Содержание к диссертации
Введение
1 Методы вычисления коэффициентов разложения 9
1.1 Предварительные сведения 10
1.2 Введение в обобщенные ряды Фурье 12
1.3 Дискретное представление базисных функций 15
1.4 Алгоритм вычисления ортогональных функций высокого порядка 21
1.5 Аналитические методы 24
1.5.1 Метод подстановки 24
1.5.2 Использование уравнения ломаной 25
1.5.3 Преобразование степенного ряда в ортогональный 26
2 Способы реализадии и свойства оператора умножения на функцию 28
2.1 Пространство коэффициентов разложения 29
2.2 Пространство функций дискретного аргумента 33
2.3 Формулы для многочленов Чебышёва 35
2.4 Базис из собственных функций оператора умножения 39
3 Некоторые задачи обработки данных 41
3.1 Получение, преобразование и измерение одномерных сигналов для задач распознавания образов и анализа изображений 41
3.1.1 Декартовы координаты 42
3.1.2 Естественное уравнение кривой 43
3.1.3 Интегрирование и дифференцирование 45
3.1.4 Нерегулярные кривые 46
3.1.5 Вычисление моментов 50
3.1.6 Инвариантные признаки 51
3.1.7 Метод пристрелки и движение по кривой 51
3.2 Диагностика и идентификация параметров динамических систем . 53
3.2.1 Функции чувствительности и уравнения диагностики . 55
3.2.2 Аппроксимация функции веса ядерного магнитного резонанса 67
4 Спектрально-аналитическое исследование нелинейного уравнения Шредингера 70
4.1 Математическая модель 71
4.2 Конечномерное приближение 78
Выводы 93
Список литературы 95
Список публикаций по теме диссертации 101
- Дискретное представление базисных функций
- Использование уравнения ломаной
- Формулы для многочленов Чебышёва
- Интегрирование и дифференцирование
Введение к работе
Актуальность темы исследования
Предпосылкой рассмотрения алгебры отрезков ортогональных рядов является развитие и внедрение в практику спектральных методов для решения различных задач обработки информации. В последнее десятилетие эти методы особенно актуальны в связи с проблемами передачи и сжатия данных. Спектральные методы предоставляют возможность эффективного адаптивного сжатия информации при допущении некоторой погрешности (сжатие с потерями) и дальнейшей интеллектуализированной обработки и преобразования информации.
При этом важной задачей является разработка методов обработки данных, альтернативных частотным методам Фурье, предназначенным в основном для обработки стационарных сигналов. Одним из типов нестационарных сигналов являются так называемые функции веса, или импульсные переходные характеристики, которые являются откликом изучаемой управляющей системы на импульсное входное воздействие. Функции веса представляют собой затухающие сигналы, которые аппроксимируются наиболее короткими отрезками рядов в базисе функций Лагерра. Другим важнейшим базисом в информатике является базис функций Эрмита, которые являются собственными функциями интегрального преобразования Фурье. Разложение сигналов по функциям Эрмита приводит к эффективному вычислению преобразования Фурье.
Отрезки ортогональных рядов могут выступать в роли универсального способа представления данных в дискретной форме, удобной для хранения и обработки на вычислительных машинах. В некоторых задачах обработки данных требуется осуществление алгебраических операций над функциями, представленными отрезками ортогональных рядов. Например, вычисление корреляционной функции требует перемножения образов Фурье. Вычисление дифференциала дуги одномерной кривой требует нескольких операций: дифференцирования, интегрирования, умножения и извлечения квадратного корня из ортогонального ряда. Изучение операции умножения рядов требуется также при построении методов решения дифференциальных и интегральных уравнений.
Алгебра отрезков ортогональных рядов имеет аналогию с машинной арифметикой, при которой происходит сокращение значащих цифр. Например, умножение отрезков рядов, при котором происходит проектирование на подпространство фиксированной размерности, коммутативно, но не обладает свойством ассоциативности. Другим важным аспектом умножения отрезков ортогональных рядов является вычислительная сложность и неоднозначность его реализации. Умножение можно производить, с одной стороны, в пространстве коэффициентов разложения, а с другой стороны, в пространстве функций дискретного аргумента. Поэтому интересно с теоретической точки зрения изучение переноса операции умножения из
I рос иацнонллымГ]
одного пространства в другое и сравнение перенесенной операции с операцией умножения, которая определена исходно в этом пространстве.
Цель работы
Целью работы является исследование спектральных подходов с применением классических ортонормированных систем функций для решения задач обработки данных, приводящих к алгебраическим операциям над отрезками рядов. Основными задачами, которые были поставлены в ходе исследования, являются
-
Реализация алгебраических операций - умножение, деление, извлечение квадратного корня - над функциями, представленными отрезками ортогональных рядов.
-
Исследование возможности и точности аппроксимации сложных экспериментальных данных, представленных в дискретной форме, на основе классических ортогональных базисов.
-
Построение алгоритмов диагностики параметров систем по их импульсным переходным характеристикам.
-
Решение дифференциальных и интегральных уравнений на основе ортогональных разложений.
Методы исследования
В работе испрльзуются методы линейной алгебры, теории аппроксимации, теории функций и функционального анализа, а также численные методы решения линейных и нелинейных алгебраических и дифференциальных уравнений.
Научная новизна
Все основные результаты диссертации являются новыми.
-
Предложены два способа введения оператора умножения на функцию в конечномерном подпространстве гильбертова пространства, образованного отрезками ортогональных рядов. Доказаны теоремы и утверждения о спектральных и групповых свойствах введенных операторов.
-
Показано, что задачи нахождения отношения рядов и извлечения квадратного корня из ряда сводятся к соответствующим операциям над матрицами.
-
Разработан эффективный метод вычисления функций Лагерра и Эр-мита без ограничения на порядок полинома.
-
Реализованы квадратурные формулы Гаусса высокого порядка в целях вычисления коэффициентов разложения функций дискретного
аргумента в базисах функций Лагерра, Эрмита и многочленов Чебы-шева первого рода.
5. Найдены и классифицированы новые решения нелинейного уравнения Шредингера в задаче об электроне, связанном полярной диэлектрической сферой.
С. Предложен алгоритм диагностики управляющих систем по их импульсной переходной характеристике.
Практическая и теоретическая ценность
Диссертация имеет методический характер. Результаты работы могут использоваться при построении систем распознавания образов и анализа изображений, диагностики и параметрической идентификации управляющих систем, проекционных методов решения дифференциальных и интегральных уравнений. Результаты работы позволяют использовать спектральные методы обработки сложных сигналов, альтернативные методам, основанным на быстром преобразовании Фурье.
Результаты исследований воплощены в программный комплекс ДДАП, который многократно использовался для аппроксимации экспериментальных данных (ядерного магнитного резонанса, акустических и сейсмических сигналов, биофизических показателей) и для поддержания практических занятий, относящихся к курсу "Обобщенный спектрально-аналитический метод"в учебном центре математической биологии Путинского государственного университета, а также на факультете вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова и на радиофизическом факультете Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского.
Одним из основных достижений является аппроксимация сложных дискретных сигналов, например, сигналов откликов импульсного ядерного магнитного резонанса (ЯМР), требующим высокой точности аппроксимации и большого количества (тысячи) членов разложения ортогонального ряда по функциям Лагерра.
Апробация работы
Результаты диссертации докладывались на XI Всероссийской конференции "Математические методы распознавания образов" (г.Пущино, 2003); 7-ой Путинской школе-конференции молодых ученых: Биология -наука XXI века (2003); о-ом Международном конгрессе по математическому моделированию (г.Дубна Московской обл., 2002); G-ой Путинской школе-конференции молодых ученых: Биология - наука XXI века (2002); X Всероссийской конференции "Математические методы распознавания образов" (г.Москва, 2001); 5-ой Путинской конференции молодых ученых (2001); XX Межвузовской НТК - (г.Серпухов, 2001); I Всероссийской конференции "Спектральные методы обработки информации в научных ис-
следованиях" (г.Пущино, 2000); Школе-конференции "Горизонты физико-химической биологии"( г.Пущино, 2000); Всероссийской школе-семинаре "Волновые явления в неоднородных средах" (п.Красновидово Московской обл., 2000); 4-й Путинской школе молодых ученых, секция "Математическая и вычислительная биология"(г.Пущино, 1999); Международной конференции по физике кластеров (г.Пущино, 1997); 11-ой Всероссийской конференции посвященной памяти К.И. Бабенко (г.Пущино, 1996); Международной конференции по физике кластеров в (г.Пущино, 1996).
Публикации
По теме диссертации опубликовано 23 работы и оформлено 1 свидетельство РОСПАТЕНТ об официальной регистрации программы для ЭВМ.
Структура и объем работы
Дискретное представление базисных функций
Рассмотрим задачу вычисления коэффициентов разложения функции, задан ной в виде таблицы на некоторой системе отсчетов {а(х1),а(хг),...,а(хм)} (1.7) Пространство функций дискретного аргумента а(х) вида (1.7) будем обозначать VM. Элементами этого пространства являются векторы, компонентами которого являются значения функции в узлах сетки. Очевидно, векторное пространство VM считается заданным, если фиксирована сетка. Для определения евклидова . пространства VM необходимо еще задать скалярное произведение. Заданию ска лярного произведения в пространстве VM И обоснованию необходимости этого фактически посвящен настоящий раздел. В задачах обработки экспериментальных данных представление (1.7) является исходным, и по нему необходимо получить численно-аналитическое пред ставление в виде отрезка ряда (1.2). Это преобразование содержит ряд вопросов при его реализации: определение функции непрерывного аргумента по представлению функции дискретного аргумента (1.7); вычисление функционала скалярного произведения (1.3) посредством численного интегрирования. Первая проблема, а именно, преобразование функции дискретного аргумента в функцию непрерывного аргумента, решается посредством выбора метода интерполяции данных. Вторая проблема, проблема дискретизации области определения функций непрерывного аргумента, неизбежно возникает при численном вычислении интегралов и, в частности, коэффициентов разложения. Если первая проблема может быть решена выбором одного из нескольких возможных методов интерполяции, то вторая проблема в действительности подвержена жесткому требованию сохранения ортогональности системы базисных функций при дискретизации области их определения. При приближенном вычислении интегралов на некоторой сетке ортогональность базисных функций, вообще говоря, нарушается, а при разложении по системе неортогональных функций коэффициенты разложения не могут быть вычислены по формулам (1.5). Рассмотрим дискретный аналог скалярного произведения в пространстве функций дискретного аргумента Равенство между интегралом и суммой имеет место только при определенных условиях на подынтегральную функцию и определенном выборе узлов х; и весов Wi. Наивысшую алгебраическую точность имеют квадратуры
Гаусса [10]. При специальном выборе узлов и весов (общее число параметров 2 К) можно удовлетворить условию, чтобы квадратурная формула была точна для подынтегральной функции, представляющей собой многочлен степени не выше 2К—1, умноженный на весовую функцию. Доказано [10], что узлы квадратурной формулы являются нулями ортогонального многочлена степени К, соответствую , щего заданной весовой функции. Формула (1.8) обеспечивает изоморфизм меж ду пространством линейных комбинаций (1.2) и пространством функций дис-кретного аргумента на специально выбранной сетке. При таком изоморфизме, сеточной функции, заданной в узлах полинома степени К, ставится в соответствие единственным образом или просто полином степени К — 1, или полином степени К — 1, умноженный на корень из весовой функции. Таким образом, смысл квадратурных формул Гаусса состоит в том, что они позволяют ортого нальной системе функций непрерывного аргумента поставить в соответствие ортогональную систему функций дискретного аргумента (на неравномерной сетке). w Общая схема получения элемента пространства Е по элементу простран , ства VM имеет следующий вид Эта схема включает в себя два промежуточных пространства Ец и VK- пространство, натянутое на первые К базисные функции и пространство функций дискретного аргумента на сетке из узлов квадратурной формулы Гаусса. При вычислении коэффициентов разложения приходится переходить от исходной сетки, на которой задана функция (1.7), к сетке, на которой ортогональны ба зисные функции, причем К и М никак не связаны между собой, но обычно К ft; М. Этот переход осуществляется в результате выбора метода интерполя ции. 1 Определение элемента пространства Ек можно не производить, а сра зу вычислять вектор коэффициентов, принадлежащий пространству EN при N К, что соответствует проектированию на подпространство меньшей раз мерности. Проблема вычисления весов и узлов квадратурных формул Гаусса с весовыми функциями классических ортогональных полиномов непрерывного и дис кретного переменного наиболее подробно изложена в работе [11]. В пакете про Во всех примерах данной работы использовалась линейная интерполяция.
Использование уравнения ломаной
Использование квадратурных формул Гаусса позволяет корректно дискретизи-ровать базисные функции, но не является единственным способом вычисления коэффициентов разложения. Например, можно способ получения коэффициентов разложения функций, для которых известно степенное разложение. Для ортогональных многочленов совершенно естественной является задача преобразования ортогонального ряда в степенной ряд и получение ортогонального ряда по заданному полиному, причем для конечных сумм ортогональных мно Рекуррентная формула общего вида (1-10) фактически определяет закон умножения ортогонального многочлена на х. Например, для ортогональных многочленов Чебышёва закон умножения на полином первой степени имеет вид Эта формула может быть применена для разложения произвольного полинома в линейную комбинацию полиномов Чебышёва, если воспользоваться схемой Горнера: На основе этого обычно предлагают процедуру минимизации степенного разложения, основанную на понижении порядка соответствующего ему ортогонального ряда. Алгебраические операции над ортогональными рядами являются одним из при меров аналитических преобразований, которые требуется проводить над орто-тональными рядами в рамках обобщенного спектрально-аналитического метода [8]. Согласно общей методологии коэффициенты результирующего ряда при аналитических преобразованиях выражаются через коэффициенты исходных рядов. В данной главе дано подробное исследование операции умножения ря дов. Это исследование необходимо для реализации более сложных операций деления и извлечения квадратного корня, а также построения алгоритмов использовать форму представления функции (1.1) для вычисления ее коэффициентов разложения. Сначала рассмотрим вопрос получения формы (1.1) из функции дискретного аргумента, заданной в виде (1.7). Уравнение ломаной содержит М + 2 параметра к, с,кі(і = 1,...,М). Эти параметры удовлетворяют системе уравнений Если поставить условие ограниченности функции, представленной уравнением ломаной, что эквивалентно условию а (оо) = 0to (—оо) = 0, то несложно показать, что к = 0. Значения коэффициентов / имеют смысл изменения первой производной в точках ХІ и имеют следующее выражение разложения функции f(x) = \х — , где f є [—1,1] по ортогональным многочленам Чебышёва первого рода [9].
Опуская вывод, приведем лишь итоговые формулы где Таким образом, в данном разделе построен метод вычисления коэффициентов разложения по ортогональным многочленам Чебышёва для произвольных функций дискретного аргумента вида (1.7). Этот метод является альтернативным по отношению к методу квадратурных формул Гаусса. Его главное достоинство по сравнению с методом квадратурных формул Гаусса состоит в том, что коэффициенты разложения выражаются аналитически через значения функции в отдельных точках. Это свойство очень ценно для решения обратных задач, когда по изменениям коэффициентов разложения можно судить об изменениях значений функции. В работах [23, 12, 5] рассматривается универсальный способ получения коэффициентов разложения функций, для которых известно степенное разложение. Для ортогональных многочленов совершенно естественной является задача преобразования ортогонального ряда в степенной ряд и получение ортогонального ряда по заданному полиному, причем для конечных сумм ортогональных мно Рекуррентная формула общего вида (1-10) фактически определяет закон умножения ортогонального многочлена на х. Например, для ортогональных многочленов Чебышёва закон умножения на полином первой степени имеет вид Эта формула может быть применена для разложения произвольного полинома в линейную комбинацию полиномов Чебышёва, если воспользоваться схемой Горнера: На основе этого обычно предлагают процедуру минимизации степенного разложения, основанную на понижении порядка соответствующего ему ортогонального ряда. Алгебраические операции над ортогональными рядами являются одним из при меров аналитических преобразований, которые требуется проводить над орто-тональными рядами в рамках обобщенного спектрально-аналитического метода [8]. Согласно общей методологии коэффициенты результирующего ряда при аналитических преобразованиях выражаются через коэффициенты исходных рядов. В данной главе дано подробное исследование операции умножения ря дов. Это исследование необходимо для реализации более сложных операций деления и извлечения квадратного корня, а также построения алгоритмов ре шения нелинейных функциональных уравнений. Рассматриваемые алгебраические операции не накладывают ограничений на используемую систему ортогональных функций. Аналитические свойства того или иного базиса определяют конкретный вид преобразований в пространстве коэффициентов разложения, а не возможность проведения самих преобразований. Поэтому сначала вопрос о выполнении этих преобразований исследуется чисто теоретически для произвольной системы ортогональных функции. Затем в качестве примера выводятся формулы для полиномов Чебышёва и (рункций Лагерра, которые могут быть применены непосредственно на практике. Следует отметить выбор полиномов Чебышёва как одного из самых про стых и популярных базисов с точки зрения выполнения рассматриваемых опе
Формулы для многочленов Чебышёва
Многочлены Чебышёва имеют явное тригонометрическое выражение: На основе этой формулы и формулы (2.1) попарного произведения членов двух рядов можно предложить следующий алгоритм вычисления произведения. Каждая пара agbj вносит аддитивный вклад в два коэффициента результирующего ряда Ci_j и Ci+j со множителем А. Для произведения двух рядов, состоящих из N членов, потребуется по 2N2 операций умножения и сложения. Для получения явных выражений для коэффициентов разложения произведения перемножим почленно два бесконечных ряда вида (2.15), применим формулу (2.16) и соберем коэффициенты при одинаковых полиномах: г = 2 имеют следующий вид: Перепишем билинейную форму (2.17) в виде линейной системы относительно неизвестного вектора коэффициентов а: Нормируем первый член последовательности ортогональных многочленов норму (2.12). В этом базисе матрица оператора умножения на функцию принимает вид Заметим, что матрицы (2.20) и (2.21) различаются в правом нижнем углу. Первые два столбца этих матриц совпадают, т.е. умножение на полином первого порядка производится одинаково при любом определении оператора умножения. Это объясняется тем, что при вычислении N коэффициентов разложения элементов iV-мерного подпространства полином подынтегрального выражения (1.8) имеет степень 2N—2. Квадратурные формулы Гаусса будут точными, даже если степень полинома подынтегрального выражения будет выше еще на единицу. По этой же причине оператор умножения на многочлен первой степени имеет один и тот лее вид при разных способах построения. Доказанные утверждения и теоремы дают обоснование решения линейной системы (2.4). Утверждение 2 и Теоремы позволяют оценить, когда эта система разрешима и какую она имеет обусловленность. Условие постоянства знака функции согласуется с тем, что деление на функцию, обращающуюся в некоторой точке интервала в нуль, является недопустимым. Деление на функцию, близкую к нулю, приводит к плохой обусловленности линейной системы (2.4). Другой важный вывод состоит в том, что решение системы (2.4) можно проводить итерационным методом Зейделя, т.к. симметричность и знакоопределенность матрицы является достаточным условием сходимости этого метода при любом начальном приближении. Метод Зейделя можно также использовать и для решения квадратичной системы (2.6) согласно предложению, сделанному в [32].
Задача вычисления квадратного корня из ряда находит обоснование и может быть сведена к вычислению квадратного корня из положительно определенной симметричной матрицы. Современным численным методам извлечения квадратного корня из матрицы посвящены работы [33, 34]. Рассмотрим вопрос о вычислении квадратного корня из ортогонального ряда на примере многочленов Чебышёва. Во-первых, эта операции может быть сведена к соответствующей операции над матрицей (2.20) или (2.21). Во-вторых, как отмечалось, можно применить метод Зейделя для системы квадратичных уравнений (2.6). Конечно, обоснование применимости этого метода в нелинейном случае отсутствует, а соответствующие расчеты проводились в экспериментальном порядке. Такой метод удобен при наличии в задаче начального приближения, когда требуется решить семейство задач с близкими данными. Одна из таких задач рассмотрена ниже в разделе, посвященном аппроксимации нерегулярных кривых. Здесь будет описан итерационный алгоритм типа Зейделя. Идея итерационного метода Зейделя состоит в том, что каждое уравнение системы решается как уравнение одного неизвестного независимо от других уравнений системы. Найденное значение для компоненты вектора берется за новое приближение и учитывается в других уравнениях системы. Таким образом, переходя от одного уравнения к другому, последовательно уточняются компоненты вектора. Сделаем замену вектора Ь на а в билинейной форме (2.17) для получения квадратичной формы относительно неизвестных коэффициентов разложения ряда, являющегося аппроксимацией квадратного корня с коэффициентами с ІГ Заметим, что коэффициент ао не должен обращаться в нуль, а значение подкоренного выражения в (2.22) должно быть больше нуля. Реализация формул (2.23) в виде программы представлена в приложении. Оператор умножения на функцию, являясь самосопряженным оператором в вещественном евклидовом пространстве, имеет полный набор вещественных собственных значений и соответствующих собственных векторов, ортогональных между собой и образующих базис [35]. Отсюда следует, что коммутативность операторов умножения на разные функции будет иметь место тогда и только тогда, когда для этих операторов существует единый набор собственных векто
Интегрирование и дифференцирование
Известно, что задача нахождения производной от функции не обладает свойством устойчивости [43]. Это приводит к тому, что разные алгоритмы нахождения производной от дискретных данных приводят к разным решениям этой задачи. В данном разделе демонстрируется тип и степень неопределенности при определении производной от функции, заданной в виде отрезка ортогонального ряда вида (1.2) по полиномам Чебышсва первого рода. Коэффициенты ряда, являющегося неопределенным интегралом заданного ряда, выражаются в случае полиномов Чебышсва довольно простыми формулами: константой интегрирования. Обратное преобразование может быть представлено рекуррентной формулой: вычисления по которой надо проводить в направлении от старших членов к младшим. В явной форме коэффициенты ряда, являющегося производной заданного ряда, выражаются следующим образом: Нетрудно получить соотношения для коэффициентов разложения, при которых функция /, представленная рядом Чебышева на некотором отрезке [я, 6] удовлетворяет граничному условию /(a) = f(b). Используя это соотношение и выражения этого пункта для производной ряда, получим для коэффициентов разложения функции, удовлетворяющей граничному условию / (a) = f(b), следующее соотношение: Оба граничных условия являются актуальными при аппроксимации гладких замкнутых контуров. Из формулы (3.4) и последней формулы видно, что малые изменения в старших коэффициентах оказывают большее влияние на производную функции, чем такие же изменения в первых коэффициентах. Причем неопределенность в определении производной при малом изменении значений коэффициентов оказывается значительно выше на концах отрезка аппроксимации.
Практически этот эффект хорошо улавливается при аппроксимации и дифференцировании функций. Теоретически это необходимо сопоставить с тем фактом, что производные полиномов Чебышёва первого рода, рассматриваемых в данной работе, являются с точностью до нормировки полиномами Чебышёва второго рода, ортогональными на том же интервале, но с весовой функцией, обратной по отношению к исходной [32, 9]. Если весовая функция полиномов Чебышёва первого рода . _ а стремится к бесконечности на концах интервала {—1,1), что обеспечивает лучшую аппроксимацию на концах интервала, то обратная ей функция \/1 — х2 стремится к нулю на концах интервала (—1,1), что и обусловливает большую неопределенность значений производной в концах. Таким образом, хорошо известное преимущество рассматриваемых полиномов Чебышёва первого рода аппроксимировать функцию точнее на концах интервала аппроксимации оказывается в то же время и недостатком при определении производных в тех ate точках. Материал этого раздела не претендует на строгость изложения и имеет дискуссионный характер. Для целей настоящей диссертации этот материал имеет значение как тестового для тех алгоритмов преобразования рядов в пространстве коэффициентов разложения, которые были предложены в предыдущих разделах. С практической точки зрения под нерегулярными кривыми и функциями подразумеваются такие объекты, которые требуют большого числа членов разложения для их удовлетворительного описания. С теоретической точки зрения свойство нерегулярности связано с отличием свойств функций, представленных конечными отрезками ортогональных рядов, от свойств более широкого класса функций, представленных бесконечными ортогональными рядами. Изучение разного рода нерегулярных функций позволяет понять границы применимости методов обработки данных, основанных на ортогональных рядах. Простейшим примером нерегулярных объектов являются функции, которые имеют разрывы. Их описание ортогональными рядами в метрике i2 приводит к сходимости, однако, в равномерной метрике сходимость не имеет места, что называется эффектом Гиббса (при описании в тех классических базисах, которые рассматриваются в диссертации). Дифференцирование таких функций становится проблематичным, хотя формально возможно.
Другой пример нерегулярности связан с явлением фрактальности. Задача вычисления длины кривой является классической в теории фрактальных кривых [44]. Понятие фрактальности многозначно. В этом разделе используется интуитивное, самое простейшее понятие фрактальности, связанное с явлением расходимости длины кривой при детализации описания кривой. Рассмотрим естественный параметр детализации описания контуров. При ортогональных разложениях - это глубина разложения, или число удерживаемых членов ряда. Для так называемых фрактальных кривых их длина возрастает неограниченно с увеличением разрешения при описании кривой и подчиняется приближенному закону: где L - длина участка кривой, 5 - раствор циркуля, D - фрактальная размерность (1 D 2) [44). Если предположить,что величина раствора циркуля обратно пропорциональна числу членов ряда, т.е. S JV-1, то отсюда следует соотношение, которое можно непосредственно использовать для вычисления фрактальной размерности: Идею к пониманию структуры ортогонального разложения фрактальной функции дает классический пример - функция Вейерштрасса, график которой
