Содержание к диссертации
Введение
1 Введение 19
1.1 Проблемы обработки экспериментальных данных 19
1.2 Вейвлеты для обработки сигналов 22
1.3 Обзор обработанных экспериментов 24
1.3.1 Экспериментальное определение потерь энергии пучка ионов в веществе: времяпролетная методика . 25
1.3.2 Эксперименты по измерению сечений рождения вторичных радиоактивных ядер, образующихся
при прохождении пучка ионов через вещество . 30
1.3.3 Эксперименты по определению динамики торможения пучка ионов в аэрогелях 33
1.3.4 Дифракция лазерного излучения на двух щелях . 35
1.3.5 Электрокардиограмма человека 37
2 Обзор используемого математического аппарата 40
2.1 Преобразование Фурье 40
2.2 Принцип неопределенности 43
2.3 Непрерывное вейвлет-преобразование 45
2.4 Дискретное вейвлет-преобразование 49
2.5 Скейлинг-функция и кратномасштабный анализ 51
2.6 Простейший пример 54
2.7 Нулевые моменты материнского вейвлета 58
2.8 Алгоритмы быстрого вейвлет-преобразования 61
2.9 Вейвлет-преобразование изображений 65
3 Фильтрация сигналов и изображений 69
3.1 Введение 69
3.2 Эквивалентные фильтры вейвлет-преобразования 70
3.3 Фильтрация сигналов от белого шума 74
3.4 Разделение двух сигналов на основе частотно-временного анализа 77
3.5 Оценка ошибок, вносимых в экспериментальные данные при использовании методов вейвлет фильтрации 84
3.6 Удаление из сигнала искусственно сгенерированной помехи 86
3.6.1 Фильтрация от белого шума 88
3.6.2 Фильтрация от высокочастотного и низкочастотного шумов 89
3.7 Применение методов вейвлет-фильтрации к эксперимен
тальным данным 92
3.7.1 Фильтрация сигналов с пояса Роговского в экспериментах по определению сечений рождения вторичных радиоактивных ядер при облучении мишени пучком ионов 92
3.7.2 Фильтрация медицинских сигналов 94
3.7.3 Фильтрация спектров с пространственным разрешением 94
3.7.4 Фильтрация сигналов априори известного вида . 96
3.8 Выводы 97
Выделение пиков сигнала 99
4.1 Постановка задачи 99
4.2 Выбор вейвлета для параметризации сигнала 100
4.3 Квадратичный сплайновый вейвлет 102
4.4 Точка пересечения вейвлет-преобразования с нулем . 104
4.5 Анализ сингулярностей сигнала на основе вейвлет-преобразования 106
4.6 Алгоритм обработки одиночного пика 108
4.7 Оценка ошибки метода 112
4.8 Применение алгоритмов параметризации сигналов 114
4.8.1 Обработка сигналов с пояса Роговского в экспериментах по определению сечений рождения вторичных радиоактивных ядер при облучении мишени пучком ионов 114
4.8.2 Обработка медицинских сигналов 115
4.9 Выводы 117
Обработка квазипериодических сигналов 118
5.1 Введение 118
5.2 Вейвлет Морле 120
5.3 О применимости непрерывного вейвлет-преобразования к цифровым сигналам 122
5.4 Анализ сигналов с помощью псевдовейвлета Морле 125
5.5 Вычисление ошибок 129
5.6 Алгоритм обработки квазипериодических сигналов 131
5.7 Применение методики обработки квазипериодических сигналов 133
5.7.1 Анализ модулированного квазипериодического сигнала с искусственно сгенерированным шумом 133
5.7.2 Обработка экспериментов по измерению потерь энергии пучка ионов в плазме, основанных на времяпролетной методике 135
5.7.3 Анализ интерферограмм 138
5.8 Выводы 138
6 Обработка гауссовых кривых и поиск источников 140
6.1 Введение 140
6.2 Вейвлет мексиканская шляпа 141
6.3 Методика обработки гауссовых сигналов 143
6.4 Аппроксимация функций вида / ~ е~г 12а 146
6.5 Алгоритм обработки гауссовых сигналов 151
6.6 Алгоритм поиска источников 152
6.7 Применение метода к анализу спектрометрических данных в экспериментах по определению сечений рождения вторичных радиоактивных ядер при облучении мишени пучком ионов 154
6.8 Выводы 156
Заключение 158
Список литературы
- Обзор обработанных экспериментов
- Непрерывное вейвлет-преобразование
- Разделение двух сигналов на основе частотно-временного анализа
- Квадратичный сплайновый вейвлет
Введение к работе
Диссертационная работа посвящена разработке и внедрению в технику эксперимента простых и надежных методов обработки цифровых данных, основанных на сравнительно новом и мощном математическом аппарате — вейвлет-анализе [1, 11], обладающем неоспоримыми преимуществами над большинством традиционных схем обработки экспериментальных сигналов. Настоящая работа предлагает ряд готовых и тщательно апробированных решений типичных задач анализа цифровой информации, позволяющих обработку сходных по структуре данных с любых измерительных систем.
Мотивация настоящей работы была обусловлена повседневной необходимостью работы с большими объемами экспериментальной информации, получаемой в исследованиях по взаимодействию пучков тяжелых ионов с веществом на базе лаборатории 118 Института Экспериментальной и Теоретической Физики (Москва). Часть измерений проводились непосредственно в самом институте на создаваемом в настоящее время ускорительно-накопительном комплексе ИТЭФ-ТВН, часть была выполнена на ускорителе GSI (Gesellschaft fur Schwerionenforschung) в Дармштадте (Германия). При этом разработанные методики носят универсальный характер. Так, в главе 3 и 4 алгоритмы очистки сигналов от шумов и алгоритмы нахождения характерных точек сигнала (положения максимумов, минимумов, начала нарастания и конца спада сигнала) применены к обработке медицинских сигналов — электрокардиограмме и реовазограмме человека. В главе 5, помимо обработки экспериментов, основанных на времяпролетной методике, описана схема работы с интер-ферограммами, а в главе 6 дан рецепт обработки спектрометрических сигналов, имеющий весьма широкий круг приложений.
Отличительной особенностью каждого алгоритма, предложенного в настоящем исследовании, является использование вейвлет-преобразова-ния исходного цифрового сигнала [46, 73, 87, 82], позволяющего деликатно обходить сложности, связанные с необходимостью одновременного разрешения сигнала как по частоте, так и по времени. Адаптивные базисные функции вейвлет-преобразования, хорошо разрешающие по времени высокочастотные процессы, в то же время позволяют относительно точно работать с частотными характеристиками сигнала на больших временных интервалах. Это свойство вейвлетов оказывается очень удобным во многих практических приложениях. Так, например, при удалении помех из цифровых сигналов оказывается возможным удалять помеху локально, не внося искажений в сигнал вне малой окрестности некоторой точки, вблизи которой убирается помеха.
Несмотря на то, что термин вейвлет появился сравнительно недавно — пионерские работы в этой области относятся к началу восьмидесятых годов двадцатого века — интерес к вейвлет-анализу стал взрыво-образно расти всего через несколько лет после его открытия, покрывая практически все сферы современной научной деятельности. К разделам науки, где в настоящее время успешно применяются методы, основанные на вейвлет-преобразовании, относятся как чисто прикладные задачи (фильтрация сигналов и изображений [31, 44, 121, 124], сжатие и кодирование информации [27, 53, 88,117,136], обработка цифровых сигналов [95, 96], численное решение интегральных уравнений [72, 83,139] и уравнений в частных производных [45, 79, 108, 141], анализ сигналов и изображений в медицине [16, 25, 89, 125] и астрономии [54, 55, 69, 122]), так и задачи фундаментальной и теоретической физики [28, 29, 30, 70, 130] и математики [99, 101]. Столь широкий спектр приложений математического аппарата вейвлет-анализа объясняется его впечатляющими возможностями с одной стороны, и относительной легкостью практического применения с другой.
К сожалению, за счет того, что наука движется в сторону сужения специализации, существует определенный дефицит обмена информацией между различными сферами научной деятельности, что в некотором смысле сдерживает внедрение новых эффективных решений уже устоявшихся задач. В этом смысле результаты диссертации полезны для специалистов в области экспериментальной техники, не имеющих возможности детально разбираться в тонкостях математического построения вейвлет-анализа, но испытывающих некоторые неудобства при работе со стандартными программными пакетами обработки экспериментально измеряемых сигналов.
Общая характеристика работы
Настоящая работа представляет набор современных методов вей-влет-обработки цифровых сигналов и изображений, непосредственно готовых к применению. Некоторые из описываемых методик [89, 127] уже успешно зарекомендовали себя в применении к тем или иным областям науки, и лишь подверглись незначительной модернизации или обоснованию. Другие [7, 8] являются оригинальными и открывают альтернативные возможности решения задач обработки сигналов по сравнению с традиционно используемыми методами.
С помощью предлагаемых методик в ряде исследований удалось существенно улучшить качество результатов, применяя лишь программные методы обработки экспериментальных данных. Таким образом, от крывается возможность значительного повышения точности измерений на действующих экспериментальных установках без модернизации аппаратной части путем лишь программной обработки получаемых данных с помощью вейвлетов. В то же время большинство предлагаемых в настоящей диссертации алгоритмов довольно просты в использовании и имеют наглядную интерпретацию, позволяющую избежать трудностей математического и практического характеров, что позволяет применять их в повседневной экспериментальной практике.
В настоящей работе сделан шаг к созданию общедоступных алгоритмов математической обработки больших массивов данных, цифровых кривых и изображений, пригодных для массового применения в естественнонаучных и технических приложениях. Стремительное развитие фундаментальных исследований, включающих в себя технику вейвлет-преобразования, показывает перспективность этого направления.
Цели и задачи исследования
В связи с отсутствием доступного специализированного программного обеспечения, пригодного для качественной автоматической обработки экспериментов по взаимодействию пучков ионов с веществом, основной целью работы являлось создание надежных и математически обоснованных методов решения задач обработки экспериментальных данных с последующей их программной реализацией. Конкретные задачи, поставленные перед диссертантом, приведены ниже.
1. Разработка, тестирование и внедрение в экспериментальную практику алгоритмов автоматизированной обработки токовых сигналов с пояса Роговского.
2. Разработка, тестирование и внедрение в экспериментальную практику методов автоматического анализа сигналов со стоп-детектора для времяпролетной методики.
3. Разработка, тестирование и внедрение в экспериментальную практику методов автоматического поиска и параметризации источников гауссовой формы, необходимых для обработки экспериментов по радиационной безопасности.
Научная новизна работы
1. Разработан и применен новый метод анализа токовых сигналов с пояса Роговского, позволяющий проводить надежную обработку за-шумленных данных в автоматическом режиме. Предлагаемая методика состоит из двух этапов. Сначала исходный сигнал при помощи вейвле-тов подвергается очистке от шумов. Для этого применяется оригинальный алгоритм разделения сигнала и шума с использованием дискретного вейвлет-преобразования, основанный на частотно-временном анализе сигнала. Обоснован простой рецепт выделения полезного сигнала из набора данных на основании априори известного приблизительного спектрального состава сигнала. Предложенная схема фильтрации в отличие от методов Фурье-анализа, практически не искажает полезный сигнал, восстанавливая его с точностью до константы в заданном интервале времени. Для реализации второго этапа предложен алгоритм для автоматического выделения пиков полезного сигнала из зашумлен-ных данных, основанный на применении дискретного вейвлет-преобразования с квадратичным сплайновым вейвлетом в качестве базиса. На основе данного алгоритма создан пакет программ, позволяющий автоматизировать процесс анализа экспериментальных кривых для широкого круга исследований.
2. Разработан и применен новый метод автоматической обработки сигналов со стоп-детектора для экспериментов по измерению потер энергии в холодном веществе и в плазме взрывного генератора, использующих времяпролетную методику. Обоснована методика обработки квазипериодических сигналов, основанная на применении непрерывного вейвлет-преобразования и псевдовейвлета Морле. В частности, методика расширена до применения к осциллирующим сигналам, основная частота которых является функцией времени, и выведены ограничения, в рамках которых схема обработки может успешно применяться. Предлагаемый метод используется в настоящее время при обработке экспериментов, ведущихся в ИТЭФ и GSI.
3. Разработан и применен новый метод обработки спектрометрических сигналов. Для сигналов, имеющих форму нормального распределения, предложена оригинальная методика разложения сигнала на гаус-сиану и шум, основанная на минимизации нормы разности анализируемой и тестовой функций в вейвлет-домене. Математически обоснована возможность восстановления функции с точностью порядка одного процента по ее вейвлет-преобразованию в узком диапазоне масштабов а и параметров сдвига 6, что определяет практическую ценность данной методики. Схема была успешно применена к анализу спектров в экспериментах по радиационной безопасности.
Научная и практическая значимость
Предложенные в настоящей работе методы анализа цифровых сигналов применяются в течение нескольких лет в экспериментальных программах по высокой плотности энергии в веществе, созданной пучком тяжелых ионов, ведущихся на ТераВаттном Накопителе в Институте Теоретической и Экспериментальной Физике (ИТЭФ) в Москве и на ускорителях SIS-18 и UNILAC, входящих в состав ускорительного комплекса Gesellschaft fur Schwerionenforschung (GSI) в Дармштадте в Гер мании. К ним относятся серии экспериментов по измерению тормозной способности газов и плазмы, эксперименты по определению зарядового распределения пучка ионов в веществе, эксперименты по измерению сечений рождения вторичных радиоактивных ядер в элементах линии пучка.
Помимо ускорительной тематики, разработанные автором схемы используются и в медицине в рамках опытно-конструкторских разработок, проводимых в ГУП "Распределенные Информационные Системы и Технологии для Медицины" совместно с НИИ Нормальной Физиологии РАМН, где предложенные алгоритмы реализуются в виде пакета прикладных программ обработки медицинских сигналов электрокардиограммы (ЭКГ) и реовазограммы человека.
С помощью защищаемых методик проводилась тестовая обработка экспериментальных данных по анализу интерферограмм при дифракции Фраунгофера лазерного излучения на двух взаимно перпендикулярных щелях (Физический Институт им. Лебедева Российской Академии Наук) и динамике торможения ионов в аэрогелях (GSI). Было установлено, что предлагаемые схемы решения задач обработки сигналов и изображений одинаково эффективно работают в применении к весьма широкому спектру прикладных задач. В результате выполненной работы можно сделать вывод о необходимости введения вейвлет-преобразования в повседневную практику физических измерений.
Подготовлена для направления в печать серия статей в журналах естественнонаучной и технической тематики, предназначенных вниманию широкого круга пользователей, заинтересованных во внедрении новейших технологий и математических методов для рутинной обработки и анализа цифровых сигналов и изображений.
Личный вклад автора
Настоящая работа является результатом научных исследований, проведенных лично Н. А. Борисенко. Автор принимал участие на всех этапах работы — от постановки задач и их математического решения, до программной реализации разработанных схем и подготовки статей к публикации.
Основные защищаемые положения
1. Развиты методы фильтрации цифровых сигналов на основе дискретного вейвлет-преобразования. Указан выбор вейвлет-коэффициен- тов, значимых для восстановления сигнала с заданной точностью. Предложенные алгоритмы фильтрации применены для удаления помех из токовых сигналов с пояса Роговского в серии экспериментов по радиационной безопасности (ИТЭФ-ТВН, GSI). Методика обобщена на случай двумерных сигналов и использована для обработки изображений спектров ионов пучка с пространственным разрешением при изучении динамики торможения ионов в аэрогелях (GSI).
2. На основе дискретного вейвлет-преобразования построен алгоритм автоматического анализа цифровых сигналов. Метод позволяет определять характерные параметры цифровой кривой, такие как положение и амплитуды пиков полезного сигнала, начала фронта нарастания и конец спада сигнала даже в случае присутствия сильных помех различного вида и артефактов. Предложенный метод использовался для нахождения полного тока пучка ионов при облучении мишеней в экспериментах по радиационной безопасности (ИТЭФ-ТВН, GSI).
Новый метод обработки сигналов со стоп-детектора для времяпро-летной методики, основанный на использовании непрерывного вейвлет-преобразования и вейвлета Морле. Метод позволяет отследить измене ние основной частоты сигнала в зависимости от времени и восстановить последовательность пиков банчевой структуры пучка даже в случае сильных шумов, сравнимых по мощности с полезным сигналом. Предлагаемый метод используется в настоящее время при обработке экспериментов, ведущихся на ускорителе GSI.
4. Разработана оригинальная методика обработки сигналов гауссовой формы, на базе непрерывного вейвлет-преобразования с вейвлетом "мексиканская шляпа". Метод основан на минимизации нормы разности тестовой и анализируемой функций в вейвлет-домене. Построен новый алгоритм поиска гауссовых источников. Предложенная схема обработки сигналов применена к автоматическому анализу спектрометрических данных в экспериментах по радиационной безопасности (ИТЭФ, GSI).
Объем работы
Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения, изложенных на 192 страницах текста с 47 рисунками, 6 таблицами и 141 наименованием библиографии.
Апробация работы
Основные результаты диссертационной работы проходили обсуждение на общеинститутском и внутрилабораторных семинарах ИТЭФ. Сделаны доклады на следующих конференциях.
1. International conference "Physics of High Energy Density in Matter", Austria, Hirschegg, February, 2000.
2. International conference "Physics of High Energy Density in Matter", Austria, Hirschegg, February, 2001.
28-ая Звенигородская конференция по физике плазмы и управляе мому термоядерному синтезу, Звенигород, февраль 2001.
4. 14— International Symposium on Heavy Ion Inertial Fusion, June Moscow, 2002.
5. Научная сессия Московского Инженерно-физического Института, секция "Микроэлектроника", Москва, январь 2003.
6. Вторая международная конференция "Влияние внешних воздействующих факторов на элементную базу аппаратуры авиационной и космической техники", Королев, апрель 2003.
Публикации
1. Tauschwitz A., Bakhmetyev I., Borisenko N., Fertman A., Geissel M., Golubev A., Roth M., Sharkov В., Suss W., Turtikov V., Wahl H. Bestimung des Ladungzustands eines Schwerionenstrahls beim Durchgang durch ein dichtes Plasmatarget, Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesell-schaft, n.4, p.370, 1999.
2. Borisenko N.A., Golubev A.A., Sharkov B.Yu. Estimation of the influence of nuclear fragmentation effects on the energy deposition profile, GSI Ann. Rep. 1999 High Energy Density in Matter Produced by Heavy Ion Beams, p.9, June 2000.
3. Баско M.M., Борисенко H.A., Голубев A.A. Кулоновское торможение пучка ионов в веществе с учетом эффекта ядерной фрагментации, 28-ая Звенигородская конференция по физике плазмы и управляемому термоядерному синтезу, М., с. 118, 2001.
4. Борисенко Н.А., Орехов С.Б. Применение вейвлет-преобразова-ния для анализа сигналов ЭКГ и РВГ, Инженерная Физика, No 5, с. 9-12, 2002.
5. Borisenko N.A. Discrete wavelet transform for experimental data processing, 14th International Symposium on Heavy Ion Inertial Fusion, Moscow, p.46, May 2002.
6. Fertman A., Bakhmetjev I., Batyaev V., Borisenko N., Cherkasov A., Golubev A., Kantsyrev A., Karpikhin E., Koldobsky A., Lipatov K., Mulam-betov R., Mulambetova S., Nekrasov Yu., Prokouronov M., Roudskoy L, Sharkov В., Smirnov G., Titarenko Yu., Turtikov V., Zhivin V., Fehrenbacher G., Hasse R., Hoffmann D., Hofmann L, Mustafin E., Weyrich K., Wieser J., Mashnik S., Barashenkov V., Gudima K. Induced radioactivity problem for high-power heavy ion accelerators: Experimental investigation and longime predictions, Laser h Particle Beams, v.20, No 3, pp.511-514, 2002.
7. Борисенко H.A., Фертман А.Д. Автоматизированный анализ экспериментальных данных с применением вейвлет-преобразования, Приборы и Техника Эксперимента, No 2, с. 28-34, 2003.
8. Golubev A., Alekseev N., Smirnov G., Basko M., Borisenko N., Dubenkov V., Fertman A., Kantsyrev A., Kats M., Korolev V., Mutin Т., Prokuronov M., Roudskoy I., Sharkov В., Turtikov V. First experimental results on high energy density in matter produced by heavy ion beam at the ITEPWAC facility, GSI Ann. Rep. on High Energy Density Physics with Intense Laser and Ion Beams, 2002, p.51, September 2003.
9. Borisenko N.A., Fertman A.D. A method for automatic analysis of experimental data using wavelet transforms, High Energy Density Physics with Intense Laser and Ion Beams, GSI Ann. Rep. 2002, p. 52, September 2003.
10. Борисенко H.A., Орехов СБ., Швецов-Шиловский И.Н. Использование вейвлет-преобразования для нахождения максимумов при компьютерной обработке экспериментальных кривых, Научная сессия МИФИ-2003, сборник научных трудов т.1, секция Микроэлектроника, с. 128-129, 2003.
11. Борисенко Н.А., Швецов-Шиловский И.Н., Орехов СБ., Бло-хин О.Н., Доминов Д.Е. Применение вейвлет-преобразования для компьютерного анализа результатов мониторинга, Вопросы Атомной Науки и Техники, серия физика радиационного воздействия на радиоэлектронную аппаратуру, вып. 4, с. 80-83, 2003.
12. Борисенко Н.А. Применение непрерывного вейвлет-преобразования к обработке экспериментальных кривых гауссовой формы, Препринт ИТЭФ 10-04, М., 16 стр., 2004.
Обзор обработанных экспериментов
Первое успешное применение вейвлетов для обработки экспериментальных данных произошло задолго до открытия ортонормальных вейвлет-базисов и получило название субполосная фильтрация (subband filtering) [120]. Некоторым образом подобранные коэффициенты фильтров, использовавшиеся для удаления помех, впоследствии оказались коэффициентами биортогональных вейвлет-базисов [51, 133, 135], которые широко используются и в наше время для сжатия и кодирования изображений [90].
В начале - середине девяностых годов двадцатого века, после установления основных свойств вейвлетов был проведен ряд математических исследований, посвященных применению вейвлетов к сжатию, кодированию информации [114,115] и удалению помех из сигналов и изображений [61, 62, 63, 63], основным результатом которых явился тот факт, что применение вейвлетов заведомо не уступает использовавшимся ранее методам, а в подавляющем большинстве случаев демонстрирует грандиозное превосходство. Начиная с этого момента началось повсеместное использование вейвлетов в областях, связанных с анализом цифровых сигналов и изображений. К сожалению, отследить в настоящее время тенденции современного развития методов обработки сигналов и изображений с помощью вейвле-тов крайне непросто, поскольку значительная часть этих работ ведется в коммерческих организациях и закрыты для печати. Тем не менее, успешный опыт применения вейвлетов к некоторым задачам обработки экспериментальных сигналов, опубликованных в общедоступных журналах, указывает на приоритетность этого направления. Поэтому решено было разработать собственные методики автоматического анализа экспериментальных данных, использовав в качестве основы математический аппарат вейвлет-преобразования.
Необходимость проведения работы была продиктована отсутствием специализированного программного обеспечения, позволяющего быстро и качественно проводить обработку информации, получаемую в ходе исследований по взаимодействию пучков тяжелых ионов с веществом, ведущихся в настоящее время на ускорительных комплексах ИТЭФ-ТВН (Москва) и GSI (Дармштадт). Важное требование, предъявляемое к методу — это возможность работы с большими массивами данных. Поскольку за время одного сеанса накапливается большой объем экспериментальной информации, и обработка с помощью стандартных средств растягивается на несколько месяцев, то разрабатываемые схемы и алгоритмы, помимо всего прочего, должны удовлетворять следующим требованиям.
Применение вейвлетов позволило решить поставленные задачи, удовлетворив всем предъявленным требованиям. Более того, оказалось, что предложенные в настоящей работе методы обработки цифровых сигналов имеют намного более широкий спектр применений, нежели просто автоматизированный анализ экспериментов по взаимодействию пучков ионов с веществом, что позволило использовать их в ряде других исследований. Разработанные методики практически без изменений были применены для обработки интерферограмм при дифракции лазерного излучения на двух щелях и при параметризации медицинских сигналов.
Обзор обработанных экспериментов
Описанные в первых двух подразделах эксперименты по взаимодействию пучков ионов с веществом проводятся в настоящее время на ускорительных комплексах ИТЭФ-ТВН (Москва) и GSI (Дармштадт) в рамках программы международного сотрудничества в области инер-циального термоядерного синтеза [12], являющегося на настоящий мо-мент самой перспективной концепцией промышленного источника энергии. Для постановки экспериментов по термоядерному сжатию мишеней необходимо рассчитать передачу энергии от пучка ионов к мишени, что требует точного знания механизмов торможения и потерь энергии пучка ионов в веществе, поскольку предполагаемая схема сжатия мишени по предварительным расчетам [131] оказывается крайне чувствительной к значениям тормозной способности вещества. Здесь, по-видимому, точности классических результатов теории торможения [24] явно недостаточно, поскольку при облучении вещества интенсивным пучком ионов, возникает ряд процессов [2, 4, 5, 35], которые также оказывают влияние на энергопоглощение пучка ионов в мишени, однако редко принимаются во внимание
Непрерывное вейвлет-преобразование
Вейвлет-анализ сигнала дает сходное с оконным Фурье-преобразованием (2.3) частотно-временное описание сигнала, однако свойства базисных функций (вейвлетов) позволяют намного эффективнее решать многие задачи обработки сигналов [58, 99]. Общий вид непрерывного вейвлет-преобразования, так же как и для оконного преобразования Фурье определяется скалярным произведением рассматриваемой функции f{t) и базисных функций гра Ь(і)
Здесь параметр а называется масштабом и является аналогом обратной частоты ш в оконном преобразовании Фурье (2.3), b - центр временной локализации сигнала - аналог в (2.3), черта сверху обозначает операцию комплексного сопряжения. Главное отличие от преобразования со со2 Окна частотно-временной локализации вейвлет-преобразования.
Фурье заключается в самих базисных функциях (вейвлетах) a,b{t): все они представляют собой сдвинутые и растянутые или сдвинутые и сжатые модификации одной и той же функции i}j{t) см. рис. 2.3, называемой материнским вейвлетом
В отличие от оконного Фурье-преобразования (2.3), где ширина всех базисных функций (2.6) одинакова, в вейвлет-преобразовании базисные функции (2.10) имеют адаптивную ширину по времени. Вейвлеты фа,ь{ї), соответствующие большим масштабам а, т.е. низким частотам, имеют большую ширину, что позволяет хорошо разрешать сигнал по частоте. Напротив, высокочастотные вейвлеты очень узки, и могут фокусироваться на резких всплесках сигнала. Адаптивная решетка пространственно-временной локализации, показанная на рис. 2.4, позволяет разрешить сигнал одновременно и по частоте и по времени намного более эффективно, чем оконное преобразование Фурье.
Далеко не каждая функция может быть названа вейвлетом. Оказывается, что для того чтобы было возможно проанализировать сигнал, а затем точно восстановить исходную функцию /(), необходимо чтобы материнский вейвлет подчинялся так называемому условию допустимости [58], согласно которому константа нормализации вейвлет-преобразо-вания, определяемая выражением
Это значит, что материнский вейвлет имеет полосовой (band pass) спектр, что оказывается крайне важным свойством для решения прикладных задач. Условие (2.13), по сути, означает, что среднее значение материнского вейвлета во временном домене равно нулю оо / dt ip(t) = О , (2.14) —оо и поэтому вейвлет не может быть монотонной функцией, а имеет осциллирующий характер. Другими словами вейвлет является волной, отсюда и название wavelet — маленькая волна.
Иногда удобнее иметь дело с нормированными базисными функциями, в этом случае полагают, что материнский вейвлет подчиняется условию нормировки
Если оказывается так, что материнский вейвлет отличен от нуля лишь в пределах некоторого конечного интервала что этот вейвлет имеет компактный носитель (compact support) во временной области, а длину интервала М = t i — t\ называют самим компактным носителем. Чем меньше компактный носитель во временном домене, тем лучшей временной локализацией обладает вейвлет. В прикладных задачах наиболее часто используются вейвлеты, обладающие компактным носителем как во временном, так и в частотном доменах, т.е. локализованные по времени и имеющие ограниченный спектр.
Если выполнено условие допустимости (2.12), то исходную функцию можно восстановить по формуле
В отличие от преобразования Фурье, вейвлет-преобразование избыточно, и при некоторых условиях прямое и обратное вейвлет-преобразование можно проводить по разным базисам, обладающим совершенно различными свойствами [58]. Например, если ip(t), ipi(t) удовлетворяют
Условие (2.14), которому должен подчиняться вейвлет приводит к тому, что любая суперпозиция вейвлетов в интеграле по действительной оси дает нуль. Поэтому равенство исходной и восстановленной функций (2.16) нужно понимать в смысле нормы пространства L2(K) (2.7), т.е.
Разделение двух сигналов на основе частотно-временного анализа
Амплитудно-частотные характеристики фильтров Q3 (a ), R3 (и) находятся путем взятия абсолютного значения эквивалентных фильтров
Из определения коэффициентов hk, соответствующих скейлинг функции видно, что Н(ш) является низкочастотным фильтром, выделяющим из сигнала долгоживущие события. Фильтр G(OJ) , напротив, в случае ортонормального вейвлет-базиса является высокочастотным, поскольку коэффициенты gk определяются через значения hk по формулам (2.29), представляющими собой метод спектральной реверсии [116], при котором изменяется знак каждого второго коэффициента в импульсной характеристике низкочастотного фильтра H{uS) и получается высокочастотный фильтр G(cu). Свертка фильтров Н(ио) G(UJ) является полосовым фильтром, таким образом, детальная часть вейвлет-преобразования W3(t) из уравнения (2.44) является результатом пропускания сигнала f(t) через полосовой фильтр Q3(ui), а сглаженная часть преобразования S3(t) в (2.45) является следствием фильтрации /() с помощью низкочастотного фильтра R0(oS). Зная о priory, в каком диапазоне лежит основная спектральная мощность сигнала f(t), и, вычислив АЧХ фильтров Q3(u), R0(u), мы имеем инструмент частотно-временного анализа сигнала.
Фильтрация сигналов от белого шума
Пусть измеренная экспериментальная кривая у(і) представима в виде суммы "чистого" дискретного сигнала f(t), не содержащего помех, и белого шума w(t) Здесь набор значений w(t) представляет собой многомерную случайную величину где N - длина сигнала, а каждое значение и г есть непрерывная случайная величина, плотность вероятности которой имеет нормальное распределение с математическим ожиданием /J, = 0 и дисперсией т
Нашей целью является восстановить как можно точнее чистый сигнал f(t) по данным измерений y(t). В общих чертах фильтрация сигнала на основе вейвлет-преобразования сводится к разложению сигнала по некоторому выбранному вейвлет-базису, изменении части вейвлет коэффициентов и последующему восстановлению сигнала. Существенное отличие от Фурье-анализа заключается в том, что класс базисных функций, по которым может быть проведено вейвлет-преобразование значительно шире, чем при использовании преобразования Фурье. Это дает определенную гибкость при решении тех или иных задач фильтрации, однако, вместе с тем, предполагает обоснование выбора конкретного вейвлет-базиса для данной задачи. Общего математического рецепта нахождения оптимального вейвлета для очистки сигналов от шумов не существует, и наиболее надежный способ выбора базиса заключается в постановке численного эксперимента по исследованию и сравнению различных материнских вейвлетов в применении к очистке чистого смодулированного сигнала от искусственно сгенерированной помехи. Вместе с тем за более чем полтора десятилетия развития вейвлет-анализа накоплен определенный экспериментальный опыт в решении подобного рода, поэтому, зачастую, выбор подходящего для решения данной проблемы вейвлета может быть найден в публикациях посвященных обработке сигналов сходного вида.
Основная идея применения вейвлет-преобразования к фильтрации сигналов от шумов заключается в том, что практически все вейвлет-ко-эффициенты dj,k, получаемые с помощью алгоритма (2.40) дают вклад в помеху w(t), и лишь немногие из них соответствуют полезному сигналу f(t) [62]. Схема удаления помех с помощью вейвлетов заключается в занулении части вейвлет-коэффициентов, которые не превосходят некоторого порога р, выбирающегося исходя из a priory известных свойств белого шума w(t), математического ожидания /х = 0 и дисперсии а. В тех случаях, когда а неизвестна, хорошей оценкой дисперсии белого шума может служить корень из среднего квадрата вейвлет-коэффициентов на первом масштабе j = 1
Здесь N — длина исходного сигнала, которая должна быть кратна двойке в некоторой степени, cJi;fc — коэффициенты вейвлет-преобразования сигнала y(t) на масштабе j — 1.
Для белого шума с дисперсией а порог р является пропорциональным а, а коэффициент пропорциональности, являющийся слабой функцией N, зависит от стратегии выбора порога, основные из которых представлены следующей формулой
Квадратичный сплайновый вейвлет
Подобная схема вейвлет-фильтрации была применена к медицинским сигналам - реовазаграмме и электрокардиограмме. Фрагмент исходного сигнала РВГ, взятого из базы данных Института Нормальной Физиологии, и его очищенный аналог приведены на рис. 3.8. Результаты настоящего и предыдущего параграфов использовались для последующей обработки экспериментальных сигналов в третьей главе. Фильтрация спектров с пространственным разрешением
В настоящем параграфе методы вейвлет-очистки сигналов применены к удалению шумов из изображений спектров с пространственным разрешением в серии экспериментов по наблюдению динамики торможения тяжелых ионов в аэрогелях [112]. Основная идея экспериментов заключалась в том, чтобы с использованием современных средств спектроскопии на базе фокусирующегося спектрометра с пространственным разрешением, основанного на сферически вогнутом кристалле [66, 111], измерить доплеровский сдвиг спутников линии К — а ионов пучка в зависимости от глубины проникновения ионов в мишень. В этом случае величина доплеровского сдвига однозначно определяет скорость ионов пучка, а по структуре самих линий можно восстановить динамику зарядового распределения пучка ионов на пути торможения. При этом, чтобы улучшить пространственное разрешение, в качестве мишени были использованы аэрогели SiC 2, изготовленные в Физическом Институте Российской Академии Наук [37, 38], длина пробега которых значительно превышает пробег ионов в твердых веществах.
В экспериментах были использованы пучки ионов кальция с энергиями 5.9 и 11.4 МэВ/нуклон. Работа проводилась на линейном ускорителе UNILAC ускорительного комплекса GSI (Gesellschaft fur Schwerionenfor-schung) в Дармштадте (Германия). Типичный спектр, полученный в ходе эксперимента и его очищенная с помощью вейвлет-фильтрации копия приведены на рис. 3.9. Здесь, как и в предыдущем примере для фильтрации был использован койфлет порядка К = 4. В ходе очистки все вейвлет-коэффициенты dv k ) d9 kn- ddjk n на первых трех масштабах j = 1,2,3 были положены равными нулю, поскольку основная спектральная мощность полезного сигнала находилась на масштабах j = 5,6. Пример исходной горизонтальной прописи сигнала по центру картинки и ее очищенного варианта показан на рис. 3.10. Рис. 3.9: Исходное и очищенное изображение спектра с пространственным разрешением частицы в малоплотной мишени. Фильтрация сигналов априори известного вида
В том случае, когда общий вид сигнала априори известен, эффективность фильтрации может быть существенно улучшена за счет выбора вейвлета соответствующей формы. В главе 4 дан рецепт выделения синусообразного сигнала из зашумленных данных с помощью вейвлета Морле, а в главе 5 приведена схема обработки сигналов, имеющих нормальное распределение. Рис. 3.10: Пропись сигнала с исходного (черная кривая) и очищенного (красная кривая) изображения спектра с пространственным разрешением для х = 70.
Написан и отлажен программный пакет, построенный на принципах вейвлет-фильтрации сигналов от белого шума, позволяющий удалять высокочастотные шумы из цифровых сигналов и изображений. Данный код использовался для предварительной очистки сигналов от помех с целью упрощения алгоритмов последующей обработки данных. Программа была применена для обработки токовых сигналов с пояса Роговского и медицинских сигналов.
Разработана новая методика на основе дискретного вейвлет-преобра-зования, позволяющая эффективно разделять сигналы со слабо пере крывающимися областями частотно-временной локализации. Показано, что низкочастотная составляющая помехи может быть извлечена из сигнала, определенного на конечном интервале, занулением коэффициентов при скейлинг-функции на некотором масштабе, выбирающемся исходя из необходимой точности. В этом случае исходная функция восстанавливается с точностью до константы.
В совокупности с алгоритмом очистки сигналов от белого шума, схема разделения двух сигналов позволила создать мощный инструмент удаления помех из цифровых сигналов. Итогом данной части работы стал отлаженный программный продукт, позволяющий эффективно очищать сигнал от помех различного сорта, и применимый для широкого круга экспериментальных исследований.
