Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Моделирование магнитного поля в объемах явнополюсных электрических машин. методы реализации 16
1.1. Численные и аналитические методы математического моделирования магнитного поля 16
1.2. Аналитическое моделирование магнитного поля на базе кусочно-непрерывных собственных функций и его программная реализация 24
Выводы 27
Глава 2. Дискретно-однородные периодические
структуры в моделировании активных объемов явнополюсных электрических машин 28
2.1. Слоистая расчетная модель активного объема явнополюсной машины 28
2.2 Математическое моделирование кольцевой дискретно-однородной области «полюс межполюсное пространство» 30
Выводы 39
Глава 3. Исследование системы возбуждения синхронной машины с поперечной намагниченностью постоянных магнитов 40
3.1. Математическая модель поля возбуждения
3.2. Сравнительный анализ расчета поля возбуждения синхронной машины с постоянными магнитами в декартовой и цилиндрической системах координат 57
3.3. Построение картины поля возбуждения синхронной машины с постоянными магнитами 65
3.4. Коэффициент рассеяния поля возбуждения синхронной машины с постоянными магнитами 71
Выводы 77
Глава 4. Исследование системы возбуждения синхронной машины с продольной намагниченностью постоянных магнитов 79
4.1. Математическая модель поля возбуждения 79
4.2. Разработка приближенного метода моделирования поля возбуждения при использовании одной кусочной функции ... 101
4.3. Математическое описание поля возбуждения синхронной машины с тангенциальными магнитами 107
Выводы 112
Глава 5. Параметры системы возбуждения авиационного магнитоэлектрического генератора специального назначения 113
5.1. Постановка задачи и исходные данные 113
5.2. Алгоритм расчета поля возбуждения генератора 116
5.3. Численный и аналитический расчет поля возбуждения генератора 118
5.4. Расчет основных параметров системы возбуждения генератора при изменении величины рабочего зазора
5.4.1. Распределение индукции в рабочем зазоре 123
5.4.2. Удельная энергия постоянных магнитов 123
5.4.3. Максимальная энергия в рабочем зазоре 125
5.4.4. Магнитный поток в зазоре и коэффициент рассеяния 125
5.4.5. Результаты расчетов 129
Выводы 140
Заключение 142
Список литературы 144
Приложение 155
- Аналитическое моделирование магнитного поля на базе кусочно-непрерывных собственных функций и его программная реализация
- Математическое моделирование кольцевой дискретно-однородной области «полюс межполюсное пространство»
- Сравнительный анализ расчета поля возбуждения синхронной машины с постоянными магнитами в декартовой и цилиндрической системах координат
- Разработка приближенного метода моделирования поля возбуждения при использовании одной кусочной функции
Введение к работе
Одна из главных задач электромеханики - создание таких методов исследования электромеханических систем, которые были бы адекватны современным требованиям, предъявляемым к преобразователям энергии. Вместе с тем, за последние десятилетия требования эти чрезвычайно ужесточились. Это неизбежное следствие технического прогресса поставило современную электромеханику, если и не в критическое, то во всяком случае, в весьма затруднительное положение. Отсутствие новых методов исследования особенно заметно при создании таких типов электрических машин, в которых неправомерно использование обычных допущений, характерных для классической теории.
Положения классической теории электрических машин часто не обеспечивают той точности описания физических процессов, которая необходима в инженерной практике. Эта проблема всегда была актуальной для электромеханики. Например, в 1972 г. в докладе на сессии общего собрания Академии наук Латвийской ССР [3] известный ученый академик В. В. Апсит говорил о том, что классическая теория электрических машин базируется на теории гладкого якоря, гармоническом анализе МДС обмоток и методе удельной магнитной проводимости. Эти три основных положения определены на основе упрощенной модели, характеризующейся гладким статором и ротором, равномерным зазором и ненасыщенной магнитной системой, и только в этом идеализированном случае вышеназванные положения приводят к правильным результатам.
Известны также и более резкие суждения по этому поводу одного из основоположников электромеханики Б. Хэга, писавшего еще в 1934 г. [94], что теория гармонических МДС является лишь первым приближением в моделировании электрической машины, ведущем к физически неправильному взгляду на истинную природу магнитного поля.
Совершенно очевидно, что решение проблемы может быть получено в два этапа: на первом этапе должна быть решена задача о расчете единого магнитного поля во всем активном объеме машины, второй же этап — это выработка новых допущений и критериев для уточнения существующей классической теории. Эти две задачи тесно связаны между собой и имеют давнюю историю в теории электрических машин.
Как и вся теоретическая электротехника, теория электрических машин с самого начала развивалась в двух направлениях: в основе одного из них лежала теория электрических цепей, в основе другого - теория электромагнитного поля. Причем исторически методы теории цепей начли использоваться для анализа и расчета электрических машин раньше методов теории электромагнитного поля. Объяснить это можно тем, что теория электрических цепей не требовала применения в расчетах уравнений Максвелла и свойственного им специфического математического аппарата.
Одним из ярких достижений первого направления по праву можно считать общую теорию электромеханического преобразования энергии, часто называемую обобщенной или матричной теорией. Последнее подразумевает, что в ее изложении используется математический аппарат дифференциальной геометрии многомерных пространств, тензорного анализа и матричной алгебры.
В обобщенной теории любая электрическая машина рассматривается как совокупность взаимно перемещающихся, связанных магнитно электрических цепей с сосредоточенными параметрами. В допущениях обычно пренебрегают такими физическими явлениями, как насыщение, гистерезис, магнитные потери, высшие гармоники. Это оправдано, если рассматриваются динамические режимы, в особенности, когда электрическая машина работает в сложной электромеханической или энергетической системе.
Ключевым понятием обобщенной теории является так называемая обобщенная электрическая машина [59] — математическая модель электрических машин практически всех типов, ее дифференциальные уравнения и их
координатные преобразования. Дифференциальные уравнения дают более
универсальное описание электрических машин, чем алгебраические: они содержат мгновенные значения переменных и справедливы как для переходных, так и для установившихся режимов. Развивая идею обобщенной электрической машины, И. П. Копылов в 1963 г. предложил математическую модель обобщенного электромеханического преобразователя, которая описывается дифференциальными уравнениями для несинусоидального магнитного поля в воздушном зазоре, при учете любого числа контуров обмоток на статоре и роторе, для симметричных и несимметричных машин с учетом нелинейного изменения их параметров [60].
Значительный вклад в развитие обобщенной теории и ее использование для анализа переходных и установившихся режимов работы электрических машин, устойчивости электромеханических и энергетических систем внесли отечественные исследователи: Д. А. Бут, А. И. Важнов, В. А. Веников, И. А. Глебов, А. В. Иванов-Смоленский, И. П. Копылов, Р. А. Лютер, Л. Г. Мамиконянц, С. В. Страхов, И. И. Трещев, И. Д. Урусов, Н. Н. Щедрин, Ф. М. Юферов, А. А. Янко-Триницкий и др. [20-25, 28, 38-40, 59, 60, 63-65, 88, 91,93,99,103,104].
Второе направление в теоретической электромеханике, основанное на теории электромагнитного поля, появилось на несколько десятилетий позже первого. Так, если первой публикацией по теории электрических машин принято считать работу Э. Арнольда, вышедшую в 1891 г., то одна из первых статей по электромеханике, посвященная расчету поля в асинхронной машине (это была статья И. С. Брука в журнале «Вестник теоретической и экспериментальной электротехники»), появилась лишь в 1928 г. [54], когда уже достаточно глубоко была разработана теория установившихся режимов электрических машин. Однако, начиная с 30-х годов XX в., это направление в теории электрических машин стремительно развивается. Причиной тому не только появление новых математических методов, а в дальнейшем - и появление новой вычислительной техники, но и возросшие требования к электрическим маши нам. Только глубокое понимание физической природы электромагнитных процессов может стать основой для создания принципиально новых электромеханических устройств. Такое глубокое понимание дает теория электромагнитного поля.
Решающее значение в области приложения теории электромагнитного поля к электромеханике имели труды Л. Р. Неймана, А. И. Вольдека, К. С. Демирчяна, В. В. Апсита, А. В. Иванова-Смоленского, Я. Б. Данилевича, Б. С. Зечихина, В. М. Юринова, Г. А. Сипайлова, О. Н. Веселовского, В. М. Казанского, А. И. Инкина и др. [71-73, 27,101, 33, 2, 3,100, 38-40, 31, 96, 36, 37,102, 84, 85, 26, 56, 41-46, 51-53].
Современная теория электромагнитного поля физически объясняет все электромагнитные процессы, протекающие в электрических цепях, и служит основой для расчета интегральных параметров цепей. И с этой точки зрения использование теории электромагнитного поля для исследования электрических машин имеет более фундаментальный характер, нежели применение теории цепей, однако в большинстве случаев задачи на основе теории поля намного сложнее задач теории цепей. Именно это обстоятельство определило область применения теории электромагнитного поля: ее использование необходимо тогда, когда перестают работать допущения, введенные на основе теории цепей. Чрезвычайную важность также имеет задача синтеза схем замещения электрических машин на основе расчета электромагнитного поля. В этой задаче пересекается теория поля и теория цепей.
Синтезу схем замещения электрических машин посвящены работы A. И. Вольдека, В. М. Юринова, В. М. Казанского, Ю. Г. Бухгольца, B. Н. Родыгина, А. И. Инкина, 3. С. Темляковой, Б. В. Литвинова [27, 102, 56, 45,46,51-53].
Выдающимся достижением в области синтеза схем замещения электрических машин на основе расчета электромагнитного поля является метод зуб-цовых контуров, разработанный под руководством А. В. Иванова-Смоленского [39, 92].
Только на основе теории электромагнитного поля возможно выработать
критерии для уточнения и дополнения классической теории электрических машин, поэтому исследования в этой области являются как никогда актуальными в настоящее время.
Большой вклад в разработку теории электромагнитного поля в электромеханике внес А. И. Инкин. Известны его работы, посвященные исследованию электромагнитного поля и синтезу схем замещения явнополюсных и неявно-полюсных электрических машин, а также машин с составными активными объемами [26, 41-53].
Данная диссертационная работа являет собой развитие идей А. И. Инкина в области аналитического моделирования магнитного поля в активном объеме явнополюсных машин на базе слоистых расчетных моделей. Результатом работы стал новый метод аналитического расчета магнитного поля явнополюсных машин.
Явнополюсные машины - это очень распространенный тип электрических машин. Явнополюсными выполняются крупные тихоходные машины (например, гидрогенераторы), также явнополюсными могут быть машины постоянного тока, коллекторные машины переменного тока и асинхронные машины с фазным ротором [59].
Явнополюсные машины отличает ярко выраженная неравномерность магнитного поля в рабочем объеме. Очевидно, такая неравномерность сказывается на работе машины в целом и затрудняет ее проектирование, так как в случае строгого рассмотрения явнополюсной машины с позиций классической теории к ней нельзя применить исходную гипотезу о синусоидальном распределении на полюсном делении МДС и поля реакции якоря. Как известно, с целью устранения этого противоречия в классической теории электрических машин применяется метод двух реакций, предложенный в 1895 г. А. Блонделем [54], а реальное распределение магнитного поля заменяется синусоидальным. Так как синусоидальное распределение кривой поля более предпочтительно, реальную кривую стараются приблизить к синусоиде, применяя для этого специальные конструкции полюсов и полюсных наконечников [19, 83].
Все вышесказанное означает, что применительно к явнополюсным электрическим машинам задачу об исследовании магнитного поля следует считать одной из самых насущно необходимых.
Очень часто в электрических машинах ротор выполняется явнополюсным при неявнополюсном статоре. Как показывает практика, магнитное поле в такой машине можно смоделировать с помощью двуслойной расчетной модели. При этом получается выгодное сочетание малой погрешности моделирования и относительной несложности математической модели.
В современной электромеханике существует особый тип явнополюсных электрических машин - это электрические машины с постоянными магнитами [20, 21, 75]. Основное их преимущество состоит в том, что в таких машинах не надо создавать поле возбуждения с помощью обмоток, другими словами, тратить дополнительную энергию, а также, что особенно важно, подводить эту энергию извне. В случае синхронной машины с неподвижным якорем это означает отсутствие у машины наиболее уязвимых деталей конструкции — контактных колец и трущихся электрических контактов.
Анализ литературных источников свидетельствует о большом интересе исследователей к этому типу машин как в нашей стране [20, 21, 31,55, 66], так и за рубежом [110-113]. Вместе с тем, количества работ, посвященных исследованию магнитного поля в машинах с постоянными магнитами, явно недостаточно.
Именно поэтому в настоящей работе основное внимание уделяется такому типу машин. Предлагаемая методика моделирования магнитного поля в машинах с постоянными магнитами отличается относительной простотой, гибкостью, универсальностью в сочетании с низкой погрешностью, что позволит создать на ее основе инженерную методику расчета электрических машин с постоянными магнитами.
Актуальность темы. Ужесточение требований к технико-экономическим показателям электрических машин приводит к необходимости уточнять, дополнять и развивать существующие методы теории электрических машин. Одно из перспективных направлений при расчетах электромагнитных характеристик и соответствующих параметров электрических машин связано с аналитическими исследованиями единого магнитного поля в их активных объемах.
Весьма актуальными следует считать задачи об аналитическом расчете магнитного поля в объемах явнополюсных электрических машин, ввиду сложности математической постановки и самого их решения часто сопровождаемые допущениями, приводящими к нежелательным погрешностям.
Одно из таких допущений, в частности, предусматривает «развертку» цилиндрической машины с последующим использованием при анализе магнитного поля декартовой системы координат. И если в неявнополюсных машинах (особенно при относительно малых размерах конструктивных зон, таких как воздушные зазоры, зубцово-пазовые структуры и ярма) развертка активного объема представляется естественной и не приводит к заметным погрешностям, то в электрических машинах с явновыраженными полюсами она может привести к серьезным искажениям картины магнитного поля и, как следствие, к ощутимым погрешностям при расчете интегральных характеристик машины.
Использование развертки явнополюсной машины позволило коллективу кафедры теоретических основ электротехники НГТУ (НЭТИ) разработать оригинальный метод расчета единого магнитного поля машины, с применением плоских слоистых расчетных моделей, в которых конструктивные структуры полюсов и межполюсных пространств представлялись в виде сплошных полос с периодически изменяющимися дискретно-однородными физическими свойствами. Этот метод хорошо зарекомендовал себя при решении многих конкретных задач, однако, его возможности оказались ограниченными именно по причине использования базового допущения, связанного с переходом от ци линдрической структуры активного объема машины к его плоскому расчетному представлению.
Устранение указанного недостатка требует постановки и аналитического решения качественно новых задач теории поля при допущениях, исключающих необходимость развертки цилиндрической машины и использования ее плоских слоистых моделей, то есть по существу разработки нового специального метода расчета единого магнитного поля в активных объемах явнопо-люсных электрических машин цилиндрического исполнения.
Цель работы и задачи исследования:
1. Разработать аналитический метод моделирования магнитного поля в активном объеме явнополюсных электрических машин в цилиндрической системе координат и его программную реализацию.
2. Разработать математические модели поля возбуждения электрических машин с постоянными магнитами клиновидной формы.
3. Произвести сравнительный анализ математических моделей магнитного поля синхронных машин с постоянными магнитами в декартовой и цилиндрической системах координат.
4. Реализовать расчет поля возбуждения магнитоэлектрического синхронного генератора специального назначения разработки ОАО АКБ «Якорь» (г. Москва).
Объект исследования:
1. Явнополюсные электрические машины цилиндрического исполнения.
2. Синхронные магнитоэлектрические генераторы специального назначения.
Методы исследования. Исследование магнитного поля проводилось с помощью математического моделирования в дискретно-однородных слоистых структурах на основе решения системы уравнений магнитостатики в цилинд рических координатах методом разделения переменных с применением кусочно-непрерывных собственных функций задачи Штурма-Лиувилля.
В целях реализации математической модели автором были написаны программы для ЭВМ в среде MathCAD 11, позволяющие рассчитывать магнитные поля и строить картины поля.
Достоверность результатов аналитического моделирования проверялась путем сопоставления с имеющимися опубликованными данными, решения тестовых задач и их согласованности с положениями теории электрических машин и, наконец, численными расчетами по программе ELCUT 5.1 разработки ПК «Тор» (г. Санкт-Петербург).
Научная новизна работы:
1. Разработан новый аналитический метод расчета магнитного поля в активных объемах явнополюсных электрических машин на основе цилиндрических слоистых моделей, включающих в себя сплошные дискретно-однородные цилиндрические подобласти, в которых магнитное поле описывается с помощью рядов по кусочно-непрерывным собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля.
2. Получены и решены дифференциальные уравнения для скалярного магнитного потенциала в цилиндрических структурах с продольными и поперечными постоянными магнитами клиновидной формы.
3. Разработан приближенный аналитический метод расчета единого магнитного поля в объеме машины с продольными (тангенциальными) магнитами при использовании одной первой кусочно-непрерывной собственной функции задачи Штурма-Лиувилля, позволяющий резко сократить объем математических преобразований при реализации метода в целом.
Основные положения, выносимые на защиту:
1. Метод аналитического расчета магнитного поля явнополюсных электрических машин в цилиндрической системе координат на базе суммы кусочно-непрерывных собственных функций задачи Штурма-Лиувилля.
2. Математические модели поля возбуждения синхронных электрических машин с постоянными магнитами на роторе.
3. Приближенный метод аналитического расчета магнитного поля синхронных машин с продольно-намагниченными постоянными магнитами на базе одной первой кусочно-непрерывной собственной функции задачи Штурма-Лиувилля.
4. Метод расчета коэффициента рассеяния на основе результатов моделирования магнитного поля явнополюсной электрической машины.
Практическая ценность работы:
1. Разработан алгоритм реализации предлагаемого метода, включающий в себя формирование слоистой расчетной модели, общие решения дифференциальных уравнений для расчетных подобластей модели, перечень граничных условий и порядок составления системы линейных алгебраических уравнений для отыскания постоянных интегрирования.
2. Разработан комплекс программ для ЭВМ, позволяющий вычислять скалярный и векторный магнитный потенциал, индукцию и напряженность магнитного поля, удельную энергию магнитов, энергию, индукцию и магнитный поток в рабочем зазоре, коэффициент рассеяния поля возбуждения, строить картины поля в активном объеме машины.
Апробация работы. Материалы исследований опубликованы в 6 статьях [12,13,47-50], были представлены в докладах на ежегодной научной сессии электромеханического факультета НГТУ 5 марта 2004 г. и 2 марта 2005 г., на Всероссийской научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Наука. Технологии. Инновации НТИ - 2004» 4 декабря 2004 г.
Реализация результатов работы. Разработанные методы аналитического расчета магнитного поля в активных объемах электрических машин с постоянными магнитами применяются для исследования и оптимизации конструкции системы возбуждения синхронных генераторов в ОАО АКБ «Якорь» (г. Москва), а также используются в лекционных курсах, курсовых и дипломных проектах студентов старших курсов и магистрантов электромеханического факультета НГТУ.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы из 115 наименований и одного приложения. Работа содержит 154 страницы основного текста с 42 иллюстрациями и 6 таблицами.
Аналитическое моделирование магнитного поля на базе кусочно-непрерывных собственных функций и его программная реализация
При аналитическом моделировании полей в электрических машинах, когда их активные объемы представляют в виде совокупности кусочно-однородных областей, предпочтение часто отдается методу разделения пере менных. В частности, именно этим методом впервые был выполнен расчет поля в объеме явнополюсной машины с односторонней зубчатостью, включающем также полюса с конечным значением магнитной проницаемости [40]. Однако традиционное использование гладких собственных функций задачи Штурма-Лиувилля при наличии взаимопересекающихся границ областей с различными физическими свойствами значительно усложняет расчетную модель и, как следствие, существенно ограничивает возможности реализации метода в инженерной практике.
Для устранения этого ограничения требуется постановка новой задачи теории электрических машин и разработка общего метода решения уравнений магнитостатики для всей дискретно-однородной полосы, включающей в себя и полюса с конечным значением магнитной проницаемости, и межполюсные пространства при произвольных условиях на ее двух параллельных, в расчетном смысле гладких, границах. При использовании такого метода устраняются пересечения границ разделов сред, существенно сокращается их общее число и, как следствие, резко уменьшается объем математических операций при реализации метода в целом.
Как известно, определенный класс задач математической физики решается методом разделения переменных с помощью кусочно-гладких собственных функций [62]. Главное достоинство частных кусочно-гладких решений заключается в том, что в отличие от гладких каждое из них, следовательно, и решение в целом, удовлетворяют двум физическим условиям в точке сопряжения различных участков.
Именно эта идея положена в основу метода, изложенного в [46]. Метод базируется на применении кусочно-непрерывных собственных функций и плоских расчетных моделей, когда каждая конструктивная зона машины представляется в виде сплошной полосы с параллельными границами, что позволяет при решении конкретных задач [41-43] и математическом моделировании магнитного поля использовать декартову систему координат. При этом очевидно, что если плоская развертка относительно малого воздушного зазора может быть легко аргументирована, то, например, аналогичное представление ярма электрической машины требует дополнительных обоснований, связанных с учетом конструктивных особенностей машины.
В настоящей работе данный метод, использующий кусочно-непрерывные собственные функции, распространен на модели в цилиндрической системе координат, что должно способствовать расширению возможностей метода.
Математическое моделирование в современных условиях невозможно без использования вычислительной техники. Поэтому выбор программного обеспечения определяющим образом влияет на конечный результат. Относительная простота аналитического моделирования по сравнению с численным дает исследователю возможность использовать относительно несложные, широко распространенные и потому доступные для приобретения и освоения программы.
Особое место среди современного программного обеспечения занимают системы компьютерной математики, наиболее известными из которых являются MATLAB фирмы MathWorks [34, 70] и MathCAD фирмы MathSoft [30, 35, 76]. Они обладают не только широкими математическими возможностями, но и чрезвычайно развитым графическим интерфейсом. Если в основу пакета MATLAB положены принципы традиционных языков программирования, то пакет MathCAD, несколько уступая пакету MATLAB в вычислительных возможностях и графике, настолько прост в обращении, что практически не требует специального обучения. Для численного моделирования полей MathCAD непригоден, но для аналитических моделей он, как представляется, приспособлен наилучшим образом.
Поэтому для осуществления аналитического моделирования магнитного поля был выбран пакет MathCAD 11, а для построения картин поля использовался пакет MATLAB 6.5.
На сновании очевидного соображения, что численные и аналитические методы моделирования основаны на совершенно различных принципах, в качестве проверки аналитической модели было решено использовать численную. Одними из самых популярных зарубежных коммерческих пакетов для расчета полей можно считать ANSYS фирмы ANSYS Inc [6, 58, 106, 115] и Maxwell фирмы ANSOFT [105]. Однако, завышенные системные требования затрудняют использование этих программ для расчета магнитного поля. Поэтому выбор был остановлен на отечественном продукте — пакете ELCUT 5.1 разработки ПК «ТОР» (г. Санкт-Петербург) [78]. В ней, как и в программах ANSYS и Maxwell, реализован метод конечных элементов. Программа снабжена подробной документацией, множеством примеров расчета полей и ссылками на программу ANSYS, чтобы желающие могли сравнить результаты расчетов.
Математическое моделирование кольцевой дискретно-однородной области «полюс межполюсное пространство»
На простом примере покажем основные принципы моделирования дискретно-однородных областей в цилиндрической системе координат. На Рис. 2.2 показана в общем виде кольцевая дискретно-однородная структура, состоящая из чередующихся полюсов («/) и межполюсных пространств (ju0), ограниченная гладкими цилиндрическими поверхностями г і и Г2. В частности, с помощью такой дискретно-однородной области можно смоделировать ротор синхронной электрической машины. Сформулируем следующую задачу: рассчитать магнитное поле в данной области, если магнитная проницаемость в ней представляется в виде кусочной функции, изображенной на Рис. 2.3, или в аналитической форме: где а - текущий угол; Р - угол, равный половине межполюсного пространства; 0 — угол, равный половине полюсного деления (см. Рис. 2.2). Исходными данными для анализа поля являются основные уравнения магнитостатики: где Н - напряженность магнитного поля; В - индукция магнитного поля; ф(г,а) - скалярный магнитный потенциал. Граничные условия заданы в виде произвольных периодических функций (р(гі,а) и (р(г2,а)- Для однозначности решения задачи полагаем, что скалярный магнитный потенциал р(г,а) имеет нечетную симметрию относительно начала координат (ось q) и четную - относительно середины полюса (ось d). Этот частный случай характеризует, например, поле возбуждения синхронной электрической машины в классическом ее исполнении [19, 38, 59, 77, 83]. Поэтому решение будем искать на интервале 0 а @. Подставляем (2.1-2.3) в (2.4): Как известно, в цилиндрической системе координат уравнение (2.5) эквивалентно следующему дифференциальному уравнению второго порядка в частных производных: Уравнение (2.6) носит название уравнения Лапласа для скалярного магнитного потенциала в дивергентной форме. Особенность его состоит в том, что при скачкообразных изменениях функции (2.1) на интервале 0 а 0 в производной выражения, стоящего в квадратной скобке второго слагаемого, появляются бесконечности, которые в итоге должны быть скомпенсированы. На границе «полюс - межполюсное пространство» (при а-р) функция скалярного магнитного потенциала q {r,a) будет иметь излом, поэтому в этой точке дифференцировать ее нельзя, и уравнение (2.6) при а = р решения не имеет. Поэтому при всех дальнейших рассуждениях исключим из рассмотрения точку а = Д то есть будем искать решение (2.6) на промежутках 0 а /?и /? а 0.
В виду скачкообразного изменения ц(а) на границе «полюс-межполюсное пространство» второе слагаемое оставим именно в таком виде, как записано в (2.6). Так как функция ju(a) не является функцией координаты г, в первом слагаемом скобку можно раскрыть. Известно [98], что фундаментальным решением этого уравнения является линейная комбинация тригонометрических функций: С учетом нечетной симметрии поля относительно начала координат выражение (2.14) при 0 а /? будет выглядеть так: В полюсе (при Р а 0) ц(а) =///= const и уравнение (2.11) также имеет вид (2.13). С учетом четной симметрии относительно середины полюса выражение (2.14) следует записать в виде: Объединяя (2.15) и (2.16), получим: В выражении (2.17) постоянные интегрирования С1л, С2п и параметр разделения переменных п неизвестны. Для их определения потребуем, чтобы выражение (2.17) удовлетворяло принципу непрерывности потенциала и «-составляющей вектора магнитной индукции (Ва) на границе а = /3: После подстановки (2.17) в (2.18) получим систему линейных алгебраических уравнений с неизвестными С1п, С2п ил: 35 Так как система уравнений (2.19) является однородной [7], ее коэффициенты С1л и С2п связаны соотношением: С2п = КпС\п (2.20) а сама система имеет решение только тогда, когда равен нулю ее главный определитель: sin г%Р - cos п( - 0] Раскрывая (2.21), после преобразований получаем следующее трансцендентное уравнение, позволяющее найти п: Уравнение (2.22) имеет бесконечное число корней. Можно показать, что корни уравнения (2.22) являются действительными, неповторяющимися и положительными [46]. В дальнейшем предполагаем, что корни трансцендентного уравнения (2.22) нам известны. Из (2.19) с учетом (2.20) можно получить два выражения для коэффициента/„: По существу здесь решена известная в курсе математической физики задача Штурма-Лиувилля по отысканию чисел п, которые при определенных заданных условиях обращают в тождество решаемое дифференциальное уравнение [4]. Такие числа п называют собственными числами, а функции Ап(а) — собственными функциями задачи Штурма-Лиувилля. Значения собственных чисел п зависят как от геометрии дискретно-однородной области, так и от ее физических свойств. 36 Окончательно решение дифференциального уравнения (2.11) выглядит следующим образом:
В уравнении (2.26) неизвестны постоянные интегрирования D±n ,D2n. В целях упрощения дальнейшего изложения существа метода будем полагать, что на поверхности г = г2 скалярный магнитный потенциал обращается в нуль: (р(гъ а) = 0. Это условие позволит нам определить одну из постоянных интегрирования в (2.26), и после преобразований (2.26) примет вид: Для определения Dn в (2.27) воспользуемся свойством ортогональности собственных функций задачи Штурма-Лиувилля [4]. Согласно этому свойству для двух различных чисел п и q выполняется равенство: Уточним, что в выражениях (2.28, 2.29) функции Ап(а) и Aq(a) ортогональны на интервале (- 0; 0)с весом /i(a) [90]. Преобразуя (2.24) следующим образом: Так как по условию задачи при г = г\ распределение скалярного магнитного потенциала задано, можно записать уравнение относительно неизвестных постоянных интегрирования Dn: 38 Умножим (2.33) слева и справа на An(a)ju{a), где Ап(а) вычисляется по (2.30), и проинтегрируем в пределах (- 0; 0). Тогда все слагаемые в правой части, для которых п Ф q, обратятся в нуль, и останется только одно слагаемое, содержащее Dn: После того как найдены постоянные интегрирования, задачу о расчете магнитного поля в дискретно-однородной цилиндрической области можно считать решенной. При моделировании магнитного поля реальной электрической машины с явнополюсным ротором и рабочим зазором расчетная модель представляет собой многослойную структуру, одним из слоев которой является дискретно-однородная область. Такие модели будут рассмотрены далее.
Сравнительный анализ расчета поля возбуждения синхронной машины с постоянными магнитами в декартовой и цилиндрической системах координат
В [46] приведен пример расчета поля возбуждения машины с постоянными магнитами в декартовой системе координат. В частности, на Рис. 3.7 изображены кривые индукции на поверхности статора из [46], рассчитанные в декартовой системе координат для двух значений рабочего зазора. Для проверки созданной модели была проведена серия расчетов поля возбуждения в декартовой и цилиндрической системах координат. Исходные данные для расчетов взяты из [46]: Материал магнитов SmCo Остаточная индукция магнитов Bofo) = 0-8 Тл Коэрцитивная сила HQ = 440 000 А/м Магнитная проницаемость магнитов в радиальном направлении цг - 1A5JUQ Полюсное деление т = 67.2 мм Высота полюса h = 6 мм Величина рабочего зазора А = 0.6 мм; 6 мм Отношение А/т А1т- 0.892 10"2; 8.92 10 2 Соотношение углов 0 2Р Расчет осуществлялся для двух значений числа пар полюсов, чтобы проанализировать влияние на конфигурацию поля кривизны системы. В этом случае при неизменных значениях полюсного деления т и высоты полюса h радиусы rj, Г2, гз (см. Рис. 3.3) равны: Для расчета поля возбуждения в декартовой и цилиндрической системах координат были написаны программы на языке MathCAD 11. Формулы для расчета поля в декартовых координатах взяты из [46]. Так как входящие в них гиперболические функции быстро возрастают при росте аргумента, что приводит к машинному переполнению и остановке программы, все расчеты проводились в относительных единицах длины. За единицу длины было принято полюсное деление. В программе для цилиндрической системы координат такого масштабирования не требуется, что следует отнести к достоинствам математической модели. Необходимо особо сказать о вычислении собственных чисел п задачи Штурма-Лиувилля. Эта процедура имеет определенные особенности, без учета которых нельзя получить верного решения. Трансцендентное уравнение (3.28) имеет бесконечное множество корней. Практика расчетов показывает, что потеря хотя бы одного корня из тех, что следуют друг за другом на числовой оси, приводит к грубому искажению конечного результата. Также совершенно недопустимо, чтобы среди найденных корней встречались повторяющиеся корни. Следовательно, перед опера цией вычисления корня, необходимо провести табуляцию функции трансцендентного уравнения с очень малым шагом.
В пакете MathCAD 11 имеется встроенная процедура для определения корней нелинейного уравнения, в которую заложен комбинированный метод Ньютона-секущих [76]. Но как показывает практика расчетов, эта процедура неприменима в том случае, когда необходимо найти несколько корней уравнения в автоматическом режиме. Поэтому было принято решение использовать для поиска корней программу, реализующую классический метод секущих. Эта программа была написана на основе алгоритма, изложенного в [67], и представляет собой процедуру пользователя.
Также для проверки математической модели и ее программной реализации были проведены численные расчеты с помощью программы ELCUT 5.1. Кривая размагничивания магнитов заменялась линейной функцией (3.5). Расчет проводился для плоской развертки и для цилиндрических моделей. В последнем случае магнитам была придана клиновидная форма в соответствии с Рис. 3.3-Рис. 3.4. Направление вектора намагниченности задавалось по оси симметрии клиновидного магнита.
Результаты аналитического расчета индукции магнитного поля на поверхности магнита (при г = г?) и на поверхности статора (при г - гз) представлены на Рис. 3.8-Рис. ЗЛО. Число уравнений системы (3.54) равно 30.
В Табл. 3.1 и Табл. 3.2 приведены результаты численного расчета индукции на оси симметрии полюса-магнита в сравнении с результатами аналитического расчета. Стоит отметить практически полное совпадение расчетов в декартовой системе координат с кривыми из [46], представленными на Рис. 3.7, а также совпадение с достаточной точностью численного и аналитического расчетов. Это свидетельствует о том, что при создании математической модели и ее программной реализации не было допущено явных ошибок. В полном соответствии с классической теорией электрических машин [19, 38,59, 77, 83] кривая индукции на полюсном делении имеет вид трапеции. При малых зазорах трапеция деформируется в прямоугольник, при больших зазорах она имеет более скругленную форму. При больших зазорах на границе а = р отчетливо виден излом функции, обусловленный краевыми эффектами. Влияние краевых эффектов уменьшается при уменьшении зазора. Также при больших зазорах с увеличением числа полюсов, то есть с уменьшением относительной кривизны системы (когда полюсное деление становится намного больше радиуса ротора), результаты расчетов в цилиндрической и декартовой системах координат все больше сближаются друг с другом. При малом числе полюсов расхождение в расчетах по разным моделям становится более ощутимым. поля в цилинрической системе координат. Число пар полюсов р =5: а) на поверхности магнита В(г2, «j; б) на поверхности статора В(гз, а) В [46] решается задача о расчете поля возбуждения машины с постоянными магнитами в декартовой системе координат. Воспользуемся результатами, полученными в [46], и рассмотрим задачу построения картины поля сначала в декартовых координатах, а в дальнейшем - в цилиндрической системе координат. В декартовой системе координат рабочий объем машины представляется в виде плоской развертки (Рис. 3.11), при этом сохраняются неизменными полюсное деление машины г и ширина полюса (т - 2Ь), рассчитанные по диаметру расточки статора. Расчетная область разделена на две зоны - дискретно-однородную зону с постоянными магнитами, имеющую высоту h (зона 1) и зону рабочего зазора величиной Д (зона 2). Скалярный магнитный потенциал в зоне 1 [46] описываются следующим выражением:
Разработка приближенного метода моделирования поля возбуждения при использовании одной кусочной функции
Для расчета магнитного поля в цилиндрической системе координат автором была написана специальная программа в среде MathCAD 11. При расчетах выявились определенные особенности работы программы. Оказалось, что программа устойчиво работает лишь при небольшом количестве уравнений системы (4.76). Для расчета магнитного поля в цилиндрической системе координат автором была написана специальная программа в среде MathCAD 11. При расчетах выявились определенные особенности работы программы. Оказалось, что программа устойчиво работает лишь при небольшом количестве уравнений системы (4.76). Неустойчивость работы программы при большом количестве уравнений в системе (4.76) влечет за собой необходимость изменения расчетного алгоритма, и следовательно, надо заново проанализировать математическую модель, введя при этом некоторые новые допущения. В зоне 1 поле возбуждения машины описывается суммой кусочных функций. При этом для однозначности решения дифференциальных уравнений (4.19, 4.38) количество кусочных функций в (4.33-4.37) должно быть равно количеству гладких функций в (4.39-4.44), описывающих поле в немагнитных зазорах. В противном случае система линейных алгебраических уравнений (4.76) не будет иметь единственного решения [7]. А для более точного описания поля в зазорах предпочтительно иметь достаточно большое количество гладких функций. Между тем, представляется целесообразным получить приближенное аналитическое решение, содержащее только одну кусочную функцию и множество гладких. Во-первых, это резко сократит количество расчетов. Во-вторых, алгоритм расчета станет более устойчивым, что расширит возможности математической модели. В-третьих, такая математическая модель позволит перейти от расчета поля к синтезу каскадных схем замещения, широко используемых в теории электрических машин. Рассмотрим возможность получения такого приближенного решения. Как известно, при достаточно большом значении магнитной проницаемости полюса кривая индукции на полюсном делении принимает форму, близкую к трапеции, которую достаточно точно можно аппроксимировать функцией вида (Рис. 4.7): трапецию можно только суммой нескольких гладких гармоник. При этом количественно среднее значение магнитного потенциала и индукции будет в основном определяться лишь первой гармоникой. Это обстоятельство можно использовать для обеспечения однозначности решения при определении неизвестных постоянных интегрирования в выражениях (4.33-4.37). Раскладывая кусочную функцию в ряд Фурье, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных постоянных, в которой в качестве параметра будет фигурировать номер гладкой гармоники. Разрешив систему относительно первой гармоники, определим постоянные интегрирования кусочной функции, а потом с их помощью найдем постоянные интегрирования гладких функций. Результатом будет решение дифференциальных уравнений (4.19, 4.38), обладающее вышеназванными свойствами. Постоянные интегрирования С, D, FM и Pm, как и раньше, определяются условием непрерывности скалярного магнитного потенциала и радиальной составляющей вектора магнитной индукции на границах раздела сред (при г = Г] и при г = Г2). Перепишем выражения (4.58, 4.59) с учетом того, что в них фигурирует единственный корень трансцендентного уравнения (4.31): бесконечной системы линейных алгебраических уравнений при определении постоянных интегрирования и, как следствие, существенно упрощает решение задачи теории поля. Для иллюстрации практического применения разработанного метода рассмотрим расчет поля возбуждения синхронной машины с конкретными исходными данными. Будем полагать, что вал ротора выполнен из немагнитного материала. 108 Исходные данные для расчета следующие:
Материал магнитов Марка интерметаллического соединения Остаточная индукция магнитов Коэрцитивная сила Магнитная проницаемость магнитов в тангенциальном направлении Магнитная проницаемость ферромагнитных полюсов Для расчета магнитного поля в цилиндрической системе координат автором были написаны программы в среде MathCAD 11. Кроме того, для проверки математической модели был осуществлен численный расчет поля с помощью программы ELCUT 5.1. Все исходные данные и геометрия расчетной области оставались теми же, что и в аналитических моделях. Кривая размагничивания магнитов аппроксимировалась линейной зависимостью. Направление вектора намагниченности задавалось перпендикулярно оси симметрии клиновидного магнита. Кривые индукции на поверхности статора (при г = г3) представлены на Рис. 4.8, картины поля, рассчитанные аналитически - на Рис. 4.9, численный расчет поля - на Рис. 4.10. При расчете поля по сумме нескольких кусочных функций количество кусочных и гладких функций равно 6. При расчете поля по одной кусочной функции количество гладких функций равно 30. Прежде всего, надо отметить большое сходство между результатами численного и аналитического расчета. Это свидетельство правильности разработанной аналитической модели и предпосылок, положенных в ее основу. При этом видны и отличия численной и аналитической моделей. Во-первых, в теле магнита силовые линии индукции ведут себя несколько по-разному. Во-вторых, в численной модели силовые линии поворачивают в ярмо ротора при большем значении текущего радиуса, чем в аналитической. Безусловно, это связано с различиями в способе задания вектора намагниченности в теле постоянного магнита. Анализ Рис. 4.8 - Рис. 4.9 показывает, что результаты аналитического расчета поля соответствуют классической теории электрических машин [19, 38, 59, 77, 83]. Также подтверждается теоретическое заключение о том, что в машине с тангенциальными магнитами большая часть поля вытесняется в область рабочего зазора. Сравнивая расчеты по нескольким кусочным функциям (Рис. 4.9 а) с расчетами по одной кусочной функции (Рис. 4.9 б), можно заключить, что при переходе от суммы многих кусочных функций к одной кусочной функции картина силовых линий изменяется незначительно. Это подтверждает допущение о том, что поле в зоне 1 определяется в основном первой кусочной функцией. При расчете по одной кусочной функции (Рис. 4.8 б) кривая индукции на полюсном делении - это трапеция, практически не имеющая искажений. Такая форма кривой полностью согласуется с классической теорией электрических машин [19, 38, 59, 77, 83]. Тот факт, что значения индукции на оси симметрии полюса на Рис. 4.8 а, Рис. 4.8 б и Рис. 4.8 в очень близки друг к другу (отличие составляет не более 5%), свидетельствует о возможности расчетов с допустимой на практике точностью Неустойчивость работы программы при большом количестве уравнений в системе (4.76) влечет за собой необходимость изменения расчетного алгоритма, и следовательно, надо заново проанализировать математическую модель, введя при этом некоторые новые допущения. В зоне 1 поле возбуждения машины описывается суммой кусочных функций. При этом для однозначности решения дифференциальных уравнений (4.19, 4.38) количество кусочных функций в (4.33-4.37) должно быть равно количеству гладких функций в (4.39-4.44), описывающих поле в немагнитных зазорах. В противном случае система линейных алгебраических уравнений (4.76) не будет иметь единственного решения [7]. А для более точного описания поля в зазорах предпочтительно иметь достаточно большое количество гладких функций. Между тем, представляется целесообразным получить приближенное аналитическое решение, содержащее только одну кусочную функцию и множество гладких. Во-первых, это резко сократит количество расчетов. Во-вторых, алгоритм расчета станет более устойчивым, что расширит возможности математической модели. В-третьих, такая математическая модель позволит перейти от расчета поля к синтезу каскадных схем замещения, широко используемых в теории электрических машин. Рассмотрим возможность получения такого приближенного решения.
