Введение к работе
Актуальность проблемы. В настоящее время благодаря развитию вычислительных средств практически" любая экспериментальная установка содержит ЭВМ, осуществляющую управление экспериментом, диалог с пользователем, преобразование и интерпретацию данных. В связи с этим особое значение приобретает разработка эффективных ' методов обработки данных, позволяющих повысить метрологические характеристики прибора и достоверность результатов. _ ;
Основной темой исследования диссертации ' являются алгоритмы первичной обработки, а именно, алгоритмы дискретного представления непрерывных сигналов : и задачи оценки значений функций. Под оценкой' значения функции понимается некоторое число, близкое к истинному значению функции и получаемое по неточно известным величинам. Эта задача возникает в связи с тем, что любой физический эксперимент находится под влиянием большого числа случайных факторов, которые невозможно учесть заранее, и поэтому необходимо применять некоторые процедуры, позволяющие оценивать истинное значеіше измеряемой величины в условиях влияния случайных мешающих факторов. Под дискретным представлением непрерывного сигнала понимают числовую последовательность, получаемую из непрерывного сигнала, т.е. такую последовательность, по которой можно восстановить непрерывный сигнал.
Исследования этих методов представляются актуальными по следующей причине. Несмотря на значительный период развития цифровой техники и теории дискретного представления сигналов, на практике, как правило, используются только лишь простейшие схемы, когда в качестве .отсчетов берутся мгновенные значения сигнала или его интегральные средние. При этом, заданная точность восстановления достигается путем повышения частоты квантования. Однако во многих задачах частота квантования не может быть увеличена по. принципиальным соображениям.
Отличительной чертой алгоритмов первичной обработки данных, исследуемых в диссертации, является их локальный характер. Локальным будем называть преобразование, требующее для оценки истинного значения функции в некоторой точке только ее измеренных значений в заданной конечной
окрестности этой точни. Преимущества локальных алгоритмов по сравнению с глобальными (использующими одновременно весь массив данных) очевидны: они могут быть реализованы в реальном времени. В отличие от рекурсивных алгоритмов локальные не учитывают всю предысторию и поэтому их следует считать более устойчивыми к аномальным выбросам.
Причины, побудившие автора обратиться к исследованию именно локальных алгоритмов, заключаются в следующем. Алгоритмы локальной оценки, использующие метод полиномиальной локальной аппроксимации (ПЛЛ), широко используются во иногих системах обработки информации физического эксперимента для решения задач сглаживания и дифференцирования данных. (Основная идея этих алгоритмов заключается в том, что в качестве оценки значения функции в точке берется значение аппроксимирующего исходные данные полинома в этой точке, причем полином строится локально в пределах окрестности каждой точки.) Однако детальная теория, позволяющая анализировать результаты отсутствует. Поэтому применение алгоритмов ШІА во многих случаях носит эвристический характер, а следовательно, может приводить к ухудшению результатов или к неэффективности как в смысле восстановления сигнала, так и в смысле вычислительной трудоемкости. Таким образом, вывод обоснованных рекомендаций по корректному применению и разработка других, более эффективных методов* имеют большое практическое значение.
Анализ известных методов квантования показал, что основными проблемами при реализации алгоритмов дискретного представления непрерывных сигналов являются трудности, связанные с бесконечной протяженностью базисных функций, возникающих в классической постановке задачи. В связи с этим кажется разумным использование локальных базисов. Развитие в последние годы теории В-сплайнов (локальных базисных функций в пространстве сплайнов, отличных от нуля на промежутке минимальной длины) дает возможность получить новые результаты.
Алгоритмы первичной обработки рассматриваются в диссертации на формальном уровне, так что полученные методы могут быть применены в различных областях. Однако в основном, в качестве примеров рассматриваются задачи обработки данных в электронной спектроскопии.
Цель диссертационной работы - разработка алгоритмов синтеза локальных операторов усреднения и дифференцирования Функций, уменьшение частоты квантования и повышение точности восстановления сигналов и дискретного представления линейных систем с помощью алгоритмов аппроксимации в базисе в-сплайнов.
Для достижения поставленной цели в диссертационной работе решались следующие задачи:
1. Развитие математического аппарата анализа и синтеза
операторов ПЛА с использованием ортогонального
полиномиального базиса и методов регрессионного анализа.
Разработка математического аппарата аппроксимации линейных
операторов и сигналов в базисе в-сплайнов на основе
формализма интегральных преобразований.
2. Исследование классических методов построения
локальных оценок значений функции и ее производных по
дискретным неточным отсчетам. Получение формул для
вычисления оценок по методу ПЛА:
-
Исследование свойств весовых функций операторов усреднения в комплексной области и методами частотных характеристик с целью решения задачи синтеза операторов усреднения, обладающих заданными свойствами.
-
Анализ результатов применения методов ПЛА для сглаживания н дифференцирования сигналов в спектроскопии, выработка рекомендаций. .
-
Разработка оптимальных алгоритмов сглаживания и дифференцирования данных в электронной спектроскопии.
6. Разработка алгоритма вычисления оценок по методу ПЛА
для обработки двумерных сигналов. . .
-
Исследование возможностей применения полученных алгоритмов расчета весовых функций в других задачах обработки сигналов.
-
Разработка алгоритма дискретного . представления сигналов и операторов, позволяющего повышать точность представления по сравнению с традиционными методами без повышения частоты квантования.
Методы исследования. Основные результаты работы получены с использование!! математического аппарата 2-преобразовання, преобразования Лапласа и дискретного преобразования Фурье, регрессионного анализа, теории
в-сплайнов и теории цифровой фильтрации.
Научная новизна работы заключается в следующем:
-
Исследованы свойства операторов ПЛА. Впервые выведена зависимость первого нуля частотной характеристики оператора от размера окрестности аппроксимации и степени полинома.
-
Предложен алгоритм оптимальной фильтрации и дифференцирования сигналов в спектроскопии (в предположении, что спектральные пики гауссовские). Показано, что ПЛА-фильтр с параметрами, выбранными по эмпирической формуле, распространенной на практике, обеспечивает ошибку по полезному сигналу, не превосходящую 1%.
-
Впервые получены аналитические выражения для весовых функций двумерных ПЛА фильтров.
-
Доказана разделимость двумерных фильтров ПЛА.
-
Предложен более эффективный алгоритм дискретного представления линейных операторов, основанный на аппроксимации функции в базисе в-сплайнов и переходе от интегральной свертки функций к дискретной свертке коэффициентов в-сплайнов. Показано, что традиционный метод квантования (с ;; использованием экстраполятора нулевого порядка) является по своей сути аппроксимацией в базисе в-сплайнов нулевой степени.
6. Получено описание в-сплайнов в терминах
преобразования Лапласа и z-преобразования, а также две новые
формулы для вычисления z-преобразования в-сплайнов.
Использование формализма интегральных преобразований
позволило, кроме того, вывести простые и наглядные
доказательства ряда известных теорем теории сплайнов.
-
Получено выражение, связывающее преобразование Лапласа непрерывной функциии с z-преобразованием последовательности коэффициентов аппроксимирующего сплайна, и выражение, связывающее z-преобразование последовательности коэффициентов в-сплайна, аппроксимирующего результат интегральной свертки, с преобразованием Лапласа исходной функции и весовой функции оператора свертки.
-
Дана оценка ошибки дискретного представления линейного оператора. Показано, что с ростом степени сплайна растет порядок аппроксимации и уменьшается ошибка восстановления (при условии достаточной гладкости исходной
функции и ядра оператора).
Практическую ценность работы составляют:
1. Обоснованная методика фильтрации и дифференцирования
спектроскопических сигналов при помощи операторов ПЛА.
2. Расчетные формулы для определения параметров
частотных характеристик сглаживающих фильтров ПЛА по ширине
интервала аппроксимации и степени аппроксимирующего
полинома.
-
Алгоритм синтеза и расчетные формулы для вычисления наилучшей аппроксимации оптимального фильтра низкочастотным' фильтром с конечной импульсной характеристикой.
-
Расчетные формулы для получения весовых функций двумерных сглаживающих фильтров ПЛА, позволяющие синтезировать фильтры произвольных порядков для любого промежутка аппроксимации без потери информации в крайних точках и требующие существенно меньшего числа арифметических операций для выполнения фильтрации по сравнению с ранее известными.
-
Метод предсказания сигнала на один отсчет на основе техники ПЛА, дающий точное предсказание изменения сигнала, представимого полиномом в некоторой окрестности.
-
Алгоритм вычитания полиномиального фона (тренда) по методу наименьших квадратов без непосредственного решения задачи наименьших квадратов.
7. Метод реализации линейного . преобразования
непрерывных сигналов в дискретном виде, позволяющий
значительно уменьшить частоту квантования по сравнению с
традиционными методами (вплоть до частоты Котельникова).
Положения, выносимые на защиту:
-
Методика использования регрессионного анализа и ортогонального полиномиального базиса при решении задач оценивания значений функции по методу ПЛА.
-
Алгоритм расчета оптимального сглаживающего и дифференцирующего фильтров спектроскопических сигналов.
-
Алгоритм фильтрации двумерных сигналов по методу ПЛА.
-
Метод дискретного представления сигналов и линейных операторов на основе аппроксимации в базисе в-сплайнов.
Апробация работы. Основные результаты диссертационного исследования докладывались и обсуждались:
і) на XV всесоюзном совещании по рентгеновской и электронной спектроскопии. Ленинград, 1988,
2) на II Международной балтийской олимпиаде по
автоматическому управлению. Санкт-Петербург, 1992,
3) на научно- технических семинарах ЛИТМО. Санкт-Петербург,
1992.
Публикации. По материалам диссертационной работы опубликовано 9 рабпт.
Реализация и внедрение. Теоретические и практические результаты, полученные в диссертации, использовались при разработке программного обеспечения для автоматизации электронного спектрометра ЭС2403 (тема 01.90.0064581) и дифрактометра медленных электронов ДЭ1101 (тема 01.89.0078668). Алгоритм измерения сигналов с большим динамическим диапазоном использован в измерительно-вычислительной системе, разработанной по теме "Анаконда". Синтез методов дискретного представления линейных операторов и сигналов был выполнен в рамках НИР "Щеколда - ДВН".
Структура диссертации. Работа состоит из 6 глав, введения, заключения, списка литературы, содержащего 117 источников, и 3 приложений. Содержание работы изложено на 178 страницах печатного текста, иллюстрируется 27 рисунками и 5 таблицами.
