеченных недостатков МКЭ в принципе может быть устранен путем перехода к конечным элементам второго порядка, но при этом в пределах каждого элемента проекции Чх и иу будут линейными функциями координат и, следовательно, в выражении (В.14) величина S) не может быть вынесена из-под знака интеграла, что намного усложняет алгоритм формирования системы конечных уравнений, т.е., в конечном итоге, устранение одного недостатка влечет за собой возникновение другого. В подтверждение сказанному можно отметить, что МКЭ с применением конечных элементов более высоких порядков до настоящего времени не нашел практи
Кроме того, МКЭ, как и МИР /125-132/ не может быть непосредственно применен к анизотропным нелинейным средам ввиду неоднозначности статического удельного магнитного сопротивления для таких сред.
На основе изложенного выше обзора литературы по методам расчета статических магнитных полей можно сделать следующие выводы.
1. Для расчета магнитных полей электромеханических преобразователей, содержащих ферромагнитные магнитопроводы, единственно приемлемыми под углом зрения общности и практической возможности достижения любой наперед заданной точности являются численные методы. Среди них наиболее перспективны метод конечных разностей и метод конечных элементов.
2. Существующие варианты МНР обладают следующими недостатками: - отсутствуют математически обоснованные способы конструирования разностных уравнений произвольного порядка аппроксимации на нерегулярных сетках, что ограничивает возможности решения задач при сложных конфигурациях граничных поверхностей и контактных поверхностей, разделяющих среды с различными магнитными свойствами;
- нелинейная система алгебраических уравнений, получаемая в результате конечно-разностной аппроксимации д.у. магнитного поля, как правило, имеет вид, практически непригодный для решения методами, использующими матрицу Якоби (итерационным методом Ньютона и продолжением по параметру), которые, как известно, являются наиболее эффективными для нелинейных систем;
- они не могут быть непосредственно применены (без существенной теоретической доработки) при одновременном наличии нелинейности и анизотропии магнитных сред.
3. Недостатками существующих вариантов МКЭ являются:
- невыполнение условия непрерывности тангенциальной составляющей вектора напряженности магнитного поля на контактных поверхностях (этот недостаток связан с математической сущностью МКЭ и поэтому он является принципиально неустранимым);
- недостаточная для практических целей отработка вариантов, использующих конечные элементы высших порядков;
- невозможность непосредственного применения к нелинейным анизотропным средам.
В связи с вышеизложенным дальнейшее развитие и совершенствование МНР и МНЭ в направлении устранения или ослабления отмеченных их недостатков является актуальной задачей.
В.2. Постановка задачи. МНР и МКЭ год углом зрения их перспективности для решения задач расчета магнитных полей применительно к столь сложным объектам, которыми являются электрические машины, го-видимому, обладают одинаковыми потенциальными возможностями, но для полной реализации этих возможностей оба метода требуют дальнейшего и, притом, существенного развития.
Целью данной работы является:
- совершенствование теоретических положений метода конечных разностей (сеточного метода) для расчета магнитных полей в кусочно-однородных нелинейных средах, направленное на повышение его эффективности и расширение класса разрешимых им задач;
- создание на этой основе высокоэффективных алгоритмов расчета магнитных полей в конкретных электротехнических объектах - неявнополюсных электрических машинах возвратно-поступательного и вращательного движения.
Из изложенного в предыдущем подразделе анализа литературы явствует, что развитие сеточного метода должно идти в следующих направлениях, которые являются главными с точки зрения обеспечения требований, предъявляемых практикой расчета полей в конкретных электротехнических устройствах:
1) применения разностных уравнений повышенных порядков аппроксимации;
2) применения нерегулярных сеток и разработки машинно-ориентированного метода формирования разностных уравнений на таких сетках;
3) точного выполнения контактных условий на поверхности раздела сред с различными магнитными свойствами (непрерывности нормальной составляющей вектора магнитной индукции и тангенциальной составляющей вектора напряженности магнитного поля);
4) применения для решения нелинейных систем алгебраических уравнений методов, использующих матрицу Якоби;
5) использование таких способов описания магнитных свойств сред, которые были бы в равной степени пригодными как для изотропных, так и анизотропных нелинейных сред.
Первое из перечисленных направлений нацелено на уменьшение потребного числа узлов сетки и, следовательно, на снижение порядка подлежащей решению нелинейной системы алгебраических уравнений.
Главное назначение второго направления состоит в практической реализации тех возможностей, которые сулит применение сеток, характеризуемых неравномерной плотностью распределения узлов.
Целью третьего направления является устранение трудностей, связанных с возможной неустойчивостью расчетного процесса, обусловленной наличием сред с резко отличающимися магнитными свойствами.
Действительно, непосредственное применение для узлов, расположенных на контактной поверхности, общих (т.е. выведенных для однородных сред) разностных уравнений, составляемых в предположении, что учет кусочной неоднородности среды выполняется только путем подстановки соответствующих свойств сред в узлах, расположенных по противоположные стороны граничной поверхности, является сильным "возмущением", резко ухудшающим устойчивость.
Четвертое направление также главным образом нацелено на решение проблемы устойчивости. Многолетний опыт решения больших нелинейных систем алгебраических уравнений, возникающих в различных областях науки и техники показывает, что методы, которые в процессе решения не используют матрицы Якоби, как правило, приводят к расходящимся вычислительным процессам, что создает необходимость в каждой конкретной задаче отыскивать частные способы обеспечения устойчивости (так как общих способов обеспечения устойчивости для таких методов пока не найдено). Вместе с тем, применение методов, использующих матрицу Якоби, позволяет решить эту проблему на единой для всех задач математической основе.
И, наконец, пятое направление имеет своей целью решение проблемы расчета магнитных полей в средах, обладающих одновременно нелинейностью и анизотропностью.
Конечным практическим результатом, который должен быть достигнут за счет реализации достижений по первым четырем направлениям, является экономия затрат на решение задачи в целом. Практический же результат, который должен быть достигнут в пятом из перечисленных направлений, состоит в расширении круга задач, которые в принципе разрешимы на базе сеточного метода.
На защиту выносятся:
- дифференциальный сеточный метод расчета статических магнитных полей в нелинейных средах, характеризуемый повышенной точностью и отсутствием проблемы устойчивости и применимый к анизотропным средам;
- основанный на методе неопределенных коэффициентов общий алгоритм конструирования разностных уравнений произвольного порядка, аппроксимирующих дифференциальные уравнения магнитного поля в двумерной области на нерегулярных сетках;
- метод определения магнитных характеристик и дифференциальных магнитных параметров слошных сред, эквивалентирующих мелкослоистые нелинейно-линейные среды, и выявленные общие закономерности, характеризующие свойства нелинейных сред;
- созданные на базе дифференциального сеточного метода алгоритмы и программы расчета магнитных полей асинхронных машин возвратно-поступательного и вращательного движения;
- уточненная инженерная методика определения потерь в ярме статора, учитывающая реальное распределение магнитного поля по высоте ярма
Эквивалентирование слоистых ферромагнитных сред сплошными средами
Расчет магнитного поля в многослойных нелинейных средах связан со значительным ростом трудоемкости вычислений, т.к. слойность приводит к резкому увеличению необходимого числа узлов сетки. Однако часто распределение поля в пределах размеров, определяемых толщиной слоев слоистой среды, не представляет практического интереса, и задача может быть с достаточной для практических целей точностью решена в предположении, что реальная слоистая среда заменена некоторой эквивалентной в магнитном отношении сплошной средой. В результате такой замены расчет магнитного поля допустимо выполнять на сетке, размеры которой не связаны с размерами слоев реальной среды и определяются только степенью кривизны силовых линий. Наиболее характерными примерами задач этого класса являются расчеты статических магнитных или медленно изменяющихся во времени электромагнитных полей (при частотах, для которых практически еще не возникает вытеснения поля в пределах реальных слоев) в областях, занятых шихтованной сталью.
Для слоистой среды, состоящей из листов изотропного ферромагнетика толщиной bt , разделенных немагнитными прослойками толщиной
OQ , естественным условием эквивалентирования является устремление размеров их я Од к нулю при условии сохранения отношения Up/uf неизменным. Не возникает сомнений, что эквивалентная сплошная среда должна быть, в общем случае, анизотропной.
Задача эквивалентирования состоит в определении магнитной характеристики и магнитных параметров эквивалентной среды на основе известных магнитных характеристик и параметров компонентов слоистой среды. Ввиду нелинейности магнитной характеристики ферромагнетика задача определения магнитной характеристики эквивалентной среды не может быть решена аналитически и, следовательно, под ее решением следует понимать создание алгоритма расчета магнитной характеристики сплошной среды. Однако для магнитных параметров эквивалентной сплошной среды могут быть получены аналитические выражения.
В этом параграфе рассматривается задача эквивалентирования для шихтованных электротехнических сталей.
Составим систему уравнений, связывающую между собой проекции Нох Оц Мог » &0х » &0у » % векторов Н0 и В0 в немагнитных прослойках, проекции Ніх Hfn , Hfe , В fa , Bfn , Вхг векторов Ні и Вх в ферромагнетике и проекции Нх Ну » Н1 , Вх » Вц , В2 векторов Н и В в эквивалентной среде.
Задачу будем решать для случая, когда ось Ох системы Oxyzнаправлена перпендикулярно к плоскости пластин (рис .1.3).
Из условия изотропности ферромагнетика имеем соотношенияДля немагнитных прослоек
Условия непрерывности магнитного поля на поверхности раздела ферромагнетика и немагнитной среды в принятой системе координат имеют вид
По условиям эквивалентирования падение магнитного напряжения на отрезке иі + ир в направлении оси UX для эквивалентной сплошной среды должно быть равным суммарному падению магнитного напряжения на этом же отрезке для реальных сред, т.е.или
Проведя аналогичные рассуждения для отрезков произвольной длины в направлениях осей иИ и UI , соответственно, приходим к равенствам
По условиям эквивалентирования магнитный поток, проходящий через площадку Sj с размерами \Uf + uo)l , перпендикулярную к оси Оу (рис. 1.3), для эквивалентной среды должен быть равным сумме потоков, проходящих через площадки щі и и до для реальных сред, т.е.откуда
Выполнив аналогичные рассуждения для площадки 3 » перпендикулярной оси UZ , приходим к уравнениюа повторив их для площадки произвольных размеров, перпендикулярной оси Ох , имеем Система (1.27)-(1.33) состоит из 17 уравнений и содержит 20 переменных - проекции векторов Hi , Нр , Н » Bf , BQ І В и переменные Hi , Bf и, следовательно, она позволяет рассчитать величины Вх t By , 0 при произвольно заданной совокупности величин Нх Ну , Н% , или наоборот, величины Hj , Ну » //2 при заданных Вх , Вц , Вг , т.е. эта система описывает искомую магнитную характеристику эквивалентной среды в неявной форме. Явная магнитная характеристика эквивалентной среды представляет собой совокупность зависимостей либо
Для расчета любой точки этой характеристики следует решить систему 17 уравнений с таким же числом неизвестных. Практически, однако, число неизвестных и, соответственно, число уравнений можно значительно сократить. Так, исключив неизвестные пдх , Нрц , НрЕ , состоящей из II уравнений с 14 неизвестными. Алгоритм расчета явной магнитной характеристики эквивалентной сплошной среды будет изложен в 1.5.
Перейдем к определению магнитных параметров эквивалентной сплошной среды.Учитывая, что в соответствии с (1.35в) величины Bfa , Bfn ,Bl однозначно определяются через Hjx , Hfn , Hfe , представим уравнения (1.35а) (1.356) и (1.35в) тремя векторными уравнениями
Общий алгоритм решения разностной краевой задачи итерационным методом Ньютона
Применительно к областям, занятым нелинейными магнитными средами, полученная в 2.2 разностная схема (2.14) в развернутом виде представляет собой нелинейную систему конечных уравнений (н.с.к.у.).
Для решения с требуемой точностью поставленной краевой задачи расчета шля в рассматриваемой области (9 0 ее сеточный аналог (ц+Г )д должен содержать достаточно большое количество узлов, что приводит к высокому порядку н.с.к.у.
Высокий порядок и нелинейность системы конечных уравнений предопределяют применение для ее решения таких численных методов, которые позволяют обеспечить необходимую точность расчета и достаточно просто реализуются на ЦВМ. В качестве одного из них может быть использован итерационный метод Ньютона, который, как и рассмотренный ниже метод продолжения решения по параметру, обладает рядом известных преимуществ.
Рассмотрим решение задачи методом Ньютона. Пусть в результате расчета магнитного поля в некоторой области (Ц+Г ) необходимо найти распределение характеризующего поле вектора У (чертой над символом обозначен вектор в евклидовом пространстве), в качестве которого может быть выбран вектор индукции В или вектор напряженности Н . Заменив (Q+Г ) ее сеточным аналогом Щ+Г ) , описывающую в нем поле н.с.к.у. представим в виде нелинейного векторного уравнения и составлен из проекций на оси выбранной системы координат вектора У во всех узлах области (ц+Г ) , Здесь и далее стрелкой над символом обозначен вектор в линейном пространстве. Допустим, что найдено (5-/ ) -ое приближениеискомого вектора У . Согласно методу Ньютона S-oe приближение этого вектора определяется из векторного уравнениягде - матрица Яко би функции Г\У«).
При использовании итерационного метода Ньютона важное значение имеет выбор нулевого приближения і/ , . Известно, что при удачном выборе У« рассматриваемый метод обладает квадратичной сходимостью, вследствие чего достаточно точное решение может быть достигнуто при относительно небольшом числе итерационных циклов. Если же нулевое приближение выбрано неудачно, итерационный процесс может оказаться расходящимся.
При решении простых краевых задач, когда задать У„ с точностью, обеспечивающей сходимость итерационного процесса, обычно легко, реализация метода Ньютона не вызывает трудностей. В более сложных задачах, когда размеры области притяжения метода Ньютона к решению рассматриваемой н.с.к.у. заранее определить трудно, этот метод может оказаться ненадежным, что требует введения специальных способов обеспечения его сходимости. В качестве двух из них можно применить: а) получение приемлемого нулевого приближения t/л. путем исполь зования дифференциального метода в его чистом виде (см. 2.4), выпол няя при этом интегрирование с низкой точностью; б) поэтапное решение н.с.к.у. итерационным методом с ис пользованием идеи дискретного наращивания создающих поле факторов от О до значения, обеспечивающего рассчитываемый режим. Этот способ мож но назвать способом с использованием идеи дифференциального метода. Рассмотрим второй способ. Запишем решаемую н.с.к.у. в виде где V - заданный вектор создающих поле факторов, действующих в области \Q tDh, . Отметим, что уравнения (2.15) и (2.20) эквивалентны, поскольку описывают одно и то же магнитное состояние. Образуем уравнение
Решение разностной краевой задачи итерационным методом Ньютона
Ньютона для чего необходимо предварительно вычислить матрицу, обратную матрице Якоби IV , и ( 2НхНц )-мерную вектор-функцию F при Н п В результате анализа н.с.к.у. (3.62) легко установить, что получаемая по (2.19) матрица W - диагональная полосовая (ширина полосы определяется типом используемых в ( Q +Г )\i шаблонов). Учитывая слабое заполнение этой матрицы, ее целесообразно разбить на квадратные блоки размерности Nx » что позволяет осуществить рациональный процесс решения на.ЦВМ рассматриваемой н.с.к.у. После такого разбиения матрица W примет вид, показанный на рис. 3.7, где введены следующие обозначения блоков: /35 \1 - блок, принимающий вид П , если р = 2,5 или вид ГЧІ если р = 3,4,6. Вычисление блоков матрицы W при Н=Н выполняется согласно нижеприведенному алгоритму: У Xf,j4y 1 и вычисляются соответственно по (3.70в), (3.71в) и (3.72в); 137 Вектор-функция f при //=// определяется согласно (3.80). Расчеты на S -ом шаге интегрирования считаются законченными после определения тензоров JULі и JJL в узлах слоев Ч2Ь, » fe и j , Qfo соответственно (в узлах слоев Qjfi , Qtyi и Q LL =jU0 = 0/Z5/ ), а также вектора б - д[Н V , что позволит найти матрицу W ( Н ) и вектор-функцию F(H[ 7 , т.е. выполнить ( S+4 ) -ый шаг интегрирования. Тензоры jLLj. в узлах слоев Ц2П и О Л вычисляются по формулам (I.15) и (1.20), в которых непосредственно используются компоненты 7Т15] вектора Н , относящиеся к этим узлам. Для определения тензоров IX в узлах слоев $з/г и Qs/i п0 формуле (1.38) необходимо знать магнитное состояние сталей в зубцовых зонах статора и ротора АМВПД после выполнения S-ro шага интегрирования. Однако, компоненты вектора п , соответствующие узлам этих слоев, не несут такой информации в явном виде, поскольку описывают 139 голе вектора напряженности // в сплошной среде, эквивалентирующей упомянутые зоны АМВДД. Тем не менее, по значению этих компонент можно рассчитать искомое магнитное состояние сталей зубцовых зон статора и ротора. Действительно, всякое изменение магнитного состояния эквивалентной сплошной среды связано с соответствующим изменением такого же состояния заменяемых ею реальных сред. Связь между проекциями векторов напряженности и индукции в реальных и эквивалентной средах устанавливают уравнения (1.27) - (1.33). Ввиду нелинейности характеристики намагничивания стали не удается найти общих выражений, определяющих связи между проекциями этих векторов. Следовательно, при каждой заданной совокупности исходных двух величин (двух взаимно независимых проекций одного из векторов) задача расчета проекций остальных векторов может быть решена только численным способом. Так, если для некоторого узла t,j , расположенного в слое Цзь или Q , заданы проекции Нгсі і и Нуі,і вектора Н в эквивалентной среде (эти проекции суть компонентами ( 2п Пу ) -мерного вектора Н ), то для определения HfxiJ (проекция Hfyi,j известна в силу уравнения (1.32в)) необходимо решить систему уравнений (1.27а), (1.28 ), (1.29) и (1.326). При пользовании итерационным методом Ньютона ее удобно представить в виде Решая эту систему относительно Hfx , Bjx , Hf и & , получим следующую формулу для определения S -го приближения этих величин: /40 / 0 ,И1 oN [s-1] 15-/J Й ЙУ ГЯ] -Ztt -fa -fiol/lc R[s-i\ Ul/flJ htft.1 mi "му fin дом Ньютона с использованием идеи дискретного наращивания создающих поле факторов показана на рис. 3.8. Образующие ее блоки имеют следующее содержание. Елок I. Ввод исходных данных: а) геометрических размеров машины, соответствующих полюсному делению V , высоты слоев ц/ и Ц} ; коэффициентов Кс$ и к0/1 заполнения сталью магнитопроводов статора и ротора, соответственно, значений токов статора и ротора и угла между векторами н.с. статора и ротора; в) массивов fys fys (H/s); В# =BfR(HfR) , (3.8ба,б) представляющих собой зависимости модуля вектора индукции В от модуля вектора напряженности И в стали статора и стали ротора, соответственно . Блок 2. Присвоение параметру oi исходного (нулевого) значения, Блок 3. Запись нулей в массив Н , что равноценно формированию вектора И = О, который соответствует ОС = 0. Блок 4. Вычисление тензоров IXщ и LLr$ сталей ротора и статора при И = 0. Каждый из этих тензоров, характеризуя состояние соответствующей стали в точке пересечения прямолинейного участка ее характеристики ut=U[nf) с началом координат, будет сферическим, а его ненулевые элементы равны производной -ттт- этой характеристики ш о" 101 в упомянутой точке. После определения LI и Ui$ управление передается блоку 9. Елок 5. Формирование матрицы , блоки которой составляются в соответствии с (3.68), (3.73)-(3.75) и (3.77). Вычисоение матрицы блочным методом исключения. Минимально возможный объем оперативной памяти ЦВМ, необходимой для обработки и хранения информации на текущем этапе обращения матрицы W(H ) , определя
Анализ результатов расчета магнитных полей и сравнение с экспериментальными данными
В соответствии с изложенным алгоритмом была составлена на языке ФСРТРАН-ІУ программа расчета магнитного поля асинхронной машины вращательного движения. Как и для машины возвратно-поступательного движения, входная информация, необходимая для расчета магнитного поля, определяется с помощью специальной подпрограммы входной информации, аналогичной описанной в 3.4.
С использованием разработанной программы были рассчитаны магнитные поля для ряда асинхронных машин вращательного движения. Рассмотрим здесь некоторые результаты такого расчета и проанализируем их год углом зрения вопросов, которые ставит практика проектирования асинхронных машин.
Рассмотрим распределение магнитного поля в ярмах статора и ротора на примере двигателя BAC0-I5-23-34 (/ = 75 кВТ, U„ =380 В), IH = 191 A, 2/7 = 34). Как видно из рис. 4.7, радиальная составляющая &j магнитной индукции в ярме статора изменяется от нуля (кривая I) на поверхности ярма до максимального ее значения (кривая 5) у контактной поверхности между ярмом и зубцовой зоной. Распределение ВашВр(в) на цилиндрических поверхностях, близких к поверхности ярма (кривые I и 2) практически не отличаются от гармонического, а по мере приближения к зубцовой зоне кривая постепенно уплощается, и, следовательно, содержание высших гармонических монотонно возрастает. Это обстоятельство вызвано насыщением магни-топровода, т.к. в случае линейной характеристики намагничивания стали, как следует из аналитических решений соответствующей краевой задачи, при гармонической намагничивающей силе (плотности тока) поле не содержит высших гармонических.
Аналогичная картина наблюдается и для тангенциальной составляющей BQ вектора В . Отличие здесь состоит в том, что индукция Вд максимальна у периферии ярма (кривая 6), а насыщение приводит не к уплощению, а к "заострению" кривых BQ = BQ(Q) , которыесдвинуты на угол по отношению к кривымРаспределение составляющих Во и BQ вектора В вдоль координаты 9 в ярме ротора (рис. 4.8) качественно подобно таковому в статоре.
Изображенная на рис. 4.7 и 4.8 картина поля для наблюдателя, вращающегося вместе с магнитным полем машины, будет пространственной. Неподвижный же наблюдатель, изучающий магнитное поле в некотором одном (произвольном) радиальном сечении магнитопровода, будет фиксировать на протяжении интервала времени T 2SL/CD ( СО - круговая частота вращения поля) периодическую временную картину, которая повторяет пространственную картину, изображенную на этих рисунках. В каждой точке этого радиального сечения неподвижный наблюдатель может построить годограф B=B[C0t) , отражающий из 178менение вектора магнитной индукции во времени.
Такие годографы для пяти точек радиального сечения ярм статора и ротора, соответствующих пересечению с концентрическими окружностями, соответствующими рис. 4.7 и 4.8, приведены на рис. 4.9 и 4.10.Из рис. 4.9 видно, что магнитное поле в ярме статора в точке радиального сечения, расположенной у поверхности контакта с зубцо-вой зоной (годограф 5), близко к круговому, на периферии ярма (годограф I) оно близко к пульсирующему, в промежутке между этими точками имеет эллиптический характер (годографы Ь(ш1) могут быть названы эллипсами только в первом приближении, т.к. кривые рис. 4.7 и 4.8 несинусоидальны). При этом максимальное значение магнитной индукции у контактной поверхности ярма приблизительно вдвое выше, чем на периферии. Очевидно, что такой резко неравномерный характер поля ( не только с количественной, но и с качественной точки зрения ) об-улавливает неравномерность распределения удельных потерь в стали. Даже в простейшем случае, если полагать, что потери в стали обусловлены только протеканием вихревых токов, отношение максимальных удельных потерь к минимальным для годографов, изображенных на рис. 4.9, равно 9,3 ( см. кривую flj/flim;n на рис. 4.9). Эти результаты указывают на необходимость создания уточненной методики расчета потерь в ярме статора асинхронной машины.
С целью проверки разработанной методики расчета магнитного поля было выполнено сравнение с экспериментальными данными, полученными в лаборатории электрических машин Львовского политехнического института на машинах мощностью до 10 кВт и на Московском заводе имени Владимира Ильича для машин BAC0-I5-23-34 и ВАС0-14-І6-32. Сопоставлялись расчетные и экспериментальные характеристики холостого хода. Результаты такого сравнения для асинхронных двигателей BA00-I5-23-34 и ВАС0-14-І6-32 приведены на рис. 4.II и 4.12. Отметим, что во всех случаях расчетные режимы отличались от среднестатических экс- , периментальных режимов, полученных путем обработки данных эксперимента для выборки машин рассматриваемого типа, не более чем на 2 %, хотя по отношению к экспериментальным точкам для отдельных экземпляров машин расхождение достигало 10 %, что, очевидно, вызвано действием случайных факторов (отклонения в характеристиках намагничивания сталей, величинах воздушного зазора, эксцентриситет ротора, погрешности измерения и т.д.). Высокую степень совпадения расчетных и экспериментальных результатов следует рассматривать как достаточно убедительное подтверждение обоснованности исходных допущений, принятых при построении математической модели, в частности, допущения о замене зубчатых структур статора и ротора эквивалентными анизотропными нелинейными сплошными средами.
